Некоторые свойства топологических произведений

Содержание
Введение
Обозначения и терминология
Г лава 1. Большая и малая индуктивная размерность топологических произведений §1. Основные идеи и вспомогательные леммы §2. Пример произведения линейно упорядоченного континуума Х\ и двумерного (в смысле <Ит, 1пс1лп(Г) бикомпакта Х2, которое индуктивно четырехмерно §3. Пример индуктивно двумерного регулярного пространства Z) произведение которого на отрезок индуктивно четырехмерно Глава 2. Об уплотнениях и расширениях топологических произведений и пространств §1. Один метод построения топологических пространств с неуплотняющимися на ’’хорошие” пространства конечными степенями §2. Полное по Чеху линделефово пространство без точек локальной бикомпактности, не имеющее связных регулярных расширений Глава 3. Произведения полурадиальных бикомпактов Глава. 4. Некоторые кардинальнозначные инварианты У-нор-мальных пространств Библиография
3
15
17
17
23
43
58
58
67
70
75
82
Введение
3
К числу важнейших операций над топологическими пространствами относится операция топологического произведения. Различные свойства топологических произведений интенсивно исследовались на протяжении всей истории топологии. Многие теоремы и примеры общей топологии относятся именно к топологическим произведениям.
В главе 1 диссертации рассматриваются размерностные свойства топологических произведений. Вопрос о выполнении логарифмического неравенства в теории размерности изучался глубоко и был одним из основных в этой области. Логарифмическое неравенство состоит в том, что размерность произведения двух пространств не превосходит суммы их размерностей. Вопрос о том, для каких классов топологических пространств это неравенство выполняется, можно ставить для любого размерностного инварианта. Однако, наиболее важна эта проблема для случая трех основных размерностей: dim - размерность, определяемая с помощью покрытий, Ind - большая индуктивная размерность и ind - малая индуктивная размерность.
Перечисленные размерностные инварианты определяются следующим образом:
Определение. Размерность dim топологического пространства X меньше или равна п, если в каждое конечное открытое покрытие пространства X можно вписать конечное открытое покрытие кратности п + 1.
В этом определении и в двух следующих определениях число п может принимать любые целые значения большие или равные —1. При этом, во всех трех случаях (dim, ind, ind), размерность пустого про-
4
страиства полагается равной -1.
Определение. Размерность ind топологического пространства X меньше или равна числа п, если между любой точкой пространства X и не содержащим ее замкнутым подмножеством пространства X найдется перегородка, размерность ind которой не превышает п — 1.
Определение. Размерность Ind топологического пространства X меньше или равна числа п, если между любыми двумя замкнутыми дизъюнктными подмножествами пространства X найдется перегородка, размерность Ind которой не превышает п — 1.
В классе метрических сепарабельных пространств все три эти размерности совпадают и логарифмическое неравенство выполняется во всех трех случаях. В более широких классах пространств перечисленные размерности могут не совпадать или могут совпадать лишь некоторые из них. В частности, размерности Ind и dim совпадают в любом метризуемом пространстве.
В главе 1 рассматривается случай бикомпактов - одного из важнейших для общей топологии класса пространств. В этом классе для размерности dim логарифмическое неравенство dim X х Y ^ dimX -\-dimY выполняется всегда. Это утверждение было доказано Хеммингсеном в [27].
В дальнейшем мы будем ангишзировать логарифмическое неравенство только для индуктивных размерностей ind и Ind. Для них логарифмическое неравенство в классе бикомпактов имеет место, если в сомножителях выполняется конечная теорема суммы. То есть верны следующие два утверждения:
1) Теорема (Пасынков Б.Л. [7]). Ind X х Y < IndX -f IndY, если для любых замкнутых множеств А, В в X или в Y верно Ind A U В =
5
Max(IndA, IndB).
2) Аналогичная и даже более общая теорема имеет место в случае замены большой индуктивной размерности на малую индуктивную размерность, а именно, пространства X и У достаточно считать тихоновскими [7].
В общем случае произвольных бикомпактов логарифмическое неравенство для индуктивных размерностей нарз'шается, что было доказано В.В.Филипповым [9], построившим еще в 1972 году неожиданный и трудный пример двух бикомпактов Х\ и Х2 таких, что IndXi = indXi = dimXi = г, для г = 1,2, но Ind Х\ х Х2 ^ ind Х\ х Х2 = 4 > 3 = IndXi -\-IndX2. В связи с этим, отметим результат И.К.Лифанова
[5] о том, что произведение п одномерных в смысле Ind, (а значит и в смысле dim. и ind) бикомпактов является n-мерным (во всех трех смыслах) бикомпактом. Из последнего результата следует, что улучшить пример Филиппова, взяв два одномерных в смысле Ind бикомпакта и получив в произведении нарушение логарифмического неравенства, невозможно.
Важным для нас является также результат Филиппова [10] о том, что ind I х X ^ indX + 1 для произвольного тихоновского пространства X и отрезка действительной прямой I. Таким образом, если при умножении на одномерный бикомпакт малая индуктивная размерность бикомпакта может увеличиться более чем на единицу, то при умножении на отрезок такое увеличение невозможно.
В определенном смысле простейшим обобщением отрезка являются линейно упорядоченные континуумы. Можно сказать, что среди одномерных бикомпактов линейно упорядоченные континуумы являются следующим по сложности классом после отрезка. В частности, про-
6
довольный линейно упорядоченный континуум наследственно коллективно нормален и каждая его точка обладает сколь угодно малыми окрестностями с не более чем двухточечными границами.
Простота структуры линейно упорядоченных континуумов позволяла надеяться, что логарифмическое неравенство для размерностей ind и Ind выполняется, если сомножители - бикомпакты и один из них линейно упорядочен. Оказывается, однако, что это не так. Первым основным результатом диссертации является
Пример 1.2.1. Существует такой линейно упорядоченный континуум Х\ и такой двумерный во всех смыслах (Ind, ind, dim) бикомпакт Х2, что Ind Х\ х Х2 ^ ind Х\ х Х2 = 4 > 3 = IndX 1 -f IndX2 = indX i + indX 2.
Отметим, что Xi является просто лексикографически упорядоченным произведением /т, где г - достаточно большой регулярный кардинал.
Перейдем ко второму основному результату диссертации.
Определенность малой индуктивной размерности для пространства влечет его регулярность. Поэтому, возможным положительным результатом могло бы стать выполнение логарифмического неравенства в случае, когда сомножители - регулярное пространство и отрезок действительной прямой, ведь согласно упомянутой теореме Филиппова, это неравенство имеет место, если на отрезок умножается тихоновское пространство.
Однако и в этом случае удается построить контрпример:
Пример 1.3.1. Существует такое регулярное пространство R, что indR = 2 u ind I х R = 4.
Построению этого примера посвящен §3 главы 1.