Расширенная сложность трехмерных многообразий

Оглавление
Введение 4
1 Определение расширенной сложности трехмерных многообразий 21
1.1 Сиайны и сложность трехмерных
многообразий............................... 22
1.2 Корни и свободные поверхности в
трехмерных многообразиях................... 28
1.3 Нормальные поверхности в разбиениях на ручки 32
1.3.1 Разбиения на ручки................... 32
1.3.2 Нормальные поверхности в разбиениях на ручки ........................................... 35
1.4 /-компоненты трехмерного многообразия .... 37
1.5 /-число трехмерных многообразий............ 42
1.6 Характеристика края трехмерного
многообразия............................... 49
1.7 Определение расширенной сложности трехмерных многообразий............................. 51
1.7.1 Определение расширенной сложности. . . 52
1.7.2 Многообразия малой расширенной сложности ........................................... 55
2
Свойства расширенной сложности 60
2.1 Поведение расширенной сложности трехмерных многообразий при разрезании по существенной поверхности........................................ 60
2.2 Конечность процесса разрезания трехмерного многообразия по существенной поверхности....... 73
2.3 Свойство конечности............................ 77
Введение
В настоящее время в топологии трехмерных многообразий существует ряд проблем, одной из которых является проблема эффективной классификации трехмерных многообразий. Обычно классификация геометрических объектов ведется в порядке возрастания их сложности. Поэтому имеется настоятельная необходимость в удобной и естественной характеристике многообразия, которую можно было бы взять в качестве такой сложности. Она должна представлять собой функцию, определенную на достаточно широком классе трехмерных многообразий и принимающую значения в некотором вполне упорядоченном множестве. Значение этой функции на каждом конкретном многообразии М удобно называть сложностью этого многообразия. Разумеется, было бы желательно, чтобы такая сложность обладала следующими полезными свойствами.
1. Свойство монотонности. При разрезании многообразия по существенной поверхности сложность многобразия строго уменьшается.
2. Свойство конечности. Для любого значения сложности существует только конечное число многообразий, сложность которых совпадает с данной.
4
Таким образом, возникает следующая важная задача, решение которой является основным результатом диссертации.
ЗАДАЧА. Построить функцию сложности, которая для достаточно широкого класса трехмерных многообразий обладает свойствами 1,2.
Так как при разрезании по существенной поверхности построенная сложность строго уменьшается, то ее существование полезно при индуктивных доказательствах, когда удастся установить, что справедливость нужного свойства сохраняется при таких разрезаниях.
Сложность Вальдхаузена.Впервые такой метод был применен Ф.Вальдхаузеном ( [20|). Он использовал ее для доказательства того, что любая гомотопическая эквивалентность достаточно больших многообразий деформируется (с помощью гомотопии) в гомеоморфизм. Этот результат весьма замечателен, поскольку он относится к чрезвычайно важному классу утверждений, устанавливающих связь между понятиями различных категорий (в данном случае, гомотопической и топологической). Например, недавно решенная трехмерная гипотеза Пуанкаре ( [19] ) относится именно к этому классу.
В процессе доказательства Вальдхаузен последовательно разрезал данное многообразие по собственным существенным поверхностям с краем (если начальное многообразие замкнуто, то первый разрез выполняется по замкнутой существенной поверхности, для этого и нужно условие, что многообразие является достаточно большим). Для доказательства того, что процесс таких разрезаний конечен (и закончится на наборе шаров) Вальдхаузен ввел свою сложность
5
Рассмотрим разбиение трехмерного многообразия на ручки ( [8,20]). Напомним, что ручки индексов 0, 1, 2 называют, соответственно, шарами, балками и плитками.
Рис. 1: Разбиение на ручки
Определим сложность разбиения ( [20|). Пусть В некоторая балка разбиения и пусть 8 — число плиток, примыкающих к В. Обозначим 8" = тах(6 — 2,0), 8' = тах(8 — 1,0) и определим числа х и V как X = 2 8", 7] = £ 8', где суммирование ведется по всем балкам разбиения. Пусть теперь е — число компонент пересечения некоторого шара разбиения с объединением балок и плиток разбиения. Тогда £ = £(е — 1), где сумма берется по всем шарам данного разбиения. Таким образом, каждому разбиению трехмерного многообразия на ручки можно поставить в соответствие тройку (х, г/, О неотрицательных чисел, которые, рассматриваемые в лексикографическом порядке, дают сложность Вальдхаузена данного разбиения.
Обозначим через Мр многообразие, полученное из многообразия М разрезанием вдоль собственной нормальной поверхности F. Эта поверхность разбивает каждую ручку на несколько ручек того же индекса, поэтому Мр обладает есте-
6