2
СОДЕРЖАНИЕ
стр.
ВВЕДЕНИЕ............................................................6
ШАБА I. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА И ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ . 12
§1.1. Классическая теория Фредгольма.........................12
§ 1.2. Интегральное уравнение собственных изгибных и
крутильных колебаний упругих систем с сосредоточенными массами ..... ................................. 14
§ 1.3. Решение систем интегральных уравнений на основе
теории Фредгольма.......................................17
§ 1.4. Функции Грина в задачах колебаний упругих систем
и методы их определения.................................21
§ 1.5. Обзор работ по расчету колебаний на основе теории
интегральных уравнений..................................27
§ 1.6. Постановка задач исследования..........................30
ШАВА 2. РАЗРАБОТКА МЕТОДИКИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА СОБСТВЕННЫЕ
ЗНАЧЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ..32 §2.1. Вывод детерминантннх формул для коэффициентов
Фредгольма с помощью дельта-функции Дирака .... 32
§ 2.2. Получение рекуррентных формул для коэффициентов Фредгольма применительно к расчету высших тонов собственных колебаний упругих систем с сосредоточенной массой и их модификация................................36
§2.3. Распространение рекуррентных формул § 2.2 для
расчета собственных значений на случай произвольного числа сосредоточенных масс........................43
§ 2.4. Модификация рекуррентных формул с учетом симметризации ядер интегрального уравнения...........................50
§ 2.5. Разработка рекуррентных формул для решения
систем интегральных уравнений...........................52
§ 2.6. Вариант решения задач на собственные значения, основанный на сочетании метода Фредгольма и
метода Гильберта-Шмидта ............................... 57
§ 2.7. Расчетный алгоритм для решения задач о собственных колебаниях упругих механических систем, основанный на методе рядов Фредгольма и численном
интегрировании ................. ..... 61
§ 2.8. Матрицы функций Грина упругих балок при численной реализации квадратур в методе интегральных уравнений......................................................65
ШАБА. 3. НЕКОТОРЫЕ ЖТЕМАТИЧВСКИЕ ВОПРОСЫ, СВЯЗАННЫЕ с
С ОБОСНОВАНИЕМ ИНЖЕНЕРНОЙ РЕАЛИЗАЦИИ ТЕОРИИ
РЯДОВ ФРЕДГОЛЬМА........................................69
§ 3.1. Сходимость приближений к собственным значениям
в методе рядов Фредгсльма............................. 69
§ 3.2. Сравнительный анализ применения различных
рекуррентных формул для определения коэффициентов Фредгольма........................................74
§ 3.3. О совпадении результатов решений, даваемых мето-
дами интегральных и дифференциальных уравнений . . 77 § 3.4. Свойство корней характеристического уравнения . . 80
§ 3.5.
ПЛАВА 4. § 4.1. § 4.2. § 4.3. § 4.4.
- 4 -
стр.
О необходимости симметризации ядер при решении задачи о собственных крутильных колебаниях пустотелых конусов ..................................... 85
РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ КОЛЕБАНИЙ МЕТОДОМ
ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ...................................91
Расчет собственных частот изгибннх колебаний консольно заделанных балок переменного сечения . . 91
Расчет высших тонов собственных крутильных колебаний упругих систем с сосредоточенными массами . . 96 Минимизация веса пилона (усеченного конуса) при
заданной частоте крутильных колебаний ................. 104
Расчет методсм интегральных уравнений собственных частот системы "крыло-упруго прикрепленный двигатель" с учетом упругости заделки крыла в фюзеляж III
4.4.1. Функция Грина для балки с одним свободным
концом и другим концом упруго заделанным относительно поперечных и угловых перемещений 112
4.4.2. Функция Грина на кручение стержня с одним свободным концом и другим концом упруго заделанным относительно крутильных перемещений ............................................... 112
4.4.3. Уравнения колебаний прямого крыла с упруго закрепленным двигателем................................ 113
4.4.4. Вывод приближенных уравнений частот с помощью рядов Фредгсльма................................114
4.4.5. Пример расчета ................................. 116
- 5 -
стр.
§ 4.5. Расчет собственных частот совместных колебаний
вертолетных лопастей .................................123
4.5.1. Дифференциальные уравнения колебаний лопасти.............................................124
4.5.2. Граничные условия задачи о колебаниях лопасти.............................................127
а) случай конссльно заделанной лопасти, имеющей упругую заделку на кручение .. 127
б) случай шарнирно закрепленной лопасти, имеющей жесткую заделку относительно кручения....................................128
4.5.3. Расчет консольно заделанной лопасти . . . 129
4.5.4. Расчет шарнирно закрепленной лопасти . . 138
4.5.5. Пример расчета ................................ 144
ВЫВОДЫ........................................................145
ЛИТЕРАТУРА
148
На современней этапе тенденция к увеличению мощности и скоростей машин при одновременном снижении веса конструкций обуславливает большую актуальность проблемы колебаний механических систем и повышает роль их динамического расчета. Динамический расчет конструкций довольно сложен и трудоемок, требуется изучение протекающих колебательных процессов и совершенствование методов исследования динамики.
С точки зрения, учитывающей специфику инженерной постановки задач колебательного происхождения, недостатки разных методов теории колебаний, потребность для широкого применения в методах, дозволяющих значительно уменьшить трудоемкость и повысить точность вычислений, наиболее рациональным является внедрение в практику расчетов, основанных на использовании теории интегральных уравнений. Методы теории интегральных уравнений имеют более широкую область применения и многие другие достоинства по сравнению с методами теории дифференциальных уравнений, что позволяет рекомендовать их широкое внедрение в практику расчетов, связанных с исследованием динамики конструкций. Среди достоинств аппарата интегральных уравнений общность и высокая универсальность, однообразность подхода к различным задачам, четкость физической интерпретации и возможность характеризовать изучаемое явление в целом, простота и надежность операций интегрирования при численном их осуществлении до сравнению с операциями дифференцирования и другие. Метод интегральных уравнений Фредгсльма (или метод рядов Фредгольма) как один из методов решения линейных интегральных уравнений 2-го рода является
7 -
особенно важным и перспективным (сходимость при любых значениях характеристического параметра в отличие, например, от метода последовательных приближений, отсутствие необходимости предварительного определения собственных форм колебаний при определении частот, пригодность для симметричных и несимметричных ядер интегральных уравнений).
Можно указать такие направления исследования и применения метода интегральных уравнений Фредгсдьма.
1. Для приложений большое значение имеет разработка универсальных методов расчета конструкций с нерегулярными характеристиками, дискретно-континуальными параметрами. Интегральные методы, основанные на решении нагруженных уравнений Фред-гсльма, представляют универсальное средство исследования систем с дискретно-континуальными параметрами. Однако эти методы пока мало используются на практике и имеется необходимость доведения теории интегральных уравнений до инженерных расчетов.
2. Развитие техники сопровождается потребностью к расширению класса рассматриваемых нагрузок. Сейчас значительно воз-расла актуальность изучения динамических нагрузок, требуются более сложные и тонкие методы исследования новых явлений. Сошлемся, например, на неконсервативные задачи механики, которые содержат рассмотрение неконсервативных сил и представляют математически несамосопряженные задачи, отвечающие, вообще говоря, случаю несимметричных ядер интегральных уравнений. Метод Фредгольма не использует свойство симметричности ядра, поэтому его можно считать средством решения неконсервативных задач механики. Теория несамосопряженных операторов, как отмечает в известной монографии по неконсервативным задачам В.В.Болотин,
- 8
не обладает достаточно эффективными методами фактического построения решений, поэтому исследование метода интегральных уравнений в плане несамосопряженных задач актуально.
3. Большие мощности и высокие обороты современных реактивных двигателей с особой остротой ставят задачу обеспечения динамической прочности системы двигатель-самолет и обеспечения виброустойчивой работы аппаратуры. Известно, что вдали от резонанса в силу больших мощностей современных двигателей, высоких оборотов компрессора и турбины возникают колебания хотя и небольших амплитуд, но приводящие к рекламациям. Эти микровибрации приносят большие неприятности, происходят о высокими частотами, поэтому нужно исследовать высшие тона колебаний. Метод Фредгсяьма, обладающий хорошей сходимостью, позволяет разработать инженерный способ расчета высших тонов колебаний двигателя и смонтированных на нем агрегатов.
4. Благоприятные возможности для применений метода интегральных уравнений Фредгольма связаны с особенностью структуры и связи функций Грина системы и составляющих ее элементов. Известно, что анализ собственных колебаний сводится с помощью функций Грина к определению собственных значений и функций интегральных уравнений; функции Грина, позволяющие наиболее экономно описывать сложные системы, формируют ядра этих уравнений. Имеется возможность поэтапно усложнять рассматриваемые конструкции, накапливая "библиотеку" функций Грина систем и трактуя эти системы как подсистемы более сложных систем. Такой подход отвечает усложнению машин, позволяя расширять область решаемых задач цри небольших изменениях разработанной методики.
9 -
Рассмотрение доказало, что несмотря на наличие общей математической теории решения линейных интегральных уравнений, число работ до применению рядов Фредгольыа на практике невелико и не отработана инженерная реализация метода Фредгольма. Существует необходимость доведения общей теории интегральных уравнений до инженерных расчетов. В этом плане желательны формулы по существу простые, алгебраические, но обладающие высокой точностью, малой трудоемкостью и исключающие возможность ошибок в процессе проведения расчетов ввиду отсутствия сложных выкладок. Поэтому была предпринята разработка методики решения задач на собственные значения с помощью метода Фредгольма. Предметом исследования являлось решение задач на собственные значения колебательного происхождения для линейных интегральных уравнений Фредгольма 2 рода (и их систем), особенностью которых является наличие внеинтегральннх сумм, где фигурируют скачки неизвестных функций (упругие системы с непрерывно-распределенными и сосредоточенными массами). Требовалось получить удобные расчетные формулы для коэффициентов ряда Фредгольма, что дозволяло бы решать различные прикладные задачи (определение собственных частот и форм колебаний) с требуемой точностью и способствовало бы дальнейшему внедрению интегрального подхода в практику инженерных расчетов. Причем при разработке этих формул следовало стремиться к явному включению в их структуру функций Грина и производных от них итерированных ядер для возможности построения эффективных решений.
Работа содержит введение, 4 главы, выводы и список литературы.
В первой главе проводится обзор и анализиру-
- 10 -
ются работы по решению задач колебаний на основе теории интегральных уравнений, рассматриваются формулы, разработанные для решения инженерных задач, и определяются задачи исследования.
Вторая глава посвящена разработке методики решения задач на собственные значения с помощью рядов Фред-голъма. Получаются различные формулы и строятся расчетные алгоритмы для нахождения коэффициентов ряда Фредгольма упругих систем с распределенными и сосредоточенными массами.
В третьей главе рассматриваются некоторые математические вопросы и особенности применения метода интегральных уравнений - изучаются вопросы точности и сходимости, проводится апробация методики на примерах, выполняется сравнение расчетных формул.
В четвертой главе методом интегральных уравнений решаются некоторые задачи на колебаний упругих конструкций. Получаются непосредственные расчетные формулы для определения частот собственных раздельных и совместных колебаний.
В выводах излагаются основные результаты исследования.
Основные положения, которые выносятся на защиту, сформулированы следующим образом.
1. Разработан приближенный алгоритм для решения задач на собственные значения с помощью метода рядов Фредгольма (инженерная реализация теории Фредгольма).
2. Выполнено обоснование и апробация предлагаемой инженерной реализации метода интегральных уравнений. Доказана сходимость определяемых при обрывании ряда Фредгольма прибли-
- гг -
жений к собственным значениям краевой задачи, описываемой линейным интегральным уравнением 2 рода. Показано удобство входящих в алгоритм расчетных формул для коэффициентов ряда.
3. Алгоритм применен к решению инженерных задач колебаний, что позволило разработать методики расчетного характера на определенном уровне постановки задач.
4. Выяснены возможности методы рядов Фредгольма и его предложения для широкого использования в современных задачах проектирования и расчета конструкционных систем и элементов, тем самым внесена ясность в вопросе практической полезности рядов Фредгольма.
5. Выяснен ряд моментов в теоретическом плане. Обращено внимание на особую роль итерированных ядер и их следов в аппарате интегральных уравнений, введенных формально, и необходимость их всесторонней оценки, в частности, исследования их возможного физического смысла. Обнаружено глубокое свойство корней характеристического уравнения в методе Фредгольма, заключающееся в появлении комплексных значений при обрывании ряда. Эти значения, являющиеся характеристиками итерированных ядер, подлежат учету как несущие важную информацию о колебаниях.
12
ШАМ I. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА И ОСНОШЫЕ ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ
§ 1.1. Классическая теория Фредгслъма
Одним из наиболее важных классов линейных интегральных уравнений является класс уравнений Фредгольма. По терминологии Гильберта различают интегральные уравнения Фредгольма I и 2 рода, причем последние более интересны и важны для приложений [27] . Уравнение Фредгольма 2 рода с параметром 1 имеет вид
в
и(х) =1.\К(х£)и(£)сИ 4-^*0,
а
где неизвестная функция Щх) зависит от действительной переменной х е[а,£] , а ядро уравнения К(х^) и свободный член ^(х)
- либо непрерывны, либо удовлетворяют условиям
ее г 4, л
<+°°, ] <+- °о
аа °-
Как известно, если при Л=Лл существует товдественно не равное нулю решение интегрального уравнения
ч
и (х) = 11 К(х{)и-(-Ь)с1± (1.1)
о
значение Л называется собственным значением ядра интегрального уравнения.
В теории линейного интегрального уравнения (1.1), развитой Фредгольмом, предполагалось: ядро И(х^) вещественно, непрерывно и ф О в области .После перехода к дреде-
- ІЗ -
лу в определителе из коэффициентов при неизвестных функциях аппроксимирующей системы линейных алгебраических уравнений [40] , получается целая трансцендентная функция параметра 1
\п с(п
СО
где
А 1
о О
П(М-у+ ПН) ,
а=1
И(г,г,), К(ъ&), Н(г^)
И (г2,2и)
К(^), И(г»гг),.
(1.2)
с1фг ,.А?Н (із)
Степенной ряд (1.2) абсолютно сходится при всех значениях Л . Собственные значения определяют как корни уравнения 0(Л)~0, Приравнивая нулю сумму Ц членов ряда, получают приближенное уравнение П -го порядка для определения X .
Отметим, что коэффициенты можно найти также при помощи рекуррентных формул
■7
(1.4а)
при =/</2/ 2) . Предварительно ищется вспомогательная
величина по формуле
7
= К(2£)с1п-п]К(-г, Ь)с1п.^) СІ± (1.46)
- Київ+380960830922