Построение оптимальных пространственных фигур методами нелинейного программирования

Оглавление
Введение...............................................................6
Глава 1
Теории выпуклых тел...................................................12
1.1 Опорная функция выпуклого множества.........................12
Приближение выпуклых тел многогранниками....................18
Вычисление площади поверхности и объема выпуклого тела с
использованием опорной функции..............................19
Изопериметрические неравенства..............................24
1.2 Симметризация и родственные ей преобразовании выпуклых тел........................................................25
Симметризация Штейнера......................................25
Симметризация Шварца........................................26
Фигуры постоянной ширины....................................30
1.3 Формализация экстремальных задач геометрии..................32
Задача о построении выпуклой фигуры У7 € 1'у (А, ГУ), имеющей
максимальную площадь поверхности 8(!7)......................33
Задача о построении выпуклой фигуры Г е Р\(А. О) имеющей
минимальную площадь поверхности 3(1:).......................39
Задача о построении выпуклой фигуры /ге Р. (О, А), имеющей
максимальный объём У(Р).....................................41
Задача о построении выпуклой фигуры Ге Г. (£).А), имеющей минимальный объём У(/г).....................................43
Глава 2
Решение экстремальных пространственных задач геометрии метолом
штрафных функций и их аналитическое решение...........................46
2.1 Аналитический метод решения задач оптимального
управлении..................................................46
2.2 Аналитическое решение задач о построении выпуклых экстремальных фигур...........................................53
Аналитическое решение задачи о построении выпуклой центрально-симметричной фигуры вращения максимальной площади
поверхност и...................................................54
Аналитическое решение задачи о построении выпуклой центральносимметричной фигуры вращения минимальной площади
поверхности....................................................56
Аналитическое решение задачи о построении выпуклой центрально-симметричной фигуры вращения максимального
объема........................................................59
Аналитическое решение задачи о построении выпуклой центральносимметричной фигуры вращения минимального
объема........................................................60
Аналитическое решение задачи о построении произвольной выпуклой фигуры, обладающей максимальной площадью
поверхности...................................................62
Аналитическое решение задачи о построении произвольной выпуклой фигуры максимального объема...............................64
2.3 Решение задачи о построении выпуклой центральносимметричной фигуры вращении максимальной площади
поверхности методом внешних штрафных функций...................65
Дискретная аппроксимация задачи...............................67
Алгоритм построения решения методом внешних штрафных
функций........................................................69
Влияние вычислительных параметров на решение
задачи........................................................74
2.4 Решение задачи о построении выпуклой центрально-
симметричной фигуры вращении минимальной площади
поверхности методом штрафных функций..............................75
4
Г лава 3
Построение экстремальных выпуклых Фигур вращении
методами нелинейного программировании................................81
3.1 Решение задачи о построении центрально-симметричной выпуклой фигуры вращения максимальной площади поверхности методом градиентного спуска ....................................80
Алгоритм численного решения задачи методом градиентного
спуска......................................................83
Сравнительный анализ градиентных методов при решении задачи......................................................90
3.2 Решение задачи о построении выпуклой центрально-
симметричной фигуры вращения минимальной площади поверхности методом градиентного спуска....................91
3.3 Решение задачи о построении выпуклой центрально-
симметричной фигуры вращешш максимального объема методом градиен тного спуска.......................................96
3.4 Решение задачи о построении выпуклой центрально-
симметричной фигуры вращения минимального объема методом градиентного спуска.............................................99
3.5 Решение задачи о построении выпуклой фигуры вращения максимальной площади поверхности методом градиентного спуска.........................................................102
Алгоритм численного решения задачи методом градиентного спуска.....................................................106
3.6 Решение задачи о построении выпуклой фигуры вращения максимального объема методом градиентного
спуска.........................................................110
Глава 4
Решение задач о построении произвольных выпуклых пространственных фигур с экстремальными свойствами методами нелинейного
программирования.................................................116
4.1 Решение задачи о построении произвольного выпуклого тела максимальной площади поверхности......................1 16
Алгоритм численного решения задачи методом градиентного спуска..................................................122
4.2 Решение задачи о построении произвольного выпуклого тела минимальной площади поверхности........................126
4.3 Решение задачи о построении произвольного выпуклого тела максимального объема...................................131
4.4 Решение задачи о построении произвольного выпуклого тела минимального объема....................................135
Заключение.......................................................141
Список основной использованной литературы........................143
ПРИЛОЖЕНИЕ
Результаты численных экспериментов...............................151
Введение
Объект исследовании и актуальность темы. В настоящее время задачи нахождения выпуклых тел с экстремальными геометрическими свойствами имеют актуальное значение, возникая в различных приложениях, таких, как проектирование электротехнических устройств, поиск оптимальных форм заготовок в раскройно-заготовительных производствах, упаковка тел и других аспектах экономного расходования материалов. Экстремальные задачи геометрии и изопериметрические неравенства имеют широкую область применения в геометрии, теории приближений, выпуклом анализе. Рассматриваемые задачи сводятся к определению формы объемной фигуры, оптимальной по заданному критерию и удовлетворяющей требованиям к ее ширине.
Под экстремальными задачами геометрии понимаются задачи нахождения выпуклых тел, обладающих максимальной или минимальной площадью поверхности либо максимальным или минимальным объемом. Решение этих задач геометрическими методами описаны в ряде работ российских и зарубежных авторов. Данные методы не всегда позволяют найти экстремальную фигуру с заданными ограничениями. Ряд экстремальных геометрических задач для плоских фигур с дополнительными ограничениями на ширину фигуры решен методами оптимального управления и нелинейного программирования в работах Андреевой Е.А., Красножснова Г.Г. При этом ощутимой является нехватка методов решения экстремальных задач геометрии о пространственных выпуклых фигурах с заданными ограничениями на ширину.
Ввиду этого разработка и реализация методов решения экстремальных пространственных задач геометрии является актуальной научной проблемой, се решение позволяет расширить круг решаемых практических задач, связанных с нахождением оптимальной формы тел. Формально решаемые задачи могут быть представлены задачами оптимального управления
7
с фазовыми ограничениями. В диссертационной работе разработаны алгоритмы построения численного решения рассматриваемых задач, на основании которых создан комплекс программ в среде программирования Вог1апс1 П)е1рЫ 7.
Цель работы. Целью настоящего диссертационного исследования является формализация задач о построении оптимальных выпуклых тел в форме задач оптимального управления и нелинейного программирования, исследование свойств полученных задач, разработка и реализация аналитических и численных методов их решения.
Основные задачи диссертационного исследования. Поставленная в диссертации цель работы достигается путем решения следующих задач:
I .Описание свойств выпуклых пространственных тел с заданными ограничениями на ширину с помощью опорных функций.
2. Постановка экстремальных задач геометрии в форме задач оптимального управления с фазовыми ограничениями.
3.Вычисление аналитических решений задач о построении выпуклых экстремальных фигур вращения и произвольных выпуклых экстремальных пространственных фигур.
4.Разработка и реализация алгоритмов метода штрафных функций для вычисления оптимальных решений в задачах о построении экстремальных выпуклых фигур вращения с заданными ограничениями на ширину, исследование зависимости оптимальных решений от вычислительных параметров.
5.Аппроксимация экстремальных геометрических задач задачами нелинейного программирования, разработка и реализация численных алгоритмов их решения.
Методы исследования. В работе для формализованного описания изучаемого класса задач применяется математический аппарат теории выпуклых тел, методы выпуклого анализа, дифференциальной геометрии, при доказательстве теорем используются методы оптимального управления, нелинейного программирования, функционального анализа. При реализации
программного комплекса применены методы объектно-ориентированного проектирования.
Основными результатами диссертационного исследования,
выносимыми на защиту, являются:
1.Постановка экстремальных пространственных геометрических задач в форме задач оптимального управления с фазовыми ограничениями.
2.Аналитическое решение экстремальных геометрических задач о построении выпуклых центрально-симметричных фигур вращения с ограничениями па ширину, построение аналитического решения задач о нахождении формы произвольных выпуклых пространственных фигур максимальной площади поверхности и объема.
3.Разработка и реализация алгоритмов метода внешних штрафшлх функций для решения задач о построении выпуклых центрально-симметричных фигур вращения максимальной и минимальной площади поверхности с заданными ограничениями на ширину.
4. Аппроксимация экстремальных пространственных геометрических задач с заданными ограничениями на ширину задачами нелинейного программирования, разработка численных алгоритмов поиска их приближенных оптимальных решений.
5.Сравнительный анализ методов оптимального управления и нелинейного программирования при решении экстремальных геометрических задач для выпуклых пространственных фигур с заданными ограничениями на ширину.
Научная новизна выполненной работы заключается в следующем:
1.Впервые получено аналитическое решение задач о построении экстремальных пространственных выпуклых центрально-симметричных фигур вращения с ограничениями на ширину.
2.Получено аналитическое решение задачи о построении произвольной выпуклой пространственной фигуры максимального объема и максимальной плошади поверхности.
9
З.Произведен сравнительный анализ методов оптимального управления и нелинейного программирования при решении пространственных экстремальных геометрических задач.
Практическая ценность результатов заключается в разработке, реализации и сравнительном анализе методов решения задач о построении экстремальных пространственных фигур с заданными ограничениями на ширину. Разработанные алгоритмы расширяют круг методов решения прикладных задач, требующих определения оптимальной формы пространственных выпуклых тел.
Достоверность и обоснованность полученных в диссертационной работе результатов подтверждается строгостью проводимых математических оснований при формулировании и доказательстве теорем. Достоверность алгоритмов и программ расчетов обеспечивается обоснованностью используемых допущений, проверяется сравнением полученных результатов с известными аналитическими решениями.
Внедрение результатов работы. Научные результаты использованы в учебном процессе математического факультета Тверского государственного университета при подготовке студентов по специальности 010100 -
Математика, направлению 511200 - Математика. Прикладная математика.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы и отдельные положения представлены на Межвузовской научно-практической конференции, посвященной 300-летнему юбилею Л.Эйлера (Тверь, 2007г.), научных семинарах кафедры компьютерной безопасности и математических методов управления ТвГУ (2004-2008 гг.) и ВЦ РАН (2008 г.).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ, в том числе 2 статьи - в изданиях, рекомендованных ВАК для представления результатов канди дате к и х д и с с ерта ци й.
Структура и объём работы. Диссертация состоит из содержательной части, включающей введение, четыре главы и заключение, изложенной на 142
10
страницах, списка литературы из 100 наименований и приложения; общий объем работы - 225 страниц.
Публикации автора по теме диссертации в изданиях, рекомендованных ВАК России:
1. Цветкова Е.Г Задача о построении выпуклой фигуры вращения, обладающей минимальной площадью поверхности, с заданными ограничениями на ширину // Вестник ТвГУ. Сер. Прикладная математика. 2007. №7. С. 149-161.
2. Цветкова Е.Г'. Решение задачи о построении выпуклого тела вращения максимальной площади поверхности методами нелинейного программирования // Вестник ТвГУ. Сер. Прикладная математика. 2008. №3(10). С. 79-96.
в других изданиях:
3. Андреева Е.А., Цветкова Е.Г. Оптимальное управление процессом
отлова рыбы / Е.А.Андреева, Е.Г.Цветкова // Применение функционального анализа в теории приближений: Сборник научных трудов. Тверь: ТвГУ, 2005. С. 132-144.
4. Андреева Е.А., Цветкова Е.Г., Савичева К).А. Решение
экстремальных задач геометрии двойственным методом: Учеб. пособие. Тверь: ТвГУ, 2007.- 180 с.
5. Цветкова Е.Г. Задача о построении поверхности вращения,
обладающей максимальным объемом, с заданными ограничениями на ширину / Е.Г'.Цветкова // Межвузовская научно-практическая конференция, посвященная 300-летнему юбилею Леонарда Эйлера: Сборник статей. Тверь: ТвГУ, 2007. С. 91-104.
6. Цветкова Е.Г. Задача о построении поверхности вращения,
обладающей максимальной площадью поверхности, с заданными ограничениями на ширину / Е.Г.Цветкова // Многоуровневая система подготовки специалистов на основе информационных и коммуникационных
технологий образования: Сборник научных трудов. Тверь: ТвГУ, 2006. С. 176 — 187.
7. Цветкова Е.Г. Решение экстремальных задач геометрии методами оптимального управления и нелинейного программирования // Математика. Информационные технологии. Образование: Сборник научных трудов.
Оренбург: ОГУ, 2008. С. 103-106.
12
Глава 1 Теория выпуклых тел.
В данной главе приводятся фундаментальные сведения из теории выпуклого анализа и выпуклых тел. Описываются основные изопериметрические неравенства, относящиеся к пространственным фигурам. Рассматривается применение аппарата опорных функций к формальному описанию свойств пространственных выпуклых тел. Приводятся основные соотношения для вычисления их площади поверхности и объема с использованием опорной функции. Рассматриваются аналитические соотношения, описывающие условия выпуклости поверхностей. Приводится постановка изопериметрических пространственных задач в форме
многомерных задач оптимального управления с фазовыми ограничениями.
1.1 Опорная функция выпуклого множества.
Пусть R" - евклидово пространство, в котором задано скалярное произведение и норма ||||. Множество Fe К1" называется выпуклым, если (1 - Х)х + Ху е F для всех х\у е F, 0 < X < 1.
Определение 1.1. Пусть Fe?/' - выпуклое множество, иб1и. Функция /?(/?./;) = h{n)\- тах{(л,л*)|л*е г|, называется опорной функцией множества F.
Областью определения опорной функции выпуклого множества F назовем множество dom /7 = |/? s R"|Зк: (/?.х) — ^ V.veFj. Заметим, что если F
ограничено, то dom h = R".
Свойства опорной функции:
1) /7(0, F) - 0.
2) Опорная функция положительно однородна: h(Xn) = X • h{n), п е dom И, X > 0.
3) Опорная функция полуаддитивна: h{ny -ьп2) < /?(/?,) + /?(/?,), V/?,,/?, е dom И.
4) Пусть F - выпуклое замкнутое и ограниченное множество в ИГ'. Тогда /г = |лге ЁГ|(л-.и)< А(я),я е а"}.
Доказательство: пусть neF, п е Rm - произвольно. Тогда, по определению /?, {п,п ) < Л(и ), откуда п g |и е й"|(/?,л ) < A(//)J. Так как это соотношение верно для
любого п , то п е {// <s Rm\(n,n) ^ h{n'),n еГ). Обратно, пусть
/7е{ясП£'"|(/7.л‘)</7(/7’).я’ GfRwj. Покажем, что nzF. Пусть n?.F, тогда найдутся п еR“',п *0 и г:>0, такие что (/? т)<{п\п)-с УпеГ, откуда
тах|(я .w)|w6 <(п уп)-с, т.е. h{n )<{п л)-€ <{п ,п). Но так как
ne{neR"'\(n,n')<h(n)yn € R"'} , {п\п)<h(n), что противоречит предположению,
следовательно, имеет место равенство. Таким образом, ne F.
5) Пусть М Да /С(КЩ), М,1.*0 (непустые компактные подмножества К'").
Тогда h(n\M + L) = А(/?\ М) + h(n\L)> где М + L := {ге Rm\z = x + y,xe Муу е Z,J - сумма Минковского.
6) Пусть Л/-матрица размером т х т, N с. K(R*)*N ф® . Опорная функция образа ЛУЛА множества N при линейном преобразовании М выражается
формулой: h(n .MN) = h(M'n\N), где ЛГ - матрица, сопряженная с матрицей А/ .
7) Пусть А'с К(К"'),УУ*0, Яе R. Тогда h{n\AN) = h(An\N), где
ЯЛ' := |z s Rw|z = Хх,х е Л'|.
8) И(п.АН) = Щп\Н), УЯ>0.
9) Выпуклой оболочкой множества Л'/cR* называется множество cowv Л/, являющееся пересечением всех выпуклых множеств, содержащих М. Пусть .WcA’CR'"), h(n,M) - его опорная функция. Тогда сот> Л/ =
= П{/е /?'|(/,/;) <A(/7.A/)J, где .9 = |v€ ^",|||v||= lj - единичная сфера в /?". Опорные
функции множеств conv М и Л/ совпадают. Точка у принадлежит выпуклому
14
множеству М е KV(R") (совокупности всех непустых выпуклых компактных множеств в R“) тогда и только тогда, когда (у,п) < /?(/?. М), Vn е R“'.
10) Пусть М ,Lc K(Rm). Если М - L, то h(n\M) = h{n\L). Если ,
го convM -convL. Т.о., два выпуклых компакта равны тогда и только тогда, когда их опорные функции совпадают.
11) Пусть M,Lc К(ЯГ)МЛ*0. Если LczMy то Ул-’еИГ: h(n\L)<h(n\M). Обратно, если выполнено неравенство, то convL - convM .
12) Пусть два выпуклых множества F.M с /С(5Г'). В этом случае /•’с М тогда и только тогда, когда /?(/?, F) < /?(/?, Af)>Vw е R".
13) Пусть F с К(R"). Если уе/«’, то (у,я) < h(nyF).\fn& 1R/U. Обрато, если выполняется данное неравенство, то у <= conv F.
14) Точка у принадлежит выпуклому множеству М <z KV(UM) тогда и только тогда, когда (у, и) < И(п, М)Уп <= R1".
15) Функция /г(и), принимающая конечные значения, будет опорной к
некоторому множеству //<=/СК(0Г') тогда и только тогда, когда она положительна, однородна и полуаддитивна, т.е. удовлетворяет условиям:
Н(Лп) = Щп), л>0.У»бГ ,
/?(/7, + /7,) < Л(Л, ) + /?(/?, Л, € IR"’ .
При этом множество Г восстанавливается по своей опорной функции:
16) Пусть М € /С(ПГ). Если У € int jV/ , где int М - множество внутренних точек М, то (у,п)<И(п,М)у Обратно, если это строгое неравенство выполняется
для любого п e«S, то у е int convM. Точка у принадлежит внутренности выпуклого множества MeKV(К") тогда и только тогда, когда (у,л) <Л(л), VneRM.
17) Пусть M9NeK№”). Если А/пЛг = 0, то //(/?.Л/) + Л(и,А')> 0, V«<= 1R"\ Обратно, если выполняется это равенство, то convM nconvN =0. Два выпуклых множества
15
M,Le KV(Rn) пересекаются тогда и только тогда, когда имеет место равенство conv М г conv L = 0.
18) Опорная функция h{n.F) для VM4FeK(К"') Vw,./i2€ПГ удовлетворяет неравенству }/?(*,. М)-/?(/?,, F)\ <|| п )| а{Му F)+ \) А Ц -|| л, - п, |(, где а(М, F) -
хаусдорфово расстояние между множествами F и Л/, || л||= max{||/7, ||,|| п2 Ц}, IIА || = max{|| F\\i\\ М ||}.
19) Опорная функция h(nj'): К(Ш1")х№т -> Е непрерывна по совокупности переменных F уп в любой точке F0, п0.
20) Для произвольных множеств имеет место соотношение
a(conv F.conv М) = max | h(n. F) - h(n. М) |< a{F. М).
lies
21) Если F.M е KV(W), то хаусдорфово расстояние a{h\M) между множествами F и М равно a(FtM) = max\h(mF)-h(n,M)\.
неЛ'
22) Пусть FM е ATKCTR7’), тогда h(ntFKjM) = max {/?(/?, F),h(n,M)}.
23)Г lycTb FM € KV(SLa),тогда
h(n, FkjM) = inf {A(/?-/?„,/•'),/z(«n,A/)} < min {A(«,F),A(w,A/)}.
24) Евклидово расстояние p(FM) между двумя выпуклыми непересекающимися множествами FM е задается формулой
p(FM) = -min{h(n,F) + h(-nM)}.
«€.N
25) Если подвергнуть выпуклое тело FcR" с опорной функцией h(n.F) трансляции на вектор </<=(&"', то опорная функция ti{n,F) передвинутого тела F' равна h {n> F‘) = h(n,F) + («,«).
Определение 1.2. Шириной выпуклого множества Г в направлении п называется величина ß(n, F) = В(п) := h(n) + И{-п).
Определение 1.3. Диаметром выпуклого множества F называется величина D(F) =D: = max В(п).
Определение 1.4. Толщиной А выпуклого множества F называется величина А(/*’) = л := min U(n).
опорной гиперплоскостью множества Е в направлении п.
Определение 1.6. Если опорная плоскость Г1(л) имеет только одну общую точку Р с множеством Т7, то эта опорная плоскость является регулярной. Если все опорные плоскости множества Г регулярны, то назовем такое множество регулярным множеством или овалоидом, а его опорную функцию- регулярной опорной функцией множества Г.
Введем сферические координаты {О.ср) в евклидовом пространстве 1К;, тогда и — (соз0ып<р.эш 0п (р.соя(р). $ е [0.2^]„ е [0.л-]. Пусть выпуклый овалоид Г задан отношениями: п = (х(0,<р),у(0><р),г(0,</>))> где 0е[О,2л), <ре[0,/7].
Положим, что Н0><Р) = Ь(п(0,<Р)) - значение опорной функции множества Г в направлении {9.<р). С геометрической точки зрения И{в.<р) есть расстояние от начала координат.до опорной плоскости, которая соответствует направлению {0Л(р){см. рис.1), при этом опорная функция непрерывна в области определения.
Определение 1.5. Множество
называв гея
Рис.1. Выпуклая пространственная фигура
17
Пусть Р(х.у,г) - точка касания опорной плоскости П(л) овалоида. Выразим x,)\z через значения его опорной функции. По определению опорной функции, h{0.(p) = h = .Ycos0sinp + ysin0sinp + rcosp, откуда
ha = ^cos<9sin^-A*sin<7sin^>+ y<7sin^sin^>+ ycostfsin^ + r^cos^. Учитывая, что Oty,/i)»0, получим hä = -.vsin6>sin?> + ycos0sin^. Аналогично, учитывая, что (и^./?) = (), получаем hv = xcosOcos<p +ysin0cos$9-zsin^. Таким образом, hf,{0.(p)J\XO^(p) в направлении (0°,^°) есть проекции вектора ™{0,ф) на векторы,
ортогональные вектору п. Следовательно, опорная функция овалоида имеет ограниченные частные производные, модули которых не превышают величины диаметра выпуклой фигуры D и равны расстояниям от точки касания Р до плоскос тей (р - ср(' и О — 9", соответственно.
Решая систему:
/? = XCOS0sin^ + ysin#sin0> + ZCOS0),
* hy = .YCOS0COS^ + J'Sin0COS0>-rsin0>, h0 = -x sin 0 sin ip + у cos 0 sin (p
относительно .v,y,r, получаем связь:
x = hcos 0sin <p + h cos0cos <p - h0 — —,
sinp
у ~ /?sin0sin$9 + A s\n0cosq> + h# °°S^ , r - />cosp-/?,sin^.
sin ^9
Аналогично может быть получена связь полярных координат и опорной функции для случая R2. Пусть п = (cos<p.sin<p\<pe [0,2л-]- единичный вектор
направления в плоскости, Р(х.у)- точка касания опорной прямой П(/т) выпуклого овала F. Тогда координаты точки P = dFnП(л) представимы в
следующем виде: х = hcos(p-hsirup, y = hs’mq>+hcos<p.
Согласно теореме Мипковского [4], опорная функция овалоида почти всюду в области О = {(О,(р)\0 е[0.2,л], • <р е[0,,т]} удовлетворяет соотношениям:
Ъ(0.(р)> 0. Ъ(О.<р)П0.<р)-Х2(0.<р)> 0. (О.(р)е Q. (1.1)
где Ъ{в.<р) = И (0.<р) + h{0. <р), Т(0.<р) = h (0,(p) + К$,<р),
sin'y? sin<p
КАв'Ф) СО
БИТ
вт <Р Ь1П
. 1
Перенесем начало координат из точки О в точку О,, имеющую координаты (слЛ.с). Опорная функция /Г(0,0>) в новой системе координат связана с опорной функцией И{0.<р) в исходной системе координат соотношением /1(0.(р) = 7{(0У(/)) + асоа&$\п(р + Ьа\пва\п(р + ссо$(р, при ЭТОМ ширина В(6,(р) не изменяется при переносе начала координат, а именно В{в,(р) = Ъ{в,<р).
Пусть п - единичный вектор, такой, что В(п) = Ау тогда плоскости Л(/?) и Щ-п) - регулярные, с точками касания Р и Р, соответственно, а отрезок 1Ч\ параллелен п. Если начало координат расположить на середине отрезка РР и считать, что направление <р = 0 соответствует направлению /?, то опорная функция /1(0.(р) удовлетворяет следующим граничным условиям:
Приближение выпуклых тел многогранниками.
Пусть Р - закрепленная точка, Р - выпуклое тело. Расстояние р(Р, Г) точки Р от тела Т7 определяется соотношением: р(Р.Р) = тш{Ц рд\\).
Ое1
Телом, параллельным телу Р на расстоянии 3> 0, называется тело Р+ЗВ, представляющее объединение всех замкнутых шаров радиуса Зу центры которых содержатся в /7. Пусть Р, Р’ - два выпуклых тела, Р + ЗВУ Р'+ЗВ -параллельные им тела на расстоянии £>0. Если 3 таково, что Т7 содержится в Р'+ЗВ и, обратно, Р’ содержится в Р + ЗВ, то говорят, что отклонение Р и Р’ не более 3. Нижняя граница 3, для которой это выполняется, называется отклонением или мерой близости /Д/7,/7’) тел Р и Р\ Если /? и И' - опорные функции тел ГиГ’, то ц(Р,Р') = шах {|Л(я)-А'(/0|Ь
Последовательность выпуклых тел РГР2.... сходится к выпуклому телу Р, если расстояние / = 1,2,..., стремится к нулю.
//(0.(р) = И{2яу<р\ Ь((Р0) = /?(/Т + в,7г) = ^ ,
(1.2)
19
Последовательность выпуклых тел /^/%,... сонорными функциями /т тогда и только тогда сходится к выпуклому телу I7 с опорной функцией /?,
когда функции Л,,А,,... равномерно сходятся к /? на единичной сфере ^ я; = 1.
»•Гл
Справедлива теорема выбора Бляшке [22, 23]:
Теорема 1.1. Из каждого равномерно ограниченного бесконечного множества выпуклых тел можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к некоторому выпуклому телу.
В работе [26] показана справедливость теоремы:
Теорема 1.2. Д/1Я каждого выпуклого тела Г существует последовательность содержащих его многогранников, сходящихся к Г. Эти многогранники, кроме того, обладают внутренними точками.
Имеет место теорема об аппроксимации выпуклыми телами с ограничением аналитичности:
Теорема 1.3. Для каждого выпуклого тела Г можно найти сходящуюся к Г последовательность тел /■].... со следующими свойствами: 1) каждое тело
Т, / = 1,2.. определяется неравенством вида 3(х,.д:2,л:х) < 1, где 3
аналитическая функция от 2) все опорные плоскости тела Т1%
/ = 1.2,..., являются касательными плоскостями и имеют с С касание первого порядка.
Таким образом, выпуклая пространственная фигура может быть аппроксимирована выпуклым многогранником с заданной точностью. Вопросам приближения выпуклых тел многогранниками, получению оценок точности аппроксимаций посвящен широкий круг исследований [5-7,51]. Вычисление площади поверхности и объема выпуклого тела с использованием опорной функции.
Пусть поверхность задана в параметрической форме: л: = р(н,у), у = у/(м,у), г = а>(и9\0, при этом функции (рлу.со однозначны, непрерывны и имеют непрерывные производные до второго порядка в некоторой области изменения параметров (и,у). Тогда выражение