Оглавление
Введение 3
Глава 1. Краевые задачи для уравнения гиперболического типа с условием сопряжения на характеристике 18
§ 1.1. Вспомогательные утверждения.............................18
§ 1.2. Краевая задача с граничными условиями второго рода......28
§ 1.3. Краевая задача с граничными условиями первого рода......40
§ 1.4. Краевая задача со смешанными граничными условиями.......45
Глава 2. Краевые задачи со смешанными граничными условиями для уравнения смешанного типа 49
§ 2.1. Постановка задачи Ух. Единственность решения............49
§ 2.2. Существование решения задачи Ух ........................55
§ 2.3. Постановка задачи У2. Вспомогательные утверждения.......72
§ 2.4. Единственность решения задачи У2........................74
§ 2.5. Существование решения задачи У2 ........................78
Глава 3. Задача со смешанными краевыми условиями на всей границе области для уравнения смешанного типа 84
§ 3.1. Постановка задачи Вспомогательные утверждения 84
§ 3.2. Единственность решения задачи ..........................86
§3.3. Существование решения задачи £>М.........................89
Библиографический список 101
2
ВВЕДЕНИЕ
В современной теории дифференциальных уравнений с частными производными важное место занимают исследования вырождающихся гиперболических уравнений, а так же уравнений смешанного типа. Интерес к этому классу уравнений объясняется как теоретической значимостью полученных результатов, так и их многочисленными приложениями в газовой и гидродинамике, в теории бесконечно малых изгибаний поверхности, в различных разделах механики сплошных сред и других областях знаний.
Основы этой теории заложены в известных работах Ф. Трикоми [69, 70], С. Геллерстедта [83], К.И. Бабенко [2,3], Ф.И. Франкля [79,80], М.А. Лаврентьева [39], A.B. Бицадзс [8,9]. Уравнения смешанного типа систематически стали изучаться с конца 40-х годов XX века, после того, как Ф.И. Франкль указал их приложения к проблемам околозвуковой и сверхзвуковой газовой динамики. Позже были найдены приложения этих уравнений в других разделах физики и механики. И.Н. Векуа указал приложения в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей безмоментной теории оболочек.
Теоретические основополагающие результаты принадлежат Ф. Трикоми, который поставил и решил первую граничную задачу для уравнения
У“„+и„ = 0,
и С. Геллерстедту, который провел исследования для уравнения
/•4+**= о, meN.
М.А. Лаврентьев, с целью упрощения исследований краевых задач для уравнений смешанного типа, предложил новую модель уравнений
Мя + sSn У'и,у=®-
Исследования задачи Трикоми и ее обобщений для этого уравнения принадлежат A.B. Бицадзе. Теперь оно называется уравнением Лаврентьева-Бицадзе. A.B. Бицадзс впервые сформулировал принцип экстремума для за-
3
дачи Трикоми. Позднее он был доказан и для других краевых задач для различных уравнений смешанного типа [58].
Одно из направлений современной теории дифференциальных уравнений с частными производными - постановка новых задач, как по краевым условиям, так и по условиям сопряжения, и поиск методов решения поставленных задач. В этом направлении во второй половине XX века появляются новые работы, среди которых можно отметить работы A.B. Бицадзе, A.A. Самарского [61], М.М. Смирнова [65,66], Ю.М. Крикунова [36], В.Ф. Волкода-вова [11], С.П. Пулькина [51,52], Е.И. Моисеева [41,42], К.Б. Сабитова [57-60], А.И. Кожанова [33], В.И. Жегалова [27,28], А.М. Нахушева [43,44], P.C. Хайруллина [81,82], А.М. Ежова [26], O.A. Репина [54], Л.С. Пулькиной [53] и других.
В последних работах В.Ф. Волкодавова впервые исследуются краевые задачи для уравнений эллиптико-гиперболического типа, отличающихся от ранее рассматриваемых тем, что линия изменения типа является его характеристикой. В постановках задач условие сопряжения на линии изменения типа состоит в склеивании производной по нормали из области эллиптичности с производной дробного порядка или интегралом дробного порядка из области гиперболичности. Первые результаты в этом направлении опубликованы в статье В.Ф. Волкодавова и 0.10. Наумова [18], где рассматривается краевая задача для уравнения
U;. >'<0-
Уравнения такого типа встречаются в работах его учеников - O.K. Быстровой [14], И.А. Кузнецовой [37], И.Н. Родионовой, С.В. Бушкова [55] и других. Краевые задачи с подобными условиями сопряжения изучены в работе Ю.А. Плотниковой [47] для частных случаев уравнения гиперболического типа
4
uv + a(x> У)и1+ b(x’ У)иУ+ c(x> y)u = 0
и уравнения смешанного типа
ихх + иуу ~ У > ^ Л = const,
и„+Ли, у< 0.
H.A. Куликовой [38] изучены краевые задачи, условия сопряжения ко торых содержат производные дробного порядка, для уравнения
В работах В.Ф. Волкодавова, Е.А. Баровой [4,13] доказаны существование и единственность решений краевых задач для уравнения
где так же на линии у- 0 сопрягаются производная по нормали с дробной производной.
Настоящая диссертационная работа, состоящая из трех глав, посвящена исследованию ряда краевых задач для уравнений гиперболического и смешанного типов, в постановке которых условие сопряжения содержит производные по нормали, интегралы и производные дробного порядка от искомой функции. Приведем краткое содержание каждой главы.
Первая глава посвящена решению краевых задач для уравнения
Lu = 4
—и = 0, aeR,a*0. х+у у
и +-2—(ut+u) = 0, 7<0, х + у
0)
0<а,/?<1/2, 0<a+ß<\, рассматриваемого на множестве G = G_ U G+, где G_ = {(х,д>)|0 < -х<у < /г}, G+ = {(х,у)|0 <х<у <h).
5
В §1.1 для уравнения (1) в областях б. и в явном виде построены
решения задач Коши-Гурса и Дарбу.
§1.2 содержит решение краевой задачи с граничными условиями второго рода для уравнения (1) в следующей постановке.
Задача N. Найти функцию и(хуу) со следующими свойствами:
ОиМефЭПС'^и^еССС);
2) и{хуу) - классическое решение уравнения (1) в областях С_ и
3) и[хуу) удовлетворяет краевым условиям
+ “,Ху + *Г' = *'-(*)» *е(-А, 0)>
Л!Но(и«_и,Ъ-=•'♦(*)» х 6 М, (2)
где у^(х\у+(х) - заданные достаточно гладкие функции;
4) и(х,у) подчиняется условию сопряжения
Цу) = ЬН+{у), у е (0,Л), (3)
где ЬеЯ, Ьф О,
-X
и^Хуу)- решение задачи Коши-Гурса для уравнения (1) в области с_ с данными:
щ(0,у)=<р(у), 76[о,А], г}|го|0' + ХУ**(и1, + *0= 0, хе(-И,0),
и2(хуу) - решение задачи Коши-Гурса для уравнения (1) в области 0_ с данными:
иг(0,>) = о, уе[0,4 \imjy+х)^(и2, + и2у) = |/_ (х), * е (-/г,0>,
>+*-+40
У.
дг-*0+0
Л+^ = Ло1о1 № 0<Я<1, (4)
X
м,(х,у)- решение задачи Коши-Гурса для уравнения (1) в области С+ с дан-
ными:
6
и^у)=(р(у),уе[0Д, \\т]у-х)°'р{ии-иХу)=0, хе(0,А),
а и2(хуу)~ решение задачи Коши-Гурса для уравнения (1) в области О+ с данными:
м2(0,^) = 0, [0,4 Уто(у-х)а^(и2х-иь)=уХх), хе (0,/г).
Задача N исследована следующим образом. Используя решения вспомогательных задач Коши-Гурса в областях и <7+, найдены выражения для функций Ь_{у) и Ь+(у). Принимая во внимание условие сопряжения (3), получаем:
1) в случае р = Я выражение для (р(у) в явном виде;
2) в случае рФ Я вопрос существования решения сводится к вопросу разрешимости уравнения Вольтерра второго рода относительно функции ц/(х):
X
ц/{х) - к0 \ц/($)К(х,з)с1х = Р(х),
0
<р\х)+—(р(х) .
X
Теорема 1. Функция К(х,з) непрерывна на множестве {(дг,5): 0 < 5 < х < к), кроме линии б = х, где для нее справедлива оценка
И*. 4 ^ с>= со,ш > 0 •
Теорема 2. Если функции к_(дг)е С'(-/?,0), у+(х)еС1(0,й) и абсолютно
А Л
сходятся интегралы \у,_{-г)(Н-гуа'р ск, \у[(г)(к-гуа~р ёг, то
о о
Р(х)еС[ О, А].
Единственность решения задачи N следует из однозначного характера построения решения в каждом из случаев. Справедливо следующее утверждение.
где ц/(х) = х2р
7
Теорема 3. Если функции у*(х) удовлетворяют условиям тео-
ремы 2, то существует единственное решение задачи N.
В §§ 1.3 - 1.4 для уравнения (1) решаются краевые задачи с граничными условиями первого рода и со смешанными граничными условиями в следующих постановках.
Задача О . Найти функцию и(х,у) со следующими свойствами:
1)г/(х^)еС(с)ПС|(С),н^еС(С);
2) и(х,у) - классическое решение уравнения (1) в областях и б+;
3) и(х,у) удовлетворяет краевым условиям
и(х ,-х) = т_ (х), х 6 [- к о], (5)
и(х,х)=г+(х), хе[0,й], где Т_(х),Г+(х) - заданные достаточно гладкие функции, г_ (0) = г+(0);
4) и(х,у) подчиняется условию сопряжения (3), где
*-(?}=Ла \ {у2-*2У[иМ+и1(-иу))Ц1г), 0 < р < 1, (6)
-X
и\(х9у) - решение задачи Дарбу для уравнения (1) в области С_ с данными: и,(0,у) = <р(у), уе[0,Щ, и,(х,-х) = 0, х е [-/г,0], а и2(х,у)-решение задачи Дарбу для уравнения (1) в области с данными:
иг(0.7) = 0,^е [0,/;], и2(х,-х) = г. (х), х е [-Л,0];
А*(у)=155*1 (у2-(2У\.иМ+и2(1>уШ{2)’ о<а<1,
щ(х,у)~ решение задачи Дарбу для уравнения (1) в области (7+ с данными: и, (0, У) = <Р(У), У е [0, Л], и, (х, х) = 0, х е [0, /г], а и2(х9у)-решение задачи Дарбу для уравнения (1) в области <7+ с данными: Щ(.°>У) = 0» У е [0,/г], Н2(х,х) = г+(х), х е [0,/г].
8
3) и(х9у) удовлетворяет краевым условиям (2) и (5);
4) и(хуу) подчиняется условию сопряжения (3), где К(у) задана формулой (6), а (у)- формулой (4).
Исследования задач £) и Е)1У проводятся аналогично решению задачи N, но в случае задачи й используются решения вспомогательных задач Дарбу в областях б^б+;ав случае задачи ИИ - решение задачи Дарбу в области и решение задачи Коши-Гурса в области С+.
Для обеих поставленных краевых задач доказаны теоремы существования и единственности решения. Приведем, например, теорему существования и единственности решения задачи О.
Теорема 4. Если г_(х)еС[-/7,0]пС'(-Л,0), г+(х)е С[0,И] пС’(0,А),
Во второй главе рассматриваются две краевые задачи для уравнения смешанного типа
г_(0) = г+(0) = 0 и сходятся абсолютно
о
\ г' (г)(/г - г)1р~л1~1 ск9 то существует единственное решение задачи В.
о
(7)
0<2р<\, 0<2д<\,
9
- Київ+380960830922