Эволюционные функционально-дифференциальные уравнения

Оглавление
Введение............................................................4
I Линейное эволюционное
функционально-дифференциальное уравнение 36
1 Общая теория 37
1.1 Элементы общей теории абстрактного линейного функционально-дифференциального уравнения.
Представление оператора Грина..............................38
1.2 Начальная задача. Функция Коши ...........................43
1.3 Вольтерровые операторы....................................47
1.4 Квазивольтерровые операторы...............................60
2 Приближенное нахождение
функции Коши 69
2.1 Алгоритм приближенного нахождения
функции Коши...............................................70
2.2 Модификация метода в случае |Т(7)| = const................77
2.3 Сходимость метода.........................................80
3 Вольтерровые операторы
в пространствах суммируемых функций 92
3.1 Условия вольтерровости интегрального оператора ...........93
3.2 Спектральный радиус интегрального оператора .............104
3.3 Условия вольтерровости оператора
внутренней суперпозиции...................................110
3.4 Спектральный радиус оператора
внутренней суперпозиции...................................121
2
4 Уравнение нейтрального типа 127
4.1 Уравнение нейтрального типа в пространстве абсолютно непрерывных функций ............................................. 128
4.2 Уравнение нейтрального типа с несуммируемыми коэффициентами ........................................................147
4.3 Уравнение нейтрального типа с отклонением аргумента, не удовлетворяющим условию "независания" ..........................152
II Нелинейное эволюционное
функционально-дифференциальное уравнение 166
5 Нелинейные операторные уравнения Вольтерра 167
5.1 Неподвижные точки нелинейных
вольтерровых операторов..................................168
5.2 Непрерывная зависимость от параметров
решений уравнения Вольтерра..............................182
5.3 Неравенства Вольтерра в функциональных
пространствах ...........................................190
6 Нелинейная задача Коши 208
6.1 Разрешимость. Непрерывная зависимость
решений от начальных условий.............................209
6.2 Теоремы о дифференциальном неравенстве...................215
6.3 Дифференциальные уравнения
с авторегулируемым запаздыванием.........................221
7 Приближенные методы решения нелинейной задачи Коши 238
7.1 Приближенное решение задачи Коши.........................239
7.2 Метод Тоиелли,
простой и улучшенный методы Эйлера.......................252
7.3 Приближенное построение
предельно продолженных решений...........................267
Список литературы...............................................273
Предметный указатель............................................298
Обозначения.....................................................300
ВВЕДЕНИЕ
Уравнения с отклоняющимся (запаздывающим) аргументом давно привлекли внимание исследователей и имеют богатую историю. Еще во второй половине XVIII века в литературе появились первые результаты (Кондорсе, 1771 г.). Уравнения с отклоняющимся аргументом и их многочисленные обобщения, объединенные названием "функционально-дифференциальные уравнения", возникают в моделях, учитывающих конечность скоростей распространения сигналов, инерцию конкретных объектов и т.д. Эти уравнения нашли многочисленные приложения в теории автоматического управления, в теории автоколебательных систем, при изучении процесса сгорания топлива в ракетных двигателях, в экономических моделях долгосрочного прогнозирования, в задачах электродинамики, биологии, медицины, во многих других областях науки и техники, число которых неуклонно увеличивается. Систематическое изучение дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом было начато в середине XX столетия в нашей стране А.Д. Мышкисом [172]-[175] и в США Р. Веллманом [24, 237, 238]. С тех пор актуальность приложений, сложность и новизна проблем, серия загадок и парадоксов всегда привлекали и подолжают привлекать к функционально-дифференциальным уравнениям многочисленных исследователей. За полвека своей истории теория функционально-дифференциальных уравнений прошла путь от первых разрозненных результатов до самостоятельного, имеющего многочисленные приложения, давшего новые идеи и методы обширного раздела современной математики. В ее построение внесли вклад многие исследователи. Этапы создания теории нашли отражение в монографиях Н.В. Азбелева, В.П. Максимова, Л.Ф. Рахматуллиной, П.М. Симонова [12, 13, 15], JI.A. Бекларя-на [29], Р. Веллмана, K.JI. Кука [24], H.H. Красовского [139], В.Б. Колма-новского, В.Р. Носова [135], Ю.А. Митропольского, Д.И. Мартынюка [171],
А.Д. Мышкиса [175], Л.Э. Эльсгольца, С.Б. Норкина [177, 233], Э. Пинни [184], В.П. Рубаника [190], А.Халаная [244], Г.Л. Харатишвили, Т.А. Тадума-дзе [200, 214, 215].
4
Большой вклад в развитие теории уравнений с отклоняющимся аргументом внесла Свердловская (Екатеринбургская) математическая школа. В работах H.H. Красовского [138]-[145] получены условия существования периодических решений, изучены задачи оптимального регулирования, наблюдения систем, описываемых уравнениями с запаздывающим аргументом. Чрезвычайно плодотворными оказались идеи H.H. Красовского, предложившего трактовать решение, как элемент подходящего функционального пространства. Проблемы устойчивости уравнений с запаздыванием, стабилизации управляемых систем, дифференциально-разностные игры рассмотрены в работах Ю.С. Осипова [178]-[181j. Задачи управления и наблюдения систем с последействием исследованы А.Б. Куржанским [158]-[159]. Многочисленным аспектам теории дифференциальных игр посвящены статьи H.H. Красовского, А.Ф. Клейменова, A.B. Кряжимского, Ю.С. Осипова, А.И. Субботина, В.Н. Ушакова, А.Г. Ченцова [133, 145, 146, 152, 181, 196, 220, 208|. Проблемы разрешимости дифференциальных включений с запаздыванием исследованы Б.И. Ананьевым [18J. Задача о выживаемости рассмотрена А.Б. Завариным,
В.Н. Ушаковым [124], Т.Ф. Филипповой [210]. Глубокое, всестороннее изучение уравнений с отклоняющимся аргументом проведено в работах С.Н. Ши-маиова и его учеников [223]-[228]. Задачи устойчивости рассмотрены в работах Ю Ф. Долгого [68],[69]. Созданию эффективных численных методов посвящены работы A.B. Кима, В.Г. Пименова [132],[183]. Уравнения с импульсными воздействиями исследованы С.Т. Завалищиным, А.И. Сесекиным и др. авторами [122, 123]. В работах С.А. Брыкалова [36, 37] рассмотрены краевые задачи для функционально-дифференциальных уравнений и включений.
Единая теория различных классов функционально-дифференциальных уравнений разработана участниками Пермского семинара, руководимого
Н.В. Азбелевым. Начало ей положил отказ от обязательного выполнения условия "непрерывной стыковки" решения и начальной функции. Такой подход позволил представить дифференциальное уравнение с отклоняющимся аргументом в виде операторного уравнения Сх = /, где С : Z?[ö, ь] £[а,ь]-
5
Таким же образом представляются уравнение нейтрального типа, уравнение с распределенным отклонением аргументом, интегро-дифференциальное уравнение, другие функционально-дифференциальные уравнения. В исследованиях участников Пермского семинара была построена общая теория функционально-дифференциальных уравнений. Использование методов функционального анализа позволило получить представление общего решения, сформулировать и изучить общую краевую задачу, исследовать свойства функции Грина и Коши, предложить новые идеи в качественной теории уравнений. Разработанные методы оказались применимыми не только к иклассическимм уравнениям в пространстве абсолютно непрерывных функций, но и к уравнениям в других функциональных пространствах (импульсным системам, сингулярным уравнениям и т.д.). Возникла идея рассмотрения абстрактного аналога функционально-дифференциального уравнения в произвольных банаховых пространствах. В работах Н.В. Азбелева, A.B. Анохина, Л.Ф. Рахматуллиной [10, 19] была предложена теория 11абстрактных" (по терминологии авторов) функционально-дифференциальных уравнений в банаховых пространствах. В этой теории удалось сохранить большинство фундаментальных положений теории краевых задач, получить представление решения с помощью оператора Грина, доказать утверждения о непрерывной зависимости решений от параметров. Идеи и основные положения теории нашли применения в исследованиях A.B. Анохина, В.П. Плаксиной импульсных систем в пространствах кусочно абсолютно непрерывных функций [20, 186], в изучении сингулярных задач А.И. Шиндяпиным [230], Е.И. Бравым [33], в работах Г.С. Бондаревой [34], С.А. Гусаренко [65] о разрешимости краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений в частных производных и многих других исследованиях.
Предлш'аемая диссертация посвящена построению теории абстрактных функционально-дифференциальных уравнений с вольтерровыми операторами, являющихся естественным обобщением уравнений с запаздывающим аргументом. Исследование базируется на изучении свойств вольтерровых опе-
6
раторов. Сделаем краткий обзор известных нам определений вольтерровых операторов.
Различным обобщениям классических результатов Вольтерра, исследовав-
t
шего интегральный оператор (Ky)(t) = J K(t)s)y{s)ds, посвящены много-
а
численные работы. Ряд авторов абстрактными вольтерровыми операторами называют линейные вполне непрерывные операторы, действующие в гильбертовом пространстве, спектральный радиус которых равен нулю. В работах М.С. Бродского, А.Л. Бухгейма, И.Ц. Гохберга, М.С. Крейна, М.С. Лившица и других исследователей создана плодотворная теория таких операторов [35, 48, 63. 163]. устанавливающая глубокую связь между абстрактным и "классическим" интегральным операторами Вольтерра.
В основе других определений вольтерровости свойство интегрального оператора, называемое разными авторами "последействием", "эволюцией" и т.д. Эти определения ведут свое начало от определения А.Н. Тихонова [202], согласно которому оператор является вольтерровым, если образ любой функции в каждый момент "времени" £о зависит от значений этой функции только при аргументах t < to- Функционально-дифференциальные уравнения с вольтерровыми по А.Н. Тихонову операторами (эволюционные уравнения) подробно изучены в работах участников Пермского семинара (см., например, |5. 7, 66, 165]). Некоторые проблемы (например, задача устойчивости решений) ставятся только для эволюционных уравнений [15, 136, 137, 207]. Многие результаты исследования сингулярных [230, 33], импульсных [20, 186], стохастических [222,188] функционально-дифференциальных уравнений также получены в предположении вольтерровости операторов в соответствующих пространствах. Рассмотренная в работах А.И. Булгакова [38]-[47] теория функциональных и функционально-дифференциальных включений базируется на свойствах вольтерровых по А.Н. Тихонову многозначных отображений. Современные абстрактные трактовки свойства "эволюции" операторов предложены в работах [64, 77, 79, 92, 95, 100, 120, 154, 197, 198, 199]. С.А. Гу-саренко в [64] при определении обощенной вольтерровости оператора F, дей-
7
ствующего в банаховом пространстве В, использует такие цепочки проекторов Р7 : В -> В, т £ [0, 1], что Р° = 0, Р1 = /, Р7/*7 = рп»п{7,<т}
Оператор считается вольтерровым, если при всех |/ 6 В и всех т 6 [0, 1] из условия Рту = 0 следует РтРу = 0. Уплотняющие, вольтерровые по
А.Н. Тихонову операторы, действующие в функциональных пространствах исследуются Ю.А. Дядченко [77, 79]. В определении вольтерровосги, предложенным В.Г. Курбатовым [154]-[156], в линейных пространствах X, У вы-деляются упорядоченные по вложению семейства подпространств {X* | £ Е £ Я}, {У* | 2 € Я}. Оператор Р : X У назван вольтерровым, если при всех I £ Я выполнено включение Р(Х*) С У. В связи с исследованием задач математической физики и проблем оптимального управления В.И. Суминым [197]-[199] предложено определение вольтерровости для операторов, действующих в пространствах Ь™(И) функций, суммируемых на ограниченном измеримом подмножестве П С Яп. Пусть Еп - а-алгебра измеримых подмножеств П, Т С Еп. Оператор Р вольтерров на системе множеств Т, если для всех множеств Н £ Т и всех гг, у £ Ь™(П) из х(Ь) = у({), t £ Я,
следует (Ря)(£) = (Ру)(£), £ € Н.
Приведем определение вольтеррового оператора, которое используется в настоящей работе. Пусть каждому 7 £ [0, Ь — а] поставлено в соответствие некоторое измеримое множество е7 с мерой д(е7) = 7 таким образом, что
\/7, т] £ [0, Ь-а] 7 < V => е7С ел. (1)
Обозначим V = {е7}. Пусть У, В - некоторые множества функций / : [а, Ь] ЯР. Отображение Р : У -> В называем вольтерровым на системе V, если для каждого е7 £ V и любых у, г € У из 2/(5) = г($) на е7 следует
</)(«) = (■Р’2)(в) на е7.
Это определение не претендует на максимальную общность, но позволяет охватить широкий класс операторов, для которых возможно построение содержательной теории и ее применение к функционально-дифференциальным уравнениям.
Приведем краткое описание работы и сформулируем основные результаты
8
нашего исследования, сопровождая их цитированием работ, относящихся к рассматриваемым вопросам.
Диссертация состоит из введения, двух частей, разбитых на главы, которые в свою очередь делятся на параграфы, списка литературы, предметного указателя и обозначений.
Часть I посвящена теории абстрактных линейных эволюционных функционально-дифференциальных уравнений. В главе 1 излагаются основы общей теории. Открывает эту главу определение аналога функции Грина для абстрактного уравнения. Пусть В, В - банаховы пространства, В изоморфно и изометрично прямому произведению В х Д". Рассматривается краевая задача
где £ : В -»• В, I : И -» Я71 - линейные ограниченные операторы. Если задача (2) имеет единственное решение при каждой паре (/,а) 6 В х Яп , то это решение представимо [10] в виде х = (?/ + Ха. Здесь X : Лп -» В фундаментальная система решений однородного уравнения Сх = 0; линейный ограниченный оператор в : В В, ставящий в соответствие каждой правой части / решение задачи (2) при а = 0, называют оператором Грина. В "классическом” случае, когда В = пространство суммируемых
функций, оператор Грина является интегральным
Ядро С(£, я), называемое матрицей (функцией) Грина [10], играет заметную роль в теории функционально-дифференциальных уравнений. Так, например, функция Грина систематически использовалась Л.Ф. Рахматулли-ной [189] в исследовании краевых задач, Н.В. Азбелевым , А.И. Домош-ницким и М.Е. Драхлиным, Ю.В. Комленко, С.М. Лабовским, Е.Л. Тонко-вым [4, 70, 136, 161, 203] при изучении периодической краевой задачи, оценках промежутка неосцилляции решений функционально-дифференциальных
Сх = /, 1х = а,
(2)
ь
(3)
а
9
уравнений, С.Ю. Култышевым, Е.Л. Тонковым [153] при рассмотрении проблем управления. Свойства матрицы Грина подробно изучены Н.В. Азбе-левым, В.П. Максимовым, Л.Ф. Рахматуллиной [12, 13]. Попытки получить аналогичное представление оператора Грина в случае произвольного банахова пространства В, по-видимому, не предпринимались, так как при выводе формулы (3) учитывается специфика пространства суммируемых функций. Однако возможен несколько иной взгляд на формулу (3): при каждом фиксированном значении £ функцию (?(£, •) второго аргумента можно считать линейным вектор-функционалом, определенным на пространстве ^ьу Такой подход к определению функции Грина позволяет построить ее аналог в других пространствах. Итак, рассматриваются банаховы пространства О, В вектор-функций у : [а, Ь] —> Дт, И = В х Яп. Предполагается, что в пространстве И имеет место следующее утверждение, которое в работе называется А- свойством: для любой последовательности {у*} С 2? из 1М|я 0, при £ -> оо, следует \у{(Ь)\ -У 0, для всех £ 6 [а, Ь]. Тогда при каждом фиксированном £ £ [а, 6] вследствие ограниченности оператора Гри-на С? : В —У О линейный вектор-функционал / »->• (£?/)(£), определенный на В, непрерывен. Следовательно, можно записать этот вектор-функционал в виде ((■?/)(£) = (<?(£), /), где компоненты т-мерного вектора #(£) являются элементами сопряженного пространства В*. Построенное таким образом отображение д : [а> Ъ] -> В*т названо в работе функцией (матрицей) Грина. Рассмотренное определение позволяет функции Грина абстрактного уравнения сохранить многие свойства "классической" матрицы Грина, подтверждением чего являются следующие утверждения.
Теорема 1.1.1. Функции Грина д и д\ двух краевых задач для уравнения Сх = / с вектор-функционалами I и 1\ связаны соотношением — д{^) — Х(£) (1Х)~1У, где X - фундаментальная матрица решений уравнения Сх = 0, вектор-функционал V : В —У В” определяется равенством V / = 1д\{•)/.
Пусть изоморфизм О = В х ГГ1 задан операторами *(£,г) : В -э В х В!\
10
(A, Y) = (*(<J, г))'1 : BxRJ1 D. Тогда краевую задачу (2) можно записать |10| в виде
Сх = Q8x + Arx = f, 1х = Ф5х + Фгж = а, (4)
где операторы Q = СА. : В В, А = CY : Rn -> В, Ф = /Л : В -> Л", Ф = /У : Дп ->• Лп. Согласно [12] "главная" краевая задача
Сх = QSx + Arx = f, rx = a, (5)
однозначно разрешима тогда и только тогда, когда оператор Q имеет ограниченный обратный, решение задачи (5) имеет представление х = ЛQ~lf + (Y - AQ~lA)a. Пусть функционал А(£) : В -> Rm определен равенством (А(£), /) = (Лf)(t). Тогда функция Грина с задачи (5) находится по формуле c(t) = Теперь на основании теоремы 1.1.1 получаем представ-
ление функции Грина задачи (4)
g{t) = A(f)Q-1 - X(t){lX)'HЛ«-1. (6)
Теорема 1.1.3. При каждом t Е [a, 6] пара ■Х’(^)) является решением системы
<rg(t) + x(W = \(t)9 g(t)A + X{t)* = Y{t).
Второй параграф посвящен изучению главной краевой задачи (5), краевое условие которой определяется изоморфизмом пространств D, В х R71. В теориях обыкновенного дифференциального уравнения, уравнения с сосредоточенным и распределенным запаздыванием, других уравнений с последействием обычно используется изоморфизм х = /, х(а) = а, определяемый вольтерровыми по А.Н. Тихонову операторами. В этом случае главной является задача Коши, наиболее естественная для уравнений с последействием. Специфические особенности вольтерровых операторов и их многочисленные приложения определяют центральную роль задачи Коши в ряду краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений. Мы исповедуем аналогичный подход к главной задаче для абстрактного уравнения, использующий данное выше определение вольтерровости на некоторой совокупности
множеств. Краевую задачу (5) считаем начальной задачей (задачей Коти) в том случае, когда оператор С : D -* В является вольтерровым на v, вектор-функционал г : D -> Rn, называемый в работе функционалом Коши, удовлетворяет условию
Ve>0 \/y,zeD {y(t) = z(t)9 t Є еє => ry = rz}.
Решение однозначно разрешимой задачи Коши представимо в виде х = Ха+ С/, где линейный ограниченный оператор С = AQ~l : В -¥ D - оператор Грина начальной задачи - называется в работе оператором Коши. Представление оператора Коши для конкретных классов функционально-дифференциальных уравнений интегральным оператором Вольтерра получено в работах Ю.К. Ландо [162], Я.В. Быкова [51], В.Р. Винокурова [57], Е.А. Барбашина и Л.И. Бисяриной [22], С.И. Гроссмана и Р.К. Миллера |241], Р. Белманна и К. Кука [25] , А.М. Зверкина [125, 126], С.Н. Шима-нова и Г.С. Юдаева [224, 228], К. Кордуняну [239], В.Е. Слюсарчука [194]. Для функционально-дифференциального уравнения общего вида в пространстве абсолютно непрерывных функций всестороннее исследование оператора Коши проведено В.П. Максимовым в кандидатской [164] и докторской [168] диссертациях. Запишем оператор Коши в виде (Cf)(t) = (c(t), /), где компоненты га-мерного вектора c(t) = A[t)Q~l являются элементами сопряженного пространства В*. Построенное таким образом отображение с : [а, Ь] В*т, являющееся функцией Грина задачи Коши, названо нами функцией Коши.
Теорема 1.2.1. При каждом t Є [а, Ь] функция Коши является решением уравнения
Q*c(t) = А (*),
Фундаментальная матрица решений однородного уравнения определяется равенством
X(t) = Y(t) - c(t)A.
Дальнейшее изучение линейного эволюционного функционально-дифференциального уравнения основывается на исследовании свойств вольтерро-
12
вых операторов, предпринятом в третьем параграфе. Оказывается, что если в пространстве В выполнено V -условие: Ve7 € v V {уі} С В
II»-»ІІВ -*°. 1 ^ „м-п V
й(«) = 0, і = 1, 2,V* Є е7/ 2/(0 ~°’ W€e"’
то вольтерровые на совокупности v операторы сохраняют все основные
свойства своего "родоначальника” - интегрального оператора (К x)(t) =
t
j)C(t,s)ds. Обозначим B(ey) - пространство сужений функций из В на
а
множество ет Норму в пространстве В (е7) зададим формулой || у71| в ^ с ^ = inf II у II в, где нижняя грань берется по всевозможным продолжениям у Є Є В функции у у Є ß(e7). Если выполнено V-условие, то, при таком определении нормы, пространство В(е7) является банаховым. Определим операторы И® : В -> В(е7), (Ц®у)(<) = y(t), t € е7; ZB : [О, Ь - а] х В -+ R,
2в{і,у) = \\^у\\в(Єі), 7Є(0, Ь-о], ZB{0,y) = ^UmoZB(7,J/)- Пусть
оператор : Р(е7) -> В некоторым образом продолжает каждую функцию у у на весь [a, 6]. Линейный оператор К : В В назовем улучшающим на системе v, если образом единичной сферы U С В является множество элементов с равностепенно непрерывными нормами, т. е.
Ve>0 3т>0 \/xeU V7i,72 € [0, 6 - а]
І72 — 7iI < Т => \гвЫКх)-гв{ъ,Кх)\<е, (?)
и, кроме того.
ZB (0, Кх) = 0 (8)
при всех х Є U. Термин "улучшающий” употреблялся применительно к оператору Немыцкого в пространстве суммируемых функций в книге [149, с.359) Теорема 1.3.4. Пусть в банаховом пространстве В выполнено условие V; линейный оператор К : В -э В является улучшающим вольтерровым на системе v. Тогда спектральный радиус этого оператора р(К) = 0, а обратный оператор (I — рКу1 при любом р будет вольтерровым на v.
Теорема 1.3.4 несколько обобщает известный результат [121, с.153] не только тем, что здесь рассматривается абстрактное пространство, но и благодаря
13
условию улучшаемости оператора К , являющемуся, как показано в работе, более слабым по сравнению с "традиционным" требованием компактности. Следующая теорема также обобщает утверждение [12, с.86], известное для пространства суммируемых функций.
Теорема 1.3.6. Пусть в банаховом пространстве В выполнено условие V; линейный оператор К : В -> В является улучшающим вольтерровым па системе V, линейный оператор 5 : В -> В ограничен и вольтерров на системе V. Тогда, если один из операторов I — К - 5 , 7-5 обратим и обратный к нему оператор вольтерров на V, то обратим и другой и обратный к нему также вольтерров.
В последнем параграфе первой главы формулируется следующее определение, позволяющее перенести на более широкий класс ряд свойств вольтер-ровых на системе V операторов. Пусть дана конечная система Ук вложенных измеримых множеств
0 = е7о С е7і С...Се7і = [а, 6]; тез(е7.) = 7*, і = 1, к.
Линейное отображение И : У -4 В называем квазиволътерровым на системе Ук, если для каждого і = I, к и любого у Є У из у (5) = 0 на е7
следует (Гу)(в) = 0 на е7,. Будем говорить, что в банаховом пространстве В выполнено Ук - условие, если для любого множества е7. Є Ук и для любой сходящейся последовательности {г/;} С В, || Уі~у\\в —> 0, из равенства
У}(Ь) = 0, і = 1,2,..., при всех £ Є е7. следует, что и предельная функция 2/(0 = 0 при £ Є е7.. Сформулируем основное утверждение этого пункта.
Обозначим В і = |у7 € В(е7<) 2/7.(*) = 0, < € е7і1} . Если выполнено
Ук - условие, то подпространство В і С В(е7.) является банаховым пространством. Пусть линейный оператор К : В -4 В квазивольтерров на щ-. Определим оператор : В* В і, \К^і У^{І) =
Теорема 1.4.4. Пусть в банаховом пространстве В выполнено Ук - усло-
вие, и пусть линейный ограниченный оператор К : В -4 В является квазиволътерровым на системе Ук. Тогда его спектральный радиус определяется
14
формулой р{К) = гпах р(К7 ).
t = i,Jt
Вторая глава посвящена приближенному нахождению общего решения линейного эволюционного функционально-дифференциального уравнения. Потребность в общем решении возникает при исследовании реакций системы на многочисленные различные входные воздействия, когда требуется находить решения уравнений, отличающихся друг от друга только правыми частями или начальными условиями. Такие задачи приходится решать, например, при расчетах траекторий движения небесных тел [23, с.450], в теории управления [138], в теории устойчивости [12]. В этом случае оказывается удобным один раз построить общее решение соответствующего уравнения и в полученную формулу затем лишь подставлять нужные правые части и начальные условия. Вопрос о нахождении общего решения абстрактного функционально-дифферециального уравнения сводится к построению функции Коши. Методы численного нахождения функции Коши интегро-дифференциального уравнения, уравнения нейтрального типа предложены в работах A.A. Ефремова, Т.В. Жуковской, С.А. Югановой [81, 82, 234]. В диссертации предлагается достаточно общий метод построения функции Коши абстрак тного уравнения, частными случаями которого можно считать методы [81, 82].
В теории функционально-дифференциальных уравнений особое место занимает уравнение нейтрального типа
(.I-S-K)x + Ax{a) = f, (9)
где тождественный оператор /, интегральный оператор К и оператор внутренней суперпозиции S действуют в пространстве суммируемых функций Lp[a,b]') /, А G Lp[a,by Важнейшие результаты теории этого уравнения |5, 7, 12, 15, 21, 31, 50, 58, 59, 71, 76, 125, 156, 168, 182, 222] получены в предположении вольтерровости операторов К, 5, т. е. для наиболее применимых в приложениях уравнений с последействием. Методы теории абстрактных эволюционных уравнений позволяют распространить на уравнение нейтрального типа с обобщенно вольтерровыми операторами К, S многие факты теории уравнений с последействием. Исследование уравнения нейтрального типа с
15
обобщенно вольтерровыми операторами осуществлено в третьей и четвертой главах. В третьей главе рассмотрены условия обобщенной вольтерровоети интегрального оператора и оператора внутренней суперпозиции в пространствах суммируемых функций, изучаются спектральные свойства этих операторов.
В первых двух параграфах главы рассмотрен интегральный оператор
ь
(Ку)(1) = ! £(*, в)у{8)<18, г е [а, 6]. (10)
а
Исследованию условий действия в пространстве Ьр[а,&] интегрального оператора (10) и его свойствам посвящены многочисленные работы (см., например, известные книги Л.В. Канторовича, Г.П. Акилова, М.А. Красносельского, П.П. Забрейко, Е.И. Пустырника, Я.Б. Рутицкого, П.Е. Соболевского.
В.А. Садовничего, [120, 129, 147, 149, 150, 192, 212] и содержащуюся в них библиографию), в которых сформулированы важнейшие факты, находящие многочисленные приложения. Приведем некоторые из полученных в настоящей работе утверждений.
При каждом £ € [а, Ь] определим <;(£) = тГ{7| 2 £ е7}, е(£) = р) ег
7 > Ф)
Теорема 3.1.2. Для того, чтобы интегральный оператор (10) являлся волыперровым на системе и> необходимо и достаточно выполнения равенства /С(£, 5) = 0 при почти всех (£, 5) £ [а, Ь] х ([а, Ь] \ е(£)).
В предположении, что интегральный оператор К : Ьр[а,б] ^Р[а,ь] является регулярным, вычислим п-ую (п=1,2,...) степень оператора \К\ :
ь
\к\1 = \к\, т. е. {\к\ху){С)= ( к}{ь,8)у(8)<18, где к}(г,8) = |£(м)|;
а
Ъ Ь
(|К\*у)М = I£"(*,8)у(8)Ь, где £"(*,8) = !к}(1,08)#.
а а
При каждом £ £ [а, Ь] зададим множество = { 5 £ [а, 6] | Кп{1,з) ф 0 }. 00
Обозначим = и ш*. Пусть Л4П(£, в) = £*(£,з) -I- К2{Ь, «) + ••• + £п(£, в).
П=1
16
Теорема 3.1.3. Для того, чтобы существовала такая система множеств v, удовлетворяющая условию (1), на которой регулярный интегральный оператор (10) являлся бы вольтерровым, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:
1. Mn(t, s)Mn(s, t) = О при любом п и почти всех (t, 5) € [а, Ь] х [а, 6];
2. mes {11 mes (ut) < 7 } > 7, при всех 7 Є [0, 6 - а].
Теорема 3.2.1.Длл того, чтобы положительный интегральный оператор \К\ : Lp [0j*] —> Lpfaty, 1 ^ p < 00 являлся улучшающим., необходимо, a при p — \ и достаточно, чтобы для любого е > 0 существовало такое положительное т, что для любых измеримых множеств Е, е С [а, Ь] из неравенства mes е < г следовало
е Е
Теорема 3.2.2. Пусть для каждого фиксированного t Є [а, b] выполнено
ь
Тогда интегральный оператор \К\ : £р[а,г>] -> £р[а,Ь) является улучшающим.
Приведенные утверждения позволяют сказать, что при "естественных" ограничениях интегральный оператор является улучшающим. В этом случае из вольтерровости оператора следует равенство нулю его спектрального радиуса. Оказывается, что для интегрального положительного оператора \К\ вольтерровость на какой-нибудь системе и является и необходимым условием того, что р(\К\) = 0.
Теорема 3.2.4. Если интегральный оператор К : Ьр\ауъ] £р[а,ь]> определяемый равенством (10) является регулярным и если спектральный радиус положительного оператора \К\ : Ьр[а,ь] ^р[а,ь] ровен нулю, то существует такая система множеств и, удовлетворяющая условию (1), что оператор К вольтерров на системе у.
а
17
В третьем и четвертом параграфах главы 3 рассмотрен оператор
A(t) y(h(t)), если h(t) G [а, 6],
(Sy)(*) =
(11)
О, если h(t) £ [а, Ь],
называемый в литературе оператором внутренней суперпозиции. Здесь А, h : [а, Ь] -» й - измеримые функции. Условия действия оператора (11) в пространствах измеримых функций приведены в книге [67]. Свойства оператора внутренней суперпозиции изучались в работах М.Е. Драхлина, Т.К. Плышев-ской [72], Л.М. Березанского [31], Ю.А. Быкодорова [50], В.Г. Курбатова [155], Г.П. Пелюха , А.Н. Шарковского [182], A.B. Чистякова [221, 222], L.Pascale, Е.Stepanov [250].
Обозначим Е = {t G [а, 6] | h(t) ^ [а, 6]}, 0 = {t G [а, b] \ A(t) = 0 }. Эти множества измеримы. Предполагается выполнение следующих условий:
л г ( m евГг1(Е)\в\'
А € ЬооМЬ Р = sup ---------------------------- <оо, гарантирующих 6/
V Ес[аМ mes Е / гпея Е> О
непрерывное действие оператора S в пространстве Ьр(а,&].
Теорема 3.3.1. Определяемый равенством (11) оператор S : ->•
Lp[a,b\ вольтерров па системе v тогда и только тогда, когда при почти каждом t G [а, 6] \ © \ Е выполнено h(t) G е(£).
Г, Г М Л h (A I hW' еСЛИ hW G [®> \ е’
Определим на [а, о\ функцию па{0 = < и
[ а - t, если h(t) G 0,
ии\ \ М*) > если 1 € fa> ^ ’ ( \
построим ее продолжение h(t) = < на (-оо, ooj.
t у если t f. [а, Ь] у
Для каждого натурального п ^ 2 обозначим Hn(t) = H(Hn~l(t)). Пусть
H(t) = inf { H(t), ■■■}, H(t) = sup { H(t), H\t), H\t),. •.} .
Эти функции измеримы.
Теорема 3.3.3. Пусть mes {t € [а, 6] | H_(t) = p A H(t) = p} = 0, при любых pyp G [а, Ь]. Тогда существует такая совокупность множеств Vy удовлетворяющая условию (1), что определяемый равенством (11) оператор S : Ьр[ад ^p\atb] является вольтерровым на системе v.
18
На наш взгляд, интересен рассмотренный в работе пример применения последней теоремы к оператору {Sy)(t) = y(h(t)), где h(t) = {t + g}, te Є [0, 1], g - некоторое число, символом {•} обозначена дробная часть действительного числа. В диссертации доказано, что если число g рациональное, то оператор 5 : L [од] -»■ £[o,i] является вольтерровым на некоторой системе множеств, если же число д иррационально, то оператор S не является вольтерровым ни на какой системе множеств.
В изучении спектральных свойств вольтеррового по А.Н. Тихонову оператора внутренней суперпозиции важную роль играют ''особые точки"(см., например, [7,182J). В работе предлагается аналог таких точек для вольтеррового на системе V оператора S. Возьмем 8 > 0 и обозначим = { ç(t) \ te Є [а, Ь] \ 0 \ 5, h(t) Є ёф) \ е<(*)_$}. Точку 7 Є [0, b - а] называем особой для оператора 5, если V<5 > 0 Ve > 0 mes ((7 - є, 7 + є) П > 0.
Теорема 3.4.1. При отсутствии особых точек определяемый равенством (11) вольтерровый на системе v оператор S : Ьр[а,&] ^р[а,ь) будет, т-
вольтерровым на этой системе.
Особую точку 7 назовем особой точкой первого рода, если существует такое о > 0, что
mes ((е7+„ \ е7) П h{e1+a \е7)) = 0, mes ((е7 \ е7_,) П h(e7 \ ёу-е)) = 0.
В противном случае 7 назовем особой точкой второго рода.
Теорема 3.4.2. При отсутствии особых точек второго рода определяемый равенством (11) вольтерровый на системе v оператор S : Lp [fli ь) —>■ Lр[ауь\ будет нильпотентным.
Пусть Q] - множество, состоящее только из 8 -окрестностей особых точек второго рода. Обозначим = {t Є [a, b] \ ç(t) Є }.
Теорема 3.4.5. Если вольтерровый па v оператор S : £р[а,&] -+ Lр\а,ь)
имеет\ особые точки второго рода, то для спектрального радиуса этого one-
19
parnopa справедлива оценка
,(S) < mf(v,».upH(OI ( sup (12)
*>oV ^ ^cM mes E ) ) K }
Результаты исследования свойств интегрального оператора и оператора внутренней суперпозиции позволяют рассмотреть некоторые вопросы разрешимости уравнения нейтрального типа. Это уравнение, вследствие неразре-шенности относительно производной решения x'(t) и наличию суперпозиции x'(h(t)), обладает специфическими особенностями и вызывает ряд затруднений при исследовании. В то же время уравнение нейтрального типа являегся достаточно общим функционально-дифференциальным уравнением и имеет многочисленные приложения в математических моделях. Все перечисленное делает уравнение нейтрального типа чрезвычайно привлекательным для исследователей. Литература, посвященная этому уравнению, очень обширна. Отметим здесь монографии Н.В. Азбелева, В.П. Максимова, Л.Ф. Рахматул-линой, П.М. Симонова [12, 13, 15], обзор P.P. Ахмерова, М.И. Каменского, A.C. Потапова, А.Е. Родкиной, Б.Н. Садовского [21], материалы конференций [58, 59, 60, 71, 253], межвузовские сборники научных трудов "Краевые задачи", "Функционально-дифференциальные уравнения"(Пермь, 1978-1992).
В первом параграфе главы рассмотрена ситуация, когда коэффициенты уравнения удовлетворяют "классическим" условиям [5, 12, 13, 235, 67], позволяющим рассматривать это уравнение в пространстве абсолютно непрерывных функций. Применение теории эволюционных уравнений и в этом достаточно хорошо изученном случае позволяет получить новые результаты. Важную роль в исследовании играет следующее утверждение: для того, чтобы существовал вольтперровый на системе v изоморфизм ^ ^ : D^a bj —>
Lnp mj X Д”> (Л, У) = Q : Lnp[a b] хй"-+ £>рМ, необходимо и доста-точно чтобы при любом 7 множество е7 Е v являлось почти связным, т.е. для некоторых Т)(7), 1/(7) было выполнено mes(e7A[7/(7), ^(7)]) = 0. Заметим, кстати, что частными случаями такой системы множеств являет-
20
ся система, порождающая вольтерровые по А.Н. Тихонову, т.е. запаздывающие операторы и их "противоположность” - опережающие операторы. Это утверждение заставляет рассматривать уравнение (9) в предположении воль-терровости операторов на совокупности почти связных множеств. В работе исследуется разрешимость задачи с ’’начальным” условием х(с) = а, где с = т;(0) = ^(0). Получено представление общего решения уравнения (9), предложен метод приближенного построения функции Коши.
Во втором параграфе исследуется уравнение нейтрального типа с несумми-руемыми коэффициентами. К такому уравнению сводятся, например, некоторые задачи аэродинамики [30], ряд других прикладных задач [131]. При удачном выборе пространства к его изучению также можно применить рассмотренные выше результаты. Сформулируем некоторые идеи, на которых основано наше исследование функционально-дифференциального уравнения
(£*)(<) = /(*), *€[0,6], (13)
с сингулярностями в точках а, 6. Пусть ~ линейное пространство
функций х : [а, Ь] Яп, абсолютно непрерывных на каждом [7/, и\ С (а, 6); ^р(аЬ) " пространство измеримых функций х : [а, Ь\ —»■ Дя, суммируемых в р-ой степени (1 ^ р < оо) на каждом [77, у\ С (а, 6). Пространство £>”(а ^ изоморфно прямому произведению х Дп- Изоморфизм зада-
ется, например, краевой задачей х'(£) = т/(£), х(с) = а, где с е (о, Ь). Будем предполагать, что оператор С : ^ -)• является вольтерровым
на системе V = {[7/(7), 7/(7)]}> где р(-) - непрерывная убывающая функция, и(-) - непрерывная возрастающая функция, и выполнены равенства 77(0) = 7/(0) = с, 77(6 - а) = а, г/(6 - а) = 6, 7/(7) - 77(7) = 7. Хотя пространства ^р(аЬ) не являются нормированными, но вольтерровость
оператора £ позволяет рассмотреть уравнение (13) на любом из отрезков [77(7), 7/(7)]. Для такого сужения применимы все рассмотренные в первом параграфе результаты.
Гораздо более сложные проблемы возникают при рассмотрении задачи Коши для уравнения, имеющего сингулярности в начальной точке. Такую
21
задачу рассматривал А.И. Шиндяиин [230]-(231|. Он построил специальное банахово пространство измеримых функций, в котором исследовал вольтер-ровые по А.Н.Тихонову интегральный оператор и оператор внутренней суперпозиции с несуммируемыми особенностями, получил утверждения о разрешимости и оценках решения сингулярного уравнения нейтрального типа. Эти результаты можно перенести на случай вольтерровых на системе v = {[77(7), 1/(7)] } операторов.
В первых двух параграфах четвертой главы предполагалось, что оператор S действует в пространстве измеримых по Лебегу функций. Необходимым условием этого является выполнение для функции h : [а, Ь] -»■ R условия мнезависания"[67]
\/Е С [a, b] mesE = 0 => mes (h~l(E) \ 0) = 0. (14)
Роль этого условия в том, чтобы оператор S отображал эквивалентные функции в эквивалентные. Более того, если (14) не выполняется, то для измеримых функций у, g суперпозиция Sy может оказаться неизмеримой [213, с. 194]. В третьем параграфе рассмотрено уравнение нейтрального типа в случае, когда функция h не удовлетворяет условию (14). Чтобы изучить такое сингулярное уравнение в работе построено специальное банахово функциональное пространство, в котором действует оператор внутренней суперпозиции. (Для этой цели непригодны не только лебеговы пространства, но и пространство непрерывных функций, ведь функция (5î/)(*) терпит разрывы в тех точках, в которых Д(-) - а меняет знак.) В построенном пространстве получены оценки спектра-чьного радиуса оператора внутренней суперпозиции, найдены условия действия интегрального оператора, исследованы его свойства. Эти исследования позволили применить к рассматриваемому сингулярному уравнению теорию абстрактных эволюционных уравнений.
Часть II посвящена абстрактным нелинейным эволюционным функционально-дифференциальным уравнениям. В главе 1 излагаются основы теории нелинейных операторных уравнений Вольтерра. К нелинейному интегральному уравнению Вольтерра сводятся многочисленные прикладные и теоретиче-
22
ские задачи, например, задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения, краевые задачи для уравнений параболического типа и т.д. (170,
с.754]. Современные математические модели в физике, экономике, биологии, учитывающие инерцию объектов, конечность скоростей распространения сигналов, факторы запаздывания, описываются функционально-дифференциальными уравнениями (12, 13, 15], задача Коши для которых эквивалентна уравнениям с вольтерровыми операторами в некотором банаховом функциональном пространстве. Такие операторные уравнения наследуют многие свойства классических уравнений Вольтерра и являются их естественным обобщением.
Рассмотрим уравнение
(Fx)(t) = 0, t G [а, Ь] (15)
с вольтерровым на системе v оператором F : Y В. Если существует число 7 G (0,Ь - а) и элемент z7 G У(е7), удовлетворяющий равенству П^FP^Zy = 0, то уравнение (15) будем называть локально разрешимым, а функцию z7 - локальным решением, определенным на е7. Элемент гь-а €
6 У, удовлетвориющий уравнению (15), назовем глобальным, решением. Будем говорить, что функция zv : (J е7 ->• i?m, г) £ (0, b - а] является пре-
7 <v
дельно продолженным решением уравнения (15), если при любом 7 G (0, rj) сужение Z1 функции Zjj на множество е7 является локальным решением и lim ||г7|| = оо. Вследствие вольтерровости оператора F сужение z7 решения
7 -Н)
z$ (локального, глобального, или предельно продолженного) на произвольное множество е7, 7 G (0, (), будет локальным решением уравнения (15). Будем называть решение z1 частью решетя z^, а решение z^ - продолжением решения zT
В первом параграфе предлагаются утверждения о неподвижных точках вольтеррового на v оператора К : В —> В, т.е. исследуется разрешимость уравнения
x(t) — (Kx)(t) = 0, t G [а, 6], (16)
23
являющегося частным случаем уравнения (15). Оператор К : В В называем локально сжимающим па системе V, если существуют такие числа <7 < 1, т > 0, что выполнены условия:
1. У'у € (0, т) Ух,уев гв(п,Кх-Ку)^у-гв{'1,х-у)
2. У£, 7 6 (0, 6 — а] £ < 7 < £ + т Ух,уеВ
{х{{) = у{(), УЬец => 2в(7, Кх-Ку)^д- гв(-у, х-у)}.
Класс локально сжимающих на системе V операторов достаточно широк. Ему, конечно же, принадлежат не только сжимающие операторы. К локально сжимающим операторам относятся еще, например, т-вольтерровые операторы. В диссертации доказано, что если для оператора К : В В существует такой линейный вольтерровый и улучшающий на системе V оператор IV : В -> В, что при всех х, у € В, 7 Е [0, 6 — а] выполнено неравенство Zв('y, Кх - Ку) ^ Zв{^,W(x — y))1 то оператор К является локально сжимающим на системе V. Важно также заметить, что свойством локальной сжимаемости могут обладать даже разрывные и неограниченные операторы (о чем свидетельствуют рассмотренные в работе примеры).
Теорема 5.1.3. Пусть в банаховом пространстве В выполнено V -условие; оператор К : В В является волъгперровым и локально сжимающим. на системе у. Тогда при любом 7 Е (0, 6 — а] существует единственное решение х1 Е В (е7) уравнения х7 = П7 К хТ Другими словами, существует единственное глобальное решение уравнения (16), и всякое локальное решение является частью этого решения.
Следующее определение позволяет распространить понятие улучшаемости на нелинейные операторы. Оператор К : В —V В называем улучшающим на системе V, если
32 Ух е В гв{0 ,Кх)^2, (17)
Уд>0 Уе>0 3т>0 Ухе В \^71,72Е[0,Ь — а]
172 “7х1 <Г ' • \Zsij2, Кх) - гв(Ъ, Кх)I < е. (18)
24
Теорема 5.1.4. Пусть в банаховом пространстве В выполнено V -условие; оператор К : В В является вполне непрерывным, вольтерровымI и улучшающим на системе V. Тогда уравнение (16) локально разрешимо, любое локальное решение является частью либо глобального решения, либо предельно продолженного решения.
Большое значение при исследовании нелинейных интегральных уравнений. обыкновенных дифференциальных уравнений имеет ответ на вопрос о наличии (или отсутствии) у решения вертикальной асимптоты, оценка максимального промежутка существования решения. Например, промежуток существования непрерывного решения уравнения Рикатти является промежутком неосцилляции решений соответствующего линейного дифференциально го уравнения второго порядка [128, с. 42|. В терминологии данной работы наличие вертикальной асимптоты £ = у означает, что решение является предельно продолженным. В случае, когда уравнение (16) имеет бесконечное множество {г^} предельно продолженных решений, интерес представляют оценки нижней грани г/о всевозможных чисел г] - мер множеств ена которых определены предельно продолженные решения. Для уравнений и включений с вольтерровыми по А.Н. Тихонову отображениями в пространстве непрерывных функций такую задачу рассмотрел А.И. Булгаков. Он доказал [38], что т/о > 0, т.е. асимптоты решений отделены от начальной точки £ = а, и существует промежуток, входящий в область определения любого предельно продолженного решения. В диссертации сформулирован соответствующий результат для уравнений в банаховом пространстве.
Теорема 5.1.6. Пусть оператор К : В В является вольтерровым и улучшающим на системе и. Тогда для произвольного £о, до > % существует такое т > 0, что для любого локального решения уравнения (16), определенного на некотором множестве е7 £ V, если ||^7||в(е7) ^ 0О> то 7 = тев(е7) ^ т. В частности, существует такое положительное /3,
что для области определения и е7 любого предельно продолженного реше-
7 <п
ния выполнено г] = тев( и е7) > р.
7 <1}
25
В работе предлагается также оценка числа /?, фигурирующего в этом утверждении. Завершает параграф исследование свойств нелинейных ква-зивольтерровых операторов, которые в дальнейшем используются для приближенного решения функционально-дифференциальных уравнений.
Во втором параграфе предлагаются условия непрерывной зависимости решения уравнения Вольтерра от параметров. Здесь дается определение совокупной локальной сжимаемости операторов, получены условия, при которых операторы обладают таким свойством.
Теорема 5.2.1. Пусть в банаховом пространстве В выполнено V -условие. Пусть, далее, вольтерровые на системе V операторы : В В, г = 1, 2, , являются в совокупности локально сжимающими, и для лю-
бой сходящейся последовательности {х*} С 5, ||ж< — х|| ->• 0, имеет место \\KiXi - Кх|| ->• 0, где К : В -¥ В. Тогда при каждом г уравнение
Я.(О - = 0, te [а, Ь], (19)
имеет единственное глобальное решение г*, всякое локальное решение будет частью соответствующего глобального решения; уравнение (16) также имеет единственное глобальное решение г, всякое локальное решение будет его частью и ||^ — г\\ -> 0.
В случае, когда операторы К{ не являются в совокупности локально сжимающими, мы предлагаем понятие совокупной улучшаемости операторов и, используя идеи работ Ц. Арштейна [236], В.П. Максимова [166], формулируем условия сходимости решений уравнений (19) к решению уравнения (16).
Теорема 5.2.2. Пусть в банаховом пространстве В выполнено V -условие. Пусть, далее, вольтерровые на системе V, непрерывные операторы К{ : В —^ В, г = 1,2,..., являются в совокупности компактными и в совокупности улучшающими. Пусть, наконец, для любой сходящейся последовательности {х*} С В, ||х* - х|| 0, имеет место \\KiXi - Кх|| -> 0,
где К : В -> В. Тогда при каждом i уравнение (19) и уравнение (16) локально разрешимы, всякое локальное решение продолжаемо до глобального или предельно продолженного решения, и существует такое /3 > 0, что
26
• для любого г и для каждого предельно продолженного решения уравнения (19), определенного на У е7, выполнено щ > /3;
7<%
• для каждого предельно продолженного решения уравнения (16), определенного на и е7, выполнено у >
7 <Г)
• если при каждом г выбрать произвольно локальное решение г1^ уравнения (19), определенное на ер, то полученная последовательность будет компактным множеством в пространстве В (ер), все её предельные точки будут локальными решениями уравнения (16);
• если локальное определенное на ер решение гр уравнения (16) единственно, то ||г'р - гр\\В(е0) -> 0.
Последний параграф главы посвящен операторным неравенствам Вольтер ра. Утверждения о неравенствах являются важнейшим инструментом исследования уравнений. Так в теории обыкновенных дифференциальных уравнений широко используются теоремы об интегральном и дифференциальном неравенствах. Исследования дифференциальных и интегральных неравенств ведут свою историю от классических результатов С.А. Чаплыгина [217]. Отметим известные работы Н.В Азбслева, З.Б. Цалюка [2, 3, 16, 17|, в которых решена проблема определения границ применимости теоремы С.А. Чаплыгина, существенно расширена область применения неравенств (устойчивость, приближенные методы, оценки решений). Сейчас методы, использующие подобные неравенства, широко применяются практически во всех разделах общей и качественной теории, приближенных методах (см. книги [80.206], содержащие достаточно полную библиографию). Развитие теории функционально-дифференциальных уравнений потребовало изучения операторных неравенств в различных функциональных пространствах [12]. В [И, 88] получены подобные утверждения для пространства Ьр [ам, 1 ^ р < оо, упорядоченного ’’естественным" конусом неотрицательных функций. Работа [84] посвящена обобщению этих результатов на случай произвольного конуса, порождающего "вольтерровую полуупорядоченность" В пространстве Ьр[аД.
27
В диссертации рассмотрены вольтерровые операторные неравенства в произвольных банаховых пространствах. Основным аппаратом исследования является теория монотонных операторов, разработанная в работах И.А. Бахтина, Ю.Г. Борисовича, Г.М. Вайнико, П.П. Забрейко, М.А. Красносельского, Н.В. Марченко, А.И. Перова, Ю.В. Покорного, Я.Б. Рутицкого, A.B. Соболева, В.Я. Стеценко, Ю.В. Трубникова и других авторов. Для того, чтобы адаптировать эту теорию к уравнениям и неравенствам Вольтерра, в диссертации предложено следующее понятие. Конус В+ в пространстве В назван вольтерровым на г», если при любом 7 £ (О, b-а) множество В+7 = П7 £+ будет конусом в пространстве 5(е7). Определены также свойства вольтерровой миниэдральпостпу сильной вольтерровой миниэдральности, волътер-ровой вполне правильности и вольтерровой нормальности конуса. В предположении, что конус В+ обладает перечисленными свойствами, доказаны утверждения о локальной разрешимости уравнения (16) с вольтерровым, монотонным оператором К : В —> В. о продолжаемости решений, их оценке, о существовании нижнего и верхнего решений.
В шестой главе рассматривается нелинейная задача Коши
6х = Fx. (20)
гх = а, (21)
где г : D -> R - функционал Коши, а оператор F : D -> В, является вольтерровым на совокупности v. Как отмечают авторы [13, с.257|, изучение нелинейных функционально-дифференциальных уравнений ’’встречает многочисленные затруднения и содержательная теория возможна лишь для узких классов таких уравнений”. Однако, приятным исключением из этого правила являются уравнения с операторами, обладающими свойством воль-jeppoBOCTH на некоторой системе.
В первом параграфе исследуется разрешимость задачи (20,21). Вследствие вольтерровости операторов 6, F, г к уравнению (20) и задаче (20,21) применимы определения локального, предельно продолженного и глобального решений. Представление задачи (20,21) в виде уравнения у = F(Ya 4- А у)
28