Настоящая рабста посвящена изучению краевых задач в двугранном угле,полуплоскости и полосе для линейных дифференциальных уравнений и систем таких уравнений с постоянными коэффициентами.Основной метод исследования - преобразование Фурье,Лапласа и теория обобщенных функций.Часть результатов в двугранном угле тесно примыкает к исследованиям Г.Е.Шилова,Н.Е.Товма-сяна и других авторов [I] - [13] .Близкими являются работы авторов [14]Р[1Ь) , [16]., [36], [39].
Пусть Х-{+10$ >а
углы в комплексной плоскости { .Б двугранной области К х7Г-
рассматривается дифференциальное уравнение в частных производных вида
где А«> > >А(о - полином от с постоянными коэф-
фициентами, Ц(/,+)(:С (£х^о(,) ,аналитична по {бТГ^ - искомая функция.Еопрос постановки граничной задачи для уравнения (I) тесно связан с так называемым характеристическим полино?лом
2п(т.д]= А0Ь) л*++ • - • + Лп(о .
В частности,если ,то область есть вер-
хняя полуплоскость 7Г+ и при А(о =-* вышеупомянутыми авторами и другими,например Мизохата [17] »детально изучена задача Коши или типа Коши (в зависимости от класса искомой функции и корней полинома ) для уравнения Ш .Напомним,что
задача Коши состоит в наложении начальных условий
$И(х,0) _ о У . ,
ОГЛАВЛЕНИЕ
В в е д е н и е .............................................. 4
Г л а в а I. ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ В ДВУГРАННОЙ ОБЛАСТИ ДЛЯ
УРАВНЕНИИ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ . РАЗРЕШЕН -НКХ ОТНОСИТЕЛЬНО СТАРШІ ПРОИЗВОДНОЙ §1.Задача типа Коши для строго регулярного уравнения .... 27 §2.Задача Коши для строго регулярного уравнения в классе
ограниченных функций ..................................... 36
§3.Задача типа Коши для регулярного уравнения ................ 43
§4.Общая граничная задача .................................... 55
§5.Разрешимость неоднородного уравнения ...................... 67
§6.Примеры ................................................... 80
Г л а в а II. ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ В ДВУГРАННОЙ ОБЛАСТИ ДЛЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ, РАЗРЕШЕННЫХ ОТНОСИТЕЛЬНО СТАРШЕЙ ПРОИЗВОДНОЙ .
§1.Граничная задача для строго регулярной системы ............ 90
§2.Граничная задача для регулярной системы ..................... 104
§3.Разрешимость системы уравнений со свободным членом ... 121
§4.Примеры ................................................... 125
Г л а в а III. ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ В ДВУГРАННОЙ ОБЛАСТИ ДЛЯ
УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ , НЕ РАЗРЕШЕННЫХ ОТНОСИТЕЛЬНО СТАРШЕЙ ПРОИЗВОДНОЙ .
§1.Задача типа Коши для одного уравнения ....................... 131
§2.Разрешимость уравнения с правой частью ...................... 137
§3.Граничная задача для систем,число корней характеристического уравнения которых не зависит ст ..(............... 144
§4.Граничная задача для систем,число корней характеристического уравнения которых зависит от 5 .......... 167
§5.Разрешимость системы с правой частью ....................... 171
§6.Примеры .................................................... 174
Глава ХУ.ГРАНИЧНАЯ ЗАДАЧА ТИПА РИМАНА - ГИЛЬБЕРТА
ДЛЯ НЕРЕГУЛЯРНЫХ ДШЕРЕИЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ .
§1.Граничные задачи для нерегулярных уравнений.Случай {=©.177
§2.Граничные задачи для нерегулярных систем.Случай { = о .189
§3.Граничные задачи для нерегулярных уравнений и систем.
Случай \ =■ о............................................... 196
§4.Примеры .................................................... 200
Глава У . ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ В ПОЛУПЛОСКОСТИ И ПОЛОСЕ
ДЛЯ УРАВНЕНИИ И СИСТЕМ УРАВНЕНИИ В ЧАСТ -НЫХ ПРОИЗВОДНЫХ В КЛАССАХ ЗЕМАНЯНА .
§1.Граничные задачи в полуплоскости для уравнений в
частных производных ........................................ 205
§2.Задача Дирихле в полосе для гиперболического
уравнения ...................................................215
§3.Граничные задачи в полуплоскости для систем
уравнений в частных производных ............................ 220
§4.Задача Дирихле в полосе для строго гиперболической
системы .................................................... 223
§5.Примеры .................................................... 225
Л к т е р а т у ра....................................228
5
на решение ЬШ) уравнения (I) »здесь £(х) - заданная функция. Условие корректности задачи (1) , (2) ,то есть условие того,что она однозначно разрешима и решение непрерывно зависит от начальных условии в некотором классе функций конечной гладкости »записывается в виде: ] у (-Я для которого при КеА > V > £18] .В монографии же [17] исследуется задача Коши (2) для уравнения (I] типа Коши-Ковалевской
Критерий корректности имеет вид (условие Адамара) : ? С ,р такие,что
где ) - корень полинома Лп(1,А) .
Гординг [19] доказал эквивалентность условия (3) неравенству
КеХ^кс . 14,
Отметим,что в работах [17] » [18] зависимость поведения решения от I при ■( -> * в"° в определение класса искомого решения не входит,а учитывается лишь его свойства на фиксированном,но произвольном отрезке [0,Т] .В работах же [I]- [13] это поведение учтено,что вносит существенное отличие от пред -шествующих исследований.
I
Пусть Н - гильбертово пространство с метрикой [I]
* н-УУ .Через К обозначим прообраз Фурье
пространства Н .Очевидно 3/ - совокупность всех квадра-
тично интегрируемых функций /(*1 >' -->*г*) »определенных во всем и их обобщенных производных.
Рассмотрим уравнение (I) .считая,что решения его разыски-
6
ваются в классе функций 7((<,*) .которые при каждом {>,с принадлежат классу 5*/ .так же как и все производные . .. І У .Корни характеристического уравнения
£п(М)= *”+ • • • ♦ 1в)= о (5)
с учетом их кратностей обозначим через Лх(() , • • *, Ль (р Нумерация их при каждом ( устанавливается с тем,чтобы
Ьахц)*К*л,(0( ■ • • * /К (о . (6)
Обозначим через )14 рлножество точек Я™ .для которых
/?е 3,(0 * •• • * ^ о
Очевидно ^ Р У1 О ’ ‘ Я .Эти множества рассматриваются
с точность» до множеств меры о .Следующая теорема доказана в [I] ,стр. 218 .
Основная тесрема. Пусть на каждом из множеств А задана
функция У(Р .продолжаемая на все пространство Я™ до фун-</
кции из пространства Н .Утверждается,что уравнение (I) имеет решение 2К*г4) ,у которого преобразование Фурье функции совпадает на множестве А* с функцией
У.(\), 1 >' * */ п «Это решение Ъ(*,0 при каждом {ъС при-
надлежит пространству 5^ и при { -»♦®Л возрастает в Н не быстрее некоторой степени Ь вместе со зееми производными по і до порядка а .Оно единственно в классе всех решений уравнения (I) .принадлежащих .возрастающих в
Н при £-»**• вместе с производными по { до порядка П не быстрее степени £ и удовлетворяющих тем же начальным условиям,кроме того,оно непрерывно зависит в топологии З/7 от заданных функций У.0) .если эти функции меняются непрерывно в топологии пространства Н
7
Отметим,что в случае,когда корни удовлет-
воряют условию
1?еД,.(0«0 V И Я” , (7)
мы имеем // г ••* = /) г и корректная для уравнения (I)
задача состоит в задании условий (2) ,то есть задачи Коши. Предположим,что корни (О; ‘ ? Ап(\ > удовлетворяют следук-
щех?у условию
Ке О , МК'", (е)
0< ' - • ! Яе Ап(0 , 16 К". (9)
/|^ л”* Л ^ /
Тогда ^ - ••■-•л-К и согласно основной теореме
корректной является задача
^ *
= 1(*) / ■ (ю)
Уравнения вида (X) .удовлетворяющие условиям (8), (9) исследовались авторами [х] ,[9] - [18] в различных классах функций (обобщенных функций) .Отметим,что уравнение (I) в этом случае называется строго регулярным с показателем регулярности 7 Отметим также,что нарушение условия (9) хотя бы в одной точке приводит к существенным осложнениям,особенно при исследовании вопроса существования решения.Этот случай подробно исследован в работах Товмасяна Н.В. [2] - [в] как в классах обобщенных функций,так и в классах функций полиномиального роста :
14$ ,>го,1(П)
Р и 7 зависят только от 2!(>г,+) .
Глава I диссертации состоит из 6 параграфов и посвящена изучению граничных задач в двугранной области % У для уравнения (I) (УМ\)*±) как в строго регулярном случае,так и в просто регулярном случае (условие (9) может нарушаться лишь в
8
конечном числе точек; .Приведем основные результаты.
Через $>(і) обозначим число корней характеристического уравнения (5) »принадлежащих углу 77^ .Если р(ї)=-ет - постоянна в ,то уравнение (I) называем строго регулярным,
если же за исключением конечного числа точек, то
уравнение (I) назовем просто регулярным. ^
Через ЛУ обозначим класс функций ЬШ)*С (К*7С) .аналитических по ^ 6ТС и удовлетворяющих оценкам (II),если Ц(ґ,0- Ц(*) .то соответствующий класс обозначаем через Если з (II)зафиксировать число р ,то соответствующие классы обозначим через и
В §1 исследуется следующая задача типа Коши.
Задача Л1 . Требуется найти решение Ц 6 Л( уравнения (I) »удовлетворяющее граничным условиям
&У(*,о) = 1(х>, і = ог--,т-і' (Ї2)
где £ € - заданные функции.
Доказана
Теорема І.І . Задача Л! имеет и притом единственное решение для V іо(х) ) * * V «Если функция ^6^
• ••у «1-і;,то решение задачи Д1 принадлежит классу Лу
В §2 исследуется задача Коши для строго регулярного уравнения в классе ограниченных функций.Заметим при этом,что при исследовании задачи йі из §1 существенно используется свойство класса ( А^ ) заключающееся в том,что рост по переменной X не зависит от порядка производной.Через обозначим класс функций і/(ґі*) непрерывных по Хб И и аналитических по (■ 6 7/1с таких,что
-5<и Г I И(х,<*>
9
Если И(г,&)ж и(х) ,то соответствующий класс обозначим через Ш) .Пусть - угол с вершиной на отрицатель-
ной полуоси абсцисс,стороны которого не параллельны сторонам угла Л* .Относительно корней характеристического уравнения (5) предполагаем : I. ^(0 е 7Г9*, • . ,п.
С* 0,^1 , Ск* Се , кФе} /Г/»1 .
Задача АН . Требуется найти решение И £ &(& X77^) уравнения (I) »удовлетворяющее услсвиям
,4 = Ог (^)
где / £ В (К) - заданные функции.
. </
Используя метод доказательства теоремы 1.1 из §1 и проведя более детальное исследование прообраза Фурье функционала и (1,1) »устанавливается основной результат этого параграфа. Теоре?ла 2.1 . Граничная задача АН имеет и притом единственное решение.Имеет место оценка
. (14)
К * М ос 2 О ^
13 §3 уравнение (I) уже предполагается регулярным с показателем регулярности м и единственной точкой ^-=0 ,в которой нарушается строгая регулярность.При этом мы различаем два случая : а) множества }А,(() > • • • , А»(о) >
не пересекаются ни при каком {6% в) эти множества пересекаются.Отметим,что в случае строго регулярного уравнения случай а) имеет место и этот факт играет существенную роль при факторизации оператора
-Рл(<,з7) = еа^рка£),
£ ад/"'; 21«®/''’
4-1 4 4‘( 4 4*1 '
- 10 -
здесь коэффициенты $ (1) являются мультипликаторами в $' (см. также [20]).В случае в) это уже,вообще говоря,не так и поэтому появляются дополнительные трудности.Пусть С?] - целая часть числа р 6 К ,а £,“ ?(°) - число корней,принад-
лежащих 1Г* в точке {-=0 .Основной результат в случае а) следующий:
Теооема 3.1 . Неоднородная задача Л1 всегда разрешима, а однородная имеет бесконечно много линейно независимых решений. Если / (-А£ ,то существует решение 71 б ,при этом при
р < О однородная задача в классе не имеет нетривиальных решений, а при имеет ^
линейно независимых решений.
В случае же в) справедлива
Теорема 3.2 . Неоднородная задача Д1 всегда разрешима, а однородная имеет бесконечно много линейно независимых решений.Если I £,то неоднородная задача Щ имеет решение в классе ,а однородная имеет ™ >
линейно независимых решений.
Как следует из теорем 3.1 и 3.2 в случае регулярного уравнения (I) корректность задачи /)1 »вообще говоря,не имеет место.Чтобы исправить положение,вводятся новые классы функций и/ эЖ= {и(**>1№х$ (1^1x0^ 0* р. <о{,
/Г^аГЦмх) I О"*')9-', Ь<0$.
Задача Д1 есть задача Д1 с заменой Л , ь/*
О л О
соответственно,на Л и А .Доказана следующая
Теорема 3.3 .Задача /)]_* тлеет к притом единственное
решение для 1'
Заметим,что во всех рассмотренных случаях неоднородная
II
задача всегда имеет решение и только однородная задача может "испортить" ситуацию,допуская решения вида с9(0+сл(*)х—•• + %*)/, где С.а) - аналитичны степенного роста.В связи с этим мы, следуя работе [в] .указываем дополнительные к (12) условия, обеспечивающие единственность решения.Пусть ис(*4) - некоторое частное решение неоднородной задачи ,а р(*> -
заданные полиномы по X .Дополнительные условия берем в виде
А(и(х,о)-и.(к.*)) -Р(^) , . (15)
Справедлива
Теоиема 3.4 . Граничная задача с дополнительными
условиями (15) имеет и притом единственное решение.
Параграф 4 посвящен общей граничной задаче.Здесь также как и в предыдущих параграфах существенную роль играет стрсгая или простая регулярность уравнения (I) .Рассматривается
Задача А Ч Требуется найти решение II 6 Ли уравне-
ния (I) .удовлетворяющее условиям
. (1&
где /. £ - заданные функции,а -^,(0 - полиномы по ^
с постоянными коэффициентами.
Пусть уравнение (I) строго регулярно.Стандартным путем, изложенным например в [21] .вводится квадратная матрица 1(0 порядка т .Доказана
Теорема 4.1 . I. Услозие ЖъЦОФО является
необходимым и достаточны?/ для корректности задачи АН
2. Условие же 4е(1({)ф0 является необходимым
и достаточным для тоге,чтобы неоднородная задача АЧ имела
решение для 1/ ‘> * «а однородная имела конечное
12
число линейно независимых решений.
Теперь предположим,что уравнение (I) регулярно к имеет место случай а) .В этом случае к условиям (16) добавляем дополнительные условия вида
1 (17)
Г = о
где 1>(х) - заданные полиномы по х , С.(($) - полиномы по/ с постоянными коэффициентами,а 1!ф(х,*) - частное решение неоднородной задачи ДЦ .существование которого доказывается. Наряду с матрицей Ц{) вводится другая квадратная матрица ЛА\) порядка ? .Установлен следующий результат.
/I
Теорема А.2 . Для того,чтобы задача ЯЧ с дополнитель-ными условиями (17) была однозначно разрешимой,необходимо и достаточно,чтобы
Лн1АО*о, (*о, (16)
б!<1 Л (о) 3 О . (19)
*о
В случае же в) появляются дополнительные существенные технические трудности,связанные с тем,что коэффициенты й;(\) оператора ) уже не будут мультипликаторами в ,
но все-таки и в этом случае имеет место теорема 4.2 .
В пятом параграфе исследуется вопрос разрешимости в классе неоднородного уравнения
0^ ± А,ш , т
где -(б Л - заданная функция.
Поставленный вопрос является настолько классическим,насколько к задача Коши и ему посвящена обширная литература,например (13 , [17] , [22] - [24] .Основной метод и главная трудно-
- ІЗ -
сть при исследовании уравнения (20) при <х ~ о состоит в построении такого фундаментального решения £(*,<> »что свертка принадлежит искомому классу функций или обоб-
щенных функций.Например,известная теорема Хёрмандера-Лоясевича
[25] , [26] утверждает,что уравнение (20) в ^'(КхЯ) разрешимо для V f 6 3 .В сделанных предположениях относительно корней характеристического уравнения (5) нами устанавливаются Теоремы 5.1 - 5.3 . Неоднородное уравнение (20) в классе \М имеет решение для \/ / 6 Лі
доказательство разбивается на три технически разных по трудности случая в зависимости от того является ли уравнение
(20) строго регулярным или регулярным в смысле а) или в) .
Наконец последний параграф 6 главы I посвящен иллюстрации части результатов на конкретных примерах.В частности для классического гиперболического оператора □ = в дву-
<у X ^
гранном угле корректной является не задача Коши,а задача Дирихле, в противоположность случаю <х - О .На примере этого оператора к более общего однородного оператора с постоянными коэффициентами предлагается и другой подход к исследованию граничных задач,не использующий преобразование Фурье,приводящий к известной задаче сопряжения для аналитических функций,что на наш взгляд подтверждает важность исследуемого нами нового класса уравнений вида (і) в двугранном угле К х 17^ .Рассматриваются также примеры,связанные и с другими типами уравнений.В частности для оператора Лапласа Л в области ЯхУГ^ ;
0<<<£•?- ставится задача Дирихле,а при с<>У£- граничные условия отсутствуют.Указывается также ка то,что решение классической задачи Дирихле при { 6 Я* записывается в виде интеграла
и аналитически продолжается в область ЯхТГ*, - % < <* ,
что ещё раз указывает на естественность рассмотрения уравнения вида (I) в К. *7/^ .И,наконец,характеристические корни опе-
ратора Д-+а*' > 0>о при |Г(<& очевидно не удовлетворяют условиям (8) , (9) ,но в то же время в области } о с °<<х этот оператор является регулярным с порядком регулярности і , строгая регулярность нарушается только в точках 1^1-0 .
Эти и другие примеры,приведенные в §6 поназывают,что та существенная роль,которую играет тип ператора (гиперболичность, эллиптичность,параболичность) при постановке граничных задач в наших рассмотрениях отходит на второй план.
Глава II диссертации состоит из 4-х параграфов и посвящена изучению граничных задач в двугранной области Ц хТГ« для систем уравнений,разрешенных относительно производной по і ви-да
~ А(•■ , (21) -
где ~И(х,{)~ (И і. ) - искомая вектор-функция из класса
Л! ,а А (О - полиномиальная матрица от [ с постоянными коэффициентами порядка П. .Вкратце можно сказать,что в этой главе изучаются те же вопросы,что и в главе I,со всеми атрибутами технических сложностей,связанных с тем,что вместо одного уравнения юлеем дело с системой.С системой (21) связываем характеристический полином по -А
ГпЬ'А) = ^+(ле-А(»),
где £ - единичная матрица порядка п »корни которого с учетом их кратностей обозначим через А,(О , • • А„(1) .
- 15 -
В §1 система (21) считается строго регулярной,то есть
»а Ли/О,-• • ? Лл(0 (, ]( %
(1Г обозначает комплексную плоскость А )
Рассматривается граничная
Задача Л1 . Требуется найти решение ЬьЛ! системы
(21)»удовлетворяющее условию
ВО &)И(*»о) ~ 4(х)> (22)
где Во/ - полиномиальная матрица с постоянными коэффициентами размерности гл х л ,а (/*>•••> {„,)=■($ - заданная
вектор-функция.
Введем матрицы-функции
\ (АЕ“А(0) ДА, (23)
??о
где ^~0) - замкнутые контуры,содержащие внутри себя,соот-
ветственно, только корни Л,„т'(\)г • •, Ап0) и А/1) ) • •"/ А^(\). В случае строго регулярной системы (21) показывается,что элементы р*.(0 матриц £ (V являются мультипликаторами
л / ^
б О (/?) ,а если система (21) регулярна и - единствен-
ная точка,в которой нарушается строгая регулярность,то устанавливаются оценки
$ Р*<» 1*С(1([',е0*1«)”*,е>о, (24)
Основные результаты §1 следующие.
Теорема 1.1 . Граничная задача /11 имеет единственное
решение для V 4 тогда и только тогда,когда
Ч »»!)*" *1,г т
Условие (25) есть известнее условие Лопатинского [27] .
-16 -
Теорема 1.2 . Для то го, чтобы однородная задача Al имела конечное число линейно независимых решений,а неоднородная задача Al всегда имела решение необходимо и достаточно,чтобы условие Лопаткнского (25) выполнялось хотя бы в одной точке.
В §2 задача Al изучается для регулярной системы (21) . При этом как и для одного уравнения исследование разбивается на случай а) и в) ( множества
пересекаются или нет в точке - единственная точка,где
нарушается строгая регулярность .В случае а) доказана
Теорема 2.1 . Пусть вектор-функция -f(x) в задаче Al принадлежит классу A/Ç и выполняется условие
it(ÎS)s* У(*°- ^
Тогда существует число ^ такое,что неоднородная задача Ai в классе J.fy имеет решение для V / ,а однородная задача Al в том же классе имеет конечное число линейно независимых решений.В классе же Л! неоднородная задача Ai имеет решение для Vf(*r ,а однородная - бесконечно много линейно независимых решений.
Пусть теперь имеет место случай в) и выполняется условие
(26) .Вводится число 7С как ранг вполне определенной мат-рады .Доказаны
Теорема 2.2 . Однородная задача Ai в классе JU имеет бесконечно много линейно независимых решений.В классе же иИу , где - целое,имеет (7*і)П-їо линейно независимых реше-
ний.
Теорема 2.3 . Неоднородная задача А1 в классе <,$/ имеет решение для V / 6 •
В §3 исследуете система со свободным членом
17
Щ= /№&)и + > (*,*)*£*%«. >
^ (27)
где / (: Л! - заданная,а 2/ 6 Л! - искомая п -мерные вектор-функции.Основной результат сводится к теореме 3.2 .
Теорема о.2 .Неоднородная система (27) в классе Л! разрешима для V /£ М .При этом,если /'* Л! у ,то в случае строго регулярной системы решение И к Л!у ,в случае же
регулярной системы существует Т± (%>Т) ,что у к Л/у, .
Наконец в §4 рассматриваются примеры.В частности,для строго гиперболической системы вида
(26)
где 5/С - действительные постоянные квадратные матрицы порядка М ,а II - ( И1, " ■/ У л ) - искомая действительная
вектор-функция,ставится задача Дирихле
Н(х,о):{(х) . (29)
При этом,если ^ц - корни характеристического
уравнения с(е< (*гЕ ■+2В>} *С) = 0 ,то мы предполагаем,что £>0/ у = ± , • - V а и V. <0 , ; -,£п .Приводится достаточ-
ное условие на систему (26) при котором задача Дирихле (29) корректна (теорема 4.1) .Рассматриваются и другие примеры.
В главе III граничные задачи в двугранной области изучаются для уравнений и систем уравнений в частных производных, не разрешенных относительно старшей производной по ^ .В §1 и §2 исследуется одно уравнением в §3 - система уравнений.
Итак,рассматривается уравнение (I) ,где Ас(1)ф 1 .Отметим,что если До0)? О У И К ,то исследование уравнения (I) ничем не отличается от случая Лс(0 = 1 .Поэтому мы предпо-
- 18 -
латаем,что Л0(\) обязательно обращается в ноль и для определенности пусть
Д/о = {КвЛ0)/АЪ)*о 1П(К,к0>,1. ш
Так как множитель Л(О не влияет на результаты,то мы ограничиваемся уравнением вида
//ЯА , о.-гг (31)
\1*х) (31)
при этом предполагаем выполненным следующее естественное условие
2_ 14(Ч*0 ■
1 п (
Отметим также,что в области К ^ { 0 { уравнение (31) предпо-
лагается строго регулярным так как случай,когда существует точка (о О ,в которой строгая регулярность нарушена,фактически изучен в главе I.Характеристический полином,соответствующий (31) имеет вид
и мы предполагаем,что его корни Л, (О > * * • > Лп(\) обладают
СВОЙСТВОМ },Ц) ,'‘’/Лп(\)
Пусть 2 - число корней уравнения £^(0,Л)то »принадлежащих * .Справедливы
Теорема 1.1. Если ,то неоднородная задача (31),(2)
в классе «/// имеет решение для У £ 6 уг^-^и-^еслн же 2 < м »то для разрешимости неоднородной задачи (31), (2) необходимо И достаточно,чтобы функции $0(х) } * * ’)•("_(*) удовлетворяли конечному числу условий ортогональности.Однородная задача (31),(2) не имеет нетривиальных решений при I < т и имеет бесконечно много линейно независимых решений,если 2 >т .
- 19
Теорема 1.2 . Пусть / е .Тогда существует ^
таксе,что задача (31) , (2) в классе Му нетерова.
В §2 исследуется вопрос разрешимости уравнения (31) с правой частью с п п^
(• &) 1М. (32)
где У 6 Л! - заданная функция.
Доказаны
Теооема 2.1 . Уравнение (32) со свободным членом имеет решение в классе Л! для \/ / 6 Л!
Теорема 2.2. Пусть ка - порядок вырождения коэффициента Лв(0 уравнения (I) .Тогда,если Му , 1 ,то уравнение
(32) имеет решение,принадлежащее классу Л^0-/
В §3 т рассматриваем систему вида
/1(<я;)§%=В(*м)У> , (33)
где Д(О, В(О - полиномиальные матрицы от ( с постоян -
ными коэффициентами порядка П , >• )У*)е Л/ _
искомая вектор-функция.Если Я(\)1 С, [ б1( ,то система (33) фактически исследована в главе II.Основное внимание мы уделяем случаю,когда А(ъ)=-0 и порядок к, характеристического уравнения
Р (^,А)-ДефМ)-В(о)=о<,(о^* ■ ■■ + ак«)-о (34)
К
не зависит от { ,то есть 0о(1)Ф О, [ е .при этом предполагаем также,что корни Л,(() • • , Ак (О уравнения (34) удо-
влетворяют условию
Л.(о К(\)<% , 4,/«,- , (35)
Гг«*)
- 20
Условие (35) означает,что система (33) строго регулярна. Рассматривается следующая
Задача Л1 . Требуется найти решение Ь Ь системы С33) .удовлетворяющее условию
C(i^-x) и и, о) - f(x), (36)
где Се» - полиномиальная матрица с постоянными коэффициентами размерности wu ,а f - (fj - заданная
вектор-функция.Введем матрицу-функцию
= [ _i_ ( (l/KO-BdO/KodJ,
где £ - гг-мерная единичная матрица,a J~(V ~ замкнутый
контур,содержащий внутри себя только корни • • • j Л „(О .
Доказана
Теорема 3.1 . Граничная задача Ai имеет единствен-
ное решение для У / é /Г тогда и только тогда,когда выполняется условие
(37)
Предложенный метод исследования граничной задачи А1 позволяет распространить на систему (33) и другие исследования главы II.
В главе 1У мы рассматриваем нерегулярные дифференциальные уравнения в частных производных и систему таких уравнений.
В §1 изучается уравнение (I)
№> + *>‘4 о, меигк , (38)
в предположении,что функция р(Ч) - число корней характеристи-
- 21
ческсго полинома ^п0,Л) .принадлежащих области * удовлетворяет условию
у(П-т , \ < О , Г * Г, ,
(39)
^ .
Для определенности мы предполагаем,что т>к (отметим,что если т гк ,то ми имели бы регулярный случай, рассмотренный в главе I ) .Исследуется
Задача 11 .. Требуется найти решение 2/ 6 Л/ уравнения
(38) .удовлетворяющее граничным условиям
Угкг.о)
'577" " {((*), • •/*-*/ (40)
1?« {.(*), 7 =*>■ ■ (41)
где - заданные функции.
Основной результат следующий:
Теорема 1.3 . Граничная задача Я 1 имеет и притом единственное решение ДЛЯ )!$(*)}'••»$ (х) .
^ Л* — |
Изложенный метод исследования задачи >/.1 позволяет условия (Л1) заменить на
(?е £ А? , у , (42)
где О. (х) удовлетворяет условию Гёльдера на Я , 0.(к)* О.
В §2 мы рассматриваем нерегулярную систему (21)
4
(43)
в предположении,что
?0) = * , *<0 > РО;= К , * >0 , (44)
где рО) - число корней характеристического уравнения с1е((ЯР- А(*)) - о .принадлежащих области
- Київ+380960830922