Обобщенный метод разделения переменных в краевых задачах эллиптического типа

Введение....................................................4
0.1. Общая характеристика метода разделения переменных...4
0.2. Двумерные задачи рассеяния..........................8
0.3. Основные результаты диссертации....................11
Глава 1. Постановка задачи и теоремы единственности........35
1.1. Двумерные уравнения с разделяющимися переменными................................................... 35
1.1.1. 11ериодическая задача..........................36
1.1.2. Случай конечной границы........................42
1.2. Более общие задачи............................... 48
1.2.1. Ы-периодичеекая граница........................48
1.2.2. Многомерная конечная граница...................50
1.2.3. Уравнения с неразделяющимися переменными.......54
1.3. Единственность решений двумерных периодических задач...................................................56
1.4. Теоремы единственности для других краевых задач.......81
1.4.1. Многомерные конечные границы...................84
1.4.2. М-периодпческие границы........................92
1.4.3. Уравнения с неразделяющимися переменными.......96
Глава 2. Метод построения фундаментальных решений.........100
2.1. Квазипериодичсские задачи типа рассеяния..........101
2.2. Квазипериодические задачи типа диффузии...........120
2.3. Двумерные задачи с центральной симметрией.........134
2.4. Многомерные периоди' гсские задач и..............1-16
Глава 3. Исследование решений краевых задач...............177
3.1. Теоремы существования.............................177
3.2. Свойства систем собственных функций...............190
3.3. Методы решения....................................211
3.3.1. Интегральные уравнения........................211
3.3.2. Краевые задачи................................219
Глава 4. Асимптотические оценки коэффициентов Фурье.......230
4.1. Аналитические свойства весовой функции 0 в интегральном представлении коэффициентов Фурье..............232
4.1.1. Уравнение для функции 0.......................232
4.1.2. Аналитическое продолжен ие 0..................235
4.2. Двусторонние оценки коэффициентов Фурье...........252
4.2.1. ()ценки сверху коэффициентов Фурье............253
3
4.2.2. Оценки снизу коэффициентов Фурье......................260
4.3. Синусоидальная граница....................................272
4.3.1. Оценки сверху.........................................272
4.3.2. Оценки снизу..........................................276
4.4. Степенная граница.........................................278
4.4.1. Оценки сверху.........................................278
4.4.2. Оценки снизу..........................................288
4.5. JI огарифмическая rpaiiица................................290
4.5.1. Оценки сверху.........................................290
4.5.2. Оценки снизу..........................................300
Заключение........................................................307
Литература........................................................311
11риложение.......................................................322
ВВЕДЕНИЕ
0.1. Общая характеристика обобщенного метода разделения переменных.
Разделение переменных в задачах математической физики является одним из наиболее старых и плодотворных приемов. Представление решения рядами, к которым приводит этот метод, имеет много естественных преимуществ. Это, во-первых, достаточно простой способ получения решения в явной форме; во-вторых, ВОЗМОЖНОСТЬ представить этими рядами чрезвычайно широкий класс функций (например, удовлетворяющих внутри области одним условиям гладкости, а на границе - другим); в-третьих, возможность применить аппарат асимптотического анализа для получения оценок коэффициентов Фурье, что позволяет улучшить СХОДИМОСТЬ и выделить особенности ряда. Есть много и других преимуществ, специфических для каждой конкретной задачи. Например, яркий физический смысл коэффициентов Фурье в задачах рассеяния, унификация постановки задачи и т.д.
Однако, все эти чрезвычайно привлекательные достоинства компенсируются одним, но решающим недостатком. Число задач, к которым применим классический метод разделения переменных, конечно и не очень велико. Дело в том, что допускать разделение переменных должны не только уравнения, но и границы, а также краевые условия. Другими словами, если уравнение допускает разделение переменных, то для применения метода границы должны быть координатными линиями в данной системе координат.
Одной из первых попыток перенесения метода на эллиптическую задачу с некоординатными границами можно считать классическую работу Рэлея [1] (см. также [2]). В ней содержалась простая идея представить решение рядом Фурье в части области, полностью содержащей координатные линии, вдоль которых проводилось разделение переменных. Затем в предположении, что построенный ряд сходится всюду в области вплоть до границы, с помощью заданного краевого условия вычислялись коэффициенты Фурье. Дальнейшие многочисленные исследования показали, что предположение о сходимости ряда всюду в области, сделанное в [1] (ги-
потеза Рэлея), верно не всегда и. кроме того, его доказательство представляет само по себе трудную задачу, связывать которую с методом разделения переменных нецелесообразно.
Таким образом, метод Рэлея нельзя считать строгим, однако его идея представить решение в виде ряда в некоторой части области оказалась содержательной и послужила отправной точкой многих исследований в этом направлении.
Для уравнений гиперболического типа обобщение метода разделения переменных на смешанную задачу с произвольной покоординатной поверхностью было предложено в работе [3]. При этом коэффициенты Фурье получены в явном виде как функционалы от данных Коши и формы поверхности.
Для уравнения эллиптического типа ті задаче рассеяния такое обобщение было предложено в работах [4-6, 80]. Однако в отличие от гиперболического типа явных выражений коэффициентов Фурье через краевые условия и форму границы построить не удалось. Поэтому задача определения коэффициентов разложений остается, вообщее говоря, на уровне бесконечной системы алгебраических уравнений [4]. В работе [5] демонстрируются три варианта метода: обобщенная ортогональность, почленная формула Грина, интегральное преобразование с переменными пределами. Все они приводят к одному результату. В работе [6] постановка обобщенного метода разделения переменных (ОМРП) для задачи рассеяния унифицирована, а именно, введена матрица рассеяния 5, преобразующая амплитуды приходящих волн в амплитуды уходящих, указан обоснованный способ построения этой матрицы.
Несколько позже в [7] был предложен алгоритм вычисления коэффициентов Фурье в задаче рассеяния, близкий алгоритму работы [6] и использующий Т - матрицу, связанную с 5 соотношением .9 = 2Т 4- 1. Значительно позже, чем [6], была опубликована [8] модификация алгоритма работы [7] (известная за рубежом [9] как метод МММ), в которой, как и в [7], основные соотношения ОМРП были получены на основе дополнительного предположения о погашении поля внутри тела. Подчеркнем здесь, что предположение о погашении поля, используемое в [7,8], совершенно не требуется при вычислении коэффициентов Фурье (см. [6], а также [10-11, 89 ). Строгое обоснование методов, изложенных в работах [7,8], было да-
но в [95].
Численные расчеты коэффициентов Фурье показали достаточную эффективность матричного подхода к реализации ОМРП [5. 9, 12-15]. Однако с: увеличением высоты гребней границы трудности счета нарастают, что связано, по-видимому, со способом реализации метода [10, 11]. Иногда эти затруднения связываются с несправедливостью гипотезы Рэлея, хотя численная сходимость наблюдалась и вне границ ее выполнимости [96]. Сравнение эффективности численной реализации различных подходов пока не привело к единому мнению. Так, если в [9] предпочтение отдается матричному подходу, то в [97] - методу интегрального уравнения.
Распространение метода разделения переменных на задачи с уравнениями эллиптического типа, допускающими асимптотическое разделение переменных, по-видимому, впервые было предложено в [81], где в трехмерной непериодической задаче рассеяния потенциал предполагался центральным только при удалении от рассеивателя.
Распространение метода разделения переменных на задачи с уравнениями эллиптического типа, допускающими асимптотическое? разделение переменных, по-видимому, впервые было предложено в [81], где в трехмерной непериодической задаче рассеяния потенциал предполагался центральным при удалении от рассеявателя.
Представление решения рядом в рамках ОМРП имеет, кроме перечисленных выше неудобств, один существенный недостаток,
а. именно, не дает возможности описывать решение вблизи границы. Естественный способ преодоления этой трудности заключается в обосновании возможности продолжить ряд Фурье вплоть до границы. На разрешение этого вопроса для одной только задачи рассеяния, описываемой уравнением Гельмгольца было затрачено много усилий (из обширной библиографии по этому вопросу см., например, [16-20]). При этом доказано существование двух классов границ: для одного гипотеза Рэлея справедлива, для другого -нет.
Таким образом, открытым остается вопрос о построении решений и сходящимся к ним приближений во всей области. Также открыт вопрос о построении сходящихся приближений к коэффициентам Фурье краевых задач для уравнений более общего вида.
Трудности в исследовании гипотезы Рэлея, а также общие затруд нения при определении коэффициентов Фурье в ОМРП для элли-
птических задач привлекли особое внимание к получению асимптотических оценок коэффициентов разложений. Прежде всего получение асимптотических оценок коэффициентов Фурье само по себе является важной задачей анализа. Применительно к ОМРП знание точной асимптотики решает в главном задачу нахождения этих коэффициентов. Действительно, даже в случае применимости классического метода, когда коэффициенты находятся в явной форме, интегралы, представляющие их, явно вычисляются лишь в крайне редких случаях. Поэт-ому одним из основных (если но главным) аппаратом аналитического исследования и использования любых рядов Фуры? является асимптотика их коэффициентов. С этой точки зрения трудности асимптотического анализа, которые необходимо преодолеть в классическом и обобщенном методах, при некоторых условиях примерно одного уровня. А именно, различие заключается лишь в том, что в первом случае подынтегральная плотность (значение решения или его нормальной производной на границе) известна, а во втором - нет. Различие совершенно исчезнет, если для достаточно широкого класса границ удастся выяснить аналитические? свойства неизвестной плотности, пригодные для применения асимптотических методов (например, метода перевала). Исходя из этого можно исследовать упрощенную постановку задачи, а именно, ставить вопрос об отыскании не полного выражения коэффициентов Фурье, а его асимптотики [21, 10]. Такой подход позволил распространить ОМРП на уравнения с неразделяющимися переменными и представить коэффициенты Фурье [84-87] при больших значениях номера в виде асимптотических рядов.
Тнание асимптотических оценок коэффициентов сп может оказаться существенно важным также и при построении решения вблизи границы. А именно, точная асимптотика <:п выявляет класс границ, для которых гипотеза Рэлея справедлива. В этом случае ряд Фуры? является решением всюду в области. Если же асимптотические оценки сп не допускают использование ряда вблизи границы, то с помощью точной асимптотики сп можно выделить слабо сходящуюся часть ряда и просуммировать ее (см., например, [22]). Таким образом решение можно будет представить в виде суммы двух функций. Первая функция - это быстро сходящаяся часть ряда Фурье, которая в силу этого аналитична уже во всей области
8
и коэффициенты которой нужно искать тем или иным способом. Вторая функция - это сумма слабо сходящейся части ряда Фурье, которая также аналитична во всей области как разность двух аналитических функции.
Итак, резюмируя сказанное, подчеркнем, что разработка методов точной асимптотики коэффициентов Фурье является одной из важнейших составных частей ОМРІІ.
Перейдем к точным формулировкам.
0.2. Двумерные задачи рассеяния.
Рассмотрим плоскую задачу рассеяния на 2тг - периодической связной границе 5, расположенной в полосе ІГ < у < Іґ декартовой прямоугольной системы координат (х, у). Пусть область рассеяния содержит полуплоскость у > 1ь+. Полная волновая функция ф удовлетворяет уравнению 1 'ельмгольца
д-0 + /А/' = о, (1,})е!!+, (0.2. і)
где* к > 0 - волновое число. Во избежание резонанса к будем пока считать нецелым. Отметим, что резонансный случай для уравнения (0.2.1) подробно исследовался в работах [29,30]. Границу 5 будем считать ляпуновской, краевое условие для простоты возьмем в виде
= о. (0.2.2)
Ограничиваясь '2тс- периодическими решениями уравнения (0.2.1), представим ф при у > /і+ в виде ряда
+ОС
■ф - £(С~У£ + СяФп)> ф« = Ь*{у)ехр(іпх), ь» = ех\>(±п!иу),
-СО
(0.2.3)
где ги — л/к2 — п2. Величину ьп выберем так, что уп = |оп| при \п| < А:, уп = г|г’п| при |п| > к. При \п\ < к волны ф~ приходящие,
Фп уходящие. При |п| > к волны ф„ продольные. Когда у -Рос,
амплитуды их соответственно убывают или возрастают. В классе ограниченных решений
С~ = 0, |п| > к.
(0.2.4)
'Задается конечное множество амплитуд приходящих волн
С", |п|<*. (0/2.5)
Требуется по заданным амплитудам (0.2.4), (0.2.5) приходящих волн и краевому условию (0/2/2) найти волновую функцию </’> в частности найти амплитуды С,| уходящих (|п| < к) и продольных (|п| > к) волн (задача.рассеяния).
Такая постановка двумерной периодической задачи рассеяния была сформулирована впервые в работе [80].
В настоящей работе будем рассматривать условия излучения общего вида, когда задается последовательность
С,;, п ~ 0, ±1,..., (0/2.G)
такая что
+оо
< -foo. (0/2.7)
Ч-оо
£ сп 'Фй
и--со
Будем также рассматривать общий случай квазипериодичсской с периодом Т задачи, когда решение ф удовлетворяет в № условию квазипериодичности
■ф(х + Т.у) = ехр (грТ)ф{х, у),
а собственные функции, например, для уравнения Гельмгольца имеют вид
-фп = ехр{±УД:2 - (пг + рУу + г(Ы + р)х],
где I — 2/г/Т, р - параметр квазипериодичности. Следуя [5], для коэффициентов Фурье С* можно записать интегральные представления
а для С.~ дополнительные представления
с“=4 (,,-2-9)
ГД<- Ты " нормальная производная решения на границе, 5() - часть границы 5, соответствующая одному периоду.
К)
Одна из идей реализации ОМРП в задачах рассеяния заключается в том [5], чтобы но заданной системе функционалов (0.2.9) най ти нормальную производную решения и затем с помощью формулы Кирхгофа и (0.2.8) построить решение во всей области и вычислить коэффициенты Фурье С~.
В работе [6] был осуществлен матричный подход к реализации ОМРП, получивший широкое распространение в работах других авторов, а именно, была введена матрица рассеяния, преобразующая амплитуды приходящих волн в амплитуды уходящих и продольных. Другими словами, был построен прямой алгоритм вычисления С+, не затрагивающий нормальную производную. Однако оставались нерешенными вопросы построения приближений к решению краевой задачи вблизи границы, сходимости приближений в каком-либо смысле к точному решению, распространения метода на другие задачи.
В настоящей работе будем придерживаться первоначальной идеи, основанной на вычислении из системы (0.2.9) неизвестной составляющей решения на границе. Для распространения этой идеи на другие краевые задачи потребуется изменить классическую постановку задачи, в частности, дополнительные условия на бесконечности и в окрестности других особых точек, что потребует, в свою очередь, введения в постановку задачи разложения решения вдоль координатных линий типа (0.2.3). Реализация этой идеи существенным образом будет базироваться на представлении фундаментального решения в виде ряда Фурье, аналогичного разложению (0.2.3) решения краевой задачи. При этом будут построены решения для широкого класса краевых задач, уравнения которых допускают разделение переменных. Кроме того, будет предложено аналогичное распространение ОМРП на задачи, в которых не только границы, но и уравнения не допускают разделения переменных.
Прежде, чем перейти к следующим разделам работы, сделаем несколько предварительных замечаний по данной постановке зада чи. Отметим вначале, что представление (0.2.3) есть разложение решения в ряд Фурье вдоль координатной линии у — с, с > /і+, полностью содержащейся в области Далее, представление (0.2.3), вообще говоря, необходимо обосновать, что и было сделано в [5]. В задачах, которые будут рассматриваться в данной работе, ибосно-
ізание представлений, аналогичных (0.2.3), будет дано несколько иначе, чем в [5].
Условия (0.2.4), (0.2.5) имеют яркий физический смысл: (0.2.5) определяет приходящие волны, условие (0.2.4) предполагает, что падающая волна на бесконечности имеет конечную энергию. 13 работах [33, 45, 32) было показано, что условия (0.2.4), (0.2.5) при выполнении некоторых дополнительных ограничений (на наш взгляд непринципиальных) гарантируют единственность решения данной задачи. И этом смысле их можно считать условиями излучения. Следует отметить, что эти условия имеют не совсем обычную форму, по сравнению с другими условиями, явно описывающими поведение решения на бесконечности. См., например, условия излучения Зоммсрфельда, условия ограниченности на бесконечности решения двумерного уравнения Лапласа, равномерное стремление к нулю на бесконечности решения трехмерного уравнения Лапласа и т.д. Тем не менее с помощью соответствующего задания некоторой части решения (0.2.3) можно задать любое возможное в рамках конкретной задачи поведение решения на бесконечности. Следовательно, (0.2.4), (0.2.5) можно рассматривать как один из вариантов универсального условия излучения, пригодного для областей и уравнений различных типов.
Таким образом, та или иная форма задания условий типа (0.2.1), (0.2.5), а следовательно, и дополнительных условий типа (0.2.9) является не только специфическим достоинством ОМРП в задаче рассеяния (как отмечалось в (10)), но будет служить средством формализации и постановки задачи, и доказательства однозначности, н построения решении, и обоснования сходимости приближенных решений для широкого круга краевых задач. При этом, однако, в некоторых задачах физический смысл этих условий будет не так очевиден.
Предположение, что ряд (0.2.3). представляющий решение при у > сходится всюду в ГГ вплоть до границы 5, составляет, как указывалось выше, содержание гипотезы Рэлея (ГР). Аналогичное предположение, появляющееся в других краевых задачах в постановке ОМРП, будем называть обобщенной гипотезой Рэлея (ОГР).
Функции ф„, определенные' в (0.2.3), а также функции, появляю-
щнеся в других краевых задачах в разложениях типа (0.2.3), будем называть собственными функциями данной краевой задачи в постановке ОМРП (безотносительно от каких-либо краевых условий).
0.3. Структура диссертации и основные результаты.
Перейдем к изложению содержания диссертации.
Диссертация состоит из настоящего введения, разбитого на три параграфа, четырех глав, содержащих 16 параграфов, заключения и приложения. Нумерация теорем, лемм, формул и т.д. внутренняя для каждой главы. Теоремы, леммы, следствия, замечания и формулы (внутри параграфа) имеют трехразрядную нумерацию: номер главы, параграфа и номер следования внутри параграфа. Некоторые параграфы разбиты на подпараграфы со сквозной нумерацией внутри параграфа. Во вступлении к главе II формулы нумеруются звездочками. Формулы вступления к главе IV имеют двухразрядную нумерацию (номер главы и номер порядка следования).
Первая глава "Постановка задачи и теоремы единственности” состоит из четырех параграфов, разбитых на восемь подпараграфов.
В первых двух параграфах дается постановка ОМРП для уравнений, допускающих разделение переменных и предлагается методология распространения постановки задачи на уравнения, не допускающие разделения переменных. Характерной особенностью предложенной постановки является стандартность формулировки условий излучения для различных уравнений, областей (внутренних и внешних) и границ (конечных и периодических). При этом условия излучения очерчивают классы функций, допускающие особенности решений как в бесконечно удаленной, так и в конечных точках. .Для уравнений, не описывающих задачи рассеяния, эти условия будем называть обобщенными условиями излучения.
В первом параграфе (1.1) исследуется двумерная задача с периодической (1.1.1) и конечной границами. Рассматриваются три типа уравнений с переменными коэффициентами: типа рассеяния, диффузии и Лапласа. Дается обоснование разложения решения
13
в ряд Фурье в части области, анализируется выбор собственных функций, удовлетворяющих нужным асимптотическим свойствам, и формулируются обобщенные условия излучения. Для периодической задачи и уравнения типа рассеяния особо выделяется резонансный случай, когда некоторые из собственных функций имеют существенно иную асимптотику при удалении от границы. Для конечной границы и задач типа рассеяния наряду с особенностью на бесконечности допускается наличие источников и в конечных точках области.
Во втором параграфе дается распространение постановки на многомерные задачи: Аг+1 - мерные N - периодические границы (1.2.1) и р - мерные, р > 3, конечные границы (1.2.2). В первом случае условия излучения ставятся с помощью разложения решения в классический многомерный ряд Фурье тз области выше гребной границы. Во-втором - решение представляется в виде ряда Фурье по сферическим функциям р - го порядка на р - мерных сферах, внутри которых содержится граница.
В разделе 1.2.3 предлагается распространение постановки задачи на двумерные уравнения, в которых уравнения не разделяются. Существенное отличие от предыдущего случая состоит в том, что нахождение собственных функций сводится к решению бесконечной системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений, которая в отличие от случая уравнения с разделяющимися переменными не расщепляется. Тем не менее обе системы в некотором смысле близки и, как будет указано в разделе 1.4.3, для распространения ОМРП на уравнения, не допускающие разделения переменных, достаточно, чтобы решения этих систем имели одинаковую асимптотику при больших значениях аргумента.
В 1.3-1.4 доказывается единственность решения поставленных задач. Третий параграф посвящен вопросам однозначности решения двумерных краевых задач с периодической границей в постановке ОМРП для уравнения (1.1.1), (1.1.7), где потенциал \\ убывает на бесконечности и удовлетворяет оценке (1.1.32).
Вначале исследуется уравнение типа рассеяния (Л > 0) и наиболее часто встречающаяся в приложениях задача отражения: нахождение» коэффициентов Фурье С„ уходящих или отраженных ноли (собственных функций, не исчезающих на бесконечности). Для
1-1
всех трех типов краевых условий доказаны теоремы единственности определения амплитуд отраженных волн. Эти теоремы будут существенно использоваться в главе III при доказательстве разрешимости краевых задач с нулевым краевым условием и заданными амплитудами приходящих волн (например, рассеяние плоских электро-магнитных воли на идеально проводящей границе, погруженной в неоднородную среду).
Единственность полного решения для смешанной краевой задачи и задачи Дирихле доказана при некоторых ограничениях на потенциал Ц, границу и краевое условие.
Отдельно исследуется однозначность решения в резонансном случае, т.е. когда множество резонансных собственных функций не пусто. Доказана серия теорем единственности. При этом получено неожиданное физическое свойство: вид закона сохранения потока (или энергии) зависит от скорости убывания потенциала У\ на бесконечности. А именно, если У\ убывает достаточно быстро, вид закона сохранения не изменится, т.е. амплитуды резонансных волн не входят в энергетическое тождество. В случае медленного убы ■ вания V'! в рамках оценки (1.3.54) резонансные волны дают вклад в энергетическое тождество.
Для уравнений типа диффузии (Л < 0) и Лапласа (Л = 0) с краевыми условиями трех типов доказаны теоремы единственности при некоторых ограничениях на потенциал и границу. Эти теоремы обобщаются на резонансный случай, который возможен при Л = 0 и некоторых соотношениях между параметром квазипериодичности и периодом.
В заключение третьего параграфа исследуется вопрос о выборе обобщенных условий излучения (ОУИ), т.е. о выборе в разложении (0.2.3) заданной и искомой части решения. Члены ряда (0.2.3) при каждом п уже разделены по признаку асимптотического поведения при у —> +оо. Остается решить вопрос: однозначен ли выбор из двух последовательностей С;; заданной и искомой. Для периодических задач рассеяния этот вопрос решается положительно.
Рассмотрим дополнительные по отношению к (0.2.0), (0.2.7) условия излучения: задается последовательность чисел С7\ так, чтобы ряд с общим членом С+ф* сходился при у > В теореме 1.3.12 доказывается однозначность решения краевой задачи Дирихле для
уравнения (0.2.1) с дополнительными условиями излучения. Однако, в главе III будет .показано, что так поставленная краевая задача, вообще говоря, неразрешима в общем случае непрерывного краевого условия, т.е. теорема 1.3.12 указывает только на отсутствие нетривиальных решений однородной задачи с дополнительными условиями излучения. Для условий излучения типа (0.2.6), (0.2.7) разрешимость доказывается в главе III.
В параграфе 1.4 исследуется однозначность решений поставленных задач для многомерной конечной границы (раздел 1.4.1), .V + 1 - мерной N - периодической границы (раздел 1.4.2) и дается распространение результатов для двумерной однопериодической задачи на случай, когда уравнение не допускает разделения переменных (раздел 1.4.3).
Для конечной р - мерной границы рассматривается случай р = 2, так как при р > 2 доказательства аналогичны. Предполагается, что коэффициенты уравнений обладают центральной симметрией, т.е. разделение переменных возможно в полярной (р = 2) пли сферической (р > 2) системе координат. Вначале исследуется уравнение (1.1.1), (1.1.43) типа рассеяния (Л > 0). Доказываются теоремы единственности для внешних областей двух типов как с источниками только на бесконечности, так и с источниками на бесконечности и в конечных точках при краевых условиях трех типов. При заданных условиях излучения на модели уравнения Гельмгольца единственность доказывается и для внутренних задач с источником.
Для уравнений типа диффузии или Лапласа (А < 0) теоремы единственности внешних краевых задач с источниками на без конечности доказаны при больших ограничениях на потенциал чем в случае А > 0. В завершение раздела 1.4.1 доказана единственность решения внешней р - мерной задачи без источников в конечных точках для уравнения Лапласа с обобщенными ус ловиями излучения (теорема 1.4.6), причем доказательство единственности единообразно для всех р и всех типов краевых условий. Небезынтересно отметить, что выбирая здесь коэффициенты Фурье заданной час ти решения специальным образом, приходим к задаче для уравнения Лапласа в классической постановке. А именно, при р = 2 решение ограничено, а при р > 2 стремится к нулю при г —> ос со
и.
скоростью порядка гр~'2. В этом случае в теореме 1.4.6 повторен к л асе и чес к и й ре зу л ьтат.
В разделе 1.4.2 предлагается распространение' результатов раздела 1.4.1 на Лг - периодические задачи. На примера' уравнения типа рассеяния (Л > 0) доказываются теоремы единственности определения амплитуд отраженных волн и полного решения в отсутствие резонанса.
В разделе 1.4.3 рассматривается двумерное уравнение (1.2.46), не допускающее разделения переменных, в периодической краевой задаче. Используемые обобщенные условия излучения содержат кроме стандартных соотношений (1.2.51), (1.2.52) дополнительные'
(1.2.48)-( 1.2.50) и (1.4.36), (1.4.37). Это обусловлено тем обстоятельством, что асимптотические свойства решений системы (1.2.56), к которой приводит задача определения собственных функций в с лучае уравнения с неразделяюгцимися переменными, вообще говоря, неизвестны. В настоящей работе эти свойства постулируются в форме (1.2.48)-(1.2.50) при большом аргументе и (1.4.36), (1.4.37) при большом номере. Доказаны теоремы единственности задачи отражения и полного решения.
Основные итоги первой главы.
1. Предложено распространение постановки задачи рассеяния в схеме ОМРП на широкий класс краевых задач для уравнений эллип гического типа.
2. Доказаны теоре мы единственности поставленных задач.
3. Анализ доказанных теорем показывает высокую эффективность обобщенных условий излучения (ОУ И), которые обладают следующими достоинствами:
(а) Имеют единую форму для широкого класса уравнений эллиптического типа любой размерности и с любым знаком коэффициента Л.
(б) Принимают один и тот же вид для конечной II периодической границ.
(в) Допускают неограниченный рост на бесконечности как заданной части решения, так в некоторых случаях, и искомой части.
17
(г) Включают в себя как частный случай классические ограничения на бесконечности.
(д) Пригодны как для внешних, так и для внутренних задач с источниками.
(е) Гарантируют единственность для широкого класса краевых задач.
(ж) Допускают распространение на задачи, в уравнениях которых переменные не разделяются.
(з) Являются основой для реализации ОМРП, предложенной в главе III.
Основные результаты первой главы отражены в работах автора [32-33, 45, 52. 82].
Вторая глава посвящена методам построения фундаментальных решений для линейных уравнений эллиптического типа с переменными коэффициентами, допускающих разделение переменных. Основой для построения фундаментальных решений послужила правая часть равенства (**) [50], представляющего собой разложение в ряд Фурье периодизированного фундаментального решения уравнения Гельмгольца. Обобщение равенства (**) на квазипериодн-ческий случай было дано формулой (***) в работе [30]. Следует отметить, что представления (**) и (***) имеют смысл только для не резонансного случая, в противном случае ряды, входящие в них. расходятся.
В первом параграфе рассматривается двумерное уравнение типа рассеяния. Квазипериодическое фундаментальное решение представляется агрегатом (2.1.28) вида
4* ос
К = Т Е ехР{г(Ш +р)(х - 0}шп(У>т1),
—со
, - I К{у)ьпМ, у > V, \ К(г1К(у), п > у,
гд<> € Л1; у,у € «/ = (г:, +оо), Т - период, р - параметр квазипсриодичности, Ь* - фундаментальная система уравнения
К + к(к* - (Ш + р)> + Г,) = о,
1,4
а„ - вронскиан системы Ь„. Исследуются его классические свойства. Доказывается, что, если потенциал У\ бесконечно дифференцируем на полуоси ,) и суммируем в окрестности точки у — -Ьоо, то
в классе обобщенных функций при (х,у), (£, //) 6 П, где <6 - дсльта-функция Дирака, по крайней мере, трижды непрерывно-диффереи-
гдо гп - расстояние между точками (ху у) и (£ + пТ, г/).
Во втором параграфе рассматриваются уравнения типа диффузии и Лапласа. Квазипериодическое фундаментальное решение выбирается в том же виде, что и для уравнения типа рассеяния с за-
при Л = 0. Исследуются аналогичные свойства фундаментальных
которое естественным образом следует из (***) заменой величины А- на г А:, хотя в известной автору литературе не встречалось. В работе [30] указывался один из путей доказательства равенства. (***). В настоящей работе для (2.2.2) реализован другой путь, который пригоден и в случае равенства (***).
Завершается параграф рассмотрением уравнения типа Лапласа (А = 0). Здесь равенства типа (***) или (2.2.2) уже не имеют места, так как периодизация фундаментального решения уравнения Лапласа приводит к всюду расходящемуся ряду. В зтом случае вначале исследуется правая часть равенства (***) при А: = 0: для нерезонансного варианта как и выше, в условиях резонанса прямым суммированием ряда. Затем в технике первого параграфа полученные результаты переносятся на уравнение типа Лапласа.
цируема по переменным (г, у. £, г/) и имеет классическую асимптотику вида
К. ~ (2тг)~1е*пТр \пгпу гп~* 0,
меной волнового числа к на Не в случае А — — А:2 и заменой к нулем
решений. Техника доказательств для А = -к1 основана на равенство (2.2.2) вида
ч2? ,,П),.х _ ч2? схр{г(п< + р)(х - О- + («< + 1>УЪ - »/|}
/ - г/о \ i tei )ц) - - - ,
И)
В третьем параграфе рассматривается двумерное уравнение, допускающее разделение переменных в полярной системе координат, когда потенциал Ц зависит только от полярного радиуса. Согласно методу фундаментальное решение строится в виде
27Г -ос
Мп — “п
%(г)Ьп(го), Г>г(),
Ь»(го)*>»(г), г <
где - фундаментальная система уравнения
К + -Ь'п + - ^2 + К = О,
ам -функция натурального аргумента, определяемая равенством Ни — И'«*’, И',, - вронскиан системы 6*. Выбор фундаментальной
системы Ь* однозначно определяется, как и в предыдущих случаях, асимптотическим поведением при больших значениях аргумента.
В качестве пробной функции /со рассматривается фундаментальное решение уравнения Лапласа вида
1
/Со=^-Ее”,(^Ч0)(г,'-о)>
о;(0) =
Л
Г > г0,
2\п\ | (£) , Г <г0, Пф О,
(0) _ { 1ч г0, г > гц,
Щ { 1п г, г < г0,
которое легко суммируется. Это упрощает вывод свойств фундаментального решения /С, аналогичных периодическому случаю.
В четвертом параграфе исследуются многомерные периодические фундаментальные решения. Для простоты рассматривается трехмерное уравнение (2.4.1), допускающее разделение переменных в декартовой системе координат. Трехмерное двумерно-квазипсри-одическоо фундаментальное решение строится в виде (2.4.2):
+2" ехр(*(щ<1 + р|)(а.1 - 6) + »(п2<2 + Р2)(*2 - 6) .
к-= Ъ------------------------------тгр.------------------------Х
»1 ,П2=~00 1 11 2
20
хип1Пг{у,п),
где Т-п / = 1,2- периоды по переменным хп 1( = 2тгТ~\
(0.3.1)
ащп2 - вронскиан фундаментальной системы Ь* П2 уравнения
Двойной ряд (0.3.1) рассматривается в обычном смысле суммирования кратных рядов Фурье. Доказывается, что функция (0.3.1) является квазипериод ическим по переменным Х\, Х2 фундаментальным решением уравнения (2.4.6) в классе обобщенных функций.
Для исследования дифференциальных и асимптотических свойств выбирается простейший представитель семейства фундаментальных решений, соответствующий уравнению Лапласа и чисто периодическому случаю р\ = р2 = 0, а именно, ряд (2.4.9):
Ряд (0.3.2) СХОДИТСЯ при (Х\,Х2 ,у) 7^ (^1+'Л]Ть $2 + ^272, п)у Пищ - целые, по признаку, обобщающему признак Дирихле на многомерные ряды. Доказывается, что функция (0.3.2) имеет классическую асимптотику трехмерного фундаментального решения в окрестности особых точек (£1 + + щТ'2,г]) вида.
где г„1П1> - расстояние между точкой (хц, #2,/у) и особой точкой, и аналитична в Я вне особых точек. Доказательство основано на представлении двойного ряда в виде двух повторных, замене внутреннего ряда интегралом, перемене порядка сумммирования
Ь'щП2 4- [А - (щ<1 + р])2 — (п2/2 + Р2)2 + У\\^щп2 = 0.
1_ ехр{г(п!<1 +р{)(х1 - 6) + АщЧ + Р2)(^2 - Ы ч,
ПГ 2—, _ Г 0.9 . о, ■)
х ехр{-\/пМ + пЩ\у - т)\\ + (0.3.2)
и интегрирования и непосредственном суммировании слабо сходящихся частей. Реализация данного плана доказательства достаточно сложна и громоздка ввиду неравномерной сходимости исследуемых рядов и интегралов.
Итоги второй главы:
1. Предложен метод построения фундаментальных решений для уравнений эллиптического типа, допускающих разделение переменных в какой-либо системе координат.
2. Структура фундаментального решения достаточно проста, наглядна и хорошо вписывается в схему обобщенного метода разделения переменных, т.к. близка ряду Фурье общего решения.
3. Доказаны основные свойства фундаментальных решений для уравнений, допускающих разделение переменных в декартовой п полярной системах координат. В частности, конструктивным путем доказано существование квазипериодических фундаментальных решений для уравнений с переменными коэффициентами.
4. Выбранная структура фундаментальных решений позволяет, как будет показано в третьей главе, построить алгоритмы нахождения коэффициентов Фурье, решения краевых задач во всей области и решения интегральных уравнений, к которым приводят краевые задачи.
Результаты второй главы представлены в работах автора [83, 92. 106].
ГЗ третьей главе предлагаются методы решения краевых задач, пос тавленных в первой главе. Основную роль здесь играют Фурье-ирсдставления фундаментального решения и теоремы единство! ногти, доказанные в главе I. На основании этих двух узловых групп теорем вначале доказывается разрешимость поставленных задач, а затем исследуются свойства систем собственных функций (полнота., минимальность, базисноеть и т. д.). В завершающих разделах главы с использованием полученных результатов и аппарата теории биортси опальных систем излагаются методы получения решений интегральных уравнений, к которым сводятся данные крае-
чадячи, и построения приближений к решениям самих краевых задом.
Мерным параграф посвящен вопросам разрешимости поставленных задач. Особое внимание уделено ис следованию разрешимости двумерных кназннермодичсских задач. Для различных типов поведения гю'гешшала V па бесконечности доказана, разрешимо«п. i-.patMn.ix задач. Метод доказательства базируется на класс ичс< коп теории по іелцнала и теоремах единственности. В частности, исследуемся важная для приложении задача рассеяния плос ких воли в неоднородной среде иа идеально проводящих периодических границах. В этом случае существование решения гарантирует теорема единственности $адачп отражения, которая верна при минимальных ограничениях.
Аналогичным образом исследуется разрешимость двумерных кра сиых задач с конечной границей, когда задается краевое условие и источник воли как на бесконечности, мак м в конечных точках области. Единственное отличие состоит в том, что в формулировке з'еорем приходится дополнительно предполагать наличие муж II*>іі асимптотики у собственных функции не 'ТОЛЬКО при больших номерах, но и при больших значениях полярного радиуса.
Во втором параграфе исследуются свойства системы функций, но которым решение краевой задачи разлагается в ряд Фурье, си <тсмы нормальных производных собственных функций на границе п системы, состоящей из линейных комбинаций собственных функ ціні и их нормальных производных. Свойства, э тих систем будут использоваться в 'третьем параграфе для решения красных задам <-оотвезч"тленно первого, второго ц третьего рода. Исследования проводя тся для двумерной квазппериоднческой задачи. Обобщение на многомерные и непериодические задачи достаточно очевидно, так как в доказательствах в основном используются только теоремы единственности и Фурье-представлепие фундаментальных ре-ми ни и
При < гапдарі иых для данной работы ограничениях на козффи іі.ікмї ї и уравнения доказана эквивалентность полноты или мини малі,нося и сік тем функций в пространстве /,а на границе облас ти и едимся ценности решения соо гнется вующпх краевых задач. Иолу мены необходимые п достаточные условия ба иктвк тп исследуемых
систем, которые определяются понятиями, обобщающими известную гипотезу Рэлея для уравнения Гельмгольца.
В завершение параграфа получены интегральные уравнения, связывающие элементы пар данных систем и биортогональных к ним. Эти интегральные соотношения будут существенным образом использоваться в следующем параграфе для представления решений интегральных уравнений в виде рядов Фурье.
13 третьем параграфе, состоящем из двух разделов, предложены методы построения решений краевых задач, поставленных в главе I, и интегральных уравнений, к которым сводятся эти краевые задачи. 13 качестве основного аппарата исследований используются пары биортогональных систем, введенных по втором параграфе. Исследования проводятся только для двумерных квазипериод и че-ских задач, однако, приведенные схемы могут быть распространены на многомерные и другие задачи.
В первом разделе предлагается методика решения интегральных уравнений, описывающих двумерные кзазипериодические задачи. Доказано, что решения этих уравнений можно представить в виде рядов но системам, биортогональным к собственным функциям. При этом оказывается, что коэффициенты Фурье решений интегральных уравнений по системам собственных функций соответствующих краевых задач совпадают с точностью до известных множителей с коэффициентами Фурье свободных членов по системам, биортогональным к собственным функциям. А именно, решение разлагается по системе связанной с сопряженной краевой задачей, а свободный член - по системе, связанной с исходной задачей.
В данном разделе предлагается также на основании полученных результатов методика вычисления коэффициентов Фурье решений краевых задач.
Во втором разделе развит способ реализации ОМРП без обращения к интегральным уравнениям, впервые предложенный в работе [5] для уравнения Гельмгольца. 13 [5] была предложена идея нахождения коэффициентов Фурье, которая применительно к задаче Дирихле заключается в вычислении нормальной производной решения на границе по заданной системе амплитуд приходящих волн. Обобщенные условия излучения, выделяющие заданную часть коэффициентов Фурье решения в обобщенной постановке краевой за-
2-1
дачи позволили в настоящей работе перенести эту идею на более общие уравнения и реализовать ее с помощью биортогональных систем. В частности, построены приближения, которые сходятся равномерно на любом компакте в рассматриваемой области к точному решению. Элементы приближающих последовательностей выражены в явной форме через краевое условие, заданную часть коэффициентов Фурье решения и элементы систем, биортогональных к системам собственных функций. Построены также алгоритмы нахождения коэффициентов Фурье способом, отличным от метода предыдущего раздела. Оба способа имеют свои преимущества. Полученные результаты основываются на свойстве базисности рассматриваемых систем. Однако, в некоторых практически важных частных случаях достаточно минимальности или даже вырожденной минимальности.
Основные итоги третьей главы: получил дальнейшее развитие метод, обобщающий на краевые задачи с некоординатной границей классический метод разделения переменных.
Результаты третьей главы опубликованы в работах автора [11,
В заключительной главе исследуется задача получения асимптотических оценок коэффициентов Фурье, к которым приводит ОМРП. Рассматривается двумерная 2л - периодическая задача с уравнением Гельмгольца. Для определенности изучается задача Дирихле. Краевое условие предполагается аналитическим и, без уменьшения общности, полагается равным нулю, волновое число к предполагается нецелым.
В качестве основного объекта исследования выбирается интегральное представление для С+
где . нормальная производная решения на границе, .90 - часть границы, соответствующая одному периоду. Предполагается, что в полосе - л < х < л декартовой системы координат (х, у) граница 5 является кусочно-гладкой кривой Жордана и имеет параметрическое представление
51, 53, 54, 62, 88, 90, 91 , 93, 94].
°'т 4глу/кг - т2 -------
«1(0» У-и2(*)> <е[аг,0].
(0.3.3)
Для удобства дальнейших исследований коэффициенты представляются в виде
_ I «о Л. .я
С±Н = д- /,2---------2 Е -#!а в(0^2(()ехр{|т|/г±(<)}Л,
4гтг V/с^ - т£ ;=о ■/а
ат = Vт2 - А:2 - |т|, ‘
© = ^|.=.1(., • МУ + («2)'-
071. 4Г=и2(«>
Таким образом, изучение асимптотики С* сводится к исследованию интегралов
^т(Л = £©(0«2(*) ехр{гп/г±(<)}Л, т — оо,
которые являются классическим объектом для применения метода перевала. Основная идея метода перевала заключается в деформации контура интегрирования интеграла о* в комплексную плоскость ^ = I 4- 1д так, чтобы максимум функции Не/г* был минимален среди всех новых контуров. Метод состоит из двух частей: топологической (выбор нового контура) и аналитической (оценка интеграла вдоль выбранного контура). Развитие аналитической части в основном завершено (см., например, [72]) и во многих случаях можно воспользоваться готовыми формулами. Топологическая часть почти во всех применениях метода перевала вызывает значительные трудности, так как эта задача - глобальная. Для обобщенного метода разделения переменных в отличие от классического случая эти трудности усугубляются тем обстоятельством, что при реализации метода перевала необходимо знать аналитические свойства весовой функции (-), которая неизвестна.
Последнее обстоятельство существенно снижает возможности метода. перевала по двум причинам. Во-первых, минимаксный контур может и не принадлежать области аналитичности функции 0. Во-вторых, метод перевала, если 0 неизвестна, дает всего лишь оценку сверху, так как коэффициенты рядя для <т* зависят от коэффициентов разложения функции 0 в степенной ряд в окрестности точки перевала. В некоторых ситуациях [74] все коэффициенты асимптотического ряда могут обращаться в нуль и вклад в асимптотику от точки перевала функции Л* исчезнет. Это обстоятельство
■Ц\
заставило продолжить изучение сингулярностей [67, 98], определяющих главный член асимптотики, что в свою очередь потребовало рассмотрения особенностей аналитического продолжения в комплексную плоскость [99-102].
В настоящей главе предлагается методика реализации метода перевала, базирующаяся на двух следующих идеях. Во-первых, контур интегрирования предлагается деформировать в линии уровня функции в частности, в перевальные линии уровня. В
качестве минимаксного контура выбирается контур, проходящий через точку перевала с максимумом Ле/г* среди всех точек перевала и лежащий в окрестности данной перевальной линии уровня. Таким образом, топологическая часть метода перевала формализуется и, фактически, сводится к изучению геометрии линий уровня функции Не//А Вторая идея основана на предположении, что функция 0 имеет аналитическое продолжение с вещественной оси в области, ограниченные линиями уровня П,еЛ1 и вещественной осью (или ее частью).
Реализация этих идей позволяет достаточно просто получить оценки сверху коэффициентов Фурье для широкого класса границ. Кроме того, такой подход к решению топологической части метода перевала позволяет построить метод получения оценок снизу, которые совпадают с оценками сверху, по крайней мере, в главном члене асимптотики. Идея этой методики состоит в возможности переноса краевого условия при несовпадении верхней и нижней оценок в комплексную плоскость через точку перевала на бесконечность. Это приводит к противоречию с постановкой задачи.
Полученные двусторонние оценки коэффициентов Фурье позволяют выделить границу области, в которой решение краевой задачи представимо рядом Фурье. Как следствие этого результата, решается вопрос о справедливости гипотезы Рэлея.
В первом параграфе исследуются аналитические свойства весовой функции 0. Первый раздел параграфа посвящен выводу интегрального уравнения для 0. Во втором разделе исследуется возможность аналитического продолжения функции © в некоторую комплексную окрестность любого отрезка [а, 6] С (ск,/3) при условии, что граница является кусочно-ляпуновской при t £ (а, Э) и аналитичной при / £ [«,&].
27
Затем рассматривается любая односвязная область пересечение которой с вещественной осью совпадает с (а, к). Доказывается,что 0 имеет аналитическое продолжение из (а, Ь) в Г), если граница (0.3.3) является кусочно-ляпуновской при / £ [<*>(3] и имеет аналитическое продолжение из (а, Ь) в Т) и если уравнения
кФ^г) = Ь±(т) -р 2ттгт, (0.3.4)
где т - целое, неразрешимы при г 6 [<*,$], г £ И, 1п\г ф 0. Уравнения (0.3.4) определяют точки возможных сингул ярносчч'й функции 0. Если вся граница аналитична, то 0 допускает аналитическое продолжение в любую область О, содержащую вещественную ось, при условии, что граница допускает аналитическое продолжение в П и уравнения (0.3.4) также неразрешимы в О.
Далее, вводятся в рассмотрение две конечных области Т' (1ц) комплексной плоскости 2 = I-\-igy ограниченные частью вещественной оси
Ь = {г : < I < /0> 9 = 0},
где а < < /-о < (3, и линиями уровня />*(*0) = {г : и г к* (г) =
и2(*о)}- Здесь параметрическое задание (0.3.3) границы предполагается выбранным так, чтобы минимум функции щ достигался во внутренних точках сегмента Границы дТА{1о) предполага-
ются связными.
В с лучае, когда максимальная высота перевального уровня функции КеЛА меньше ппп д2(/), / £ [ог,/3], вводится в рассмотрение'
пара областей ^г±(^о), ограниченных вещественной осью и линиями уровня
I*(*<>) = {г ■ ДеЛ±(^) = Т\ек±(20), Яе/г±(2о) < шт 1^(0» * € ['*>#]}•
Здесь предполагается, что ^{гф) - бесконечные области типа полосы, распространяющиеся вдоль вещественной оси, т.е. Ь1(гц) являются связными периодическими по переменной / линиями, а под «,(#), 7 = 1,2, понимаются функции, доопределенные по периодичности на всю вещественную ось. Можно также отметить, что области Т± симметричны относительно вещественной оси областям .
Доказана серия теорем о неразрешимости уравнений возможных сингулярностей функции 0 в Т±.
Во втором параграфе рассматриваются методики получения двусторонних оценок коэффициентов Фурье. Первая часть параграфа посвящена получению методом перевала оценок сверху.
Вначале исследуется геометрия линий уровня RеЛ* и показывается, что множество областей Т± не пусто. Затем строится система вложенных областей Тл'(1 о„), которая приводит, если она ограничена, к области с перевальной линией уровня в качестве границы, либо с линией уровня, соединяющей концы сегмента [а,/?]. В первом случае минимаксный контур интегрирования проходит через точку перевала, содержится в окрестности данной перевальной линии уровня и окрестности той части интервала [ûr,/3], где Re/г4*(/) < Re/И'(го), zo - точка перевала.
Во втором случае, если линия уровня Re/г4 (г) = Reh+((3) не является перевальной, существует система областей J7±(zQn) типа полосы, которая приводит к области с периодической по переменной / перевальной линией уровня в качестве границы. В качестве нового контура интегрирования можно выбрать контур, состоящий из трех компонент £;-, j — 1,2,3, где L\ проходит через точку перевала и лежит в окрестности части линии уровня, соответствующей одному периоду. Контуры L2 и £3 соединяют концы контура L\ и точки t = а и t = /?, причем L‘2 совпадает с £3 при параллельном переносе на период вдоль вещественной оси. Новый контур не является минимаксным, однако для получения асимптотических оценок достаточно того, что. контур Ь\ является минимаксным, так как интегралы по L‘i и £3 взаимно сокращаются ввиду периодичности.
Аналитические свойства функции 0, полученные в предыдущем параграфе, в комплексе с новыми контурами интегрирования позволяют выписать асимптотические ряды для коэффициентов Фурье.
Полученные асимптотические оценки позволяют выделить области сходимости ряда (1.1.10) с границей у = с плоскости (ж, у) задания краевой задачи. Величина с определяется либо особыми точками границы, либо максимальной высотой перевальных линий уровня.
Может оказаться, что система областей T±{t{)n) неограниченна в совокупности. В этом случае минимаксный контур не существует. Однако, можно получить улучшаемую последовательность оценок, позволяющую выделить область аналитичности ряда (1.1.10). Ве-
•«)
личина с определяется в этом случае высотой функций Re/Г в так называемой особой точке перевала 2 = ос. Данная ситуация реализуется, например, для логарифмической границы и подробно исследуется в пятом параграфе.
Во втором разделе второго параграфа предлагается методика получения оценок снизу для коэффициентов Фурье. Ее основные положения состоят в следующем. Рассматривается нулевое краевое условие па части 5(c) границы 5, содержащейся в области сходимости у > с ряда (1.1.10), где величина с определяется асимптотическими оценками, полученными в первом разделе. Ряд (1.1.10) в силу оценок сверху равен нулю на 5(c). Доказывается, что это равенство аналитически продолжимо в области Jr±i на границах которых находятся точки перевала.
Предположение о выполнении оценок снизу, гарантирующих сходимость ряда (1.1.10) при у > Ci, ci < с (вклад в асимптотику С,| от точки перевала исчезает), приводит к тому, что равенство нулю ряда (1.1.10) аналитически продолжимо в область, содержащую /±.
Затем выбирается положительный сектор точки перевала, содержащийся в той же полуплоскости, что и область и доказывается аналитическая продолжимость ряда (1.1.10) в бесконечно удаленную точку этого сектора.
Слагаемые ряда (1.1.10) имеют различное поведение при г —* со. Поэтому равенство нулю ряда (1.1.10) при z оо приводит к равенствам С~ = 0. Это противоречит постановке задачи, согласно которой Сп - априорно произвольные числа, удовлетворяющие только условиям излучения.
Таким образом, оценки снизу коэффициентов Фурье позволяют определить траншу области сходимости ряда (1.1.10).
В последующих трех параграфах рассматриваются конкретные границы с параметрами и выводятся двусторонние оценки коэффициентов Фурье методами, изложенными выше.
Третий параграф посвящен получению асимптотических оценок коэффициентов Фурье решения для краевой задачи с синусоидальной границей у = b cos х методами, построенными выше.
В подразделе 4.3.1 выводятся оценки сверху. Вводятся функции /i* = =рiz + bcosz и рассматриваются точки перевала функции /г
:«)
в верхней полуплоскости и функции /г'ь в нижней.
В нижней полуплоскости в полосе \х\ < тг имеется одна точка перевала
Ь
Ч — ? 1п --------—
1 + ^
функции /г+, причем
/+/ Л т> /+/ \ 1 1 + у/№ + 1 1 4- + л/1 4- Ь2
*<«•> =<2">=-----------------5-----+ ~7хТГ-
В соответствии с методикой получения оценок сверху показывается существование областей Тл с перевальными линиями уровня Ь± в качестве границы. При этом в случае Ь < Ьо линии /Ч образуют области Т* типа полос. Число Ьц является корнем уравнения По// * (з0) — —Ь.
Доказывается неразрешимость уравнений сингулярностей в Т± и, следовательно, обосновывается оценка сверху
С„+ = О(\п\-3'*е.хр{Ке)1+(г0)\п\}). (0.3.5)
Оценка (0.3.5) была получена другим методом в работе [73] и автором в [79].
Оценка (0.3.5) гарантирует сходимость ряда (1.1.10) при у > КеЬ+(го) в физической плоскости {х,у), т.е. гарантирует справед-ЛИВОСТЬ гипотезы Рэлея при Ь < 6о, что является повторением ре-зультата, полученного в [66].
В подразделе 4.3.2 получена оценка снизу для . Показано, что оценка
С+ = 0(ехр{с|тг.|},
где с < Не/И (го), невозможна. Тем самым установлено, что ряд (1.1.10).сходится при у > Н.е//+(го) и расходится при у <
В частности, щ>и Ь > Ь$ гипотеза Рэлея н<? верна, что повторяет результат работы [19].
Итак, асимптотические оценки коэффициентов Фурье для синусоидальной границы определяются высотой точек перевала функции в нижней полуплоскости или, что то же самое, высотой точек перевала функции 1Г в верхней полуплоскости.
В четвертом параграфе рассматривается степенная граница, заданная на периоде х £ [-7г,7г] уравнением
х
y=\l“W 6> °’ ^=1,2,3,.... (0.3.G)
Функции h 1 имеют вид
** - *2+- (;Г)•
а точки перевала функции h+ определяются равенством
2" = (^)'’''хр{'(2(2^ + ЙГл)}' (IU'7>
т.е. //.+ имеет 2// - 1 простых точек перевала, из них v в нижней полуплоскости (т = 0,-1,— v +1)- В точках перевала
Reh+(zm) = Ь + <]т ^1 - , (0.3.8)
причем во всех точках перевала нижней полуплоскости (</„, < 0) высота 11е/г+(гт) ниже, чем max R.c/i+(.t) = b, х 6 [—тг, 7г]. Это понижение1 минимально в двух точках наиболее близких к оси О.г (т. — 0,1-*/).
Вначале исследуется случай Ь > /;0, где число
ш = £
(2^ —1) sin —
2(2ц - 1)
'iv- 1
удовлетворяет равенству Ке/г+(2:о) = 0. Доказывается аналитичность функции 0 в области с границей Ь+, содержащей точки перевала го и г\-и. На рис. 5 изображена линия перевального уровня для случая V = 4. В окрестности точек перевала 20 и г_з изображены также по две другие линии этого уровня, ограничивающие положительные (заштрихованные) сектора этих точек. Пунктиром отмечены линии перевального уровня функции Г?е//1 в окрестности
ТОЧеК г-1, 2-2-
Таким образом, в случае Ь > &о имеет место оценка (0.3.5), где; ЛоЬ + (го) определяется равенствами (0.3.8) и (0.3.7) при т — 0, а