3.4 Доказательство ограниченности функционалов в случае условий па Уг; и V#..................................................
Список литературы
Введение
Диссертация посвящена исследованию регулярности решений системы магнитной гидродинамики (МГД). Эта система может быть записана следующим образом
dtv + (v • V)u - Av -f Vp = rot II x II \
> в Or, (0.1)
div v = 0 J
dtH + rot rot H = rot(i? x H) I
' } n QT. (0.2)
div tf = 0 J
Здест» Q С M3 это ограниченная область с границей класса С2. Qt = Q х (0/Г). v : Qt —> М3 поле скоростей жидкости, р : Qj —» I& давление. II : Qt —> К3 напряженность магнитного поля. Данная система описывает движение проводящей вязкой несжимаемой жидкости в магнитном иоле. В область приміщення магнитной гидродинамики входят очень разнообразные физические объекты от жидких металлов до космической плазмы. Магнитная проницаемость сред, которые рассматриваются в данных задачах. мало отличается от единицы. Система уравнений (0.1) (0.2) получается из систем Навье-Стокса и Максвелла в предположении, что ток смещения мал и им можно пренебречь (см. |45|).
Сразу же отметим, что данная система является переопределенной, в ней на 7 неизвестных (по три компоненты у и и Н и давление) приходится
8 уравнений. Поэтому се разрешимость возможна только для весьма специфического класса граничных условий. Мы будем исследовать случай, когда течение жидкости происходит в области, ограниченной идеальным проводником. Эго дает следующие краевые условия:
и|сЙ2х(0,Т) = Ф .
#*/|гЮх(0.Г) = 0» (гое#)Г|шх(0.Г) = 0. (0.4)
Исследованиям свойств решений системы магнитной гидродинамики посвящено достаточно большое количество работ: [44|. [1) [4| [5| (7) [18] |32[
і і і і і і и многие другие.
Поскольку її частном случае при Н = 0 система (0.1) (0.2) превращается в систему Навье-Стокса. мы начнем с краткого обзора теории уравнений Навье-Стокса. чтобы обозначит!» круг результатов, па которые мы ориентировались в наших исследованиях системы магнитной гидродинамики.
Па сегодняшний день проблема гладкости слабых решений трехмерной системы Навье-Стокса,
д(1' 4- (г> • У)г> - Аи 4- V/? = 0
(0.5)
с1і\'ї; = 0
описывающей движение вязкой ньютоновской жидкости, является одной из фундаментальных проблем современной математической гидродинамики. Система (0.5) применяются в математическом моделировании многих природных явлений п технических задач. Разнообразным исследованиям этой системы посвящено множество работ (15) (12) [41| [42] [43] [52| [3] [21|
[19) [31) [13| [14| (24) (25| [29| [2С| |40| [40| и многие другие. Однако, в настоящее время существует лишь несколько ситуаций, обусловленных простой
11898196
геометрией, которые решены в аналитическом виде (течение ПуазеЙля, течение Тейлора- Куэтта и др.). При этом вопросы о единственности решения и существовании глобального гладкого решения для задачи Коши для трехмерной системы уравнений Навье-Стокса тесно связаны между собой, до сих нор остаются открытыми и входят в число millenium problems.
Отметим ряд результатов, которые были получены еще Ж. Лере'в его, ставшей уже классической работе [15].
• Сущесвует Т* > 0 такое, что задача Конги для системы (0.5) имеет единственное гладкое решение с "приемлемыми свойствами иаоо"(см. также [41|).
• Задача Коши для системы (0.5) имеет но крайней мере одно глобальное слабое решение, удовлетворяющее естественному энергетическому неравенству. Более того, слабое решение совпадает с гладким решением в R3 х (0;Т*). Аналогичные результаты для начально-краевой задачи в ограниченной области были получены Э.Хопфом (см. (12|).
• Для данного слабого решения существует замкнутое множество S Є (0; 4-оо) пулевой меры такое, что решение гладкое в К3 х ((0; +оо) \S). (На самом деле, рассуждения Лере позволяют получить, что= 0, однако явно это не отмечено.)
В дальнейшем точку (яр, to) G Qt мы будем называть регулярной, если слабое решение уравнения гладкое в окрестности этой точки. Остальные точки мы будем называть сингулярными. Важным пгагом при исследовании множества сингулярні,їх точек, стала идея “локализации решения в точке х \ Исследования в этом направлении были начаты В. Шеффером в
|20] |23j и n дальнейшем развиты Л. Каффарелли. Коном и Л.Нирен-боргом в [3j. Позже Лип [16] сумел значительно упростить доказательство этих результатов (см. также (14|). Один из вариантов этого критерия может быть представлен в виде следующей теоремы.
Теорема 1 Существует абсолютная константа £ > 0 такая, что Оля любой пары, функций V, р подходящего слабого решения (0.5) в параболическом цилиндре Q(Z{), R{]), если выполнено условие:
Здесь используется понятие подходящего слабого решения, которое впервые. видимо, было введено В. Шеффером в [20) [23). Дальнейшие обобщения этих результатов были сделаны Г. А. Серегиным в работе [20].
Еще одно очень важное обобщение результатов Лере было получено в работах Проди [19|. Серрппа [31] и Ладыженской [13].
Теорема II Пусть V и У\ два слабых решения Лере-Хопфа задачи Коши для системы. (0.5). Предположим, что для некоторого Т > 0 поле скоростей V удовлетворяет условию Ладыженской-Проди-Ссррипа
Тогда V = щ о С)т Щ более того, V это гладкая (функция о К* х (0;Т).
Единственность была доказана Проди в [19] и Серрином в [30], а гладкость была получена Ладыженской! в |13|. Дальнейшие обобщения этой
то существует рц < /?и такое, что о непрерывно по Гельдеру в Q(z\j.po).
где
- Київ+380960830922