♦
Содержание
ВВЕДЕНИЕ................................................................. 3
ГЛАВА 1. Полулинейное эллиптическое уравнение в цилиндрической области. . 9
§1. Вспомогательные утверждения...................................... 9
§2. Асимптотика положительных решений............................... 22
§3. Знакопеременные решения......................................... 32
§4. Условие Дирихле................................................. 33
§5. Уравнение вида ии + Ли + и - и3 — 0............................. 34
ГЛАВА 2. Полулинейное уравнение в цилиндрической области с растущим коэффициентом............................................................... 41
ГЛАВА 3. Полулинейное эллиптическое уравнение во внешности компакта. ... 64 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.................................................... 72
*
2
ВВЕДЕНИЕ.
Проблема исследования поведения решений нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными при больших значениях независимой переменной является весьма важной и интересной как с теоретической точки зрения, так и с точки зрения приложений в математической физике. Работа посвящена изучению решений уравнения
^ Ъх- (0,у ^ + ^ а‘ ^ " Ф)1«(*)Г1«(*)= 0 (ол)
i,j=1 1 ' 3 ' *=1 *
в разного рода неограниченных областях где а^(х)у <ц(х), а(х) — ограниченные измеримые функции в Q, о — const > 1,
71
A^l2 < Y, «у(*)€6 £ А^12>
ij=1
£ 6 Н1П, |£|2 = = const > О, Л2 = const > 0, а(х) > 0, х € Г2.
Уравнения вида (0.1) встречаются в различных задачах математической физики и им посвящено много работ например Brezis [18, 19], Keller [25], Osserman [30], Veron [33-35]. Наиболее полно исследован случай Oij(x) = öij, то есть старшая часть — оператор Лапласа, а,(.т) = 0, а(я) = const.
Одним из важнейших вопросов теории дифференциальных уравнений является вопрос об асимптотическом поведении их решений в окрестности бесконечно удаленной точки областей различной структуры. В частности, много внимания уделяется изучению поведения решений в цилиндрических областях с разного рода граничными условиями (например, Кондратьев, Олейник [27]; Berestycki, Nirenberg [17]; Kondratiev, Veron [28]). Такие задачи возникают в химической физике, в теории горения [5].
Заметим, что свойства решений уравнения (0.1) существенно отличаются от свойств решений линейных уравнений. Например, если и(х) — решение (0.1) в С2 = {х : \х\ < 1}, то |ц(0)| < С, где С от и не зависит. Это невозможно в линейном случае (<т = 1). Доказательство такого неравенства имеется в работах [25] (при ciij(x) = 5ij, ai(x) = 0), [10] (при а,-(ж) = 0) при а.;(а:) ^ 0 в настоящей работе.
Исследование уравнения (0.1) является содержательным и в случае п = 1. Такие уравнения известны как уравнения Эмдена-Фаулера. Уравнение
у ±ta\y\(7~1y = 0
3
возникло в связи с астрофизическими исследованиями Эмдена [20,21] и исследовалось затем многими авторами [22-24]. Оно так же встречается в ядер-ной физике при изучении поведения электронов в тяжелом атоме. Наиболее полное изложение современного состояния теории обыкновенных уравнений типа Эмдена-Фаулера имеется в работе Сансоне Дж. [31], в монографиях Веллмана Р. [2] и Кигурадзе И.Т., Чантурия Т.А. [6].
Работа состоит из трех глав. В главе 1 рассматриваются решения уравнения
u“ + Ё (°у (*) !^т) + Ё - ФОК”1« = 0 (0.2)
^ I—1
в области Q = G х IR+ (G С IRn - ограниченная область, dG = Г - липши-
цевая поверхность, IR+ = (0,+оо)), удовлетворяющие условию
du ^ du
■^ = ^2aij(x)j^-cos(n,Xi) = 0, xedG,teB.+, (0.3)
ij=1 ;
где п - единичный вектор внешней нормали к dG х JR+. Везде в дальнейшем, если не оговорено иное, предполагается, что все коэффициенты уравнения (0.2) а,;(х), а*(я), а{х) — измеримые, ограниченные функции в С7,
at; = ciji, а(х) > 0, JGa(x) dx > 0, <т = const > 1,
n
miitf < E 5: ™2І£|2, x Є G, f Є IRn, mi,m2 = const > 0.
i,.7=l
В качестве решения уравнения (0.2), удовлетворяющего условию (0.3) понимается обобщенное решение. Приведем его определение.
Будем обозначать ПG|t = G х (а, 6), ПО)00 = Па, Г0)ь = dGx (а, Ъ), Га>00 = Га. Функция u(x,t) называется обобщенным решением уравнения (0.2), удовлетворяющим условию (0.3), если u(xyt) Є W\ (Па>ь) П (Па,ь) при любых 0 < а, 6 < оо и имеет место равенство:
/Г ^ du д"ф
dtdx +
n0lfr Па,ь 4
/Я А
\\ai{x)^-^dtdx + I а{х)\и\°~1 игр dtdx = 0 1=1 dXi J
Па.6
4
для любой функции гр(х,t) Е (Па,б) такой, что ф(х,а) = ф(х,6) = 0.
Из классических результатов о гладкости обобщенных решений линейных эллиптических уравнений следует, что и(х, t) непрерывна в П0, при всех а > О и в каждой замкнутой области Па>& удовлетворяет условию Гельдера [3,13J. Кроме того, ^ € W£ (Па>ь), 1 < а < b < оо [3|.
Исследованию асимптотических свойств решений уравнения (0.2) при t оо, удовлетворяющих условию (0.3), посвящены работы [4, 26-28] и другие.
В работах [4, 26, 27] изучен случай а(х) = const, > 0 и показано, что для любого решения уравнения (0.2), удовлетворяющего условию (0.3), существует Т = const такое, что u(x,t) — co(t + Т)& + о{е'~ы), где а = const > 0
от u(x,t) не зависит, |со| = * или со = 0. Причем со = 0 тогда и
только тогда, когда решение меняет знак в каждой области Па, а > 0.
В работе [28] получен первый член асимптотического разложения решения уравнения (0.2), удовлетворяющего условию (0.3), в случае а(х) > 0, fG а(х) dx ф 0 и сч(х) = 0.
А именно, доказано, что всякое положительное, стремящееся к нулю решение уравнения (0.2), удовлетворяющее условию (0.3), таково что
и ~ ^ 1 где а = fG а(х) dx > 0. В этой же работе приведен
пример функции а(х) > 0, а(х) ф 0 для которой существует положительное решение уравнения (0.2), удовлетворяющее условию (0.3), не стремящееся к нулю на бесконечности. Кроме того в [28] получены достаточные условия на а(х) при которых всякое решение уравнения (0.2), удовлетворяющее условию (0.3) стремится к нулю.
В настоящей работе получено асимптотическое разложение решения уравнения (0.2), удовлетворяющего условию (0.3), а именно, доказана
Теорема 1.5 Пусть u(x,t) > 0 решение уравнения (0.2), удовлетворяющее условию (0.3), такое, что Ит*_юои(х} t) = 0.
Существует т, зависящее от u(x,t), такое, что каково бы ни было т
т
u(x,t) = co(t + T)'-* +^Cj(x)(t + T)rb- 2»_|_0(*х-«т 2m)j (0.4)
i=l
где cq = (о-4?-! ^> ci(^),..., cm(x)- непрерывные функции, которые не
\(1 -а)* а)
зависят от u(x,t).
5
Здесь а = f а(х)щ(х) dx, функция щ(х) является решением задачи G
Д-л д ( , ч ЗиЛ Ла, м, Л
—1 i—1
ди п
= ^a,(x)ucos(n, х,), х € <9G, (0.5)
4=1
удовлетворяющим условиям
uq(x) >0, х € G, I ио(х) dx = 1.
Jg
Известно, что такое txo(^) существует и единственно [8,9].
Для знакопеременных, стремящихся к нулю при t -> +оо, решений уравнения (0.2), удовлетворяющих условию (0.3), доказано экспоненциальное убывание.
Теорема 1.7 Пусть u(x,t) - стремящееся к нулю при t -* +оо решение уравнения (0.2), удовлетворяющее условию (0.3), которое меняет знак в каждой области Па, а > 0. Тогда u(x,t) = о(е~7*), 7 = | ImAi| — e, e > 0 — сколь угодно мало, Ai — ненулевое собственное значение задачи
д ( , ч ди\ А , .ди ч2 Л
i>j — 1 4—1
= 0 на dG,
он
такое, что в полосе 0 < ImA < ImA* пет собственных значений этой задачи.
Утверждение теоремы 1.7 верно для стремящихся к нулю решений уравнения (0.2), удовлетворяющих однородному условию Дирихле на dG х IR+. Только в этом случае \\ — собственное значение задачи
д ( . . ди \ Ди ди 2 ^
Е^Нж)^) + Е°‘(а:)^ГЛи = 0’
ly] — 1 4—1
х G G, и = 0 на dG.
6
- Київ+380960830922