О существовании решений с поверхностью сильного разрыва для гиперболических законов сохранения: приложения к магнитной и радиационной гидродинамике

Оглавление
Введение 5
0.1 Структурная устойчивость сильных разрывов для гиперболических законов сохранения. Актуальность вопроса .... 5
0.2 Исторический обзор и основные методы исследования .... 9
0.3 Содержание работы.......................................... 20
0.4 Формулировка основных результатов ......................... 26
1 Локальное существование решений с ударной волной для абстрактных законов сохранения 29
1.1 Симметрический вид квазилинейных гиперболических систем 29
1.2 Постановка смешанной задачи с граничными условиями на
поверхности сильного разрыва............................... 33
1.3 Постановка линеаризованной задачи.......................... 38
1.4 Нахождение областей неустойчивости......................... 41
1.5 Равномерная и нейтральная устойчивость..................... 46
1.6 Строго диссипативный р-симметризатор и априорная оценка
для задачи с постоянными коэффициентами.................... 58
1.7 Локальная теорема существования и единственности для нелинейной задачи................................................. 67
2 Структурная устойчивость быстрых МГД ударных волн при слабом магнитном поле 78
2.1 Уравнения МГД для идеальной сжимаемой среды................ 79
1
2.2 Соотношения на сильном разрыве и МГД ударные волны . . 81 •
2.3 Линеаризованная задача для быстрых МГД ударных волн . 91
2.4 Вывод априорной оценки для случая слабого магнитного поля 98
2.5 О выводе оценки для трехмерного случая...................... 110
3 Равномерное условие Лопатинского для ударных волн индекса 1 и его приложение к МГД ударным волнам 120
3.1 Условие равномерной устойчивости быстрой параллельной
МГД ударной волны.......................................... 122
3.1.1 Линеаризованная задача для быстрой параллельной ударной волны.............................................. 122
3.1.2 Эквивалентные формулировки условия Лопатинского и равномерного условия Лопатинского для гиперболических задач со свойством 1-81юск...........................125
3.1.3 Условие Лопатинского для задачи 3.1.1.................129
3.1.4 Равномерное условие Лопатинского для задачи 3.1.1 . 131 3.2' Полный анализ двумерной устойчивости быстрых ударных
волн в политропном газе.................................... 136
3.2.1 Численная проверка условия Лопатинского и равномерного условия Лопатинского................................136
3.2.2 Численное исследование устойчивости быстрых ударных волн .................................................. 141
3.3 Уравнения релятивистской МГД................................ 149
3.4 Линеаризованная задача для параллельных ударных волн в релятивистской МГД.............................................. 153
3.5 Полный анализ устойчивости быстрых параллельных релятивистских МГД ударных воли..................................... 159
4 Характеристические сильные разрывы: тангенциальный и вращательный разрывы в МГД 168
2
4.1 “Вторичная” симметризация уравнений МГД.....................170
4.2 Линеаризованная задача для МГД тангенциального разрыва 175
4.3 Априорная оценка для задачи (4.17)-(4.19)...................183
4.4 Анализ линеаризованной задачи с переменными коэффициентами для МГД тангенциального разрыва..................193
4.5 Линеаризованная задача для вращательного разрыва .... 209
4.6 Эквивалентные постановки задачи 4.5.1.......................213
4.7 Неустойчивость вращательного разрыва при сильном магнитном поле.............................................220
5 Существование гладких решений и решений с ударной волной уравнений радиационной гидродинамики 225
5.1 Уравнения радиационной гидродинамики для неподвижной среды...................................................228
5.2 Существование глобального решения задачи Коши для системы уравнений (5.1), (5.2)............................231
5.3 Линеаризованная задача для радиационных ударных волн . 235
5.4 Вывод априорной оценки для задачи 5.3.2................241
5.5 Уравнения релятивистской радиационной гидродинамики . . 247
5.6 Линеаризованная задача для релятивистских радиационных ударных волн............................................253
5.7 Вывод априорной оценки для “быстрых” ударных волн . . . 262
5.8 Неустойчивость “медленных” ударных волн................269
Приложение А Сильные разрывы в МГД с анизотропным
давлением 275
А.1 Система МГД с анизотропным давлением........................276
А.2 Соотношения на сильном разрыве и эволюционные ударные
волны в МГД ЧГЛ.............................................281
3
А.З Линеаризованная задача для быстрых ударных волн в МГД
ЧГЛ........................................................299
А.4 Устойчивость быстрых параллельных и перпендикулярных
ударных волн в МГД ЧГЛ.....................................303
А.5 Неустойчивость медленных параллельных ударных волн в
бесстолкновительной холодной плазме........................308
А.6 Линеаризованная задача для вращательного разрыва в МГД
ЧГЛ........................................................316
A.7 Неустойчивость вращательного разрыва в бесстолкновительной холодной плазме............................................322
Приложение В Тангенциальный разрыв в МГД несжимаемой
жидкости 328
B.1 Решения уравнений МГД несжимаемой жидкости с поверхностью тангенциального разрыва.................................329
В.2 Линеаризованная задача для тангенциального разрыва . . . 334
В.З Априорные оценки для задачи с постоянными коэффициентами ............................................................338
В.4 Анализ линеаризованной задачи с переменными коэффициентами ........................................................342
В.5 Теорема единственности для нелинейной задачи...............352
Литература 355
4
Введение
0.1 Структурная устойчивость сильных разрывов для гиперболических законов сохранения. Актуальность вопроса
При движении различных сплошных сред (например, газа, плазмы и т.д.) часто образуются относительно тонкие переходные зоны больших градиентов, в которых параметры среды (плотность, давление, скорость, магнитное поле и т.д.) испытывают резкие изменения. Математическими моделями идеальных сплошных сред, т.е. таких, что процессами диссипации (например, вязкостью, теплопроводностью и т.п.) в них можно пренебречь, являются обычно гиперболические законы сохранения.
В этом случае упомянутые тонкие переходные зоны моделируются движущимися поверхностями сильного разрыва, на которых функции, описывающие движение сплошной среды, меняются скачком. В то же время, сами квазилинейные гиперболические системы уравнений обладают свойством образования сингулярностей (типа градиентной катастрофы) из гладких начальных данных за конечное время. То есть сильные разрывы в решениях гиперболических систем, например, ударные волны, являются их неотъемлемым свойством.
С другой стороны, формально рассматриваемое решение с поверхностью сильного разрыва, т.е. такое слабое решение квазилинейной гиперболической системы, которое является гладким с обоих сторон от разрыва, на по-
5
верхности которого выполняются так называемые соотношения Ренкина-Гюгонио, может реально не существовать даже локально по времени. В этом случае формально рассмотренный сильный разрыв не существует как физическая структура в рамках используемой математической модели, т.е. структурно неустойчив.
Таким образом, одним из отправных моментов исследования сильных разрывов для гиперболических законов сохранения должен являться вопрос их структурной устойчивости, т.е. вопрос, связанный с доказательством локального по времени существования и единственности решения с тем или иным видом сильного разрыва (например, с ударной волной). При этом ключевым пунктом в этом вопросе является проблема нахождения условий на кусочно-гладкие начальные данные, которые гарантируют наличие такой локальной теоремы существования и единственности (условия структурной устойчивости).
Сам термин “устойчивость сильного разрыва” был введен физиками и означает следующее. Пусть сильный разрыв является плоскостью. Пусть плоскость разрыва, а также параметры стационарного однородного потока сплошной среды перед и за разрывом слабо возмущены. Вопрос состоит в том ограничены ли со временем малые возмущения. Если да, то сильный разрыв называют устойчивым. В противном случае он называется неустойчивым. Понятно, что такое определение устойчивости есть, по существу, определение линейной (или линеаризованной) устойчивости плоского разрыва по отношению к малым возмущениям. Однако оказывается, что линейная (слабая) устойчивость не всегда гарантирует существование (по крайней мерс, локально по времени) соответствующих разрывных решений гиперболической системы законов сохранения, т.е. структурную устойчивость.
С другой стороны, термин “устойчивость сильного разрыва” нужно понимать правильно. А именно, в идеале (для нелинейной постановки задачи)
б
он означает именно структурную устойчивость, т.е. локальную корректность соответствующей нелинейной задачи, но НИ в КОЕМ СЛУЧАЕ не устойчивость по Ляпунову. Дело в том, что имеет смысл исследовать устойчивость по Ляпунову решений с поверхностью сильного разрыва только в том случае, когда доказана теорема существования таких решений глобально но времени или, но крайней мере, есть надежда, что такая глобальная теорема существования действительно имеет место. Для квазилинейных гиперболических уравнений в общем случае такой теоремы нет, как известно, даже для задачи Коши.
Необходимо, правда, отметить, что в одномерном случае (т.е. в случае одной пространственной переменной) при определенных условиях все же доказывается глобальная теорема существования слабых решений (теорема СНтт’а, 1965). Но в рамках диссертации нас будет интересовать только многомерный случай, т.к., с одной стороны, именно он должен рассматриваться с физической точки зрения, а с другой стороны, математическая теория ударных волн для одномерных гиперболических законов сохранения имеет свое отдельное развитие. Отметим, что особняком стоит также случай скалярного закона сохранения, который тоже будет вне нашего рассмотрения, т.е. предполагается, что число законов сохранения БОЛЬШЕ ОДНОГО (для скалярного закона сохранения теория глобальных решений развита в работах Соптсау-ЗтоИег, Кружкова, Ьюпз-РегШате-ТаЛтог; мы не приводим здесь точных ссылок, т.к. эта тематика выходит за рамки интересов диссертации).
Вопрос структурной устойчивости сильных разрывов (например, ударных волн) для различных моделей механики сплошной среды имеет огромное теоретическое и практическое значение. Так, например, для уравнений магнитной гидродинамики (МГД) это связано прежде всего с различными приложениями к астрофизике (солнечный ветер, межпланетные ударные волны и т.д.). Более того, в последнее время актуальность вопроса струк-
7
турной устойчивости возрастает в связи с многочисленными компьютерными расчетами течений сплошных сред с сильными разрывами. Понятно, что такие расчеты должны быть адекватны реальной физической картине явления. С этой целью необходимо придерживаться подхода математического моделирования, заключающегося в одновременном исследовании физической, математической и вычислительной моделей явления.
Что касается явления образования сильных разрывов (точнее соответствующих узких переходных зон больших градиентов, которые моделируются разрывами), то до проведения каких-либо расчетов необходимо быть уверенным в том, что сильный разрыв структурно устойчив, т.е. действительно существует как физическая структура в рамках “гиперболического” (“невязкого”) приближения. Дело в том, что если сильный разрыв, введенный в рамках математической модели, неустойчив, то расчеты в таком случае могут быть абсолютно неадекватны физической модели рассматриваемого явления.
В связи с этим обратим особое внимание на современную ситуацию, связанную с расчетами уравнений МГД сжимаемой жидкости. В последние годы появилось очень много работ, в которых многомерные МГД течения рассчитываются с использованием вычислительных моделей, основанных на решении задачи Римана о распаде абстрактного одномерного МГД разрыва. Если в газовой динамике, по крайней мере, решен в полном объеме вопрос о структурной устойчивости ударных волн в политрошюм газе (см. ниже параграф 0.2, где приводится краткий исторический обзор), то в МГД не только не существует достаточных обоснований использования таких схем расщепления для расчета многомерных МГД течений, но и сам вопрос об устойчивости сильных разрывов еще далек от своего полного решения (см. параграф 0.2).
С другой стороны, ясно, что решение вопроса об устойчивости сильных разрывов является лишь первым, но необходимым этапом в матема-
8
тическом моделировании течений сплошных сред с поверхностями сильного разрыва. Так, например, в последнее время появилась серия работ (см. параграф 0.2), посвященных вязкой устойчивости ударных воли, т.е. устойчивости (в идеале нелинейной устойчивости но Ляпунову) ударных воли, рассматриваемых не как разрыв, а как так называемый вязкий профиль (или структура) для “вязких” законов сохранения (например, для уравнений Навье-Стокса сжимаемой жидкости). Интересно отметить, что в силу результатов этих работ структурная устойчивость ударной волны, т.е. локальная корректность задачи с ударной волной-разрывом, является достаточным условием устойчивости соответствующего вязкого профиля.
0.2 Исторический обзор и основные методы исследования
Сразу заметим, что здесь и далее в диссертации, говоря о сильных разрывах, мы будем иметь ввиду только разрывы, распространяющиеся в неограниченной сплошной среде (х G физический случай и = 2 или п = 3). Случай же, когда компактная поверхность сильного разрыва находится в ограниченной области с граничными условиями типа условий непротекания (в МГД, например, выставляется также условие параллельности магнитного поля границе), является с математической точки зрения просто техническим обобщением случая неограниченной области и неограниченной гиперповерхности разрыва и сводится к последнему стандартной техникой разбиения единицы.
Первые результаты по многомерной линейной устойчивости сильных разрывов (прежде всего ударных волн) были получены в 50-х - 60-х годах XX века Дьяковым [38], Freeman’oM [112], Копторовичсм [45], Иорданским [42], Erpenbeck [108] и др. (см. также обзор [58]) и относятся к газовой динамике. Эти результаты получены с помощью стандартного подхода, осно-
9
ванного на анализе экспоненциальных решений (синусоидальных волновых пакетов [66]) у линейной задачи. А именно, следуя [38] (см. также, например, работы Ландау [51], Сыроватского [64], Сагскшг’а, КгиэкаГа [120] и др.) экспоненциальное решение соответствующей линеаризованной задачи с постоянными коэффициентами ищется в следующем виде:
и = Ио ехр{г(-о>£ + кх 1 + 1x2 + тяз)} , (0.1)
t> 0 , > 0 , (а?2, хз) € Е2,
где и0 — постоянный вектор, и , к у I , т — некоторые постоянные, t —
время, (х1,х’2,х’з) — декартовы координаты (в общем виде для абстрактной системы законов сохранения линеаризованная задача как с постоянными, так и с переменными коэффициентами будет выписана в главе 1). Если существует такое решение, что
1ш ш > 0 , 1т к > 0 , 1т / = 1т т = 0 , (0.2)
то сильный разрыв неустойчив. В противном случае, в рамках подхода,
например, работ [112,108, 120] он считается устойчивым. Мы будем далее называть такую устойчивость слабой. Заметим, что неустойчивость означает по существу возможность построения примера некорректности типа примера Адамара (см. главу 1), т.е. некорректность линейной задачи.
Как впервые было отмечено в работе Дьякова [38], необходимо выделить также случай, когда задача не имеет решений вида (0.1) со свойством (0.2), но у нее есть экспоненциальные решения (0.1) со свойством
1ти> = 1тк~ 1ш / = 1т т = 0 . (0.3)
Для газодинамических ударных волн область параметров линейной задачи, для которой имеет место описанная ситуация, названа Дьяковым [38] областью спонтанного излучения звука разрывом. В последствии такого типа разрывы, устойчивые по отношению к растущим возмущениям, но допускающие экспоненциальные возмущения со свойством (0.3), стали называть
10
нейтрально устойчивыми. На самом деле, в общем случае имеется также возможность существования волновых пакетов с 1т ш = 0, 1т к > 0, 1т I = 1т т = 0 (их называют иногда волнами Рэлея [80]; см. замечание 1.5.3).
Таким образом, описанный стандартный (“физический”) подход к устойчивости сильных разрывов есть, по существу, подход к исследованию линейной (или линеаризованной) устойчивости. Ниже нами будут приведены аргументы, показывающие, что в промежуточном случае нейтральной устойчивости вывод о реальном существовании сильного разрыва не может быть сделан на линейном уровне.
С другой стороны, необходимо отметить, что сильный разрыв, для которого линейная задача с постоянными (“замороженными”) коэффициентами не имеет экспоненциальных решений со свойством (0.2) и (0.3), является равномерно устойчивым (экспоненциальные решения убывают со временем). Этот случай соответствует тому, что для линейной гиперболической задачи выполнено так называемое равномерное условие Лопатипского [130] (см. главу 1). Оказывается, что в более или менее общем случае условие равномерной устойчивости, будучи выполненным поточечно для начальных данных исходной нелинейной задачи гарантирует (вместе с условиями гиперболичности, согласования начальных данных и т.д.) локальное существование и единственность решений этой задачи, т.е. структурную устойчивость.
Понятно, что условие равномерной устойчивости может быть, в принципе, найдено и с помощью стандартного анализа экспоненциальных решений. Но для того, чтобы осуществить переход от равномерной линеаризованной устойчивости к структурной (нелинейной) устойчивости необходимо воспользоваться другим, более строгим подходом. Он опирается на теорию смешанных задач для линейных и квазилинейных гиперболических уравнений и оперирует такими строгими математическими понятиями как
И
равномерное условие Лопатинского, корректность задачи и т.д.
Этот подход к проблеме устойчивости сильных разрывов был предложен в конце 70-х - начале 80-х годов прошлого века в работах Блохина [7, 8, 9, 10, 11] (см. также [13]). Чуть позднее сходный по идеологии подход, но основанный на другой технике, был развит в работах Majda [141, 142, 143]. Прежде чем перейти к краткому описанию этого подхода перечислим основные результаты, полученные с помощью стандартного анализа экспоненциальных решений.
Наиболее полный анализ устойчивости ударных волн в газовой динамике был проведен в уже упомянутой выше работе Дьякова [38]. Им же впервые введены в рассмотрение спонтанно излучающие (или нейтрально устойчивые) ударные волны. В частности показано, что ударные волны в политронном газе всегда равномерно устойчивы. Необходимо правда отметить, что Дьяковым при описании границы между областями нейтральной и равномерной устойчивости была допущена ошибка, которая позднее была исправлена независимо Иорданским [42] и Конторовичем [45]. Заметим, что эти результаты также обобщены Конторовичем [46] на случай релятивистских ударных волн, т.е. им найдены области неустойчивости, нейтральной и равномерной устойчивости для ударных волн в релятивистской гидродинамике [53].
Из исследований зарубежных авторов, относящихся ко времени выхода статей [38, 42, 45, 46], отметим прежде всего работу Erpenbeck [108], в которой вслед за Дьяковым также были найдены условия на уравнение состояния газа, описывающие область слабой устойчивости газодинамических ударных волн (случай нейтральной устойчивости в [108] рассмотрен не был).
Как известно, кроме ударных волн в газовой динамике существуют и другой тип сильного разрыва. Это так называемый тангенциальный разрыв (или вихревая пелена; см. [53]), поверхность которого является харак-
12
теристической границей для уравнений газовой динамики. Исследование устойчивости тангенциального разрыва восходит еще к работе Ландау [51] 1944 года, но окончательный вывод о его неустойчивости был сделан Сы-роватским [64].
Частным случаем тангенциального разрыва является контактный jxl3-рыв, для которого непрерывна не только нормальная, но и тангенциальная компонента скорости газа. Легко показать нейтральную устойчивость такого разрыва. Это справедливо также и для контактного разрыва в МГД, для которого Блохиным и Дружининым [18] получена априорная оценка решений линейной задачи с постоянными коэффициентами. Но открытым остается пока вопрос не только о структурной устойчивости контактного разрыва, но и о переносе этой оценки на случай переменных коэффициентов, поскольку граничные условия для него не являются эллиптическими [143], т.е. фронт разрыва из них не может быть исключен.
В отличие от газовой динамики, в МГД проблема линейной устойчивости ударных волн (кроме ударных волн в МГД имеются контактные, тангенциальные и вращательные разрывы [52, 48]) еще полностью не решена. После выхода классической работы Gardner’a и KruskaPa [120] можно отметить лишь некоторые исследования по устойчивости МГД ударных волн.
Известно, что в МГД в рамках гиперболической (“невязкой”) теории существуют два типа допустимых (эволюционных [52, 53] или лаксовских [132, 61]) ударных волн. Это быстрые и медленные ударные волны, которые были введены в работе Ахиезера, Любарского и Половина [3]. В упомянутой работе Gardner’a и KruskaPa найдено условие слабой устойчивости быстрых ударных воли для общего уравнения состояния газа, но в частном случае параллельных и перпендикулярных волн, т.е. когда магнитное поле параллельно или перпендикулярно нормали к фронту разрыва. При этом доказана слабая устойчивость быстрых параллельных и перпендикулярных МГД ударных волн в политропном газе с 7 < 3 . Позднее Anile
13
и Russo [72] показали, что быстрые перпендикулярные ударные волны в по-литропном газе всегда слабо устойчивы (при всех 7 > 1). Более того, для частного случая, когда магнитное поле предполагается слабым, Блохиным и Дружининым [16,17] была доказана равномерная устойчивость быстрых параллельных и перпендикулярных ударных воли в полнтропном газе (с помощью техники интегралов энергии).
Отметим также работу Lessen, Deshpande [135], в которой численно найдены некоторые области неустойчивости (относительно двумерных возмущений) для МГД ударных волн в политропном газе с 7 = 5/3 (одноатам-ный газ). В частности они показали, что медленные ударные волны могут быть неустойчивыми. Аналогичное, но более полное численное исследование было проведено Филипповой [67], которая нашла некоторые области неустойчивости (в общем случае трехмерных возмущений) и для быстрых ударных волн. Забегая вперед, отметим, что, как следует из результатов настоящей диссертации, в [67] для быстрых ударных волн найдена по существу лишь малая часть всей области неустойчивости. Наконец, известен результат Блохина и Дружинина [17], которые доказали, что медленные МГД ударные волны в политропном газе при сильном магнитном поле неустойчивы.
Необходимое и достаточное условие линейной устойчивости МГД тангенциального разрыва в несжимаемой жидкости найдено Сыроватским [63]. Что касается МГД тангенциального разрыва в сжимаемой жидкости, то до результата, полученного в данной диссертации были рассмотрены только очень частные случаи (см. главу 4). В частности, Дружинин и Пак [37] доказали его неустойчивость для случая слабого магнитного поля.
В МГД, по сравнению с газовой динамикой, существует еще один тип сильных разрывов. Это вращательный (или альфвеиовский) разрыв [48, 52]. Линейная устойчивость вращательного разрыва в несжимаемой жидкости была еще в 1953 году доказана Сыроватским (см. [52]). Что же каса-
14
ется вращательного разрыва в сэ/симаемой жидкости, то первый результат, свидетельствующий о возможности его неустойчивости получен в настоящей диссертации.
Говоря о сильных МГД разрывах, мы имели ввиду классическую модель МГД для идеальной жидкости. Существуют также и другие гиперболические модели МГД. Это, например, уравнения МГД Чу, Гольдбергера и Jloy [102], описывающие движение бесстолкновительной замагниченной плазмы (см. также [5]), а также уравнения релятивистской МГД (см. [2, 137, 138]). Первые результаты по структурной устойчивости сильных разрывов в этих моделях получены в настоящей диссертации. Заметим, что в диссертации изучаются также ударные волны для так называемых уравнений радиационной гидродинамики, полученных не так давно в работах Anile, Pennisi и Sammartino [74, 75]. Соответствующие результаты диссертации также являются первыми в этой области.
Ключевую роль в подходе, развитом в работах Блохина [7, 8, 9, 10, 11, 13]), а затем (основываясь на другой технике) в работах Majda [141, 142, 143], играет, как и в стандартном подходе, анализ линеаризованной устойчивости. На самом деле, исследование экспоненциальных решений у линейной задачи с постоянными коэффициентами может быть выражено в терминах преобразования Фурье-Лапласа, что приводит к введению понятий условия Лопатинского и равномерного условия Лопатинского. В частности, понятие равномерного условия Лопатинского и развитие техники симметризатора Kreiss’a [130] для линейной задачи с линеаризованными условиями Ренкина-Гюгонио (в силу нестандартности граничных условий она отличается от смешанных задач для линейных гиперболических систем, рассмотренных в работе Kreiss’a [130]) являются основными моментами в исследованиях Majda по линейной теории сильных разрывов.
А именно, теория ./^-корректности (точнее Z/2>7?; см. главу 1), развитая Kreiss’oM (а также в работах [159, 160, 144, 141, 143, 101]) для линейных
15
гиперболических систем, была расширена Ма]с1а [141, 142, 143] на случай сильных разрывов, являющимися лаксовскими ударными волнами индекса к (й-БЬоскз; см., например, [128, 141, 143, 61] и главу 1). Для этого случая были получены априорные оценки без потери гладкости (см. главу 1) в весовых пространствах Соболева £2,77 > если выполнено равномерное условие Лопатинского.
Априорные оценки без потери производных от начальных данных для линеаризованной задачи с постоянными коэффициентами были впервые получены Блохиным [7, 8] для случая газодинамических ударных волн. Заметим, что оценки в [7,8] (см. также [13]), в отличие от “весовых” оценок Majda [141, 142, 143], имеют послойный вид и выписаны в стандартных соболевских нормах (см. главу 1).
Переход от равномерной линеаризованной устойчивости к структурной (нелинейной) устойчивости был впервые проделан Блохиным [9, 11] для ударных волн в газовой динамике. Он существенным образом опирается на априорные оценки без потери производных, полученные в [7, 8] для соответствующей линейной задачи. А именно, эти оценки выводятся с помощью техники диссипативных интегралов энергии (см., например, [49, 128, 34] и главу 1). При этом в [9, 11] для соответствующих конструкций интегралов энергии выписываются нелинейные аналоги, с помощью которых получаются априорные оценки для исходной нелинейной задачи с граничными условиями Ренкина-Гюгонио на поверхности ударной волны.
Блохиным [9, 11] доказана локальная теорема существования и единственности кусочно-гладкого решения системы газовой динамики с граничными условиями Ренкина-Гюгонио на ударной волне для начальных данных из И723 (или Щ с 5 > 3). При этом область изменения начальных данных определяется не только условиями согласования с граничными условиями Ренкина-Гюгонио, условием возрастания энтропии на разрыве и т.д., но и равномерным условием Лопатинского для соответствующей ли-
1С
нейной задачи.
Позднее Majda [142), используя другую технику (в частности, псевдо-дифференциальных операторов), доказал теорему существования кусочногладких решений квазилинейной системы законов сохранения, удовлетворяющих соотношениям на лаксовской ударной волне для начальных данных из W<2 (s > 10 для трехмерного случая), если равномерное условие Лопатинского выполнено. При этом, делалось одно очень важное предположение, что квазилинейная симметрическая Z-гиперболическая система удовлетворяет некоторым условиям блочной структуры [141,142] (см. также [1, 144]). В частности, эти условия выполнены для уравнений газовой динамики, но система МГД им не удовлетворяет [151].
Недавно теорема Majda [142] (см. также [143]) была значительно улучшена в работе Mötivier [150], где нелинейная локальная теорема существования сформулирована в форме теоремы Блохина для газовой динамики [9, 11, 93]. Это удалось благодаря L2^-оценке, полученной в [150] для линейной задачи с нетривиальными (в отличие от работы [141]) начальными данными и включающей “послойную” L2-11 орму решения (||(e)(0lli*)' В свою очередь, такую оценку удалось вывести благодаря использованию исчисления Вопу [100] парадифференциальпых операторов, позволяющего снять требование бесконечной гладкости коэффициентов линейной задачи. Такое требование было существенным в работе Rauch [160] при получении аналогичной оценки для смешанной задачи стандартного (“крайсовского”) вида.
Таким образом, в [150] доказана локальная теорема существования и единственности кусочно-гладкого решения из П^оС^О,?], W$~J) с лаксовской ударной волной для системы гиперболических законов сохранения при условии, что для соответствующей линеаризованной задачи выполнено равномерное условие Лопатинского, а s > [п/2] + 2 как для задачи Коши [31, 133,129] или в теореме Блохина [9, 11] для газодинамической ударной
17
волны (при п = 3). При этом, также как и в [142], в работе Мбіїуіег [150] требуется, чтобы квазилинейная симметрическая гиперболическая система удовлетворяла условиям блочной структуры [141, 142].
Как было показано в [1, 149], условия блочной структуры выполняются для гиперболических симметризуемых систем с постоянными кратностями (имеется ввиду случай, когда алгебраические кратности собственных чисел характеристической матрицы являются постоянными, т.е., в частности, не зависят от вектора неизвестных величин). Так, например, уравнения МГД не относятся к таким системам. Однако, совсем недавно Мєйуієг и Zumbrun [151] впервые построили симметризатор КгеІБз’а для случая, когда условия блочной структуры [1,144] не выполнены, но гиперболическая система удовлетворяет некоторым другим условиям, которые справедливы, например, для системы МГД.
Это позволяет распространить результат Маіба [141] и МёЬКчег [150] на случай систем с переменными кратностями (в частности, па систему МГД) при выполнении определенных условий [151]. То есть, в силу этого нового результата МёНу1ег и %итЬгшГа [151], из равномерной линеаризованной устойчивости следует структурная (нелинейная) устойчивость ударной волны в той или иной конкретной модели механики сплошной среды, записываемой в виде гиперболических симметризуемых законов сохранения и удовлетворяющих либо условиям условия блочной структуры, либо условиям из [151].
Вместе с тем, необходимо отметить, что техника интегралов энергии, впервые использованная для сильных разрывов в работах Блохина, все же имеет определенные преимущества перед техникой КгеІ88’а-Ма]сіа. Они касаются прежде всего возможности использовать дифференциально-разностные аналоги интегралов энергии для построения “адекватных” вычислительных моделей (см., например, [22,83]). Иногда техника интегралов энергии позволяет найти условия корректности линеаризованной задачи, кото-
18
рые не удается отыскать ни с помощью аналитического, ни с помощью численного анализа определителя Лопатинского (дисперсионного соотношения). Примером такой задачи является задача для тангенциального разрыва в МГД сжимаемой жидкости (см. главу 4 диссертации).
С другой стороны, прямой “энергетический” метод и “спектральный” метод Кгаээ’а^^ба в некотором смысле дополняют друг друга. В диссертации, хотя основной упор и делается на метод интегралов энергии, ссылки на метод Кге188’а-Ма]'с1а, первым этапом которого является спектральный анализ, т.е. проверка равномерного и слабого условия Лопатинского, занимают большое место.
Что касается случая нейтральной устойчивости, т.е. когда для линеаризованной задачи с постоянными коэффициентами выполнено условие Лопатинского, но не выполнено равномерное условие Лопатинского, то в более или менее общей постановке можно доказать, что в априорных оценках задачи всегда будет присутствовать в том или ином виде потеря производных (либо от правых частей и начальных данных, либо только от правых частей). Однако такие оценки удается перенести на случай переменных коэффициентов. Для нейтрально устойчивых ударных волн это проделано в работе Сои1ошЬе1 [104], а для характеристическргх разрывов в работе Сои1отЬе1, ЗессЫ [105] (для тангенциальных разрывов в газовой динамике в двумерном случае) и автором (для МГД тангенциальных разрывов; см. главу 4 диссертации). В связи с этим, есть большая надежда, что для нейтрально устойчивых разрывов удастся доказать локальную теорему существования с помощью техники Нэша-Мозера (для гиперболических задач см., например, работу [69] и ссылки внутри нее).
С другой стороны, с физической точки зрения, правильный ответ на вопрос о реальном существовании тонких переходных зон больших градиентов, чьими “гиперболическими” аппроксимациями являются нейтрально устойчивые сильные разрывы, может быть видимо получен (по крайней
19
мере, для ударных волн) в рамках “вязкой” теории. То есть когда вместо ударной волны-разрыва рассматривается так называемый вязкий профиль (или структура) для “вязких” законов сохранения с малой диссипацией. Очень важные результаты по “вязкой” устойчивости ударных волн получены в последнее время в работах Zumbnin’a и его коллег (см., например, работы [187, 188, 147,189] и ссылки внутри них).
Так, показано, что равномерная устойчивость ударной волны-разрыва является достаточным условием “вязкой” устойчивости. Более того, Zumb-run доказал, что, в отличие от гиперболической теории устойчивости/кор-ректности, в “вязкой” теории отсутствует переходная (нейтральная) зона между областями нелинейной неустойчивости и устойчивости, а гиперповерхность их разделяющая лежит внутри области нейтральной устойчивости соответствующего сильного разрыва. Таким образом, установлено, что вязкие профили нейтрально устойчивых ударных волн могут быть как устойчивыми, так и неустойчивыми.
В диссертации же исследуется только структурная (“гиперболическая”) устойчивость сильных разрывов. Однако, в свете сказанного выше информация о такой устойчивости/корректности абсолютна необходима для дальнейшего исследования устойчивости по Ляпунову соответствующих вязких профилей.
0.3 Содержание работы
Диссертация, помимо настоящего Введения, состоит из пяти глав, двух приложений (Приложения А и В) и списка литературы.
Глава 1 имеет основополагающее значение для всей работы, поскольку в ней даются все основные определения и понятия, ставится в общем виде задача с граничными условиями на поверхности сильного разрыва, описываются и сравниваются различные методы исследований. Основным ре-
20
зультатом главы 1 является локальная теорема существования и единственности решения гиперболической системы абстрактных законов сохранения с поверхностью ударной волны при определенных условиях на начальные данные.
Параграфы 1.1-1.5 имеют вводный характер. В параграфе 1.1 напоминаются основные определения, связанные с квазилинейными гиперболическими системами, а также кратко обсуждается вопрос их симметризации. В параграфе 1.2 формулируется смешанная задача с граничными условиями на поверхности сильного разрыва для абстрактных гиперболических законов сохранения. Для этой задачи дается определение ударных волн и характеристических разрывов, обсуждаются условия Лакса и т.д. В параграфе 1.3 формулируется соответствующая линеаризованная задача, а в параграфе 1.4 обсуждается вопрос, связанный с нахождением параметрической области ее некорректности для случая “замороженных” коэффициентов (т.е. неустойчивости соответствующего сильного разрыва). В параграфе 1.5 вводятся важные понятия равномерной и нейтральной линеаризованной устойчивости сильных разрывов с помощью определений ’условия Лопатинского и равномерного условия Лопатинского для соответствующей линейной задачи с постоянными коэффициентами.
В параграфе 1.6 дается новое понятие так называемого диссипативного и строго диссипативного р-симметризатора для линеаризованной задачи с постоянными коэффициентами для сильного разрыва. В предположении существования строго диссипативного симметризатора доказывается корректность этой задачи для лаксовских (эволюционных) ударных волн. Наконец, в параграфе 1.7 результат параграфа 1.6 переносится на случай переменных коэффициентов, а затем доказывается локальная по времени теорема существования и единственности (Теорема 1.7.1) решения с ударной волной исходной нелинейной задачи при условии, что соответствующая линеаризованная задача обладает строго диссипативным р-симметризатором.
21
Эта теорема имеет очень важное значение для всей работы, поскольку она применяется для ударных волн в МГД и радиационной гидродинамике. А именно, ссылаясь на эту теорему, из факта построения априорной оценки с помощью техники интегралов энергии для линейной задачи с постоянными коэффициентами можно делать вывод о структурной (нелинейной) устойчивости соответствующей ударной волны (в смысле локального существования и единственности решения нелинейной задачи).
В главе 2 с помощью техники диссипативных интегралов энергии выводится априорная оценка без потери производных для линеаризованной задачи для быстрых МГД ударных волн в политропном газе при слабом магнитном поле. Получение этой оценки может быть формализовано с помощью введенного в главе 1 понятия р-симметризатора (фактически для линеаризованной задачи строится строго диссипативный 2-симметризатор). Поэтому с учетом доказанной в главе 1 Теоремы 1.7.1 мы делаем вывод о структурной устойчивости быстрых МГД ударных волн в при слабом магнитном поле, т.е. при условии, что начальные данные нелинейной задачи кроме всего прочего должны удовлетворять требованию малости (обезраз-меренного) вектора магнитного поля.
В параграфах 2.1, 2.2 выписываются уравнения МГД для идеальной сжимаемой жидкости и соответствующие условия Ренкина-Гюгонио для них, дается классификация сильных МГД разрывов и определение быстрых и медленных ударных воли. В параграфе 2.2 мы также численно находим область допустимых параметров, удовлетворяющих соотношениям Ренкина-Гюгонио, условиям Лакса, условию возрастания энтропии и т.д., для плоских быстрых ударных волн в политропном газе для случая двух пространственных переменных. В параграфе 2.3 формулируется линеаризованная задача для быстрых МГД ударных волн, а в параграфе 2.4 для нее выводится упомянутая выше априорная оценка для случая слабого магнитного поля и в двумерном случае. Вопрос о выводе аналогичной
22
оценки для трехмерного случая обсуждается в параграфе 2.5 на примере параллельных ударных волн.
В главе 3 предлагается эквивалентное определение условия Лопатинско-го и равномерного условия Лопатинского для линеаризованной задачи для случая лаксовских ударных волн индекса 1 (см. параграф 3.1). Это определение позволяет аналитически проверять условия Лопатинского и равномерного условия Лопатинского для ряда случаев, неподдающихся анализу с помощью стандартного определения. С помощью этого эквивалентного определения условия Лопатинского и равномерного условия Лопатинского аналитически находится необходимое и достаточное условие равномерной устойчивости быстрых параллельных МГД ударных волн в политропном газе (см. параграф 3.1). Таким образом, принципиально уточняется результат работы Gardner’а и Kruskal’a [120], в которой исследовалась только слабая устойчивость. Кроме того, с помощью предложенного эквивалентного определения получаются первые результаты по устойчивости ударных волн в релятивистской МГД (см. параграф 3.4). А именно, проводится полное исследование линеаризованной устойчивости быстрых ударных волн для общего уравнения состояния релятивистского газа, но в предположении, что ударные волны являются параллельными (см. параграфы 3.4, 3.5).
В главе 3 предлагается также алгоритм численной проверки равномерного условия Лопатинского для линеаризованных задач для лаксовских ударных волн индекса 1, с помощью которого впервые проводится полный анализ устойчивости быстрых МГД ударных волн в политропном газе для случая двумерных возмущений в общем случае (без ограничений на угол наклона магнитного поля к фронту волны), т.е. численно находятся границы областей равномерной устойчивости, нейтральной устойчивости и неустойчивости (см. параграф 3.2). Наконец, заметим, что, как отмечается в главе 3, с учетом недавнего результата работы Mdtivier и Zumbrun’a [151] из равномерной линеаризованной устойчивости МГД ударных волн следует
их структурная (нелинейная) устойчивость.
Глава 4 посвящена характеристическим разрывам в МГД, а именно, мы исследуем тангенциальный и вращательный разрывы. Основной результат главы 4 связан прежде всего с тем, что впервые аналитически находятся широкие достаточные условия трехмерной нейтральной устойчивости тангенциального разрыва. Этот результат имеет большое значение для различных астрофизических приложений (в частности, для модели магнитопаузы). Это удается сделать с помощью так называемой “вторичной” симметризации уравнений МГД (см. параграф 4.1), т.е. находится особый симметрический вид системы МГД, который позволяет получить априорную оценку решений линеаризованной задачи не только для случая постоянных (см. параграфы 4.2, 4.3), но и для переменных коэффициентов (см. параграф 4.4). Из априорной оценки для задачи с переменными коэффициентами в весовых анизотропных пространствах Соболева W™'a, доказанной в параграфе 4.4, следует теорема единственности решений исходной нелинейной задачи для тангенциального разрыва, рассматриваемой в таких пространствах.
В главе 4 исследуется также устойчивость вращательного разрыва. А именно, описывается единственный пока результат, касающийся устойчивости вращательного разрыва в сжимаемой жидкости. В параграфах 4.5,
4.6 формулируется соответствующая линеаризованная задача и ее эквивалентные постановки, а в параграфе 4.7 доказывается неустойчивость вращательного разрыва при сильном магнитном поле путем построения примера некорректности типа примера Адамара.
В главе 5 мы рассматриваем модель идеальной радиационной гидродинамики, предложенной относительно недавно итальянскими учеными Anile, Pennisi и Sammartino [74,75,158] и представляющей собой гиперболическую систему балансовых законов, описывающих взаимодействие между сплошной средой и радиацией. Мы вначале рассматриваем более простой
случай модели радиационной гидродинамики [74, 75], когда сплошная среда неподвижна (см. параграф 5.1). Для этого (нерелятивистского) случая система радиационной гидродинамики состоит только из радиационных уравнений. Для нерелятивистских уравнений радиационной гидродинамики в параграфе 5.2 мы доказываем глобальную теорему существования и единственности решения задачи Коши для начальных данных близких к постоянным, т.е. вблизи положения “постоянного” термодинамического равновесия.
В параграфе 5.3 формулируется линеаризованная задача для нерелятивистских радиационных ударных волн, а в параграфе 5.4 мы, по существу, доказываем их структурную устойчивость путем построения априорной оценки для этой задачи с помощью техники интегралов энергии. Аналогичный результат для релятивистских радиационных ударных волн описывается в параграфах 5.6 и 5.7 для случая так называемых “быстрых” ударных волн (сами уравнения релятивистской радиационной гидродинамики приведены в параграфе 5.5). Наконец, в параграфе 5.7 мы доказываем неустойчивость так называемых “медленных” релятивистских радиационных ударных волн путем построения примера некорректности для соответствующей линеаризованной задачи.
В Приложении А мы исследуем сильные разрывы для одной иекласси-ческой модели МГД, которая также выписывается в виде гиперболических законов сохранения. Это так называемая система уравнений МГД с анизотропным давлением, описывающая движение бесстолкновителыюй плазмы в сильном магнитном поле. Гидродинамические уравнения бесстолкновителыюй сильно замагииченной плазмы были получены в работе Chew, Goldbcrger’a и Low [102]. Соответствующие результаты для ударных волн и вращательного разрыва в этой модели выносятся в приложение, поскольку являются в некотором смысле техническим обобщением соответствующих результатов глав 3 и 4 для уравнений классической МГД. В частности,
25
для быстрых ударных волн в МГД Чу, Гольдбергера и Лоу доказывается, что параллельные ударные волны всегда равномерно устойчивы, а для перпендикулярных ударных волн находится достаточное условие равномерной устойчивости. Доказывается также неустойчивость медленных параллельных ударных волн и вращательного разрыва для частного случая холодной плазмы.
В Приложении В для тангенциального разрыва в МГД несжимаемой жидкости мы описываем результат, аналогичный результату из главы 4 для случая сжимаемой среды. Заметим, что хотя формально система уравнений МГД для несжимаемой жидкости и не является системой гиперболических законов сохранения (собственно поэтому мы и относим ее исследование в приложение), но техника получения априорных оценок для задачи с граничными условиями на поверхности тангенциального разрыва аналогична “гиперболическому55 энергетическому методу. Вместе с тем, необходимо отметить, что в технике построения априорных оценок для МГД тангенциального разрыва в несжимаемой среде имеется и определенное принципиальное отличие от энергетического метода для гиперболических задач. Оно связано прежде всего с тем, что, как известно, для линеаризованных уравнений МГД несжимаемой жидкости возмущение полного давления гу является “эллиптической55 неизвестной. Априорные оценки в Приложении В для задачи с переменными коэффициентами также получаются в нормах весовых анизотропных пространств Соболева использованных в главе 4.
0.4 Формулировка основных результатов
На защиту выносятся следующие основные результаты диссертации:
1). Введено понятие строго диссипативного р-симметризатора смешанной задачи для линейной гиперболической системы уравнений. Доказана
26
локальная по времени теорема существования и единственности решения с ударной волной для системы абстрактных гиперболических законов сохранения при условии, что такой симметризатор построен для соответствующей линеаризованной задачи.
2). Построен строго диссипативный 2-симметризатор для быстрых МГД ударных воли при слабом магнитном поле, нерелятивистских радиационных ударных волн и “быстрых” релятивистских радиационных ударных волн. То есть доказана структурная устойчивость указанных сильных разрывов для уравнений МГД и радиационной гидродинамики.
3). Предложено эквивалентное определение равномерного условия Лопа-типского для ударных волн индекса 1. С его помощью найдено необходимое и достаточное условие равномерной (структурной) устойчивости быстрой параллельной ударной волны в классической и релятивистской МГД.
4). Используя предложенное эквивалентное определение равномерного условия Лопатинского, разработан алгоритм численной его проверки для ударных волн индекса 1, с помощью которого впервые проведен полный анализ двумерной устойчивости быстрых МГД ударных волн в иолитроп-ном газе, т.е. найдены области их равномерной устойчивости, нейтральной устойчивости и неустойчивости.
5). Впервые найдено достаточное условие нейтральной устойчивости МГД тангенциального разрыва. Построена априорная оценка решений линеаризованной задачи в весовых анизотропных пространствах Соболева при выполнении этого условия для переменных коэффициентов задачи. С помощью этой оценки доказала теорема единственности решения исходной нелинейной задачи с граничными условиями на поверхности тангенциального разрыва.
6). Доказана неустойчивость вращательного разрыва в МГД при сильном магнитном и неустойчивость “медленных” релятивистских радиационных ударных волн.
27
7). Доказана глобальная теорема существования и единственности решения задачи Коши для нерелятивистских уравнений радиационной гидродинамики для начальных данных близких к постоянным.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [23]—[28], [86]—[91], [73, 97, 98], [179]-[183]. По результатам диссертации написаны монографии [29, 94], а часть результатов послужила основой для подготовки главы для Handbook of Mathematical Fluid Dynamics [93]. Отметим также, что за рамки диссертации вынесены результаты работ [30, 92, 95, 96), которые связаны с ее темой.
В заключение автор хотел бы выразить искреннюю признательность своему научному консультанту профессору А.М.Блохину за плодотворное сотрудничество, постоянное внимание к работе и полезные обсуждения.
28
Глава 1
Локальное существование решений с ударной волной для абстрактных законов сохранения
1.1 Симметрический вид квазилинейных гиперболических систем
Рассмотрим систему N законов сохранения
тг
dtV°{XJ) + и) = 0, (1.1)
J=1
где Vа = Va(V) = и = U(i,x) = , X -
(д'і,... ,хп) Є М", dt := 0/dt, dj := d/dxj. С учетом обозначения
п
diva := ) dja/ (а = а(£,х) = (а1,..., ап) — вектор)
і=і
система (1.1) в покомпонентном виде записывается так:
9tPf(V) + div'Pi(U) = 0, f = M?,
Предполагая, что функции потока Vf достаточно гладкие (на практике они обычно из класса С°°), уравнения (1.1) переписываются в виде квази-
29
линейной системы
п
£о(и)иг + ]Гв.,-(и)их, = о, (1.2)
^1
где Ва = Ва(и) := (дТ^/ди) (здесь и далее обозначение вида (дъ/дЪ) используется для матрицы (или вектора если а := а1) с компонентами да'/дЬ?).
Для некоторых конкретных моделей механики сплошной среды система (1.1) дополняется набором К дивергентных ограничений (или связей)
сИу Ф_,(и) = 0, 1 = \7к, (1.3)
которым обязаны удовлетворять решения этой системы. Здесь Ф; = Ф^-(и) = (Ф],..., Ф"). Например, система газовой динамики не имеет дивергентных ограничений вообще, в то время как для системы МГД должно выполняться одно (К = 1) условие сИуН = 0 (см. главу 2). К примеру решения уравнений Ландау сверхтекучей жидкости [53] (см. также [15]) обязаны удовлетворять трем дивергентным связям V х = 0 (у8 — сверхтекучая компонента скорости [53, 15]).
Для системы абстрактных законов сохранения (1.1) будем считать, что выполнено следующее предположение.
Предположение 1.1.1 Дивергентные связи (1.3) являются ограничениями па начальные данные для системы (1.1). То есть если (1.3) выполнены в начальный момент времени, то они справедливы при всех £ > 0 .
Замечание 1.1.1 Предположение 1.1.1 является вполне естественным, т.к. оно выполняется для всех известных физически обоснованных моделей механики сплошной среды. На практике, (1.3)|^>о доказывается действием оператора сИу на соответствующие подсистемы системы (1.1)|^0 и использованием (1.3) |^о • Понятно, что применение оператора (Ну требует выполнения требования п < N. Выполнение этого требования будет необходимо также по другим причинам (см. ниже).
30
Напомним следующее определение.
Определение 1.1.1 Система (1.2) называется СИММЕТРИЧЕСКОЙ 4-ГИ-ПЕРБОЛИЧЕСКОЙ (по Фридрихсу [ИЗ]), если
Ва = В*а , Б0 > О
(здесь и далее * — символ транспонирования; за исключением ситуаций, которые будут отмечаться особо, индексы, обозначаемые греческими буквами, пробегают от 0 до п, латинскими — от 1 до п).
Иногда подходящим выбором вектора неизвестных и можно добиться того, что конкретная система законов сохранения переписывается в недивергентном виде (1.2) с симметрическими матрицами Ба. Например, система МГД является симметрической для вектора и = (р,у,Н, Б) (см. главу 2). Аналогично система газовой динамики симметрическая для и = (р,у,Б). В то же время, не всегда возможно угадать подходящий вектор и для которого система законов сохранения (1.1) может быть записана в виде квазилинейной симметрической системы.
Однако, как было впервые показано Годуновым [32, 33], система (1.1) может быть всегда симметризована если мы знаем априори дополнительный закон сохранения (“энтропии”)
9*Ф°(и) + (Ну Ф(и) = 0,
где Ф = Ф(и) = (Ф1,..., Ф71), который выполняется па гладких решениях системы (1-1). То есть можно найти такую обратимую замену неизвестных и —> СІ, что система
п
А°(Р)<Ь + 5>'(СІ)О*, = 0 (1.4)
1
является симметрической: А01 — (Ла)*, где
'31Г
/1« = Л“(Р) := (~) = Ва(ит (^
за '
31
т.е. Ла = ВаГх, 3 = ЦО) := (дСЦд\5).
Необходимо отметить, что если система (1.1) имеет набор дивергентных ограничений (1.3), то эти стационарные законы сохранения используются в процессе симметризации. Что касается самого процесса симметризации, то он подробно описывается, например, в [82, 29, 93, 94]. Заметим, что вектор канонических переменных С} легко находится:
Важно отметить, что симметрическая система (1.4) может быть переписана в виде квазилинейной системы для исходного вектора неизвестных и, которая тоже является симметрической. В самом деле, следствием (1.4) является система
1
с симметрическими матрицами Аа = А»(и) := J*AaJ = J*BQ. Таким образом, матрица
является той матрицей (называемой симметризатором Фридрихса), которая симметризует систему (1.2):
Система (1.5) будет симметрической гиперболической (см. Определение 1.1.1) если Ло(и) > 0 (или Ло(и) < 0, т.к. (1.5) можно умножить на —1).
нические неизвестные (3 := (дФ°/д\]) (см. [29, 93, 94]). Так как в этом случае Во = /д', то условие гиперболичности Ао = «/* = (сК^/сШ)* = (д2Ф°/ди2)* > 0 (или Ао < 0) является условием выпуклости “энтропии”
п
(1.5)
= БВа = А*а.
Замечание 1.1.2 Если вектор и выбран так, что Vі (и) = и, то кано-
Ф°(и) (здесь и далее — единичная матрица порядка к).
32
Заметим, что симметрические ^-гиперболические системы являются гиперболическими в смысле общего определения гиперболических систем [56, 61, 128].
Определение 1.1.2 Квазилинейная система (1.5) с иевыроэ/сденной матрицей Ао называется ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ, если все собственные числа Xi (г = 1, N) характеристической матрицы
п
Р(и,«) = V(U)$>A-(U)
j=1
вещественны при всех со = (оц,... ,o;n) G Кя\{0} и эта матрица приводится к диагональному виду (с вещественными диагональными элементами A i = Ai(U,w);.
Иногда используется более общее определение гиперболичности, а именно не требуется диагонализируемость характеристической матрицы (см., например, [151]). В то же время, для гиперболических систем с постоянными кратностями [1, 149, 151], упоминавшихся во Введении, матрица V[U,lj) равномерно диагонализуема. Напомним также, что если все Аг-вещественны и различны, то система (1.5) называется строго гиперболической.
1.2 Постановка смешанной задачи с граничными условиями на поверхности сильного разрыва
Будем рассматривать систему (1.1)/(1.5) при t > 0 и во всем пространстве R*. Пусть
Г(t) = {х\ - f{t,х') = 0}, х' = (х2у
является гладкой гиперповерхностью bS+хГ. Предположим, что Г(£) есть поверхность сильного разрыва решения U(£,x) системы (1.1), которое
33
является классическим решением (1.1) с обеих сторон от разрыва Г. Как известно, и — слабое решение системы (1.1) тогда и только тогда, когда в каждой точке Г выполнены соотношения Ренкииа-Гюгонио (см., например, (59, 53, 128, 143]):
л[р°т+'£игкт - [р:(и)] = о. (1.6)
к=2
Здесь мы используем обычное обозначение [д] = д+ — д~ для скачка некоторой регулярно разрывной функции д , имеющей соответствующие предель-ные значения с одной (д+ := р|„_/(^=+о) и с другой (д~ := 5|1)_/(£)Х')=-о) стороны на поверхности разрыва Г.
Необходимо заметить, что смешанная задача для системы (1.5) в областях й±(4) := {х\ ^ /(£,х;)} с граничными условиями (1.6) на гиперповерхности Г(£) является (в математическом смысле) задачей со свободной границей. В самом деле, функция /(£,х'), задающая Г, является одной из неизвестных задачи (1.5), (1.6) с соответствующими начальными данными
ДО,х') = /о(х/), х'еГ"1; и(0,х) = и0(х), хбП±(0). (1.7)
Для того, чтобы свести задачу к задаче в фиксированных областях
вместо областей П±(£), мы делаем замену (“распрямление”) переменных в Е+ х :
Г= г, Ху = а,’1 - /(г, х'), х' = х'. (1.8)
Тогда и(£,х) := и(1,х) — гладкая вектор-функция при х € := {^1 ^
0. х' е К"-1} , а смешанная задача (1.5)—(1.7) сводится к следующей задаче (мы опускаем ~ для упрощения обозначений!):
Ци,Р)и = 0 при хеК"; (1.9)
В(и+,и")Р-[Р1(и)] = 0 при ®1=0; (1.10)
и(0,х) = и0(х), х € ; /(0,х') = /о(х/), х' е Г-1. (1.11)
34