Содержание
Введение 3 *
1 Оператор Лапласа — Бельтрами. Функции Лежандра 23
1.1 Дифференцируемые многообразия....................... 23
1.2 Дифференциальные формы............................. 27
1.3 Оператор Лапласа-Бельтрами.......................... 32
1.4 Регуляризованный след оператора
Лапласа - Бельтрами на сфере........................ 37
2 Проблема сложения четных сферических гармоник 46
2.1 Теорема сложения.................................... 47
2.2 Оценки числовых рядов............................... 51
3 Регуляризованный след оператора Лапласа — Бельтрами
с потенциалом на проективной плоскости 60
3.1 Вычисление второй поправки теории возмущений на проективной плоскости...................................... 61
3.2 Вычисление третьей и четвертой поправок теории возмущений на проективной плоскости........................ 86
3.3 Вычисление регуляризованного следа оператора Лапласа-
Бельтрами .......................................... 91
итература
93
Введение
Постановка задачи
Рассмотрим оператор Лапласа - Бельтрами Т — — А, действующий в гильбертовом сепарабельном пространстве //, взятом с плотностью sin0d0d(p (0,ір — сферические координаты). Как известно, Ап = п(п-Ь 1) (п = 0, оо) являются собственными числами оператора Т. Обозначим через Vnti (г = 0,2п,п = 0,оо) ортонормированные собственные функции оператора Т, которые соответствуют собственным числам Ап. Введем семейство прямых 1п = {А|А = An + п + 1 + г/>, —оо < р < оо},
параллельных мнимой оси гауссовой плоскости. Пусть Р — оператор умножения на функцию р Є C2(VK), W = (0,7г) х (0,2п). Известно [70], что если оператор Р является ограниченным и dn — inf |Am — An | —> 0,
mjtn
то можно так занумеровать собственные числа оператора Т + Р, взятые с учетом алгебраической кратности, что справедливо
1/^п,* — + 1)1 ^ const. (0-1)
Регуляриз о ванным следом первого порядка оператора Т+Р назовем равенство вида
оо оо
£{£>„,<-ЛП(Т)} = В(Г),
п=1 *=0
где ЛП(Т), В(Т) явно определяются через характеристики оператора выражения.
3
В научной литературе вопросы нахождения регуляризованных следов эллиптических дифференциальных операторов с потенциалом на проективной плоскости до настоящего времени не обсуждались. В связи с этим вычисление регуляризованного следа оператора Лапласа -Бельтрами с потенциалом на проективной плоскости представляет научный интерес. Такое исследование требует доказательства теоремы сложения для четных сферических гармоник и ряда промежуточных лемм, открывающих путь к вычислению поправок теории возмущений с последующим выходом на формулу регуляризованного следа эллиптического дифференциального оператора.
Обоснование интереса к проблеме
Спектральная теория дифференциальных операторов является важным разделом общей спектральной теории и активно разрабатывается различными математическими школами, прежде всего московской школой под руководством В. А. Садовничего. Только в последние годы учеными представлены формулы первого регуляризованного следа для дискретных операторов [90], регуляризованные следы одного класса сингулярных операторов [64], регуляризованные следы несамосопря-женньгх дискретных операторов с неядерной резольвентой [75], формулы следа М. Г. Крейна на случай возмущения типа Гильберта - Шмидта [126], [106], регуляризованный след операторного уравнения Штурма
- Лиувилля на конечном отрезке [3], формула следа для потенциала, содержащего 5-фуакции [13], формулы регуляризованных следов операторов с относительно компактным возмущением [143] и т. д. Однако ряд существенных проблем спектральной теории остается по-нрсжнему не разрешенным. К их числу относится нахождение регуляризованных следов дифференциальных операторов с потенциалом на проективной плоскости, чем обусловлен наш интерес к этой задаче.
Историография вопроса
Еще в первой половине XX столетия множество задач для спектрального анализа предложила квантовая механика. Поиск путей их решения привел в конце 20-х годов к созданию теории возмущений. В области физики основы этого метода были заложены Д. У. Рэлеем. Его математическое обоснование дано в работах II. Реллиха, который, прописывая метод последовательных приближений, опирался не только на соответствующие исследования в области квантовой механики, но и на опыт своих предшественников, в частности — Г. Вейля [129]. Именно Г. Вейль стоит у истоков исследования собственных значений многомерных дифференциальных операторов с дискретным спектром. В случае сингулярного оператора Штурма - Лиувилля оно нашло дальнейшее развитие в работах Э. Ч. Титчмарша. В частности, Э. Ч. Титчмарш, применяя метод Т. Карлемана, строго установил
асимптотическую формулу для числа собственных значений для полу-ограниченного оператора Штурма - Лиувилля при некоторых условиях на потенциал. Другие подходы при изучении спектральных свойств дифференциальных операторов (в частности, с помощью гиперболических или параболических уравнений, соответствующих исследуемым операторам) были разработаны Б. М. Левитаном, А. Плейелем, С. Ми-накшисундарамом, А. Г. Костюченко, В. А. Ильиным и др. Изучение спектральных свойств краевых задач со сложным вхождением спектрального параметра было проведено в классческих работах Г. Д. Бир-кгофа [102] и Я. Д. Тамаркина [89]. Теория пучков операторов, порожденных этими задачами, получила широкое развитие после появления фундаментальной работы М. В. Келдыша [44].
Важной задачей спектрального анализа является исследование собственных значений многомерных дифференциальных операторов с дискретным спектром. Разрабатывая эту проблему, необходимо было определить асимптотику спектра. Однако при ее рассмотрении улучшение остаточного члена иногда оказывается невозможным; более того, невозможно даже выделение из остаточного члена второго члена асимптотики. В связи с этим возникла необходимость перейти к исследованию более глубокой структуры спектра. Стандартным инструментом такого исследования стало получение формул регуляризованных следов
оператора.
У истоков исследования проблемы вычисления регуляризованных следов стоит работа И. М. Гельфанда и Б. М. Левитана [17] 1953 года, в которой рассматривается оператор, порожденный краевой задачей
-у" + я(х)у = Ху, 0 < х < 7г, (0.2)
2/(0) = 2/М = 0, (0.3)
где <7 - дважды непрерывно дифференцируемая функция на интервале (0,1). Асимптотика упорядоченных по возрастанию собственных чисел этого оператора выражается формулой
7Г
о
В силу этого числовой ряд
д(а?)^ау
сходится. В рассматриваемой работе первый регуляризованный след оператора определяется формулой
Е(Л„-п2-с„) = 1с0-?М±^. (0.4)
П = 1
1
Здесь со = £ /<7(х)(1х.
* о
7
К аналогичным результатам пришел в том же году и Л. А. Дикий [19]. Позже он показал, что формула (0.4) эквивалентна равенству
оо
£(Ап -п2 - (дуп,уп)) = 0,
п—1
где — собственные ортонормированные функции оператора
-у" = Ау, 0 < х < тг,
^(0) = у(тт) = 0. (0.5)
В работе 1955 года [96] Л. А. Дикий вычислил регуляризованные следы оператора Штурма-Лиувилля высших порядков.
Л. Д. Фадеев в 1957 году [10] рассмотрел обыкновенные дифференциальные операторы с непрерывным спектром. В дальнейшем Л. Д. Фадеевым и В. С. Буслаевым [11], [10], [96] получены формулы следов для сингулярных операторов с непрерывным спектром.
В начале 60-х годов С. Хальберг, В. Крамер, Р. Гильберт [120], [111], [110] получили формулу
оо оо
= (°-6)
П = 1 п=1
оо
при условии, ЧТО ряд ^(Вфгнфп) СХОДИТСЯ. Здесь * собст-
п=1
венные числа с учетом алгебраической кратности самосопряженного ограниченного снизу оператора А, действующего в гильбертовом сепа-
8
рабельном пространстве Н, а, {<рп}™=1 - соответствующая этим собственным числам последовательность ортонормированных собственных векторов, - собственные числа оператора А + В. Для операто-
ра А, действующего в пространстве /^2[0, тг] и заданного краевой задачей (0.5), рп — п2 являются собственными числами, а <рп{х) == \ sïnnx
- ортонормированными собственными функциями. Пусть, как и ранее, Ап - собственные значения оператора А + В
d2
2/(0) = 2/(тг) = 0,
где д(х) - дифференцируемая на [0,7г] функция, среднее значение которой на этом отрезке равно 0. Оператор В является оператором умно-
оо
жения на функцию д(х). Тогда ряд (дрп,<Рп) сходится [21], причем
п= 1
/ лЯФтФп) — ^ j
П=1
и формула (0.6) принимает вид (0.4).
М. Г. Гасымов в 1963 году [14] получил формулу для суммы разностей собственных значений двух самосопряженных операторов Штурма
- Лиувилля, отличающихся друг от друга финитным потенциалом. Он же в соавторстве с Б. М. Левитаном в 1963 году [15] вывел формулу для суммы разностей собственных значений двух сингулярных операторов Штурма - Лиувилля, отличающихся друг от друга граничными
9
- Київ+380960830922