Спектральные характеристики краевых задач, связанных с дифференциальными уравнениями второго порядка с точками поворота

2
Содержание
Введение...................................................... 4
Глава 1. Вычисление спектральных характеристик для краевых задач, связанных с дифференциальными уравнениями второго порядка с точкой поворота на левом конце полуоси и с точкой поворота на бесконечности..................................... 10
1.1. Дифференциальные уравнения второго порядка с точками поворота. Асимптотические формулы для решений дифференциального уравнения при фиксированном значении параметра. Характер спектра краевой задачи.................... 10
1.2. Равномерные асимптотические формулы для решений дифференциального уравнения. Асимптотика спектра. Равномерная оценка ядра резольвенты краевой задачи..................... 29
1.3. Равномерные асимптотические разложения (ряды) для решений дифференциального уравнения.................................... 47
1.4. Построение рекуррентных формул * для нахождения коэффициентов асимптотических рядов для собственных чисел.
Вычисление регуляризованных следов............................ 64
Выводы........................................................ 84
Глава 2. Вычисление спектральных характеристик для краевых задач, связанных с дифференциальными уравнениями второго порядка с точкой поворота внутри полуоси и с точкой поворота на бесконечности................................................. 87
2.1. Асимптотические формулы для решений дифференциального уравнения при положительных и при отрицательных значениях аргумента. Характер спектра краевой задачи.................... 85
2.2. Асимптотика спектра. Равномерная оценка ядра резольвенты краевой задачи................................................ 108
3
2.3. Асимптотические ряды для решений дифференциального уравнения при отрицательном значении аргумента................... 113
2.4. Нахождение коэффициентов асимптотических рядов для
собственных чисел. Вычисление регуляризованных следов........... 116
Выводы........................................................... 127
Заключение....................................................... 128
Список используемой литературы................................... 130
Приложение 1. Свойства функций Ганкеля........................... 136
Приложение 2. Дзета-функция Римана............................... 139
Приложение 3. Асимптотические разложения решений
дифференциального уравнения...................................... 139
Приложение 4. Пример применения полученных алгоритмов (1°, II,
III, IV) к решению модельной задачи............................. 141
4
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность работы. При исследовании процессов, происходящих в гидродинамике, в теории колебаний, в квантовой механике, при изучении явлений дифракции получаются математические модели, которые описываются дифференциальными уравнениями второго порядка с точками поворота. Например,
1. у’ + и2хг(х-].Уу = 0,
- математическая модель распространения волн через систему барьеров [39].
- математическая модель, описывающая приливные волны [1,14].
- математическая модель, возникающая при исследовании атмосферных явлений и их прогнозировании [40]. В точках поворота процесс резко меняет свой характер. Согласно классической механике, в ней движущаяся частица остановилась бы и начала двигаться в обратном направлении. При переходе через точку поворота меняется характер поведения решений уравнения. Общеизвестны такие уравнения с точками поворота как уравнения Бесселя, Матье, Вебера, порождающие специальные функции.
Дифференциальные уравнения с точками поворота изучались различными методами. Метод ВБК (Вентцеля, Бриллюэна, Крамера) изучения асимптотического поведения решений задач с точками поворота описан в [3]. Он состоит в том, что производится замена уравнения в окрестности точки поворота уравнением, решение которого находится с помощью специальных функций. Затем это решение «склеивается» с решением в остальной части промежутка.
где />(*) = (*-*<,) 'И(х), И(х)> 0, *0 >0,
Другой метод основан на выходе в комплексную плоскость. М.А. Евграфов, М.В. Федорюк предложили метод продолжения асимптотики решения, известной в некоторой области или на линии, на всю комплексную плоскость [4,5,6]. М.В. Федорюк находил асимптотику решений и асимптотику спектра в предположении, что коэффициенты уравнения -аналитические функции.
Широко известен метод эталонного уравнения, развитый в работах A.A. Дородницына [1] и Р. Лангера [7, 8, 9]. Они исследовали уравнение
Ly = y' + [л2я{х)+ /*(*)]>> = 0, (1)
где
q(x) = xar(x), а>~2, г(х)>0.
Эталонное уравнение выбирается так, чтобы оно имело точку поворота того же типа, что и исходное уравнение и имело бы наиболее простой вид. Таким образом, эталонное уравнение содержит информацию об особой точке исходного уравнения и имеет известные решения. Р. Лангер строил первые асимптотики решений для конечных интервалов в случае простых и кратных точек поворота. Для случая простой точки поворота на конечном интервале им построены асимптотические ряды для решений. Спектр Р. Лангер не исследовал. Вопросы о спектре и асимптотике спектра для краевых задач, связанных с дифференциальным уравнением (1), на конечном отрезке рассмотрены в работе A.A. Дородницына [1]. На конечном отрезке такие краевые задачи рассматривал с помощью метода эталонных уравнений
A.A. Стакун [11] - [13], [41]. На бесконечном полуинтервале он исследовал
-ко ___
случай, когда j\[q{x) dx = со. Библиографию работ, посвященных уравнениям с
а
точками поворота можно найти в [10].
Собственные значения дифференциальных операторов и регуляризованные следы изучались в работах И.Ф. Гельфанда, Б.М. Левитана, Л.А. Дикого, Л.Д. Фадцеева, B.C. Буслаева, В.Б. Лидского, В.А. Садовничего и
6
других авторов [15-30]. Регуляризованные следы имеют практическое значение при вычислении собственных чисел и конкретный физический смысл [29,30]. Если Я(х) - действительная функция, а > 0, то асимптотические формулы для спектра (первый член) можно получить из работ М.Г. Крейна [34] о спектральных функциях струны.
Исследование дифференциального уравнения (1) связано со сложными аналитическими вычислениями. Эта трудность может быть преодолена с помощью использования вычислительной техники при разработке и применении соответствующих алгоритмов.
Целью исследования является определение характера спектра и вычисление спектральных характеристик для краевых задач, связанных с дифференциальными уравнениями второго порядка с точками поворота на полуоси. В соответствии с поставленной целью в работе решаются следующие задачи: нахождение асимптотических формул для решений дифференциального уравнения; определение характера спектра исследуемых краевых задач; равномерная оценка ядра резольвенты (функции Грина) краевых задач; построение алгоритма вычисления коэффициентов асимптотического ряда для спектра; нахождение алгоритма вычисления регуляризованных следов (регуляризованных сумм) для рассматриваемых краевых задач. Эти исследования производятся в двух случаях: когда одна из точек поворота находится на конце или внутри полуоси (для точек поворота различного порядка). Во всех случаях другая точка поворота находится на бесконечности.
Научная новизна. Построен алгоритм вычисления коэффициентов асимптотического ряда для решений дифференциального уравнения и дано его теоретическое обоснование; определен характер спектра; найдены асимптотические ряды по степеням п для спектра краевых задач и построен алгоритм нахождения коэффициентов этих рядов; найдены регуляризованные следы краевых задач и построен алгоритм их вычисления; найдена равномерная оценка ядра резольвенты.
7
Методы исследования. Поставленные в работе задачи исследовались с помощью методов эталонного уравнения, теории интегральных уравнений с использованием свойств специальных функций, методов теории функций комплексной переменной с использованием свойств целых функций специальных классов.
Теоретическая и практическая ценность. Полученные в работе формулы и алгоритмы могут быть использованы при вычислении спектральных характеристик краевых задач, связанных с дифференциальными уравнениями с точками поворота, которые возникают в различных задачах науки и техники, в частности, при изучении волновых процессов в атмосфере, в теории приливных волн. Спектр и регуляризованные следы имеют конкретное физическое содержание. Регуляризованные следы имеют и прикладное значение при вычислении первых собственных чисел.
На защиту выносятся:
1. Нахождение асимптотических представлений для решений дифференциального уравнения на неограниченных интервалах и алгоритм их построения.
2. Теорема о дискретном характере спектра краевых задач.
3. Равномерная оценка ядра резольвенты (функции Грина) краевых задач.
4. Асимптотические представления для спектра краевых задач с помощью рядов по степеням п и алгоритм нахождения коэффициентов этих рядов.
5. Формулы вычисления регуляризованных следов (регуляризованных сумм) для собственных чисел краевых задач и алгоритм их вычисления.
Эти исследования производятся в двух случаях: когда одна из точек поворота находится на левом конце или внутри полуоси, а другая - на бесконечности.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на семинаре Волго-Вятского региона по дифференциальным уравнениям (Чебоксары, 1979); на научных конференциях Чувашского государственного университета им. И.Н. Ульянова (Чебоксары, 1982, 1987, 1997, 2003, 2004); на
8
заседании Зимней математической школы «Алгебраические структуры теории сингулярных возмущений» в Российском государственном социальном университете при участии МЭИ (Москва, 1993); на IV международной конференции «Математика. Моделирование. Экология» (Волгоград, 1996); на научных семинарах кафедры компьютерных технологий в Чувашском государственном университете им. И.Н. Ульянова (Чебоксары, 2002, 2003, 2004); на научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений Казанского государственного университета (Казань, 2004); на научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений Саратовского государственного университета (Саратов, 2004).
Публикации. По результатам выполненных исследований опубликовано 18 работ.
Структура и объем работы. Данная работа состоит из введения, двух глав, четырех приложений, заключения и списка литературы из 60 наименований. Текст изложен на 150 страницах.
В первой главе исследуется краевая задача, связанная с дифференциальным уравнением (1) с точкой поворота на левом конце полуоси. Находятся асимптотические представления для решений на полуоси. Найден алгоритм вычисления коэффициентов решений при больших и малых значениях аргумента. Асимптотические представления получаются с помощью перехода к соответствующим интегральным уравнениям.
Исследуется характеристический определитель, нули которого образуют спектр краевой задачи. Оказывается, что спектр имеет дискретный характер. При этом квадраты точек спектра являются собственными значениями краевой задачи. Произведена равномерная оценка функции Грина, или ядра резольвенты краевой задачи. При этом вся полуось разбивается на интервалы, на каждом из которых получается своя оценка. Всего рассматривается шесть различных случаев. Находится асимптотическое представление характеристического определителя и его логарифмической производной. Приведены алгоритмы нахождения коэффициентов в этих представлениях.
9
Найдены формулы вычисления коэффициентов асимптотического ряда для спектра и алгоритм их вычисления. Найдена формула вычисления регуляризованных следов и соответствующий алгоритм.
Во второй главе исследуется краевая задача для дифференциального уравнения (1) с точкой поворота внутри полуоси. В рассматриваемом случае точка поворота разбивает полуось на два промежутка: конечный и
бесконечный. Находятся решения на каждом из этих промежутков, а затем «склеиваются».
Получена асимптотика решений дифференциального уравнения на полуоси [-1; + оо). Исследован характеристический определитель. Показано, что его нули образуют дискретное множество. Произведена оценка функции Грина, или ядра резольвенты. Вся полуось при этом разбивается на интервалы и рассматривается двенадцать различных случаев. Найдено асимптотическое представление характеристического определителя, асимптотическое представление логарифмической производной характеристического определителя. Найдены формулы вычисления коэффициентов асимптотического ряда для спектра и алгоритм их вычисления. Найдены формулы вычисления регуляризованных следов краевой задачи и соответствующий алгоритм.
10
Глава 1. Вычисление спектральных характеристик краевых задач, связанных с дифференциальными уравнениями второго порядка с точкой поворота на левом конце полуоси и с точкой поворота на бесконечности
1.1. Дифференциальные уравнения второго порядка с точками поворота. Асимптотические формулы для решений дифференциального уравнения при фиксированном значении параметра. Характер спектра краевой задачи
1.1.1. Дифференциальные уравнения второго порядка с точками поворота. Постановка задачи. Решение эталонного уравнения. Обозначения
Во введении указаны конкретные математические модели, описываемые дифференциальными уравнениями второго порядка [36], [37], [39], [40]. Все эти модели, а также многие другие могут быть описаны одним общим уравнением, которое рассматривается в работе академика A.A. Дородницына [1]. В данной главе рассматривается это дифференциальное уравнение на бесконечном интервале.
Итак, на полуоси [ 0; + оо ) изучим дифференциальное уравнение
Ly*y4-{?q(x)+R{x))y = 0, (1.1)
где
q(x)= хаг(х), а>-2, /■(*)>0, г(*)еС2[0; + оо),
/?(х) е С[ 0; + со ),
X - комплексный параметр. Будем считать, что выполняются условия
lim q(x) = 0, (1.2)
Л—►+СО
11
jy/q(x)dx< +00. (1.3)
о
Таким образом, уравнение (1.1) имеет две точки поворота х = 0 и jc=oo.
Ниже на R(x) будет наложено еще одно дополнительное условие: условие малости возмущения уравнения Ly- 0 по сравнению с эталонным уравнением. Рассмотрим краевую задачу
Ly*y'4[x2q{x)+R(x)]y = 0, (1.4)
Ь1у(0,Л)+Ь2у'(0,Я) = 0, (1.5)
Ь2 = 0 при - 2 < а < -1,
Я, у(о°, Я) + ß2j>^ (оо, Я) = 0, (1.6)
где 6,, b2, В19 В2 - постоянные, смысл обозначений у(оо, Я), у'4 (оо, Я) будет объяснен ниже в п. 1.1.2.
О, я,2+я22*о.
Введем вспомогательные функции и обозначения, следуя
A.A. Дородницыну [1]
£(*) = dt, со{х) = [v4(x)]v,
О
а + 2 1
2 г а + 2
Ä0(x)=-V®’(x)
При этом
, F(Ar)=Ä(x)-J?o(Ar).
XX
(1.7)
12
■ V.-KHj
V
X
В силу (1.3) <%(х) - ограниченная возрастающая функция, введём
обозначение
•ко
£(°о)= j-JW) dl.
О
Рассмотрим эталонное уравнение
у" + [я29(х)+Ло(д:)]у = 0. (1.8)
Функции
ФЛ)=-т±пШх)Уг/,[л{(х)1 (1.9)
yj О) (л:)
где - функции Бесселя порядка/i, являются [1] решениями эталонного
уравнения (1.8). Рассмотрим два линейно независимых [1] решения эталонного уравнения.
у;М)=-нп teMM’tewi. ;=1’2-
лМ*)
Здесь - функции Бесселя третьего рода, функции Ганкеля. Свойства
функций Ганкеля описаны, например, в [31]. Они перечислены в Приложении 1 настоящей работы. Определитель Вронского для функций vj и и2 вычисляется по формуле
W[o\ ;v2 ] = C0XV, С0 - со/w/, С0 0. (1.90)
Рассмотрим функции
й,М)=[Я£(х)ун{;)[ц{х% 7=1,2.
Тогда
13
°'^хЯ) “ Ыф)/'{х'я)+7^1 (х,д№)
и в силу (1.7) и (1.2) имеем
^[ц;^]=
ох о2 0\ 02
4. - С, »24
дг=+00
С,=У Ч "И-
При каждом отличном от нуля фиксированном Я выполняется неравенство
}й^х,л)\<ф),
где С(Л) - постоянная, зависящая от Я. Согласно правилу дифференцирования функций Ганкеля
и'4(х,Я) = [Я4(х)Гн^(х)}Я.
Из вышесказанного и свойства 5 функций Ганкеля следует, что существуют конечные пределы при любом фиксированном Я, отличном от нуля
йХоо,Я) = Пт й.(х,Л),
х-»+со
и.Асо, я)= /|/и у'.* (х,Я).
Для решений уравнения Ьу = 0 введем обозначения:
решение, удовлетворяющее граничному условию (1.5)
при Ь2 = 0;
- у(х,Л) - решение, удовлетворяющее граничному условию (1.5)
при 62 * 0, в этом случае считаем, что а > -1;
-Г0(д:,Я)- решение, удовлетворяющее граничному условию (1.6)
при В2 = 0;
- У(д:,Я) - решение, удовлетворяющее граничному условию (1.6)
при В2 Ф 0.
Все рассуждения, связанные с этими решениями, проводятся сначала для у0{х,Л) и Г0(д:,Я). Для у(х,Л) и Г(х,Я) эти рассуждения повторяются с