Оглавление
Введение.......................................................3
Глава 1. Нелокальные задачи и задачи на управление для
уравнений гиперболического типа.....................20
§1.1. Нелокальная начально — граничная задача I рода......20
§1.2. Нелокальная начально — граничная задача II рода.....40
§1.3. Нелокальная граничная задача I рода.................47
§1.4. Нелокальная граничная задача II рода................55
§1.5. Задачи на управление для волнового уравнения........60
Глава 2. Нелокальные задачи для вырождающегося уравнения эллиптического типа...........................................78
§2.1. Нелокальная граничная задача I рода.................78
§2.2. Нелокальная граничная задача II рода................94
Глава 3. Нелокальные задачи для вырождающегося уравнения смешанного типа...............................................99
§3.1. Нелокальная граничная задача I рода.................99
§3.2. Нелокальная граничная задача II рода................ИЗ
§3.3. Нелокальная граничная задача I рода в полуполосе...117
Библиографический список.....................................123
2
Введение
В современной теории дифференциальных уравнений с частными производными важное место занимают исследования вырождающихся гиперболических и эллиптических уравнений, а также уравнений смешанного типа. Повышенный интерес к этим классам уравнений объясняется как теоретической значимостью полученных результатов, так и их многочисленными приложениями в газовой динамике, гидродинамике, в теории бесконечно малых изгибаний поверхности, в безмоментной теории оболочек, в различных разделах механики сплошных сред, акустике, в теории электронного рассеяния и многих других областях знаний. Исследования последних лет также показали, что такие уравнения являются основой при моделировании биологических процессов.
Начало исследований краевых задач для уравнений смешанного типа было положено в работах Ф. Трикоми [65] и С. Геллерстедта [77]. В дальнейшем основы теории уравнений смешанного типа были заложены в работах Ф.И. Франкля, A.B. Бицадзе, К.И. Бабенко, С. Агмона, JI. Ниренберга, М. Прот-тера, К. Моравец и многих других авторов. Результаты полученные ими и их последователями приведены в монографиях A.B. Бицадзе [6], [9], JI. Берса [5], К.Г. Гудейлея [13], Т.Д. Джураева [14], М.М. Смирнова [57], [58], Е.И. Моисеева [35], К.Б. Сабитова [53], М.С. Салахитдинова [54].
Среди краевых задач особое место занимают нелокальные задачи. Нелокальные задачи для дифференциальных уравнений рассматривались в работах Ф. И. Франкля [67], A.B. Бицадзе и A.A. Самарского [7], В.А. Ильина,
з
Е.И. Моисеева [18), [19], Н.И. Ионкина [26], В.И. Жегалова [15]—[17], А.И. Ко-жанова [29], А.М. Нахушева [41], Л.С. Пулькиной [44], [45], O.A. Репина [46], [47], A.J1. Скубачевского [56], А.П. Солдатова [61] и других.
Особо выделим работу A.B. Бицадзе и A.A. Самарского [7], которая повлекла за собой систематическое изучение нелокальных краевых задач для эллиптических и других типов уравнений.
М.Е. Лернер, O.A. Репин [33] в полуполосе D = {и(х,у)\0 < х < 1,2/ > 0} изучили задачу: найти функцию и(х,у) со свойствами:
и{х,у) е С(5) П C\D U {х = 0})ПС2(£>);
Утихх Н- иуу = 0, (х, у) е D, т > -1;
у) -¥ 0 при у —> -f-oo равномерно но х Е [0,1];
и(0, у) - и(1, у) = Ч>1 (у), tfc(Of у) = <р2{у), у> 0;
и(я,0) = т(я), 0 < х < 1,
где т(х), ц>\(у), Ф^у) ~ заданные достаточно гладкие функции, причём г(х) ортогональна к системе функций 1, cos(2n + 1)тгх, п = 0,1,2,... .
В другой работе [34] ими исследована аналогичная задача в полуполосе D для уравнения
ихх + иуу + (2р/у)иу - b2u = 0, b > 0, ре R, (0.1)
при условии (fi{y) = 0 и (р2{у) = 0. В этих работах на основании принципов экстремума доказана единственность. Методом разделения переменных и интегральных преобразований установлена разрешимость рассматриваемой задачи.
Е. И. Моисеев в [36] изучил аналогичную нелокальную краевую задачу в полуполосе D для вырождающегося эллиптического уравнения:
У ихх 4" ууу ~ 0, га ]> 2,
4
u(x, 0) = /(я),0 < x < 1,
u(0,y) = ti(l,y),u*(0,y) = 0,y > 0,
f(x) G C2+a[0,1], /(0) = /(1), /(0) = 0
в классе функций u(x,y) G C'(-D) П C2(jD) и стремящихся к нулю или ограниченных на бесконечности. Методом спектрального анализа доказано единственность и существование решения. При этом решение задачи построено в виде суммы биортогонального ряда. В другой работе [37] эти результаты перенесены на уравнения утихх -I- иуу — Ь2ути = 0, 6 = const >0, т > 0, и (0.1).
В работе Сабитова К. Б. и Сидоренко О. Г. (49] решена следующая нелокальная задача: найти в области D = {(х,у)|0 < ж < 1,0 < у <Т} функцию и{х,у), удовлетворяющую условиям:
uix> у) £ C{D) П Cl(D U {х = 0, у > 0} U {х = 1, у > 0}) П C2(D);
ymuxx - Uyy - b2ymu = 0, (x, у) G D;
ux(0,y) = ux(l,y), u(0,y)=u(l,y), 0 <y<T;
г/(я,0) = t{x)) 0 < x < 1; uy(x, 0) = i/(x)) 0 < x < 1,
где т(х) и v(x) — заданные достаточно гладкие функции. Здесь доказательство единственности и существования решения задачи приводится спектральным методом.
Нахушев А.М. установил критерий единственности решения задачи Дирихле для уравнений смешанного типа в цилиндрической области [39].
В работах Сабитова К.Б. [50] — [52] исследована задача Дирихле для вырождающегося уравнения смешанного типа
$9пУ • \уГихх + иуу - b2sgny • \y\mu = 0, m > 0, b > 0,
5
в прямоугольной области. Методами спектрального анализа установлен критерий единственности и доказана теорема существования решения задачи Дирихле.
Изложенный в работах Е.И. Моисеева, К.Б. Сабитова спектральный метод применен при обосновании корректности постановки нелокальных начально -граничных и граничных задач для различных типов вырождающихся дифференциальных уравнений.
Целью данной работы является доказательство единственности и существования решения краевых задач для вырождающегося уравнения смешанного типа
Lu = К(у)ихх -f Uyy - Ь2К(у)и = 0, (0.2)
где К {у) = sgny- \у\т) т = const > 0, b = const > 0, в прямоугольной области D = {(х,у)| 0 < а: < 1, — а < у < /?}, а,/3 > 0, со следующим нелокальным условием:
и(0,у) =и(1,у) или их(0,у) = их(1,у), -а <у<0,
в сочетании с другими локальными граничными данными, методом спектрального анализа.
Перейдем к изложению основного содержания диссертации, которая состоит из трех глав. В пределах каждой главы принята сквозная нумерация параграфов и формул.
В главе 1 исследуются нелокальные начально-граничные и граничные задачи для вырождающегося уравнения гиперболического типа. Методом спектрального анализа доказаны теоремы единственности и существования решений задач.
Рассмотрим вырождающееся уравнение гиперболического типа
Lu = утихх - иуу - b2ymu = 0, (0.3)
6
m = const > 0, b = const > 0, в прямоугольной области Q = {(гг, у)| 0 < х < l) 0 < у < T}. Для уравнения (0.3) в области Q поставлены и решены следующие нелокальные задачи.
Задача 1.1. Найти в области Q функцию и(х,у), удовлетворяющую условиям:
и{х, у) € C(Q) П C\QU{x = 0} и {х = 1}) Л С2(С?); (0.4)
Lu = 0, (х, у) е Q-, (0.5)
и(ж,0) = т(х), иу(х, 0) = и(х), 0 < х < 1; (0.6)
и(0,у) = и(1,у), их(0,у) = 0, у> 0, (0.7)
где т(х),и{х) — заданные достаточно гладкие функции, причём т(0) = т( 1), т'(0) = 0.
Задача 1.2. Найти в области Q функцию и(х, ^), удовлетворяющую условиям (0.4) — (0.6) и
и*(0,2/) = и*(1,у), ti(l,y) = 0, у > 0, (0.8)
где т(х), 1/(я) — заданные достаточно гладкие функции, причём 7^(0) = т'(1), т(1) = 0.
Задача 1.3. Найти в области Q функцию и[х,у), удовлетворяющую условиям (0.4), (0.5) и
и(ху 0) = т(ж), и(х,Т) = ф{х), 0 < х < 1; (0.9)
и(0, у) = и( 1,2/), мя(0, у) = 0, 0 < у < Т, (0.10)
где т(х), ^(ж) — заданные достаточно гладкие функции, причём т(0) = т(1),
т'(О) = 0, ф(0) = Ш ^(0) = 0.
Задача 1.4. Найти в области Q функцию и(х, у)) удовлетворяющую условиям (0.4), (0.5), (0.9) и
их(0)у) = их(1,у)}и(1,у) = 0, 0 <у<Т, (0.11)
7
где т(х), ф(х) — заданные достаточно гладкие функции, причём т'(0) = г'(1), т(1) = 0, ^(0) = ^'(1), V’(l) = 0.
При решении задач 1.1 — 1.4 применяются системы корневых функций одномерной задачи для уравнения
Х"{х) + АХ (я) = 0, 0 < х < 1, с соответствующими граничными условиями
Х(0) = Х(1), Х'(0) = 0 и Х'(0) = Х'(1), Х(1) = 0 :
{cos(27rnx)}£°=1, 1, {xsin(27rnx)}“=1; (0.12)
{4(1 — x)cos(27rnx)}^=1, 2(1 -х), {4sin(27rnx)}^=1, (0.13)
которые построены в работах [24], [25]. Они являются биортонормированными системами, полны и образуют базис Рисса в пространстве £2(0,1)*
Используя системы (0.12) и (0.13), решение задачи (0.4) - (0.7) построено в виде суммы биортогонального ряда
ОО 00
и(х,у) - и0{у) + У^цп(у) cos(27rno;) + У] уп(у)х sin(2?rn:r), (0.14)
71=1 71= 1
где функции ио(у)у un(y))vn(y) определены соответственно по формулам:
, («0^0 + ctg 7r)J±.{Poy4)Vy - w~Y^{Poyq)y/y, Ь ф 0,
u0(t,) = ^ 2qa0 2q 2qa0
voV + tq, 6 = 0,
(0.15)
Му) = K^in + ^ctg^)Ji.(pnyq)^y - 7^Т1пУфпУч)фу + w~{y),
(0.16)
Vn{y) = (ocnun + ^ctZ^j)J±(Pnyq)Vy - ^Г^т,(РпуЧ^' (°-17)
где an = ^r(^)(^)”Ä, Pn = y/b2 + (2тгn)2/q, J±.(z) и Y±(z) - функции Бес-селя I и II рода порядка v — ^ > 0 соответственно, q = (mH-2)/2,
К (У) = -^у^'ЧМ^РпУ4) - bnYb{pnf)][2Jb{pnf)Yxipny2)-
-J^+l(Pnyq)Y^_1(pny'1) - Jxrl{Pny4)Yi.+ï(pny4)}-
^апу2ч+ї[Л(рпуч) - J^+i{Pnyq)J^-i{Pny4))Y^{pny4)+
7TTL 7Г ТТТ)
+ 2cts ^nU^Pny^Vü - fa3br>Y±(pnyq)Vÿ,
rn,vn — коэффициенты разложения функций т(х) и v[x) по системе {4 sin(27rnx)} т0, щ — коэффициенты разложения функций т(х) и v{x) по системе {2(1 — х)}, Tin, У\п — коэффициенты разложения функций т(х) и и(х) по системе {4(1 - х) cos(27rпх)}.
Справедливы следующие утверждения.
Теорема 0.1. Если существует решение задачи (0.4) — (0.7), то оно единственно.
При доказательстве этого утверждения используется полнота системы функций (0.13) в пространстве £г[0,1].
Теорема 0.2. Если т(х), v{x) Є С3[0,1] и т(0) = т(1), ^(0) = //(1), т'(0) =
0, */(0) = 0, т"(0) = т"(1), //'(0) = И(1), то существует решение (0.4) -(0.7) и оно представимо в виде суммы ряда (0.14), где коэффициенты определяются по формулам (0.15) — (0.17).
Аналогично решение нелокальной задачи 1.2 построено в виде суммы биор-тогонального ряда
где функции и$(у)> ип(у), ип(у) определены соответственно по формулам (0.15) — (0.17), но тп, ип — коэффициенты разложения функций г(х) и и(х) но системе {4х8т(2тгш:)}, то, щ — коэффициенты разложения функций т(х) и и(х)
ОО
00
U
(х, у) = 2(1 - х)и0(у) + 4(1 - х) 5> п(у) cos(27rnx) + 4 ^ Vn(y) sin(27Tпх)
П=1
П=1
(0.18)
9
по системе {1}, т\п, щп — коэффициенты разложения функций т(х) и v{x) по системе {cos(27rn:r)}.
Теорема 0.3. Если существует решение задачи (0.4) - (0.6) и (0.8), гпо оно единственно.
При доказательстве используется полнота системы функций (0.12) в пространстве Z/2[0, 1].
Теорема 0.4. Если г(х)1и(х) £ С3[0,1] и т(0) = т(1), ^(0) = //(1), /(0) = 0, i/(0) = 0, т"(0) = ^'(1), и"(0) = i/'( 1), mo существует решение задачи (0.4) — (0.6) и (0.8) и оно представимо в виде суммы ряда (0.18), где функции uo{y)^n{y)iVn(y) определены соответственно по формулам (0.15) — (0.17) с учетом новых значений коэффициентов тп, vn, tq, Т\п и v\n.
Решение задачи (0.4), (0.5), (0.9) и (0.10) построено в виде суммы ряда (0.14), где функции uo(y),un(y),vn(y) определены соответственно по формулам:
f- 7ГТо
h (РоУч)\/У ~ ô—Y± (РоУя)\/У, Ьф 0,
JAp{)T<i)\/T 2? 2да0
2«
Wo - го , t Л
—=— У + то, 6 = 0,
(0.19)
„ы =
1цфпТ«)
(0-20)
2qan ъ Фп + jty±(pnT^)Vf
“ jTm
(0.21)
Теорема 0.5. Если существует решение задачи (0.4), (0.5), (0.9) и (0.10), то оно единственно только тогда, когда при всех п
Ш = ЫРпТ1) Ф О (0.22)
2 q
10
Если нарушено условие (0.22) при некотором п = щ и Т = То, то однородная задача 1.3 (где т(х) = ф(х) = 0) имеет ненулевое решение
Uno{x,y) = cos(27rnox) y/yj± (Рп0УЯ).
Теорема 0.6. Существуют Т и постоянная Со > 0 такие, что при больших п справедлива оценка
т{\\/п5т(п)\ > Со > 0. (0.23)
п
Теорема 0.7. Если т(х),ф(х) £ С3[0,1], 8т{п) ф 0 при всех п £ N, т{0) = т(1),^(0) = *(1), т'(0) = 0, ^(0) = 0,т"(0) = r"(l),iP(0) = ^"(1), выполнены условия (0.22) и (0.23), то существует решение задачи (0.4), (0.5), (0.9), (0.10), и оно представимо в виде суммы ряда (0.14), где функции uo{y)iun(y),vn{y) определены соответственно по формулам (0.19) — (0.21).
Аналогично обосновываются теоремы единственности и существования для задачи (0.4), (0.5), (0.9) и (0.11).
Также в первой главе для уравнения колебания струны
Du(x,t) = utt-uxx = 0
в прямоугольной области Q = {(xyt) | 0<#</,0<£<Т} изучена задача Ильина В. А. об управлении.
Задача 1.5. Найти в замкнутой области Q функцию u(x,t) и соответствующие управления /х(£), v(t), удовлетворяющие следующим условиям:
и{х, i) £ C(Q) П C2(Q), Пи{х, t) = 0, (х, t) £ Q\
и(х,0) = ip(x), щ{х>0) = ф(х)) 0 < х < /;
и(ху1) = (р\(х), щ{х,1) = 0 < х < /;
u(Oyt) = p(t), u(l,t) = i/(£), 0 < t < T,
li
- Київ+380960830922