Оглавление
1 Введение 4
1.1 История вопроса........................................... 4
1.2 Основные результаты диссертации............................ 10
2 Основные понятия 14
2.1 Обозначения и соглашения................................... 14
2.2 Особенности................................................ 15
2.3 Расслоения Мори......................................... 18
2.4 Разложение бирациональных отображений................... 19
2.5 Метод максимальных особенностей............................ 23
2.6 ф-факториальность ......................................... 24
3 Двойное накрытие квадрики 27
3.1 Формулировка основных результатов ......................... 27
3.2 Исключение центров максимальных особенностей: точки . . 30
3.3 Исключение центров максимальных особенностей: кривые . 32
3.4 Соотношения................................................ 36
3.5 Вспомогательные утверждения о точках на поверхностях . . 38
3.6 (ф-факториальность ........................................ 40
2
4 Бирациональные автоморфизмы трёхмерных квартик 45
4.1 Группа Вп(Х)............................................. 45
4.2 Вспомогательные утверждения.............................. 48
4.3 Центры максимальных особенностей.......................... 53
5 <0>-факториальные трёхмерные квартики 65
5.1 Формулировка основного результата......................... 65
5.2 ф-факториальность ........................................ 67
5.3 Некоторые конструкции..................................... 73
6 Расслоения на поверхности Дель Пеццо степени 4 79
6.1 Мотивировка............................................... 79
6.2 Основные результаты ...................................... 80
6.3 Определения, обозначения и формулировки................... 81
6.4 Вспомогательные утверждения............................... 85
6.5 Доказательство теоремы 6.3.2.............................. 89
6.5.1 Случай В$|£^11 = 0............................. 89
6.5.2 Случай Вб^х! = У5 ............................. 90
6.5.3 Случай Вб^х! = У4 ............................. 91
6.5.4 Случай Вв|Д| = У3 ............................. 94
6.6 Приложение к расслоением на поверхности Дель Пеццо степени 4......................................................... 96
А Публикации по теме диссертации
100
Глава 1
Введение
1.1 История вопроса
Результаты диссертации тесно примыкают к классическим вопросам рациональности алгебраических многообразий и вычисления их групп бирацио-нальных автоморфизмов. Первый вопрос является одним из наиболее естественных и фундаментальных в бирациональной геометрии. Для кривых он был полностью решён ещё в 19 веке: любая кривая (как, впрочем, и любое алгебраическое многообразие) имеет неособую модель, а любое бираци-ональное отображение между (полными) неособыми кривыми продолжается до изоморфизма; в частности, любая неособая рациональная кривая изоморфна проективной прямой Р1. Случай поверхностей уже существенно более разнообразен и содержателен, однако тоже был полностью изучен классиками. От любой неособой поверхности 5 можно перейти к её минимальной модели 5тгп, последовательно стягивая (-1)-кривые на 5. При этом £шй1 также является неособой поверхностью и бирационально эквивалентна 5. На 5т*п возможна одна из следующих ситуаций: либо канонический класс Кзт{п численно эффективен (то есть имеет неотрицательное
4
пересечение со всеми эффективными кривыми), и тогда поверхность 5тш (а следовательно, и 5) заведомо нерациональна; либо существует кривая С С 5Шт, такая что СКзт{п < 0. Заметим, что СК$тЫ ± -1 но определению минимальной поверхности. По формуле присоединения СКзт{п ^ —3, и если СК$тЫ = -3, то можно доказать, что £т*п = Р2 (в частности, 5 в этом случае рациональна). Наконец, если СК$т{п = —2, то можно проверить, что 5тш обладает структурой расслоения над некоторой кривой В. причём С является слоем этого расслоения. Поверхность £ШгП в этом случае рациональна тогда и только тогда, когда рациональна кривая В (то есть когда В = Р1), и все такие рациональные поверхности можно представить в виде ¥п = Рр1(С? 0 0(п)), п ^ 0, п ф 1 (поверхности Рп, включая также не минимальную поверхность Рх, называют рациональными линейчатыми поверхностями; также употребительно название поверхности Хирцебруха). Историю второго вопроса можно начать отсчитывать с 1871
года, когда М. Нётер (см. [44]) впервые доказал теорему о структуре группы ЕИг(Р2) бирациональных автоморфизмов проективной плоскости Р2 над нолем комплексных чисел (называемой также группой Кремоны). Оказалось, что Вп*(Р2) порождена подгруппой АиЦР2) = РСЬз(С) бирегуляр-ных автоморфизмов плоскости и одной бирациональной инволюцией, так называемым стандартным квад])атичным преобразованием т, действие которого в некоторой однородной системе координат можно записать в виде
т(х0 : х\ : х2) = (х\х2: х0х2: хцх{).
Идея доказательства состояла в том, чтобы, выбрав бирациональное отображение х : И*2 изучить особенности собственного прообраза
5
линейной системы прямых на Р2, то есть (неполной) линейной системы 'Н = x-1|ö(l)|. Если х не является изоморфизмом, то И имеет степень п = п(х) = п(Н) ^ 2, а также имеет’ базисные точки pi,... ,р* (среди которых, возможно, есть бесконечно близкие), кратности Н в которых равны i/i,..., щ соответственно; можно считать, что ь>2^ - ■ ■ ^ vk- Так, например, для описанного выше отображения т степень равна 2, и соответствующая линейная система имеет базисные точки (1 : 0 : 0), (0 : 1 : 0) и (0 : 0 : 1), причём все кратности равны 1. Если С\,Сч € Н — общие кривые, то, так как вне базисного множества С\ и C<i трансверсально пересекаются в одной точке (ибо этим свойством обладают прямые на Р2), индекс пересечения С\ и Сг равен
п2 = С1С2 = 1 4- ^ v2.
г=1
Так как кривые из системы Н рациональны и неособы вне точек pi,... ,р&, то
к
(:п - 1)(п - 2) = - 1).
1=1
Отсюда следует, что
v\ -f v2 4-1/3 > п. (1.1.1)
Если точки pi, Р2 и Рз лежат на Р2 (то есть не являются бесконечно близкими точками), то можно рассмотреть композицию х со стандартным квадратичным преобразованием т, связанным с этими тремя точками (заметим, что все такие преобразования сопряжены друг другу при помощи элементов подгруппы Aut(P2)):
х' = хот : Р2 > Р2.
б
Заметим, что степень п(х!) равна количеству точек пересечения вне точек РьР2>РЗ общей кривой С еН С КОНИКОЙ Q, Проходящей через Pi, р2 и Рз, то есть
п(х) = Мх) -V\-V2-Vz< п{х).
Таким образом, степень п(х') меньше степени п(х), и процесс можно продолжить по индукции, разложив х в композицию стандартных квадратичных преобразований.
К сожалению, на этом доказательство нельзя закончить — среди базисных точек системы Н могут быть бесконечно близкие. Эта трудность не была преодолена в работе [44] и была устранена лишь в работах Кастель-нуово и Александера; с другой стороны, приведённый выше набросок доказательства демонстрирует некоторые идеи, применимые также и в более сложных случаях, в частности, в высших размерностях.
В размерности 3 теория становится значительно богаче (отметим, например, что в размерности 3 перестаёт быть верной привычная в размерности 2 теорема Люрота об эквивалентности рациональности и унирациональности — см. [8]). Первопроходцем в области трёхмерной бирациональ-ной геометрии, возможно, следует считать Фано (см., например, [35], [36], [37], [38]). Он исследовал трёхмерные многообразия, кривые-сечения которых являются каноническими кривыми; в частности, антиканонический дивизор на таких многообразиях обилен (сейчас многообразия с обильным антиканоническим дивизором принято называть многообразиями Фано). Им были предсказаны многие глубокие результаты, которые удалось доказать на удовлетворительном уровне строгости лишь через много лет после появления его работ.
В размерности 3 становится крайне сложно проверять нерациональность различных многообразий. Первые существенные успехи в этом направлении были достигнуты в работах Псковских и Манима [8], Клеменса и Гриффитса [27] и Артина и Мамфорда [18]. В [27] был развит метод промежуточного якобиана, а в [8] — заложены основы того, что впоследствии стало называться методом максимальных особенностей. Впоследствии эти методы широко применялись к вопросам рациональности трёхмерных многообразий; во втором случае это стало возможным во многом благодаря появлению программы минимальных моделей1 в работах С. Мори (современное введение в эту теорию можно найти в [42]).
Метод максимальных особенностей можно рассматривать как один из способов доказательства нерациональности многообразий. На этом пути были доказаны нерациональность неособой трёхмерной квартики (см. [8]), а также некоторых других неособых трёхмерных многообразий Фано (см. [7] и [9]). Этим методом также доказана бирациональная сверхжёсткость2 (а следовательно, и нерациональность) гиперповерхностей степени N в Рдг (см., например, [39]), а также разнообразных многомерных двойных накрытий и полных пересечений (см. [45]). В частности, метод максимальных особенностей остаётся одним из немногих (ср. [40]) способов доказательства нерациональности многообразий высших размерностей. (Так, например, теория промежуточного якобиана, возможно, более элегантная и эффективная в случае трёхмерных многообразий, на высшие размерности пока не обобщается.)
С другой стороны, метод максимальных особенностей применим к вы-
1В дальнейшем мы часто будем пользоваться сокращением ПММ.
Определения см. в главе 2.
8
- Київ+380960830922