Оглавление
Введение 4
1. Шпехтовы многообразия правоальтернативных метабе-левых алгебр 15
1.1. Основные операторные соотношения свободной правоальтернативной метабелевой алгебры........................ 16
1.2. Достаточное условие шпехтовости многообразия правоальтернативных метабелевых алгебр..........................21
1.3. О шпехтовости некоторых многообразий правоальтернативных метабелевых алгебр..................................25
2. Топологический ранг многообразия правоальтернативных метабелевых алгебр с тождеством лиевой нильпотентности 29
2.1. Предварительные соотношение и леммы...................30
2.2. Аддитивная структура пространства Тл (21,\г) 34
2.3. Верхняя оценка топологического ранга АА-выделенного многообразия...............................................35
2.4. Нижняя оценка топологического ранга А7-выделенного многообразия...............................................40
2.5. Доказательство основной теоремы.......................43
3. Почти шпехтово многообразие правоальтернативных метабелевых алгебр 44
3.1. Вспомогательная супералгебра Л .......................45
3.2. Свободная алгебра многообразия уаг(в (Л)).............47
3.3. О шпехтовых подмногообразиях в уаг(в (Л)) ............53
3.4. Аддитивная структура пространства 0,^ (21)............55
3.5. Почти шпехтово многообразие Ш С уаг(в (Л)) 60
2
4. О некоторых метабелевых многообразиях над полем ненулевой характеристики 65
4.1. О супер-ранге многообразия З2 ........................66
4.2. Топологический ранг многообразия метабелевых алгебр Ли....................................................69
3
Введение
Изучение строения идеалов тождеств многообразий алгебр представляет собой важное направление исследований в современной теории колец. Принципиальным аспектом подобных исследований является вопрос существования конечных систем порождающих рассматриваемых идеалов, т. е. конечных базисов тождеств. Многообразие алгебр, всякое подмногообразие которого допускает конечный базис тождеств, называют шпехтовым.
В 1950 году в теории ассоциативных алгебр возникла проблема Шпехта: верно ли, что всякое многообразие алгебр над полем характеристики 0 обладает конечным базисом тождеств? Эта проблема оставалась нерешенной более тридцати лет, что послужило развитию интереса математиков также и к вопросам шпехтовости многообразий неассоциативных алгебр. Так, шпехтовость различных многообразий ассоциативных, лиевых, альтернативных и йордановых алгебр широко изучалась в ряде работ: А. Р. Кемер [17-20], В. Н. Латышев [22-20], Ю. А. Медведев [28, 29], С. В. Пчелинцев [32-34], Ю. П. Размыс-лов [36, 37] и др.
Одним из первых в нашей стране проблемой Шпехта начал заниматься профессор В. Н. Латышев. В частности, в 1972 году он доказал шпехтовость многообразия ассоциативных алгебр над полем характеристики 0 с тождеством = 0 [24]. Окон-
чательное решение проблемы Шпехта получил в 1987 году А. Р. Кемер [19], доказав, что произвольное многообразие ассоциативных алгебр над полем характеристики 0 имеет конечный базис тождеств. Однако над полями ненулевой характеристики существуют бесконечно базируемые многообразия [6, 7, 43].
В 1966 году проблема конечной базируемости многообразий алгебр привлекла внимание академика А. И. Мальцева. Так, на Втором Всесоюзном симпозиуме по теории групп в Батуми он [21] сфор-
4
мулировал вопросы о шиехтовости многообразий алгебр Ли и многообразий, порожденных конечными алгебрами Ли. Вскоре, в 1968 году, Воон-Ли [50] доказал шпехтовость многообразия разрешимых индекса 2 (метабелевых) алгебр Ли. Им же в работе [51] построен первый пример бесконечно базируемого многообразия алгебр Ли над полем характеристики 2. Позднее В. С. Дренски [12] распространил результат [51] на случай произвольного поля ненулевой характеристики. В 1978 году Ю. А. Медведев [28] получил обобщение результата [50], установив шпехтовость многообразия метабелевых алгебр Мальцева. Значительным результатом в этой области является опубликованное в 1992 году А. В. Ильтяковым [45] доказательство шиехтовости многообразия, порожденного конечномерной алгеброй Ли. Отметим, что вопрос о шиехтовости произвольного многообразия разрешимых алгебр Ли над полем характеристики 0 до сих пор осіается открытым.
Как известно, каждая разрешимая конечнопорождённая альтернативная или йорданова алгебра нильпотентна [13]. Первые примеры разрешимых, но не нильпотентных альтернативных алгебр и алгебр типа (—1,1) построил Г. В. Дорофеев [9, 11]. В 1976 году А.М. Слинько [8] сформулировал проблему шиехтовости многообразия разрешимых альтернативных (йордановых) алгебр, вызывающую интерес в том числе и в силу близости многообразия альтернативных алгебр к многообразию ассоциативных алгебр. Эту близость поясняет теорема Артина, утверждающая, что каждая двупорождённая подалгебра альтернативной алгебры ассоциативна [13].
Определенное продвижение в решении проблемы А. М. Слинько дала доказанная Ю. А. Медведевым в 1978 году теорема о конечной базируемое™ многообразий с двучленным тождеством [28]. Следствием этой теоремы является шпехтовость ряда многообразий метабелевых алгебр, близких к ассоциативным, в частности, альтернативных и йордановых. В 1985 году положительное решение проблемы А. М. Слинько для альтернативных алгебр в случае поля характеристики, отличной от 2 и 3, получил У. У. Умирбаев [40]. Контрпримеры, показывающие принципиальность ограничений на характеристику поля, были построены в 1980 года Ю. А. Медведевым [29] и в 2000 года С. В. Пче-линцевым [33].
5
В классе правоальтернативных алгебр понятия разрешимости и нильпотентности также в некотором смысле близки. Например, в конечномерном случае разрешимость эквивалентна правой нильпотентности. Первый пример конечномерной правоальтернативной метабе-левой иравонильпотентной алгебры, которая не является нильпотент-ной, принадлежит Г. В. Дорофееву [10]. В 1976 года В. П. Белкин [5] доказал нешиехтовость многообразия нравоальтернативных метабеле-вых алгебр, построив первый пример бесконечно базируемого многообразия в теории колец, близких к ассоциативным. Примерно в это же время С. В. Полин доказал существование многообразия, порожденного некоторой конечной алгеброй над произвольным конечным нолем, имеющего бесконечный базис тождеств. В 1978 года И. В. Львов [27] построил бесконечно базируемую 6-мерную неассоциативную алгебру, порождающую многообразие, решетка подмногообразий которого бесконечна.
В 1981 года С. В. Пчелинцевым были введены понятия конечномерности и топологического ранга многообразия и изучены решетки многообразий метабелевых алгебр, близких к ассоциативным [30]. Строение решетки подмногообразий многообразия альтернативных метабелевых алгебр над полем характеристики 0, при некотором дополнительном ограничении, описано А. В. Ильтяковым [14]. Им же в 1991 года в работе [15] доказана шиехтовость конечнопорождённой альтернативной Р1-алгебры над полем характеристики 0.
Содержание диссертации
Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы, содержащего 55 наименований источников. Общий объем диссертации 75 страниц.
В 1976 года В. П. Белкин [5] показал, что над любым полем существуют бесконечно базируемые многообразия правоальтернативных метабелевых алгебр. Как установил И. М. Исаев [16], порождающие алгебры таких многообразий могут быть и конечномерными. Естественным образом возникает необходимость установления достаточных условий конечной базируемости многообразий правоальтернативных метабелевых алгебр. В силу теоремы Медведева [28] шпехтовы-
6
- Київ+380960830922