Введение
Настоящая работа посвящена изучению всех типов простых нетривиальных разложений в специальных йордановых алгебрах и супералгебрах над алгебраически замкнутым полем F, которое имеет произвольную характеристику отличную от двух, в случае йордановых алгебр, и нулевую характеристику, в случае йордановых супералгебр. Под термином простое (полупростое) разложение произвольной алгебры J мы подразумеваем представление J в виде суммы двух простых (полупростых) собственных подалгебр. Причем сумма в этом разложении не обязана быть прямой. Структура простых и полупростых разложений изучалась также и для других типов алгебр. Например, для конечномерных простых ассоциативных алгебр над произвольным алгебраически замкнутым полем Ю.А. Бахтурин и
О. Кегель в статье [9] доказали невозможность разложения в сумму собственных простых подалгебр. В лиевском случае А.Л. Онищик в работе [3], используя топологические методы, классифицировал все возможные полупростые разложения полупростой комплексной или вещественной алгебры Ли.
В первой главе настоящей работы приводится необходимая классификация простых йордановых алгебр и Йордановых супералгебр. Как известно, согласно теореме Зельманова [27], всего существует пять типов попарно неизоморфных простых специальных йордановых алгебр, обозначаемых следующим образом: B(f) = F + V — алгебра невырожденной билинейной формы /, dim V > 1; #(Fn), п > 3, — алгебра симметрических матриц порядка п\ #(7£п), п > 3 — алгебра, изоморфная полной
матричной алгебре F^ относительно йорданова умножения; Я(й„), п > 3, — алгебра симплектических матриц порядка 2п. Кроме того, существует одна 27-мерная исключительная простая йорданова алгебра Я(Сз), называемая в некоторых источниках алгеброй Алберта.
Йордановы супералгебры впервые изучались Кацем [12] и Капланским [16, 17]. В [12] наравне с классификацией простых конечномерных супералгебр Ли, Кац классифицировал простые конечномерные йордановы супералгебры над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль, используя ТКК-конструкцию (Tifcs-Kantor-Koecher construction). В [23] Расином и Зельмановым эта классификация была расширена до случая простых конечномерных йордановых супералгебр с полу простой четной частью над полем характеристики р > 2.
Вторая глава посвящена доказательству теоремы, описывающей все типы простых разложений в простой специальной конечномерной йордановой алгебре J. Этот результат был получен совместно с Т.В.Твалавадзе. Автору принадлежат доказательства общих фактов справедливых для йордановых алгебр типа Я(Х>„), где V — произвольная композиционная алгебра над алгебраически замкнутым полем характеристики отличной от двух и доказательство того, что йорданова алгебра типа H(Fn) не имеет разложений в сумму двух собственных простых подалгебр (см. параграфы 2.4 и 2.5). Остальные случаи, а именно, разложения алгебр типов Я(7£„) и H(Qn) доказаны в диссертации Т.В.Твалавадзе.
Для того, чтобы описать все возможные простые разложения алгебры B(f) = F 0 V — невырожденной симметрической
билинейной формы /, мы зафиксируем некоторый базис ортонормированный относительно формы /. Обозначим через Л = F Ф V*, где V* = span (ej,... ,е*), к = 2,...,п — 1. Все эти подалгебры являются простыми, так как ограничение f\yk — невырожденное. Кроме того, Й с Л С ... С Jn-u dim Ji = к + 1. Если В(/) = В + С, где В, С — простые йордановы подалгебры, dim В > dim С, то найдутся автоморфизмы ^ и ф алгебры J такие, что В —
С — ip{Jp), к -f р > п, в случае непрямой суммы, и В — <p(Jn-1)> С = ip(F)> в случае прямой суммы. Верно и обратное утверждение, а именно, указанные выше разложения существуют в алгебре
в(1).
Наконец, третья глава посвящена разложениям специальных йордановых супералгебр в сумму простых собственных нетривиальных (с ненулевой нечетной частью) подсупералгебр. Шаг за шагом, мы переходим от супералгебр типов Mn>m(F), osp(n,m), Р(п), J(V,f) к трехмерной супералгебре
Капланского К$ и четырехмерной однопараметрической супералгсбре Dt. В отличие от йордановых алгебр, во всех типах, кроме Mn?ra(F) и J(V,/), простых разложений не существует. Во многих случаях, для доказательства, мы применяем наши результаты о классификации разложений простых йордановых алгебр к случаю супералгебр. Кроме того, конструкция универсальной ассоциативной обертывающей алгебры для йордановой супералгебры (см.[18]) помогает в некоторых случаях свести исходное разложение к разложению ассоциативной алгебры в сумму полупростых ассоциативных подалгебр. Такие разложения можно исследовать применяя результаты из [9].
Супералгебра типа Мп>т(.Р), в случае четного га, допускает одно-единственное разложение, которое является разложением в сумму подсупералгебр А и В типов А/П_1>ш(£) и озр(п,у), соотвегственно. Для построения этого примера рассмотрим подсупералгебру А в виде:
1
А в
0 ... 0 0 ... 0
С о
где матрицы Л и С порядков (тг — 1) х п и га х п, соответственно, имеют два одинаковых последних столбца, В, £) — произвольные матрицы порядков (п — 1) х га и га х т. Вторую подсупералгебру В рассмотрим в каноническом виде:
£-1С‘
В
5 =
где А — симметрическая матрица порядка п, В — симплектическая матрица порядка ш, С — произвольная матрица порядка п х га, ° /\
, где I — тождественная матрица порядка Щ.
-10/
Все разложения супералгебры J{VJf) легко получаются из разложений четной части J(Vif)о, которая является йордановой алгеброй типа £(/).
В заключение мне хотелось бы поблагодарить моего научного руководителя профессора Бахтурина Ю.А. за огромное влияние и
•*
помощь при работе над диссертацией.
Список научных работ автора
1. Твалавадзе М.В, Твалавадзе Т.В. О разложениях алгебр типа В(/) в сумму простых подалгебр., Вест. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика, 2002, 2, 63-65.
2. Твалавадзе М.В, Твалавадзе Т.В. Разложения простых специальных йордаповых алгебр., депонир. в ВИНИТИ, 2287-В2002.
3. Твалавадзе М.В. Разложения простых неассоциативных алгебр и супералгебр, депонир. в ВИНИТИ, 1175-В2004.
4*
6