Содержание
0.1 Введение.
5
1 Глава 1.
Нелинейные волны малой амплитуды в упругих средах.
1.1 Волны Римана..........................................
1.2 Ударные волны.........................................
1.3 Автомодельные задачи и неединственность решения. . .
2 Глава 2.
Нелинейные волны в вязкоупругих средах и проблемы
устойчивости ударных волн.
2.1 Структура квазипоперечных ударных волн................
2.2 Одномерные нестационарные решения. Описание решений в условиях неединственности автомодельных асимптотик.....................................................
2.3 Взаимодействие нелинейных волн в слабоанизотропной среде.....................................................
2.4 Перестройка нелинейной упругой волны в среде с малой анизотропией..............................................
2.5 Исследование устойчивости структуры ударных волн в вязкоупругой среде при взаимодействии с одномерными неоднородностями..........................................
2.6 Устойчивость быстрых квазипоперечных ударных волн. .
2.7 Устойчивость к двумерным возмущениям метастабиль-иой ударной волны в вязкоупругой среде....................
22
25
27
32
39
40
45
52
62
67
76
87
3 Глава 3.
Асимптотическое поведение нелинейных волн в упругих средах с дисперсией и диссипацией. 101
3.1 Структура разрывов................................... 103
3.2 Неединственность решений автомодельной волновой задачи.................................................... 115
3.3 Построение автомодельных асимптотик в области неединственности как предела нестационарных решений системы уравнений в частных производных.......................118
3.4 Выводы................................................129
4 Глава 4.
Неклассические разрывы при распространении продольных волн в вязко-упругих стержнях со сложной нелинейностью. 130
4.1 Разрывы со стационарной структурой.
Задача о распаде произвольного разрыва...............130
4.2 Описание численных экспериментов......................138
4.3 Выводы................................................145
5 Заключение. 148
6 Приложение 1.
Упрощенные уравнения одномерной теории упругости для квазипонеречных волн. 152
6.1 Эквивалентная несжимаемая среда
при описании квазипоперечных волн....................153
3
6.2 Упрощенные уравнения для описания квазипоперечных
волн, распространяющихся в одну сторону..............157
6.3 Движения вязко-упругих сред.
Модель Кельвина-Фойхта...............................160
6.4 Подобие нелинейных эффектов..........................163
7 Приложение 2.
Достаточный признак несуществования или неединственности решений гиперболических уравнений, выражающих законы сохранения. 165
8 Приложение 3. 174
8.1 Разностная аппроксимация дифференциальных уравнений, описывающих квазипоперечные волны в вязко-упругих средах с дисперсией.
Неявная схема........................................174
8.2 Метод Ныотона........................................176
8.3 Линеаризация разностных уравнений....................177
8.4 Метод матричной прогонки.............................179
8.5 Применение метода матричной прогонки для решения
разностных уравнений.................................181
8.6 Разностная схема модельного уравнения................182
4
0.1 Введение.
Проблема адекватного математического описания нелинейных волн в сплошных средах с учетом влияния реальных факторов является одной их центральных в механике. Потребности практики приводят к необходимости использования все более сложных математических моделей, учитывающих комплексное взаимодействие разнообразных процессов, происходящих в сплошной среде. Классические модели, использовавшиеся при изучении волн, усложняются путем включения в рассмотрение новых физических эффектов. Исследование поведения таких сложных сред, описываемых системами уравнений высокого порядка, требует развития новых методов и средств анализа.
Во многих случаях основной вклад в развитие нелинейных волновых процессов в сплошных средах вносят крупномасштабные возмущения, эволюция которых может быть описана, как правило, нелинейными гиперболическим уравнениями. Влияние мелкомасштабных процессов, таких как дисперсия и диссипация, проявляется в узких высокогра-диентиых зонах, моделируемых в рамках гиперболических уравнений поверхностями разрыва основных параметров течения.
Существенным этапом исследования является необходимый во многих случаях выход за рамки гиперболических уравнений и использование усложненных уравнений с целью изучения структуры разрывов и для выбора единственного решения в случае, когда решения гиперболической системы неединственны.
Предлагаемая работа посвящена изучению задач, связанных с распространением одномерных нелинейных волн в упругих средах при
5
различных дополнительных предположениях относительно процессов, происходящих в структуре ударных волн и в других высокоградиентных слоях. Обнаружено сложное поведение решений, содержащих разрывы, во многом не совпадающее с поведением нелинейных волн в других ранее исследованных случаях. Обнаруженные особенности решений не связаны с какой-либо спецификой уравнений теории упругости, а являются общим случаем для достаточно сложных гиперболических систем уравнений.
Уравнения нелинейной теории упругости относятся к классу гиперболических систем, выражающих законы сохранения. Ввиду этого в решениях возникают особенности, приводящие к образованию разрывов на которых должны выполняться граничные условия в виде равенств, следующие из законов сохранения, связывающие искомые функции по разные стороны разрыва. Если не предполагается выполнения других соотношений на разрыве, отличных от законов сохранения, то разрыв при выполнении некоторых неравенств, выражающих условие неубывания энтропии и корректности граничных условий на разрыве. будем называть классическим или ударной волной. В ряде случаев оказывается необходимым рассмотрение и введение в решения задач неклассических, особых разрывов, на которых кроме соотношений, следующих из законов сохранения, должны выполняться также некоторые дополнительные соотношения.
Известно, что существуют гиперболические системы уравнений, такие, что построение решений автомодельных задач с использованием непрерывных решений и ударных волн оказывается неоднозначным
6
(см., например, [1-3]). Неоднозначность с “гиперболической” точки зрения имеет место также при построении решений автомодельных задач, связанных с распространением особых разрывов, свойства которых заведомо не определяются только законами сохранения. Для выделения единственных, физически обоснованных решений гиперболическая система уравнений дополнялась членами, которые пренебрежимо малы в областях, где изменение решений характеризуется некоторым большим или конечным пространственным масштабом Ь, а в узких областях, ширины много меньше 1/, оказывают существенное влияние на решение, делая его непрерывным. Такую систему уравнений будем называть расширенной или полной системой уравнений. Разрывам в решениях гиперболических систем уравнений соответствуют узкие переходные зоны в решениях полных систем уравнений. Решение полной системы уравнений внутри переходной зоны называется структурой разрыва. Требование существования структуры разрывов приводит к выделению разрывов, которые часто рассматриваются как реально существующие [4].
К особым разрывам относятся хорошо известные фронты горения в газах [5), которые распространяются по горючей смеси так, что относительная скорость газа с обеих сторон от фронта меньше скорости звука. В качестве дополнительного условия на фронте обычно задастся скорость фронта по отношению к газу перед фронтом. Эта скорость теоретически определяется как условие существования структуры фронта горения с учетом химической кинетики, теплопроводности и вязкости. Известны и другие задачи, в решениях которых существенную роль иг-
7
рают особые разрывы. В частности, исследованы разрывы, требование существования структуры которых приводит к нескольким дополнительным условиям, как, например, это имеет место, если газ, проходя через разрыв, приобретает или теряет электропроводность в присутствии магнитного поля [6-8].
Если известно, что особые фронты не входят в решение, то требование существования структуры у используемых разрывов в ряде случаев приводит к отбрасыванию некоторой части ударных волн, в результате чего решение задачи может стать единственным, как это показано в [2,3]. При этом может оказаться, что требование допустимости выделяет то или иное множество разрывов в зависимости от мелкомасштабных процессов, которые тем самым определяют решение задач в целом. Это было продемонстрировано на примерах [9,10], а в [11] приведен пример гиперболической системы, для которой требование допустимости разрывов не приводит к единственности решений.
Во всех перечисленных случаях проводился выход за рамки гиперболической системы уравнений, причем добавляемые в эти уравнения члены существенно влияли на множество допустимых разрывов и их свойства, и, следовательно, и на решения задач в целом. Поэтому оказывается недостаточным знание только вида гиперболических уравнений, а требуется знание полной системы уравнений, которая описывает, как крупномасштабные, так и мелкомасштабные явления. Однако, при рассмотрении явлений с точки зрения крупного масштаба, часто бывает достаточно меньшего объема дополнительных сведений. Например, как уже упомянуто, в задачах с фронтами горения достаточно знания
8
скорости этих фронтов. Будем называть гиперболической моделью гиперболическую систему уравнений для описания непрерывных решений и множество разрывов, которые могут использоваться при построении решений. Эти разрывы будем называть допустимыми.
Множество допустимых разрывов для одной и той же гиперболической системы уравнений может’ определяться различным образом, порождая разные гиперболические модели. В идеале множество допустимых разрывов совпадает с множеством разрывов, которые могут физически осуществляться. Однако, последнее не всегда заранее известно. Уже упоминалось, что во многих случаях множество допустимых разрывов определяется, как множество разрывов, которым соответствует решение задачи о структуре в рамках некоторой полной системы уравнений. При этом обычно дополнительно считается, что структура одномерна и стационарна, то есть представляется бегущей волной. Такой подход к определению множества допустимых разрывов будет использоваться ниже в этой работе. Однако, в главе 4 будет показано, что при определенных условиях структура разрывов не представляется бегущей волной, а в ней происходят внутренние периодические колебания. Внутренние колебания и неодномерность движения внутри структуры ранее изучались в других задачи механики сплошных сред и, в частности, в теории горения и детонации [12-17].
Излагаемые ниже результаты относятся к проблеме нелинейных волн в упругих средах и могут иметь, таким образом, прикладное значение. Уравнения нелинейной теории упругости [18, 19) представляют собой квазилинейную гиперболическую систему уравнений в част-
9
ных производных, выражающую законы сохранения массы, импульса и энергии. Если в среде помимо упругих имеются также вязкие напряжения, то система приобретает свойства параболичности. Оказалось, что многие, упомянутые выше, особенности поведения решений уравнений. выражающих законы сохранения, присущи уравнениям нелинейной теории упругости. В тех случаях, когда в мелкомасштабных явлениях проявляются эффекты дисперсии, обнаружены новые свойства решений, которые, несомненно, имеют место для других систем уравнений, мелкомасштабные явления в которых включают в себя диссипацию и дисперсию. Наибольший интерес представляют задачи, для которых гиперболичкская модель дает неединственное решение. Эти случаи подробно исследованы в предлагаемой работе с помощью численного построения решений полных систем уравнений с частными производными с выявлением гиперболических асимптотик.
В изотропных упругих средах волны малых возмущений, рассматриваемые в линейном приближении, делятся на продольные и поперечные [18,19]. В продольных волнах движение среды происходит по нормали к фронту волны, а в поперечных - в направлениях, параллельных фронту. Если нелинейность и анизотропия среды малы, то свойства волн меняются мало. В продольных волнах появляется малая поперечная составляющая движения, а в поперечных - малая продольная. Такие волны называются соответственно квазипродольными и квазипоперечными. Как было выяснено в [21] (см. также [8]). наиболее интересное поведение уже в случае малой нелинейности проявляют квазипоперечные волны. Ниже, в главах 1-3, дается обзор результатов
10
исследования нелинейных квазипоперечных волн малой амплитуды в упругих и вязко-упругих слабоанизотропных средах. Глава 4 посвящена изучению распространения нелинейных продольных волн в стержнях, когда существенны эффекты дисперсии.
Свойства упругой среды определяются зависимостью ее внутренней энергии от деформации и энтропии. Ввиду предполагаемой малости деформаций внутренняя энергия представляется всюду в дальнейшем в виде многочлена по деформациям, причем в разложении но деформациям учитывались члены до четвертой степени включительно. Среда предполагалась слабоанизотиропиой и свойства анизотропии в силу ее малости учитывались лишь в квадратичных членах. Эта модель используется всюду ниже при рассмотрении квазипоперечных волн.
В главе 1 показано, что при наличии общего типа малой анизотропии свойств среда, имеющей место в плоскостях постоянной фазы (волновой анизотропии), поведение нелинейных квазипоперечных волн, а также решений начально-краевых задач качественным образом отличается от случаев, когда такая анизотропия отсутствует как это имеет место в магнитной гидродинамике [20] или в частных случаях в упругой среде (18). Важно заметить, что наличие анизотропии в упругой среде может рассматриваться как случай общего положения, поскольку она проявляется и в исходно изотропной среде, подвергнутой предварительной деформации. В пунктах 1.1 и 1.2 приведены результаты исследований поведения волн Римана и ударных волн в такой среде. В пункте 1.3 проведен анапиз автомодельной задачи о волнах в нелинейно-упругом полупространстве, возбуждаемых внезапным из-
11
менением касательных напряжений на границе. Такую задачу часто называют задачей о поршне. Анализ проводился в предположении, что допустимые разрывы это ударные волны.
Одной из основных особенностей нелинейной теории упругости является неединственность решений задач [21] (см. также [8]). Упомянутая задача о поршне может иметь два решения в некоторой области задаваемых параметров. Решения этих задач строились из автомодельных волн Римана и ударных волн, то есть разрывов, удовлетворяющих условиям корректности Лакса [22] (условиям корректности или эволюциои-ности, в предположении, что соотношения на разрывах представлены только законами сохранения).
При изложении результатов в главы 1 использовалась не система уравнений теории упругости, а приближенная упрощенная система, состоящая из двух гиперболических уравнений, описывающая распространение двух взаимодействующих между собой квазипоперечных волн. Эта система справедлива, когда волны, связанные с другими се-мействами характеристик достаточно малы. Вывод этой системы дается в Приложении 1. Решения упрощенной системы уравнений тем меньше отличаются от решений системы уравнений теории упругости, чем меньше амплитуда рассматриваемых волн. Упрощенные уравнения - это аналог уравнений Хопфа в случае, когда описываемые возмущения связаны не с одним, а с двумя семействами характеристик. Автомодельная задача, изученная в п. 1.3, - это одновременно задача о распаде произвольного разрыва для обсуждаемой системы уравнений. Решение задачи о распаде произвольного разрыва для системы урав-
12
нений теории упругости содержит две системы квазипоперечных волн, распространяющихся в разные стороны. Число решений этой задачи может достигать четырех [21].
В главах 2 и 3 используются расширенные системы уравнений, описывающие распространение квазипоперечных волн малой амплитуды в одну сторону, причем в главе 2 эта система снабжается членами, описывающими влияние вязкости, а в главе 3 - влияние вязкости и дисперсии. Эти системы могут рассматриваться как аналоги уравнений Бюргерса и Кортсвега-де Фриза- Бюргерса.
В Приложении 1 (п. б.З) указываются условия подобия одномерных решений нелинейной теории упругости для одномерных задач е малыми возмущениями и доказывается, что обнаруженная неединственность может иметь место в исходно изотропной однородной среде при сколь угодно малых отклонениях от ненапряженного состояния.
В Приложении 2 установлены причины неединственности решений системы уравнений нелинейной теории упругости и получено легко проверяемое достаточное условие неединственности или несуществования решений произвольной гиперболической системы, выражающей законы сохранения.
В главе 2 (см. также Приложение 1) в уравнения движения добавлены члены, описывающие вязкие напряжения (модель упруго-вязкой среды Кельвина-ФоЙхта) и используется система уравнений для квазипоперечных воли, распространяющихся в одну сторону. В пункте 2.1 изучена стационарная структура разрывов, то есть структура, которая представляется бегущей волной. Показано, что разрывам, удовлетво-
13
ряющим условиям Лакса, соответствуют решения, представляющие их упруго-вязкую структуру и что нет других разрывов со структурой. Таким образом, исследование вязкой структуры ударных волн не привело к сокращению множества допустимых разрывов, использовавшихся в п.
1.3 для построения решений, и к единственности решений автомодельных задач.
В пункте 2.2 представлены результаты численного решения неавтомодельных задач о поршне с неединственной автомодельной асимптотикой. Если решается система уравнений в частных производных с учетом вязкости в случае, когда граничные условия меняются в течение конечного интервала времени, а затем остаются неизменными, то при больших временах можно ожидать формирование автомодельной асимптотики. Численные эксперименты показали, что может реализовываться любое из имеющихся автомодельных решений, и качественно описано при каких условиях (то есть функциях задающих изменение граничных условий) какая автомодельная асимптотика возникает. Если величину вязкости устремить к нулю, то интервал времени, в течении которого следует определенным образом менять граничные условия для формирования автомодельной асимптотики того или иного типа, можно также устремить к нулю. В пределе при вязкости, обращающейся в нуль, не остается критерия для выбора автомодельного решения.
Еще одна группа вопросов, ответы на которые могли бы привести к выделению единственного решения автомодельных задач в гиперболической постановке, - это изучение устойчивости волн, входящих в автомодельные решения. Одна из ударных волн вызывает особые по-
14
дозрения. Если состояния впереди и сзади этой ударной волны задать как начальные условия в задаче о распаде произвольного разрыва, то в последующее время с гиперболической точки зрения возможны два решения. Эта волна либо продолжит свое существование, либо она распадется и далее решение будет представлено некоторой системой волн, имеющих различные скорости.
В связи с этим в главе 2 рассмотрены задачи о взаимодействии ударных волн между собой (п. 2.3) и с неоднородностями фона (п. 2.5, п. 2.7). Рассматривались задачи, когда одна ударная волна догоняет другую, причем обе ударные волны представлялись своими стационарными структурами. Также изучались задачи о встречном столкновении ударных волн. Во всех случаях, когда после взаимодействия ударных воли с гиперболической точки зрения существовало решение с “подозрительной” ударной волной, результатом численного эксперимента было формирование при больших временах решения именно с такой асимптотикой. При взаимодействии с неоднородностями фона “подозрительная” ударная волна, представленная своей стационарной структурой, проявляла незаурядную устойчивость (п. 2.5). Её распад происходил только при взаимодействии с достаточно большими и протяженными возмущениями фона. Это позволяет квалифицировать эту ударную волну как метастабилъиую.
В пункте 2.7 рассмотрена двумерная устойчивость упомянутой выше метастабилыюй ударной волны по отношению к двумерным возмущениям. Слабые ударные волны эффективно взаимодействуют только с возмущениями, имеющими близкую ориентацию, то есть слабо зави-
15
сящими от тангенциальной координаты. Исследование таких решений было проведено с помощью выведенных в [24) простых уравнений, аналогичных известным уравнениям Хохлова-Заболотской и Кадомцева-Петвиашвили. В отличие от последних, в рассматриваемом случае - это система двух уравнений. Численно строились решения с начальными данными, периодическими по переменной вдоль фронта. Часть этого фронта представляла невозмущенную стационарную структуру ударной волны, а другая часть - результат её необратимого распада на систему волн, взятую из решения одномерной задачи. Оказалась, что если отрезок невозму щей ного фронта достаточно велик, то невозмущенная структура восстанавливается всюду. Таким образом, взаимодействие с неодномерными возмущениями подтвердило квалификацию изучаемой ударной волны как метастабильной и, следовательно, имеющей право на существование. Заметим, что в ряде работ (см., например, [23]) метастабильные разрывы считаются нереализующимися. Этим предположением достигается единственность решений задач, которая, как показали упомянутые выше исследования, отсутствует, если рассматривать гиперболическую модель среды, как предел вязко-упругой при характерном масштабе Ь —> оо (или, что то же самое, при вязкости, стремящейся к нулю).
В пункте 2.4 аналитически и численно изучается явление, имеющее место при взаимодействии ударной волны с догоняющей её волной Ри-мана. При определенных условиях происходит распад ударной волны и образование на её месте некоторой определенной системы волн.
В пункте 2.6 в линейном приближении исследуется устойчивость
16
квазипоперечных ударных волн но отношению к произвольно ориентированным возмущениям. Показано, что быстрые квазипоперечные ударные волны устойчивы.
Главы 3 и 4 посвящены изучению нелинейных волн в упругих средах, в которых в мелкомасштабных процессах наряду с диссипацией большое значение имеет дисперсия. Как известно, дисперсионные эффекты возникают в уравнениях, описывающих волны в упругих композитах [25]. Кроме того, дисперсия характерна для волн, распространяющихся в стержнях [26]. Вообще, дисперсионные эффекты появляются, когда свойства изучаемых объектов характеризуются или некоторым линейным размером, или характерным временем.
Как было показано [27], влияние мелкомасштабной дисперсии (наряду' с вязкостью) приводит к колебаниям в стационарных структурах ударных волн (которые рассматриваются как бегущие волны). Если состояние за ударной волной, движущейся по заданному состоянию с заданной скоростью, не определяется законами сохранения однозначно (что характерно для не слишком простых гиперболических уравнений), то наличие колебаний в стационарных структурах кардинально меняет множество допустимых разрывов. Действительно, как показано в главах 3 и 4, интегральная кривая уравнений, описывающих стационарную структуру разрыва, вышедшая из особой точки, соответствующей состоянию перед разрывом, за счет влияния дисперсии испытывает колебания, прежде чем приходит в особую точку, соответствующую одному из возможных состояний за разрывом. Если этих колебаний много, то достаточно малого изменения параметров, например, скорости раз-
17
- Київ+380960830922