Нелинейное деформирование оболочечных конструкций с физико-механическими неоднородностями

Oi.iaB.iei же
Введение................................................................... 6
Слава I Исходные соотношения, описывающие нелинейное деформирование оболочечных конструкций при статическом и динамическом нагружении................................................................... I®
§ 1.1. Деформированное состояние. Геомет рически нелинейные
соотношения для двумерных краевых задач 16
1.1.1. Уравнения теории оболочек Кирхгофа-Лява...................... 18
1.1.2. Уравнения теории оболочек Тимошенко........................... 19
1.1.3. Параметры Ляме и кривизны для ряда частных случаен пластин и оболочек............................................................. 20
§ 1.2.Напряженное состояние. Соотношения термоупругости и термоилас-
тичносги для неоднородных оболочек................................. 22
1.2.1. Соотношения тсрмоупругости.................................... 23
1.2.2. Однослойные ортотропные оболочки.............................. 24
1.2.3. Многослойные оболочки из композиционных материалов............ 25
1.2.4. Эксцентрично подкрепленные оболочки........................... 29
1.2.5. Многослойные оболочки с легким заполнителем («сэндвичевы» конструкции)......................................................... 30
1.2.6. Оболочки с начальными несовершенствам и формы................. 35
1.2.7. Соотношения деформационной теории термопластичносги........... 36
§ 1.3. Статика оболочек. Уравнения равновесия.......................... 38
§ 1.4. Динамика оболочек. Уравнения движения........................... 42
§ 1.5. Граничные и начальные условия................................... 44
§ 1.6. Оболочки с вырезами различной формы............................. 46
§ 1.7. Составные оболочечные конструкции.............................. 51
1.7.1. Соотношения для круговых шпангоутов (модель Кирхгофа-Клебша).............................................................. 51
1.7.2. Формулировка задачи для составной оболочечной конструкции 55
-2-
Глава II Вариационно-разностная формулировка исходной краевой задачи.
Метод конечных разностей и метод конечных элементов.................. 57
§ 2.1. Вычислительный эксперимент в механике оболочечных конструкций.... 57 § 2.2. Разностная схема............................................. 61
2.2.1. Конечно-разностная аппроксимация параметров деформированного состояния оболочки................................... 63
2.2.2. Конечно-разностная аппроксимация параметров напряженного состояния оболочки.................................................... 68
2.2.3. Построение РС для расчета «сэндвичсвых» конструкций............. 69
2.2.4. Построение РС при расчете оболочек с начальными несовершенствами формы............................................... 70
2.2.5. Построение РС при решении физически нелинейных задач............ 71
2.2.6. Построение РС при расчете составных оболочечных конструкций.... 72 § 2.3. Построение разностных аналогов уравнений равновесия.......... 72
2.3.1. Построение ВРС для уравнений оболочек Кнрхгофа-Лява............. 74
2.3.2. Построение ВРС для уравнений оболочек Тимошенко............... 81
2.3.3. Построение ВРС для составных оболочечных конструкций............ 87
§ 2.4. Построение разностных аналогов уравнений движения................. 88
§ 2.5. Конечно-разностная аппроксимация граничных и начальных условий.. 90
2.5.1. Аппроксимация граничных условий на внешнем контуре
оболочки, совпадающем с координатными линиями................... 91
2.5.2. Аппроксимация граничных условий на внешнем контуре
оболочки, не совпадающем с координатными линиями................ 93
2.5.3. Конечно-разностная аппроксимация начальных условий............ 95
§ 2.6. Особенности построения ВРС при расчете оболочек с нсподкрсплсн-
ными вырезами различной формы...................................... 96
2.6.1. Построение ВРС для оболочек с вырезами, края которых совпадают с координатными линиями.................................... 96
2.6.2. Построение ВРС для оболочек с вырезами, края которых не совпадают с координатными линиями.................................... 105
2.6.3. Особенности построения ВРС для оболочек с вырезами, ограниченными произвольным криволинейным контуром.................... 112
§ 2.7. Построение ВРС при расчете оболочек с вырезами, подкрепленными
ребрами жесткости................................................... 115
-3-
Глава III Численные методы решения сеточных уравнений
121
§ 3.1. Численное решение статических задач теории оболочек................. 121
3.1.1. Метод установления.............................................. 121
*
3.1.2. Решение статических задач теории оболочек методом установления. 123
3.1.3. Параметры итерационного процесса................................ 126
3.1.4. Ускорение сходимости метода установления в задачах статики
теории оболочек................................................... 130
3.1.5. Особенности применения метода установления при решении физически нелинейных задач............................................. 133
3.1.6. Особенности построения решения по методу установления при
расчете оболочек с вырезами....................................... 134
3.1.7. Применение метода установлення для задач с особенностями.
Случай нестационарного итерационного процесса..................... 136
3.1.8. Применение метода установления при расчетах оболочек МКЭ 138
§ 3.2. Численное решение нестационарных задач теории оболочек.............. 139
§ 3.3. Исследование влияния параметров РС на сходимость и точность
результатов численных решений......................................... 141
3.3.1. Правило Рунге оценки погрешностей численных решений.............. 143
3.3.2. Влияние параметров искусственной вязкости на сходимость итерационного процесса.................................................. 150
3.3.3. Зависимость численных решений от параметров сетки............... 155
3.3.4. Влияние параметров разностной схемы на сходимость и точность численных решений для оболочек с вырезами............................... 169
3.3.5. Влияние параметров разностной схемы на сходимость и точность численных решений упруго-пластических задач............................. 202
Глива IV. Статика оболочек...................................................... 212
§ 4.1. Оптимальное проектирование оболочечных конструкций с вырезами... 212 §4.2. Статическая устойчивость цилиндрических оболочек с прямоугольными вырезами: теория и эксперимент..................................... 224
-4-
Глава V. Динамика оболочек.................................................... 244
§ 5.1. Переходные процессы в предварительно нагруженной оболочке при
внезапном образовании выреза........................................ 244
§ 5.2. Деформирование двухслойной конической оболочки с круговым
шпангоутом при ударном нагружении................................... 251
§ 5.3. Упруго-пластическое деформирование оболочек при ударном
нагружении локального характера..................................... 256
Выводы........................................................................ 262
Литература.................................................................... 265
-5
Введение
Тонкостенные оболочечные конструкции, выполняющие несущие функции, широко применяются в различных отраслях современной техники и строительства. Близкое к оптимальному сочетание прочностных, жесткостных и весовых характеристик таких конструкций определило их практически монопольное положение в авиакосмической технике, судостроении, химическом машиностроении, строительстве и т.д. Современные требования рационального проектирования и обеспечения безопасной работы машиностроительных и строительных конструкций, предотвращения техногенных аварий и экологических катастроф вызывают необходимость в совершенствовании их характеристик и оптимизации по различным параметрам, к числу которых, в первую очередь, относятся: прочность, жесткость, устойчивость, надежность, долговечность, материалоемкость, себестоимость, экологическая безопасность. Харак терной особенностью современной практики проектирования и конструирования несущих конструкций является использование методов автоматизированного проектирования, составной частью которых являются комплексы и пакеты прикладных программ, ориентированных на применение персональных ЭВМ. Использование таких пакетов программ существенно сокращает сроки проектных работ и дает возможность оптимизировать оболочечную конструкцию по широкому спектру конструкционных, технологических, эксплуатационных и экономических требований. В связи с этим, научное направление, включающее в себя развитие и разработку адекватных физико-математических моделей (ФММ) многопараметрического исследования процессов деформирования оболочечных конструкций при статическом и динамическом нагружении, является актуальным и представляет как теоретический, так и практический интерес.
Необходимо отмстить, что используемые в современных отраслях машиностроения и строительства оболочечные конструкции обладают, как правило, физико-механическими особенностями и неоднородностями различного характера. К числу таких особенностей. в первую очередь, следует отнести общее или локальное изменение толщины, различные системы подкрепляющих элементов на внешней или внутренней стороне обшивки оболочки. Кроме тою. в оболочечные конструкции зачастую вносятся вырезы различной формы по конструктивным либо технологическим соображениям. Вырезы
-6-
(отверстия) могут возникнуть и в результате аварии. Внедрение новых композиционных материалов, обладающих анизотропией физнко-мсханичсских характеристик и позволяющих "конструировать" материал иод заданные условия работы, вызывает необходимость учета особенностей деформирования таких материалов при проектировании оболочек. Вопросы оптимального проектирования требуют также учета так называемых “усложняющих“ факторов: нелинейностей геометрического и физического типа.
К настоящему времени как в нашей стране, так и за рубежом выполнены значительные фундаментальные, прикладные и экспериментальные исследования по механике оболочек. Однако, в основном достаточно подробно исследованы лишь процессы деформирования оболочек вращения канонической формы (цилиндр, конус, сфера) в рамках линейных моделей. Известные результаты исследования процессов деформирования обо-лочечных конструкций сложной геометрии при статическом и динамическом термосиловом нагружении в рамках нелинейных моделей с учетом реальных конструктивных особенностей, физико-механических свойств материалов, условий эксплуатации и т.д.. не охватывают многие важные в практическом отношении задачи. При этом в большинстве случаев решение прикладных задач нелинейной механики оболочек носит весьма приближенный характер, либо отсутствует вообще. Это обусловлено, в первую очередь, трудностями математического характера, возникающими как при разработке физико-математических моделей процессов деформирования оболочек с указанными особенностями и неоднородностями, так и при реализации численных решений для соответствующих дискретных моделей на ЭВМ, т.к. аналитическое решение большинства практически важных задач такого класса зачастую оказывается невозможным.
Целью работы является:
- разработка адекватных физико-математических моделей процессов нелинейного деформирования оболочечных конструкций произвольной (в рамках рассматриваемых теорий оболочек) геометрии с физико-механическими особенностями и неоднородностями различного характера при статическом и динамическом термос иловом нагружении:
- разработка и развитие эффективных и экономичных численных методов решения нелинейных двумерных начально-краевых задач;
- решение на основе разработанных численных алгоритмов ряда новых, актуальных прикладных задач механики оболочек с выявлением количественных и качественных
-7-
особенностей процессов нелинейного деформирования оболочечных конструкций при статическом и динамическом нагружении.
В разработанной Институтом Машиноведения им. А.А. Благонравова “Концепции комплексного прогноза развития исследований проблем машиностроения, механики и процессов управления на период до 2015 года“ (Москва, 1988 г.) в частности отмечается, что основные исследования в области механики деформируемого твердого тела и строительной механики необходимо направить на: “...разработку адекватных моделей на основе теории упруго-пластических процессов с учетом взаимодействия с полями различной физической природы; развитие численных методов расчета и предсказания поведения мазериалов и конструкций, включая методы элементов, граничных интегральных уравнений. сеточно-конечноразностиые. сеточно-характернстические и гибридные: создание автоматтгзированных комплексов программ для решения двумерных задач механики деформируемого твердого тела; совершенствование методов моделирования конструкций, решения сложных задач".
Таким образом, рассматриваемые в диссертации проблемы являются актуальными и представляют прикладной и научный интерес. Диссертация состоит из введения, пяти глав, выводов (заключения) и списка литературы из 135 наименований. Объем диссертации 275 страниц, включая 150 рисунков и 27 таблиц.
В первой главе приводится обзор работ и анализ методов решения нетривиальных задач статики, динамики и устойчивости оболочечных конструкции. Формулируются цели и задачи диссертации. Разрабатываются н излагаются физико-математические модели, используемые для описания процессов деформирования оболочечных конструкций при статическом и динамическом нагружении с учетом физической и геометрической нелинейности. Используются соотношения теории оболочек, основанные как на гипотезах Кирх-гофа-Лява, так и Тимошенко. Геометрическая нелинейность учитывается в рамках теории среднего изгиба. Приводятся основные соотношения термоупругосги и деформационной теории термопластнчиосги для оболочек. Рассматриваются гладкие и подкрепленные оболочки постоянной и переменной толшнны, однослойные и многослойные оболочки из композиционных материалов, “сэндвичсвы" конструкции, оболочки с подкрепленными и нсподкрепленными вырезами различной формы, оболочки с начальными несовершенствами формы, а также составные оболочечные конструкции.
-8-
Во второй главе на основе проекционно-сеточных методов осуществляется переход от исходной ингегро-дифференциальной задачи, сформулированной в функциях от непрерывных координат, к конечно-разностной в функциях от дискретных координат. При построении разностной схемы (РС) для дискретизации по пространственным и временной координатам используется метод конечных разностей; разностные аналоги уравнений равновесия (движения) вытекают из вариационно-разностной формулировки начально-краевой задачи. Выявлены и исследованы особенности построения РС для рассматриваемых оболочечных конструкций, в частности, для оболочек, с внешним и внутренним контуром (контуром выреза), ограниченным некоторой гладкой кривой, в общем случае не совпадающей с координатными линиями. Показана необходимость использования консервативных РС для получения физически корректных численных решений исходной начально-краевой задачи.
В третьей главе разрабатываются численные методы решения полученных сеточных уравнений. Для решения статических задач используется метод установления, а для решения динамических - явная двухслойная разностная схема по времени (схема Эйлера). Получены оценки для оптимальных значений итерационных параметров, разработаны способы ускорения сходимости итерационного процесса, показана высокая эффективность использования единой РС для решения как статических, так и динамических задач теории оболочек. Методами вычислительного эксперимента исследована и установлена практическая сходимость разработанных консервативных РС, а также показано, что нсконсср-вативные РС приводят к физически неверным решениям даже для случаев гладких односвязных областей.
В четвертой и пятой главах исследуется статическое и динамическое деформирование оболочек с особенностями и неоднородностями. На основе разработанных ВРС рассмотрены и исследованы задачи оптимального проектирования и устойчивости оболочек с вырезами, а также задачи динамики оболочечных конструкций из композиционных материалов при внезапном образовании выреза, нсосесимметричного ударного нагружения через шпангоут и упруго-пластического деформирования при ударном нагружении локального характера.
В заключении формулируются выводы и даются рекомендации по использованию результатов, полученных на основе проведенных в диссертации исследований.
-9-
ГЛАВА I. Исходные соотношения, описывающие нелинейное деформирование оболочечных конструкций при стгнческом и динамическом нагружении
Исследование процессов деформирования оболочечных конструкций методами вычислительного эксперимента связано с необходимостью построения корректной физико-математической модели и разработке аналитического или численного метода решения соответствующей начально-краевой задачи. Напряженно-деформированное состояние различных оболочечных конструкций в линейной постановке исследовано уже достаточно подробно, т.к. для большинства расчетных случаев решение исходной системы дифференциальных уравнений может быть получено аналитически в замкнутом виде, или же с помощью надежных и устойчивых численно-аналитических алгоритмов. В качестве одного из основных подходов к решению линейных задач теории оболочек используется метод комплексного преобразования исходных уравнений, что позволяет снизить порядок этих уравнений и далее получить решение через элементарные или специальные функции. При исследовании неосесиммегричного деформирования оболочек вращения в большинстве случаев используется разделение переменных с помощью разложения нагрузки и искомых функций в ряды Фурье по окружной координате, а также методы сведения исходной задачи к задаче Коши [14,37,113]. Кроме того, для решения сложных двумерных задач широко применяются метод конечных разностей и метод конечных элементов, а также методы сведения двумерной задачи к одномерной [17,23,37,70,71,106]. Использование перечисленных методов позволяет исследовать широкий класс практически важных задач линейной теории оболочек [36]. Дальнейшее расширение класса решаемых линейных и нелинейных прикладных задач теории оболочек основано на разработке и развитии высокоэффективных и экономичных численных методов. Большой вклад в развитие этой области механики деформируемого твердого тела и строительной механики внесли исследования и монографии таких ученых, как: Н.П. Абовский, H.A. Алфутов. С.А. Амбарцумян, JT.B. Андреев, Л.И. Балабух, A.B. Березин, В.Л. Бидсрман, И.А. Биргер, В.В. Болотин, II.В. Валишвили. В.В. Васильев, В.З. Власов. A.C. Вольмир. К.З. Галимов, Н.С. Ганиев. А.Л. Гольденвейзер. А.Г. Горшков. Э.И. Григолюк. Я.М. Григоренко. А.Н.Гузь. С.Д. Иванов, Я.Ф. Каюк, A.B. Кармншин, М.М. Корнишин. В.И. Королев. А.И. Лурье.
- 10-
Х.М. Муштари, Б.В. Нсрубайло, Ю.Н. Новичков, В.В. Новожилов, И.Ф. Образцов, П.М. Огибалов, В.Н. Паймушин. П.Ф. Паикович, А.К. Перцев. Б.Е. Победря, A.B. Погорелов. В.А. Постнов. И.Н. Преображенский. Ю.Н. Работнов. Г.Н. Савин. A.B. Саченков. А.И. Станкевич, И.Г. Тсрегулов, В.П. Фельдштейн, В.И. Фсодосьев, А.П. Филин, Х.С. Хаза-нов, B.C. Чсрнина, К.Ф. Черных, В.И. Шалашилин, H.H. Шапошников, В. Almrof, F. Brogan, A. Cassell. D. Dawe, R. Gallagher. R. Hobbs. W. Koiter, K. Meissner. K. Morgan. R. Nelson, S. Toda. G. Turvey. K. Washizu, O. Zienkiewicz и др.
В настоящее время наиболее полно с учетом как геометрической, так и физической нелинейности исследовано осесимметричное НДС различных оболочечных конструкций. Ряд методов построения аналитических решений геометрически нелинейных краевых задач теории пластин и оболочек изложен в монографиях A.C. Вольмира, A.B. Карми-шина. П.Ф. Папковича. В.И. Феодосьева [22.23.113.122). Их использование позволяет получать решения задач в замкнутой аналитической форме, преимущества которых, прежде всего, выражаются в их общности и замкнутости. Область применения аналитических методов ограничена оболочками несложной геометрии при определенных видах нагружения. Для решения нелинейных задач также широко применяется метод линеаризации с использованием дискретной ортогонализации [24.37,106.113). Н.В. Валишвили с помощью метода сведения нелинейной краевой задачи к системе нелинейных уравнений и задаче Коши исследовал осесимметричное НДС конических и сферических оболочек [18]. Недостатком указанных методов является проблема выбора начального приближения, влияющего на сходимость итерационного процесса. Одним из путей преодоления этих трудностей является метод продолжения решения по параметру, который реализуется в следующих двух формах: а) непрерывное продолжение, основанное на интегрировании задачи Коши по параметру с помощью явных схем; б) дискретное продолжение, реализующее шаговые процессы по параметру с итерационным уточнением решения на каждом шаге. С помощью этого метода решен широкий класс нелинейных краевых задач механики деформируемого твердого тела в работах Э.И. Григолюка. В.И. Шалашилина. A.B. Коровайцева и др. [24.35,56].
Решение двумерных нелинейных начально-краевых задач теории оболочек связано со значительными трудностями математического характера и необходимостью выполнения весьма большого объема вычислительных работ, поэтому, даже при современном
-11-
уровне развития ЭВМ. число исследований, выполненных в этом направлении, относительно невелико [36.55.105.120]. Для решения задач такого класса наиболее широко применяются численные методы в сочетании с различными разностными схемами, в которых дискретизация по пространственным переменным осуществляется с помошью метода конечных разностей (МКР) «ии метода конечных элементов (МЙЭ). Отмечается более высокая точность и эффективность МКР при решении нелинейных двумерных краевых задач, однако, вследствие существенно большей общности и гибкости в моделировании МКЭ превосходит МКР при исследовании статического и динамического деформирования нерегулярных конструкций произвольного типа в рамках линейных моделей [105].
В ряде работ при исследовании НДС оболочек вращения двумерная нелинейная краевая задача решалась методом сведения к последовательному ряду одномерных [36,37]. Применение такого метода эффективно лишь для задач с достаточно плавным изменением расчетных параметров вдоль окружной координаты.
Использование квазидинамнческих методов для решения нелинейных краевых задач статики теории оболочек позволило существенно расширить область исследований [30.122,133]. Численная реализация методов стациоиироваиия показала достаточно высокую скорость сходимости и экономичность в отношении затрат машинного времени по сравнению с рядом других известных численных методов решения как линейных, так и нелинейных двумерных краевых задач.
Процессы потери устойчивости оболочечных конструкций имеют сложный характер и определяются широким спектром различных параметров: конструктивными и технологическими особенностями, граничными условиями, начальными несовершенствами формы и т.д. Существует бесконечный спектр критических нагрузок и соответствующих им форм равновесия (движения). Наибольший практический интерес представляет наименьшее значение критических нагрузок - первое значение данного спектра.
Для статической потери устойчивости оболочек наиболее характерны следующие два случая проявления неустойчивости: а) бифуркационная смена исходной устойчивой формы равновесия новой, устойчивой в малом (бифуркация первого типа) или устойчивой в большом (бифуркация второго типа); б) скачкообразный переход исходной формы рав-
12-
новесия в точке экстремума зависимости “нагрузка - характерное перемещение” к несмежному. удаленному состоянию (прощелкивание или хлопок) [2,22.34,79].
Теоретическое исследование процессов потери устойчивости оболочечных конструкций в большинстве случаев представляет собой сложную н трудоемкую задачу. Выбор расчетной модели тесно связан с методом решения соответствующих уравнений. Обычно для исследования бифуркационной потери устойчивости оболочек используется статический критерий Эйлера, реализация которого связана с необходимостью предварительного решения задачи о докритическом состоянии оболочки. Проблема определения критической нагрузки для оболочки формально соответствует определению минимального собственного значения краевой задачи для уравнений равновесия, записанных в возмущенном состоянии [22,34,113]. При исследовании устойчивости оболочечных конструкций в случае неосесимметричного НДС проблема выбора корректной модели докри-гического состояния - безмомектной, линейной моментной, нелинейной - усложняется наличием особенностей и неоднородностей в рассматриваемой задаче. Традиционная постановка задачи устойчивости, при которой предполагается, что изменение формы деформированной поверхности оболочки происходит достаточно плавно и несущественно меняет картину НДС. не дает действительного представления о критических нагрузках и формах потери устойчивости. Если для описания процессов деформирования оболочки используются нелинейная ФММ, то задача устойчивости может быть сведена к исследованию поведения решений нелинейной краевой задачи при возрастании нагрузки (в предположении, что принятая нелинейная модель описывает соответствующее критическое и закритическое состояния). В таких случаях нет необходимости в принятии какого-либо определенного критерия устойчивости, и критические нагрузки обычно определяются из анализа кривой равновесных состояний (кривой деформирования) р=С(4). получаемой в результате решения задачи для ряда последовательно возрастающих значений нагрузки: здесь р - нагрузочный параметр, с, - характерное перемещение 123,79.122].
При динамическом нагружении характер потери устойчивости оболочек отличается от процессов, характерных для статической потери устойчивости. Вследствие наличия сил инерции перемещения оболочки “не успевают" соответствовать изменению нагрузки. поэтому величина критической нагрузки в динамике обычно превышает соответствующую статическую величину 123.66]. Динамическая потеря устойчивости оболочек
-13-
сопровождается либо появлением пластических деформаций, либо трещин, что характерно для оболочек, изготовленных из композиционных материалов. Поэтому в качестве критерия динамической потери устойчивости оболочки из анализа диаграммы р=Г<4)
принимается нагрузка, при которой характерное перемещение достигает некоторой
• • *
предельной величины 4 • В качестве £ обычно принимается прогиб *•. равный толщине
оболочки, либо прогиб, соответствующий появлению пластических деформаций и т.п. Критическая нагрузка оценивается также и по величине остаточных перемещений. Потеря устойчивости оболочечных конструкций в динамике зависит не только от амплитуды и длительности действия нагрузки, но и от формы импульса [23.61.66,75].
При проектировании оболочечных конструкций с вырезами одной из важнейших проблем является учет перераспределения напряжений и деформаций в оболочке, на характер которого оказывают влияние относительные размеры и форма выреза, степень подкрепления контура, начальные несовершенства формы срединной поверхности и т.д. Теоретическое исследование НДС оболочек с вырезами связано со значительными трудностями. в первую очередь, математического характера, поэтому число исследований, выполненных в этом направлении, относительно невелико [47.62.81,125]. В большинстве случаев используются подходы, позволяющие упростить исходную задачу, либо заменить ее некоторой эквивалентной по ряду параметров, допускающей аналитическое решение соответствующих упрощенных уравнений. Широкий класс задач по исследованию НДС и устойчивости оболочек с вырезами различной формы решен на основе метода Колосова-Мусхелишвили и ряда других численно-аналитических методов, что нашло свое отражение в работах Э.И. Григолюка, А.Н. Гузя, Ю.Л. Голды. Я.Ф.Каюка, А.И. Лурье, И.Н. Преображенского, Г.Н. Савина, Х.С. Хазанова и др. [32.47,52.80,86,109]. Современные требования к проектируемым оболочечным конструкциям вызывают необходимость учета реальных геометрических размеров оболочки, граничных условий и конструктивных особенностей на ее внешнем и внутреннем контуре. Кроме того, как показывают результаты теоретических и экспериментальных исследований, с ростом нагрузки наблюдается существенная перестройка формы деформированной поверхности оболочек с вырезами при максимальных перемещениях даже в докритнческой области порядка нескольких толщин [5,6,25,39.79.85,115,126]. Это требует разработки и использования ФММ,
адекватных реальной конструкции и учитывающих нелинейный характер деформирования оболочек с особенностями в виде вырезов.
Таким образом, обзор работ и анализ методов решения нелинейных двумерных краевых задач теории оболочек показывает, что определенный класс задач исследован недостаточно подробно, либо решение вообще отсутствует. Эго'относится, в первую очередь, к исследованию нелинейных процессов статического и динамического деформирования и устойчивости оболочечных конструкций при нсосесиммстричном характере НДС, обусловленном как действием произвольной системы краевых и поверхностных нагрузок, так и наличием особенностей и неоднородностей различного характера: вырезов, подкреплений, несовершенств формы, анизотропией свойств материала и т.д.
Для исследования процессов деформирования оболочек в основном используются соотношения, получаемые из уравнении трехмерной теории упругости на основе гипотез Кирхгофа-Лява (модель первого приближения) и гипотез Тимошенко (модель второго приближения). Уравнения теории Кирхгофа-Лява дают достаточно точные для практических приложений результаты при решении многих статических и динамических задач. Область применения уравнений Кирхгофа-Лява ограничена расчетом достаточно тонких оболочек при К/Н><8(Ь-100) (Я-радиус кривизны, й-толщина оболочки), изготовленных из традиционных изотропных конструкционных материалов или композиционных материалов со слабо выраженной анизотропией физико-механических характеристик при действии плавных статических и динамических нагрузок. Теория оболочек Тимошенко (сдвиговая модель) позволяет рассчитывать относительно толстые (К/й>10) оболочки при действии неплавных нагрузок, однослойные и многослойные оболочки из композиционных материалов со связующим, обладающим относительно малой сдвиговой жесткоегью. Кроме того, модель Тимошенко более точно описывает динамические процессы, связанные с распространением волн деформаций при действии нагрузок ударного характера. Как в модели первого, так и второго приближения процессы деформирования оболочек описываются через Лагранжсвы криволинейные ортогональные координаты а|,а2,а3.
Для применяемых в технике конструкционных и композиционных материалов исчерпание несущей способности оболочек обычно происходит при малых по сравнению с единицей удлинения и сдвигах. При этом максимальные перемещения оказываются соизмеримыми с толщиной оболочки и могут даже значительно превосходить ее. что наиболее
- 15-
характерно для конструкций с особенностями и неоднородностями. В общем случае деформирования оболочечной конструкции может иметь место как геометрическая, так и физическая нелинейность. В.В.Новожиловым введена следующая классификация расчетных схем [67]:
- линейные физически и геометрически (ЛФ, Л Г):
- нелинейные физически, геометрически линейные (НФ, ГЛ);
-линейные физически, геометрически нелинейные (ЛФ. ГН):
- нелинейные физически и геометрически (НФ, НГ).
Здесь рассматриваются два последних случая - физически линейные и нелинейные задачи в рамках геометрически нелинейных соотношений при малых по сравнению с единицей удлинения и сдвигах. Геомегрическая нелинейность учитывается в рамках квадратичной теории (теории среднего изгиба), описывающей деформирование оболочки при малых удлинениях, сдвигах и поворотах элемента оболочки относительно нормали к поверхности, конечных, но малых по сравнению с максимальными линейными размерами оболочки перемещениях, а также конечных, но умеренных тангенциальных составляющих вектора поворота нормали: О,2« I. (0, I £ I 0=1,2) [64.67.6Х]. Для учета физической нелинейности используются соотношения деформационной теории пластичности (теории малых упруго-пластических деформаций). Деформационная теория дает достаточно точные с точки зрения практических приложений результаты при простом нагружении, а также при нагружениях, близких к простому [7,12,49,59]. В зависимости от особенностей рассматриваемой оболочечной конструкции используются уравнения теории оболочек, полученные как на основе гипотез Кирхгофа-Лява, так и Тимошенко [26,49,59,67,74,118].
§ 1.1. Деформированное состояние. Геометрически нелинейные соотношения для двумерных краевых задач
Полное перемещение точки М эквидистантной поверхности оболочки определяется величинами
и=и(<Х|,а2,г); У=У(а,.а2.г); \У=№’(а|,а2,г), (1.1)
16
где и,V,^'-проекции вектора полного перемещения точки по ортам е|,е2,е3, образующим ортогональный триэдр (рис. 1.1); г • расстояние в координатном направлении а$; а|,а2 -координаты основания нормали на координатной поверхности 2 = 0. Обычно в качестве координатной принимается срединная поверхность, так, что -1т/2 < г < +Ь/2.
Рис. 1.1 Рис 1.2
Введем обозначения: и=и(а|,о^), \'=у(сс|,<Х2), \у=\у(а|,а2}- перемещения точек координатной поверхности; О^О^а,.«»). 62=в2(а1,а2)- углы поворота в соответствии с гипотезой о "жесткой” нормали; У1=У|(а|,а2), У2=У2<аиа2)* полные углы поворота. Положительные направления для обобщенных перемещений ик показаны на рис. 1.2; (и,=и, и2=\', и3=\ч\ и4=у„и5=У2;к= 1,2.....5). Деформированное состояние описывается тензором деформа-
ций
!С11 С»2 Б1з|
Б21 е22 Б23 =|Б4 (12)
Б31 Б?2 бЗзЦ
где с„ • удлинения вдоль координатных осей а|,а2.аз; е|;=у,у 2 - сдвиги, у^ - углы сдвига (14=1,2,3). Тензор деформаций может быть представлен в виде суммы шарового тензора и девиагора деформаций О,
т,Лот1+о„ (1.3)
где
о. = Ы; = (1.4)
и где в* «■„ + с22 + - объемная деформация (относительное изменение объема).
Т1 *= 1^11 • единичный тензор. • символ Кронекера. Интенсивность деформаций определяется по формуле
• 17-
Я_____________________________________-_____________________________-____________________________-
е, - -у зД*и - £2г)2 + - %)* + (*м - «и)2 + 6(*и + «и + *»>• (1-5)
Рассмотрим связь деформаций и перемещений для уравнений оболочек Кнрхгофа-Лява и Тимошенко. Ниже приняты следующие обозначения для компонент тензора деформаций: Е„ = ец, Еу = Уу.
1.1.1. Уравнения теории оболочек Кирхгофа-Лява
Геометрически нелинейные выражения для параметров тангенциальной деформации координатной поверхности оболочки записываются в виде
Ец“*|+х4 (1^2); Е„ = <у, +<ог + ^02, (1.6)
где
1 дл 1 сА. . 1 & 1 сА2 .
А, ОХХ| А,А* А2 ОСС2 А1А2
_ _1_ 1 <341 _ 1 Д| 1 д\-/ у. (17)
А, А,А2 оа, и‘ 0)2 Аг даг А,Аг дау
_ I А' .. 1 Ду .
^в"А"лГ+к,и; ^ --Т"^Г + к^’
и где А|.к( - параметры Ляме и главные кривизны координатной поверхности оболочки; к|— 1/Р,. Изменения кривизн КП,К22 и кручение К,2 координатной поверхности оболочки определяются следующими выражениями
к„ = т-|г + ;гг1^ <1В2);
А, до^ А,А2 дал
(1.8)
К,. = Г, + к,Й>2 + г2 + к1(У1,
где
(|В2)- (1-9)
А, /от, А,А2 оа2
18
Перемещения и деформации распределяются по толщине оболочки по линейному
закону
и = и + 20,; Е„(2) = Е1| + 2Х11 ( 1 ^2);
V = V + /02; Е,2(2) = Е|2+гК,2. (1.10)
1.1.2. Уравнения теории оболочек Тимошенко
Параметры тангенциальной деформации оболочки определяются формулами (1.6), (1.7). В соответствии с принятыми положительными направлениями для обобщенных перемещений полные углы поворота нормали запишутся в виде
Т\ * Е|Э + 0, (1^2). (1-П)
где Е|3, Е23 • углы поперечного сдвига. Тогда
„ 1 дн . _ 1 дм . /. ...
Ей = /1 + - ,и; Е2»еЛ+-Г
Л, сах А, да2
Компоненты изгибнон деформации определяются формулами
1 ду. 1
Кп * 7Г, л, ÂA, *нГг
Kl2 = г, + к,й>2 + т2 + к2<у,,
(1.13)
где
(IS2)- (U4)
Перемещения и деформации распределены по толщине оболочки линейно U = u + zy,; E„(z) = Ell + zKll (ü=2);
V = v + zy2; E12(z) = E,2+zK12; (1.15)
W = w; E[j(z) = E|3 ( 1 52).
19
1.1.3. Параметры Лямс и кривизны для ряда частных случаев
пластин и оболочек
Определим параметры Лямс А|,А2 и кривизны kjjc2 для ряда основных типов пластин и оболочек вращения.
Прямоугольная пластина (рнс. 1.3 а)
А|=А2=1; к, = к2 = 0; (1.16а)
кольцевая пластина (рнс. 1.3 б)
А, = 1; A2 = r; k,=k2 = 0; (1.166)
цнлннлр (рнс. 1.3 в)
А, = 1; А2= R; k,=0; к2= 1/R; (І.ібв)
усеченный конус (рис. 1.3 г)
А) = 1; A2 = r0 + xcosp; k(=0; k2 = sinp/A2; (1.16г)
сфера (рис. 1.3 д)
А, = R; А2 = R sina; k,= k2=l/R; (І.ібд)
і.і.іиіісонл (рис. 1.3 е)
a’b‘ а2 1 sina
А|= —j-; А2 = sina ; k| = —; k2=—;
2 2.2 ^ 2 с = а sin a + b' cos a .
(1.16e)
-20
а)
<Ь = У
I---------------------
і r„
R
1
і і.хчччті
a,=r
6)
і)
Рис. 1.3
-21 -
§ 1.2. Напряженное состояние. Соотношения термоупругости и термопластичное ги для неоднородных оболочек
Напряженное состояние в точке характеризуется симметричным тензором напря
жений
Т„
<тЦ0ПсгН
^1(Т!2(Т21
<751<7Я<Т»
<4 (1.17)
где ап- нормальные напряжения; сг12 = <т21,<7,3 = <тУ[,ег2) = и32 - касательные напряжения. Ниже для касательных напряжении также используются обозначения тц = <г,г Тензор
напряжений может быть представлен в виде суммы шарового тензора и девнатора напряжений О.,
Тс = <тТ> + Ос, (1.18)
где
ь, - Ы|; ву - <7Ц -<*?,, (1.19)
и где <т= (<7И + <723 + <т33) / 3-среднее напряжение. Интенсивность напряжений определяется по формуле
л
<7, =-2->/(сг,)-<Т2,)2+(сг22-<Т53)Ч(<71з-<Т||)г+6(^1+ £ + *£,)• (1-20)
Внутренние усилия и моменты, приведенные к координатной поверхности оболочки, определяются через компоненты тензора напряжений по следующим формулам
Тп * \ <ти(1 + гк2)йг; Т12 = \ г32(1 + Л2)дг\ 013 = | г13(1 + гкг)дг (1^2):
Ь 1 н
Мц = / + гк2)гс1г; М„ = | гп(1 + тк2)тЛг (1^2), (1.21)
Ь 1
где Т„ = Ту(о',,а2), Ту = Т,(а,,аг). (),3 = <3,з(«,,а2)- нормальные, сдвигающие и перерезывающие силы, М„ - Ма(а,,а2), VI ■ Ми(«),£г2) - изгибающие и крутящие моменты, И = 11(а,,а2)- толщина оболочки; (д=1,2). Положительные направления для усилий м моментов показаны на рнс. 1.4.
-22-
а3 к
ка>
<х2
и
Вместо сдвигающих сил Тц.Т^ и крутящих моментов М|2-^21 обычно используются статически им эквивалентные а!мметричные факторы
8 = Т12 - к2М21 = Т2, - к,М12; Н = М12 = М21. (1.22)
Для уравнений теории Киргофа-Лява г„ ■ г„ о 0. поэтому приводимые здесь и далее формулы для <3,^(5,, относя гея к соотношениям теории Тимошенко.
1.2.1. Соотношения термоупругости
Для анизотропного материала, у которого в каждой точке существуют три ортогональные плоскоои упругой симметрии, перпендикулярные соответствующим координатным направлениям а,,а:.а5, уравнения обобщенною закона Гука в предположении 0,,= О
записываются в виде
<т„ = - ^—[Е„ + м2Е,2 -(Р, + \',Э2)Т] ( 1 52):
(1.23)
тч * ^12Е12; ги ^ ти ** СпЕ»,
где Е|,Е, - модули Юнга по направлениям а,,а2; 012.01}ХЗц- модули сдвига, и,, и2 - коэффициенты Пуассона; Д ,Д- температурные коэффициенты линейного расширения в направлениях 0|, а2; Т - изменение температуры. При этом
Е| Ц = Е2 V,. (1.24)
-23-
Здесь и далее рассматривается действие стационарного температурного ноля в рамках гипотез Дюамсля - Неймана без учета температурных коэффициентов линейного сдвига материала: Т=Т(«„и2,/.), Д, * Д, = Д, = 0. Физико-мсханичсскис характеристики материала оболочки - Е,, Е2, Ч'У]. 0|2. 0,3. бу. Д,Дг - в общем случае являются функциями координат а,,02,2. Формулы для усилий и моментов получаются при выполнении интегрирования по толщине оболочки в (1.21) с учетом зависимостей (1.10),(1.15),(1.23) и пренебрежении членами порядка И/Я,.
Рассмотрим ряд частных случаев анизотропных оболочек.
1.2.2. Однослойные ортотропнме оболочки
В качестве координатной примем срединную поверхность оболочки. Соотношения тсрмоупругости для однослойной ортотропиой оболочки имеют вид
Т„=В,1Е,,+ В|гЕа-Т,т; Ми-ОйКн+адСа-М*; 0^ = к2В,зЕ13 (152);
Б ■ В3,Е,г; Н-0„К12; (1.25)
где
Ви'т^—; вц-чА,; Р..-„7ТЕ- '• <>..-•*. ('«);
1-4*4 12(1-ц^)
(1-26)
В„=0„1и В„ = ОиЬ; Вц = 0„Ь; 1)„ = ,
»«где
Ь/2 к/2
Т1Т = Е,(Д + иД) /Тбг; М1Т = Е,(Д + уф2) |Тгёг (I 52 ). (1.27)
-Н/2 -ЬП
Для большинства практических задач в соответствии с (1.10),(1.15) можно принять линейное распределение температуры Т по толщине оболочки
Т = а + Ъг, (1.28)
(1.29,
-24-
и где Т,=Т,(а,,а2,2), Т2=Т2(сХ|,а2,г) - соответственно температура на внутренней г = - Ь/2 и наружной г - Ь/2 поверхностях оболочки. С учетом (1.28),(1.29) температурные слагаемые (1.27) запишутся в виде
При действии температурного поля физико-механические характеристики материала оболочки меняются, что учитывается использованием соответствующих значений Е,. Е2 \\, и2,0,2. 0,3.С23 в (1.25)-(1.27). В (1.25) к3 = 5/6 - коэффициент сдвига, учитывающий параболический закон распределения поперечных касательных напряжений по толщине. Для оболочек, изготовленных из изотропного материала, в формулах (1.25)-(!.30) следует положить: Е, = Е2 = Е. к, = = к 012=0,3 = = О = ПД2 (I + м)), /?, = /?2 = /Ї.
Рассмотрим многослойную оболочку, собранную из N анизотропных слоев различной толщины, жестко связанных между собой в единый пакет (рис. 1.5); индекс "Г используется для нумерации слоев, а также обозначения расчетных параметров и физико-механических характеристик слоя (/ = 1,2,3,...,М). Предполагается, что слон деформируются без взаимного скольжения и отрыва, так. что для всего пакета в целом могут быть приняты гипотезы Кнрхгофа-Лява или Тимошенко. В качестве координатной принимается срединная поверхность оболочки, но можег быть принята срединная поверхность любого слоя, либо одна из поверхностей контакта слоев.
Т1Т = Е,(/?, 4 ^)оЬ; М1Т = ЕДД + < 1 ^2).
(1.30)
1.2.3. Многослойные оболочки из композиционных материалов
|=К
2—0
X
Рис. 1.5
Рис. 1.6
-25