Вопросы численной реализации метода последовательных возмущений параметров при расчете оболочечных конструкций

Содержание
Введение
Глава I. Улучшение сходимости метода последовательных возмущений параметров
§1.1. Метод последовательных возмущений параметров и вопросы сходимости этого метода в области устойчивости параметров §1.2. Модифицированный метод последовательных возмущений параметров и алгоритм численной реализации этого метода. Примеры расчета оболочечных конструкций
Глава И. Определение границ эффективного применения метода последовательных возмущений параметров
§2.1. Локальная и глобальная потери устойчивости, влияние локальной потери устойчивости на определение критических значений параметров
§2.2. Спектральный критерий локальной потери устойчивости прямоугольной в плане оболочечных конструкций в статическом случае
§2.2.1. Операторный подход в задаче потери устойчивости оболочечных конструкций
§2.2.2. Спектральный критерий локальной потери устойчивости в статическом случае
§2.3. Приложение: спектральный критерий динамической потери устойчивости прямоугольных в плане оболочечных конструкций Глава III. Алгоритм численной реализации спектрального критерия локальной потери устойчивости; примеры его применения §3.1. Численная схема и алгоритм спектрального критерия локальной потери устойчивости
§3.2. Примеры определения «слабых» точек и «слабых» линий при
расчете оболочечных конструкций
§3.3. Пример численной реализации спектрального критерия
динамической потери устойчивости оболочечных конструкций
§3.4. Пакет прикладных программ
Заключение
Литература
Введение
Актуальность темы. Известный метод В.В.Петрова - метод последовательных возмущений параметров дает эффективную численную схему Эйлера применительно к нелинейным уравнениям механики. Этот метод нашел широкое применение при численном расчете напряженно-деформированного состояния, прочности, устойчивости и долговечности конструкций, эксплуатирующихся в условиях не только воздействующих нагрузок, но и воздействия агрессивных сред. Основные положения этого метода были заложены ещё в начале 50 годов [30]. Позднее [28] метод окончательно приобрел ту форму, в которой он известен в настоящее время, как метод последовательных нагружений. С начала 70-х годов этот метод получил дальнейшее развитие в работах В.В.Петрова [29] и его учеников [33], [16], [32], [31] и стал называться методом последовательных возмущений параметров (МПВП). Нужно отметить, что в отличие от известного метода В.И.Шалашилина - метода продолжения решения по параметру [6], [38], в методе В.В.Петрова рассматривается линеаризация по тем параметрам, малое изменение которых ведет к малому изменению прогиба.
Этот метод обладает рядом преимуществ перед другими шаговыми методами при расчете оболочечных конструкций. Но у него есть и свои недостатки. Во-первых, как показано в работе В.Н.Кузнецова [17] метод последовательных возмущений параметров имеет первый порядок сходимости. Таким образом, с увеличением точности вычисления значительно возрастает время счета. Во-вторых, метод последовательных возмущений параметров работает в области устойчивости параметров. Без каких-либо изменений метод перестает работать в закритической области. Наконец, в окрестности критических нагрузок возникает локальная потеря устойчивости, т.е. потеря устойчивости в достаточно малых окрестностях отдельных точек, что влияет на точность результатов этого метода. Отметим, что это характерно для любого метода и связано с большой погрешностью применения первоначальной
модели на этом этапе. Поэтому при расчете обол очечных конструкций методом последовательных возмущений параметров, прежде всего, встают следующие 2 задачи. Первая из них связана с улучшением сходимости этого метода. Вторая связана с определением таких параметров, при которых наблюдается локальная потеря устойчивости.
Исследованию и решению этих вопросов и посвящена данная диссертационная работа.
Нужно отметить, что вопросы модификации МПВП с целью улучшения его сходимости предпринимались многими авторами. Так в своих работах [11], [12], [13] В.В.Карпов получил модификацию этого метода в форме,
отражающей численную реализацию схемы Рунге-Кута, которая нашла свое применение в более поздних работах В.В.Карпова [7], [9], [10]. Такая модификация позволяет улучшить сходимость МПВП, но имеет сравнительно сложную реализацию. Наиболее эффективной в смысле скорости сходимости модификацией МПВП можно считать шагово - вариационный метод В.И.Шалашилина [20]. Но численная реализация метода В.И.Шалашилина требует больших временных затрат.
В 2001 году В.В.Пстров предложил очень простую модификацию этого метода, дающую хорошую сходимость, и поставил задачу обоснования и определения сходимости предложенной им модификации МПВП.
В связи с решением этой задачи автор пришел к новой модификации МПВП, в основе которой лежит принцип минимальности потенциальной энергии [37]. Отметим, что эта модификация МПВП вбирает в себя как идею усреднения В.В.Петрова, так и подход В.И.Шалашилина относительно оптимизации на каждом шаге функционала энергии, но на более простом уровне. Вопросы численной реализации такой модификации МПВП исследуются в данной работе.
Нужно сказать, что и задача определения параметров, при которых происходит локальная потеря устойчивости, также является не новой. Ею
занимались многие авторы. Наиболее полную картину по этому вопросу можно найти в монографии П.Е.Товстика [35]. Следует отметить, что исследования носили чисто теоретический характер. Не было численной схемы, которая позволяла бы эффективно определять точки, в окрестности которых происходит локальная потеря устойчивости. Впервые такая численная схема, основанная на спектральном критерии устойчивости, полученная автором в работах [19], [22], приводится в данной работе.
Остановимся более подробно на задаче определения параметров, при которых происходит локальная потеря устойчивости в отдельных точках оболочечных конструкций. Отдельные точки могут сливаться в отдельные линии. Малые изменения функции прогиба '№(х,у) в окрестностях отдельных точек не удается определить обычными численными методами. Такие малые изменения должны отражаться в краевых условиях модельной задачи. Известно [14], [1], что, если не учитывать эти малые изменения в модельной задаче, то это приводит к значительной ошибке (до 10%) расчетных данных от данных, отражающих реальное поведение оболочечных конструкций. Поэтому возникает необходимость в сравнительно простой вычислительной схеме, позволяющей определять точки локальной потери устойчивости.
Отметим, что решение этой задачи позволяет не только определить границы эффективного применения МПВП, но позволяет определить и моменты времени, при которых происходит динамическая потеря устойчивости «в большом» оболочечных конструкций.
Отметим, что определение момента времени, при котором происходит «прощёлкивание» оболочки, является не простой задачей, и её решение численными методами требует применения сложной вычислительной схемы, что связано с большими временными затратами. Дело в том, что потерю динамической устойчивости, как правило, стараются определить исходя из траектории отдельных точек оболочечных конструкций. При потере устойчивости на самом деле происходит разрыв траектории. Но применение
численных методов сглаживает этот процесс. Поэтому по траектории точки нельзя сказать: отражает' ли данный процесс потерю устойчивости или это обычный колебательный процесс. Достаточно сказать, что в настоящее время существует большое количество различных критериев динамической потери устойчивости [2], [4], [5], но реализация каждого из этих критериев требует большие затраты времени.
Определение моментов времени, при которых происходит локальная потеря устойчивости, позволяет определить и время, при котором происходит потеря устойчивости «в большом». Действительно, глобальной потере устойчивости предшествует локальная потеря устойчивости в отдельных точках. Наличие точек локальной потери устойчивости позволяет говорить о том, что в момент времени, который соответствует экстремальной точке на графике, и вблизи которой наблюдаются точки локальной потери устойчивости, происходит динамическая потеря устойчивости.
Всё сказанное выше указывает на актуальность данной тематики.
Лель настоящей работы заключается в том, чтобы:
1) Получить простую в реализации вычислительную схему, позволяющую существенно улучшить сходимость метода последовательных возмущений параметров - как в статическом, так и в динамическом случае.
2) Для достаточно широкого класса математических моделей в статическом случае разработать метод определения параметров, при которых происходит “локальна я” потеря устойчивости обол очечных конструкций.
3) Разработать вычислительный алгоритм, как в статическом, так и в динамическом случаях, для нахождения точных границ параметров эффективного применения МПВП в рамках рассматриваемой модели.
4) Разработать пакет программ, реализующих предложенные автором алгоритмы улучшения сходимости МПВП и определения границ параметров эффективного применения этого метода.
Научная новизна работы состоит в следующем:
1) Получена простая в реализации вычислительная схема, позволяющую существенно улучшить (на порядок во временном исчислении) сходимость метода последовательных возмущений параметров - как в статическом, так и в динамическом случае.
2) Для достаточно широкого класса математических моделей в статическом случае теоретически разработан и математически обоснован новый спектральный метод определения параметров, при которых происходит “локальная” потеря устойчивости оболочечных конструкций.
3) Разработан вычислительный алгоритм, реализующий спектральный метод, как в статическом, так и в динамическом случаях, для того, чтобы найти точные границы параметров эффективного применения МПВП в рамках рассматриваемой модели.
4) Создан пакет программ, реализующих предложенные автором алгоритмы улучшения сходимости МПВП и определения границ параметров эффективного применения этого метода.
Объем и структура работы: Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Ее объем составляет 102 страницы.
Во введении дается краткий исторический обзор по теме диссертации, что позволяет судить об актуальности темы, приводятся основные результаты, полученные автором.
В первой главе рассмотрены метод последовательных возмущений параметров, а также вопросы сходимости этого метода. Отмечено, что одним из основных недостатков МПВП является его медленная сходимость. В этой главе была разработана модификация этого метода, обладающая улучшенной сходимостью по сравнению с методом последовательных возмущений параметров, разработан алгоритм численной реализации модифицированного МПВП и приведен пример применения данного алгоритма к геометрически нелинейной модели Кармана.