Вибрационный изгиб вязкоупругих пластинок и оболочек с учетом поперечных сдвигов

2
Оглавление
Введение
Стр.
5
Глава 1. Определение напряженно-деформированного состояния 16 при вибрационном изгибе вязкоупругих оболочек с учетом поперечных сдвигов и инерции вращения
1.1 Основная система дифференциальных уравнений для 16 определения НДС при установившихся колебаниях вязкоупругих оболочек
1.2 Определение мощности источников тепла и установившейся 20 температуры саморазогрева при изгибных колебаниях вязкоупругих оболочек
Глава 2. Вибрационных изгиб вязкоупругих пластинок в 23
уточненной постановке с учетом сил инерции вращения
2.1 НДС и температура саморазогрева при изгибе прямоугольной 28 пластинки с шарнирно опертым контуром
2.1.1 Аналитическое определение НДС 28
2.1.2 Аналитическое определение температуры саморазогрева 30
2.2 Вибрационный изгиб прямоугольной пластинки при 35
шарнирном опирании двух противоположных сторон
2.2.1 Численное определение НДС пластинки 35
2.2.2 Численное определение температуры саморазогрева 41 пластинки
2.3 Определение НДС и теплового поля прямоугольной 48
пластинки при произвольном закреплении контура
2.4 Влияние анизотропии материала на НДС и тепловое поле 60 пластинки в задаче о вибрационном изгибе в уточненной постановке
2.3.1 Определение НДС
2.3.2 Определение температуры
56
48
3
Выводы по главе 2 63
Глава 3. Вибрационный изгиб вязкоупругих оболочек вращения 65 под действием осесимметричной нагрузки в уточненной постановке
3.1 Напряженно-деформированное состояние и тепловое поле при 65
изгибе тонких вязкоупругих оболочек вращения
3.2 Напряженно-деформированное состояние и тепловое поле при 72
изгибе тонких вязкоупругих цилиндрических оболочек
3.2.1 Определение НДС 72
3.2.2 Определение температуры 81
3.3 Численное исследование НДС и температурного поля при 85
установившихся осесимметричных колебаниях усеченных конических оболочек
3.3.1 Определение НДС 85
3.3.2 Определение температуры 94
3.4 Определение напряженно-деформированного состояния и 98
установившейся температуры саморазогрева при вибрационном изгибе усеченных сферических оболочек
3.4.1 Определение НДС 98
3.4.2 Определение температуры 103
3.5 Влияние кривизны образующей оболочки на НДС и 108
температуру саморазогрева при установившихся изгибных колебаниях под действием осесимметричной нагрузки.
3.6 Влияние анизотропии на НДС и тепловое поле при 112
вибрационном изгибе оболочек вращения под действием осесимметричной нагрузки
Выводы по главе 3 116
4
Глава 4. Вибрационный изгиб вязкоупругих оболочек вращения 118
под действием неосесимметричной нагрузки в уточненной постановке
4.1 Основные уравнения для определения НДС и температуры 118 саморазогрева
4.2 НДС и температура разогрева круговых цилиндрических 126 оболочек при неосесимметричном нагружении
4.3 О влиянии тангенциальных сил инерции и инерции вращения 131 на НДС и температурное поле круговых цилиндрических оболочек при неосесимметричном нагружении
4.4 Влияние трансверсальной изотропии на НДС и температуру 139 круговых цилиндрических оболочек при неосесиммстричном нагружении
Выводы по главе 4 142
Основные выводы и результаты 143
Список литературы 145
5
ВВЕДЕНИЕ
Многие элементы конструкций современной техники выполнены в виде пластинок и оболочек различной формы и сложной структуры и находятся под действием силовых нагрузок и температурного поля.
В различных отраслях современной техники в качестве конструкционных материалов широкое применение находят полимеры и изготовленные на их основе стеклопластики. Для полимеров уже при обычной температуре характерны явления ползучести деформаций и релаксации напряжений. Поэтому расчет полимерных конструкций следует вести с учетом указанных особенностей, что можно сделать лишь на основе уравнений вязкоупругости или вязкопластичности.
Одной из отличительных особенностей вязкоупругих тел от идеально упругих является их способность к рассеиванию энергии. Так при длительном гармоническом нагружении становится возможным высокий уровень саморазогрева конструкций из таких материалов. Исследование таких процессов началось, по-видимому, только во второй половине XX столетия. Одной из первых работ, опубликованных на русском языке, в этом направлении явилась статья Москвитина В. В. [45]. Вскоре выходят переводы статей [82, 83], в которых рассматриваются вопросы диссипативного разогрева в полимерном материале. Практически одновременно с этой работой была опубликована статья Л.А. Галина [15]. В ней приведено в ква-зистатической постановке аналитическое решение задачи о взаимодействии механического и теплового полей при продольных гармонических колебаниях полимерного стержня. В том же году (1965) вышла в свет работа С.Б. Ратнера и В.И. Коробова [70], посвященная вопросу саморазогрева при циклическом нагружении пластмасс. Уже в 1970 г. вышла монография А.Л. Ильюшина и Б.Е. Победри [28], в которой последовательно и математически строго сформулированы основные положения термовязкоупругости. .
6
Эти работы привлекли внимание широкого круга исследователей, работающих в области механики деформируемого твердого тела, результатом чего явились многочисленные публикации, в которых приводились решения различных задач.
В последние десятилетия вопросы вязкоупругого поведения элементов конструкций, в том числе и вопросы термовязкоупругости, остаются предметом изучения многими авторами. Проводятся также исследования по смежным вопросам. В частности, для расчета элементов электронных приборов, изготовленных из пьезокерамик, выполняется большой цикл исследований по электротермовязкоупргости [32, 34, 68, 72] и др.
Широкое применение при изучении колебаний тонкостенных элементов конструкций из вязкоупругих материалов получила классическая теория, основанная на гипотезах Кирхгофа-Лява для оболочек [14, 98] и гипотезах Кирхгофа для пластинок [91, 92]. В рамках этих гипотез в работах [39, 41, 47, 50, 58] дана общая постановка и решение задачи о взаимодействии полей деформации и температуры вязкоупругой изотропной цилиндрической оболочки. Колебания круглых и прямоугольных пластинок рассматривались в работах [5, 36, 38, 44, 46-49, 59, 75] и др. Задачам поведения ортотропных вязкоупругих оболочек посвящены статьи [40,42]. Эти и многие другие результаты обобщены в монографиях [31, 33, 35-37, 57]. В этих монографиях также приведена обширная библиография, в том числе даются многочисленные ссылки на работы иностранных авторов.
При решении задач термовязкоупругости используются различные приближенные и численные методы [29, 30, 33, 51-53, 71, 74, 80] и др. Для решения одномерных и двумерных задач теории пластин и оболочек широко применяется метод сплайн-функций [20-25, 27, 54-56]. К числу преимуществ этого метода можно отнести устойчивость относительно локальных возмущений, хорошую сходимость сплайн-интерполяции и удобство реализации алгоритмов на ЭВМ.
Для пластин и оболочек из композитных материалов, характеризующихся анизотропией, толстостенных оболочек, подверженных локальным воздействиям, а также в ряде других случаев, необходим учет факторов, игнорируемых классической теорией.
Основные способы приведения трехмерных задач теории упругости к двумерным, согласно Гольденвейзеру А. Л. [17, 18], Новожилову В. В. [67], можно разделить на три группы: (а) метод гипотез; (б) метод разложений искомых функций по толщине; (в) асимптотический метод.
Остановимся подробнее на некоторых вариантах метода гипотез.
Большую известность завоевала гипотеза прямолинейного элемента, примененная для однослойных упругих и вязкоупругих стержней, пластинок и оболочек [19, 69, 76, 77-79, 84, 87, 89, 100, 112-115 и др.]. В этой теории компоненты перемещения представляются в виде:
и№'Р'Г'‘)=*(а'Р'1)+П'р{с(,Р>1), (В.1)
ыДаг,/?,Г,*)=и{(7,/?,?).
Здесь а,Р,у - выбранные соответствующим образом координаты объекта,
и(а,Р,1), у(ог,/?,/), >г(ог,/?,/) - тангенциальные смещения и прогиб точек
срединной поверхности, а уа(а,ру{)у Ур{<хуру{) - неизвестные функции,
характеризующие углы поворота нормали к срединной поверхности. Эти гипотезы в литературе часто связывают с именем С. П. Тимошенко.
По-видимому, впервые в работах Е. Рейснера [107, 108] предложена уточненная теория, в которой предполагается линейная зависимость некоторых напряжений от толщины. Однако подобный учет поперечных сдвигов приводит к перемещениям вида (В.1), что обсуждалось в работе [86].
В связи с тем, что линейное распределение перемещений и тангенциальных составляющих тензора напряжений по толщине не всегда хорошо согласуется с решениями трехмерных задач теории упругости, получили
распространение и другие уточненные модели, например [66, 94-97, 101, 102, 104, 105, 109, 116].
Широкое признание завоевал метод, основанный на задании нелинейного закона распределения по толщине компонент вектора перемещения в виде [85, 93, 99, 103, 106, 110]:
(о \ ( о \ 1 д™ .
иа(а,РУу^)=и{а,р,()-у-— + у 1 -
ир{а,р,у,і) = ^а,Р,і)-у^~-гу 1-^ £| у„{а,р,і),
иг(а,р,г,1)=-н{а,Р,1).
• Следует отметить, что к этому направлению примыкают исследования, отраженные в работах [13, 81 и др.].
По-видимому, впервые в работах С. А. Амбарцумяна [1-4] предложены гипотезы о квадратичной зависимости поперечных касательных напряжений от толщины объекта:
о а, («> Р,У,()= ЛгЫ.а, /?,'). <Гр, (а, Р,Г,‘)=Л/М«. /3,1),
иг{а,Р,Г,1)=Аа>Р,‘)-
Здесь (р(сс,Р^), {//(а.р^) - неизвестные функции, характеризующие сдвиговые деформации, а функция /{у) считается заданной.
Отметим, что существуют теории с удержанием слагаемых более высокого порядка в разложении перемещений по толщине, например [26]. Однако их применение не столь распространено.
Преобладающая часть результатов в решении задач статики и динами вязкоупругих пластин и оболочек получена с использованием метода гипотез.
Теория однослойных оболочек из вязкоупругих ортотропных материалов с учетом связанности механических и тепловых полей, по-видимому, впервые разработана в монографии [33]. В этой работе поперечные сдвиги учитываются на основе гипотезы прямолинейного элемен-
та. Однако при этом также предполагалось, что температура по толщине оболочки меняется по линейному закону или постоянна. В работе [39] рассматриваются вынужденные изгибные колебания и диссипативный разогрев составных стержней с учетом деформации поперечного сдвига и инерции вращения. Последние факторы учитываются на основании гипотезы плоских сечений, справедливых по всей толщине стержня. Вынужденные колебания многослойной цилиндрической оболочки вращения, со-
I
стоящей из чередующихся слоев двух типов: армирующего (упругий материал) и заполнителя (вязкоупругий материал), под воздействием гармонического нагружения исследуются в [43]. В качестве основной принята модель теории оболочек типа Тимошенко, позволяющая учитывать потери механической энергии вследствие возникновения сдвиговых деформаций. В [114] обсуждаются вопросы теории вязкоупругих балок Тимошенко, учитывающей сдвиговые деформации. Изучены некоторые частные случаи, соответствующие известным реологическим моделям (например, стандартного вязкоупругого тела). На основе уточненной теории (предполагается квадратичное изменение деформаций поперечного сдвига по толщине) развит конечноэлементный метод расчета динамического поведения оболочек вращения из анизотропного вязкоупругого материала при нестационарном нагружении в работе [71].
Вопросу погрешности гипотез классической теории в теории упругости посвящена не одна сотня публикаций. Однако в задачах вибрационного изгиба вязкоупругих пластин и оболочек этот вопрос остается актуальным и на сегодняшний день. Работы, в которых проводится подобный анализ на основе трехмерных уравнений, только начинают появляться [60-65, 73] и полная картина станет ясна далеко не сегодня.
Приведенный далеко не полный обзор литературы и сделанные выше замечания свидетельствуют о большой актуальности проблемы колебаний вязкоупругих тел и о том, что она еще далека от завершения.
10
В связи с этим, несмотря на многочисленные публикации, посвященные вопросу применения неклассических теорий, в задачах об установившихся поперечных колебаниях изотропных и анизотропных вязкоупругих тонкостенных элементов несомненный теоретический и практический интерес представляют вопросы сравнительного анализа напряженно-деформированного состояния (НДС) и теплового поля, получаемых по классической и уточненным теориям.
В диссертации такой анализ выполнен для трех различных моделей. Общими для этих моделей являются предположения о неизменности прогиба по толщине оболочки (пластинки) и малости напряжения а./ по сравнению с остальными напряжениями. Модели отличаются законами изменения тангенциальных смещений по толщине.
Эти законы записываются в виде
“а {ее, /?,/,/)= и{а, /?, /) + УГа (<*» Р>*)~ТТг[га (<*> А0+ "7 ^ V>
3 и
\
да
Я,(В.2)
ир{а,Р,Г,1)=у>{а,Р^)+гГр{а,Р,1)-у^ у0{а,р,{)+^> иу(а,/3,у,1)=ъ{а,р,1).
Здесь а-:ху Р - у - декартовы координаты на срединной плоскости пластинки, для оболочки-от и Р отсчитываются вдоль линий главной кривизны ее срединной поверхности; у - координата нормали к срединной плоскости пластинки или срединной поверхности оболочки. В формулах (В.2) Уа{ауру()у Ур(ссуру{) - неизвестные функции, и(ау/?,/), у(ог,/?,/) и
и-(аг,/?,/) - тангенциальные смещения и прогиб точек срединной поверхности; А- Л(аур)у В = В(аур) - коэффициенты первой квадратичной формы срединной поверхности (для пластинки Л = В = 1), Я - коэффициент, определяющий вариант теории.
И
гг 1 Л ( П Л 1 дп(а>0,() ( о л 1 ды(а,/Зу()
При Я = 0 и га(сс,/],1) = --—к——/Да,/?,/) = --—по-
ле перемещений (В.2) соответствует классической модели (в дальнейшем, КМ) изгиба оболочек, согласно которой отрезок нормали к недеформиро-ванной срединной поверхности остается прямолинейным и перпендикулярным к срединной поверхности после деформации.
При Я = 0 имеем гипотезы прямолинейного элемента, где Уч ~ Уа{а'Р'1) и Ур = Ур(а>РА) - неизвестные функции, характеризующие
углы поворота нормали к срединной поверхности. В этой модели отрезок нормали к недеформированной срединной поверхности остается прямолинейным, но перестает быть перпендикулярным к деформированной срединной поверхности. Далее в работе для этой модели принято обозначение МТТ.
Положим Я = 1 и
/ л \ л2 / \ 1 сН^ог,/?,/)
8 А да
( ‘п \ Р1 ( п \ 1 дМр>Рз*)
Ур(сс,рА) = у у/(ог,/?,/) - ~—др - •
Ясно, что при этом составляющие компонент деформации е^\ е^р\ е£р (к = 1,2) будут изменяться по толщине по кубическому закону, а е^, ер} -
по квадратичному закону. В этом случае отрезок нормали к недеформированной срединной поверхности, как и в модели МТТ, перестает быть перпендикулярным к срединной поверхности после деформации и при этом искривляется. Подобный учет поперечных сдвигов соответствует гипотезам, предложенным в работах С. А. Амбарцумяна. В дальнейшем для этой модели принято сокращение МТА.
Цель работы:
• построение без каких-либо предварительных предположений о характере изменения температуры по толщине пластинки (оболочки) полных
12
систем разрешающих уравнений для определения НДС и температуры диссипативного разогрева при вибрационном изгибе пластинок, осесимметричных и неосесимметричных колебаниях оболочек вращения из трансверсально изотропного линейного вязкоупругого материала, свойства которого зависят от частоты внешнего возбуждения и температуры;
• для трансверсально изотропных вязкоупругих пластинок, свойства которых не зависят от температуры (несвязанные задачи), получение точных аналитические решений для характеристик НДС и температуры само-разогрева при некоторых простых способах закрепления контура (модельная задача);
• разработка эффективной методики численного решения несвязанных задач при сложных способах закрепления;
• исследование влияния на НДС и температуру диссипативного разогрева трансверсальной анизотропии материала;
• оценка влияния на значения критических частот, НДС и тепловое поле при вибрационном изгибе пластинок и оболочек отдельных составляющих сил инерции;
• проведение сравнительного анализа влияния на напряженно-деформированное состояние и температурное поле разных вариантов учета поперечных сдвигов и определение интервалов толщин, в которых при различных способах закрепления рассматриваемых объектов классическая и уточненные теории дают близкие результаты.
Научная новизна.
В работе дан вывод полных систем разрешающих интегро-дифференциальных уравнений, представляющих три наиболее распространенные математические модели задач об установившихся поперечных колебаниях пластинок и оболочек из трансверсально изотропного линейного вязкоупругого материала, свойства которого зависят от температуры, при произвольном законе изменения последней по толщине объекта.
13
В случае материала с независящими от температуры свойствами (несвязанные задачи) получены точные аналитические решения для характеристик НДС и температуры саморазогрева пластинок при некоторых простых способах закрепления контура. При более сложных способах предложена эффективная методика численного решения.
По результатам вычислительных экспериментов сделаны выводы о существенной роли окружных сил инерции в задачах вибрационного изгиба вязкоупругих оболочек под действие неосесимметричной нагрузки. Определены области согласования «классических» и «уточненных» НДС и температуры саморазогрева. Выявлен характер влияния трансверсальной анизотропии материала в рассматриваемых задачах.
Достоверность полученных результатов обеспечивается
• в аналитических решениях - строгостью математической постановки задач и обоснованным применением соответствующего математического аппарата;
• при численном решении - хорошим совпадением результатов для модельных задач.
Практическая значимость.
Работа носит в основном теоретический характер. Однако разработанные методики могут найти применение при решении широкого класса задач об установившихся колебаниях пластинок и оболочек из трансверсально изотропного вязкоупругого материала в конструкторских бюро машиностроительного профиля.
Результаты проведенных исследований используются в специальном курсе по термовязкоупругости и при подготовке курсовых и дипломных работ для студентов, специализирующихся по кафедре математической теории упругости и биомеханики.