Оглавление
Введение.....................................................................4
Глава 1. Постановки задач...................................................15
1.1 Классическая постановка краевой задачи с собственными
деформациями.............................................................15
1.2 Обобщенная постановка краевой задачи с собственными
деформациями.............................................................16
%
1.3 Постановки краевых задач для импотентных и нильпотентных собственных деформаций...................................................17
1.4 Постановки задач управления.............................................19
1.4.1 Управление напряжениями..........................................20
1.4.2 Управление деформациями..........................................20
1.4.3 Управление перемещениями.........................................20
1.5 Методы решения задач тории упругости с собственными
деформациями.............................................................21
1.5.1 Аналогия Дюамеля.................................................21
1.5.2 Формула Майзеля..................................................26
1.5 Выводы по главе 1.......................................................28
Глава 2. Разложение собственной деформации на импотентную и
нильпотентную части................................................29
2.1 Функциональные пространства собственных деформаций......................29
2.1.1 Подпространство импотентных собственных деформаций...............30
2.1.2 Подпространство нильпотентных собственных деформаций.............33
2.2 Теорема об импотентных и нильпотентных собственных деформациях..........36
2.3 Теорема о разложении собственной деформации.............................36
2.4 Следствия из теоремы....................................................41
2.4.1 Следствие 1......................................................41
2.4.2 Следствие 2......................................................42
2.5 Демонстрационные примеры................................................42
2.5.1 Пример разложения собственной деформации.........................42
2.5.2 Альтернативный вывод обобщенной формулы Майзеля..................44
2.6 Выводы по главе 2.......................................................45
Глава 3. Разработка алгоритмов решения задач управления.....................47
3.1 Оценки отклонения напряжений и деформаций от требуемых значений 47
2
3.2 Методика построения базисных элементов.................................49
3.3 Алгоритм решения задачи управления напряжениями........................54
3.4 Алгоритм решения задачи управления деформациями........................55
3.5 Алгоритм решения задачи управления перемещениями.......................56
3.5.1 Управление перемещениями в сплошном теле........................57
3.5.2 Управление перемещениями в дискретизированных системах..........58
3.5.3 Иллюстрация задачи управления перемещениями.....................63
3.6 Выводы по главе 3......................................................65
Глава 4. Решения задач управления напряжениями и перемещениями.............67
4.1 Управление напряжениями и деформациями в ферменной конструкции задача 1...................................................................67
4.1.1 Постановка задачи...............................................67
4.1.2 Решение задачи о силовом деформировании системы
и построение базиса нильпотентных собственных деформаций..........68
4.1.3 Постановка и аналитическое решение задачи управления............71
4.1.4 Численное решение задачи управления.............................74
4.2. Создание ненулевых перемещений опорной конструкции....................75
4.2.1 Постановка задачи...............................................76
4.2.2 Построение подпространства совместных деформаций................76
4.2.3 Решение задачи управления перемещениями.........................79
4.3. Управление напряжениями и деформациями в ферменной конструкции задача 2...............................................................80
4.4. Выводы но главе 4.....................................................86
Заключение................................................................87
Библиографический список использованной литературы.........................89
3
Введение
Прогресс, достигнутый во многих областях техники, повлек за собой развитие теории термоупругости. Разработка новых конструкций паровых и газовых турбин, реактивных и ракетных двигателей, высокоскоростных самолетов, ядерных реакторов, конструкций, работающих в космосе (телескопы платформы и т.д.) и многого другого стимулирует развитие термоупругости и по сегодняшний день. Неравномерное тепловое расширение в общем случае не может происходить свободно в сплошном теле; оно вызывает тепловые (термические, температурные) напряжения. И знание величины и характера действия тепловых напряжений всегда было необходимо для всестороннего анализа конструкции [1].
Основная цель построения моделей на основе теории тер.моупругости с собственными деформациями заключается в определении напряжений и деформаций, возникающих в теле при заданных силовых нагрузках и температурных деформациях тела с некоторыми опорами. Однако не меньший теоретический и практический интерес представляет решение так называемых задач управления термоупругости.
Современная инженерия позволяет осуществлять управление системами не только за счет температурной деформации, но и деформации других видов: пьезоэлектрической, ростовой в случае живых систем, пластической и др. Использование пьезоэлектрического управления дает возможность создавать интеллектуальные конструкции, которые способны практически мгновенно откликаться на действующие факторы. Проектирование интеллектуальных структур находится на самом острие инженерных исследований и разработок и стоит острая необходимость в развитии теоретического фундамента для создания таких систем. В настоящее время имеет место огромный интерес к возможности разработки телескопов и антенн большого диаметра при жестких ограничениях на точность поверхности. Одними из самых важных проблем в этой области являются разработка и изготовление основного зеркала телескопа диаметром один и более метров, удерживающего геометрию в установленных пределах. Аналогично, отражающая поверхность микроволновых антенн должна поддерживаться в процессе эксплуатации в пределах миллиметра, чтобы удовлетворительно выполнять заданные функции. Главными факторами, нарушающими форму, являются постоянно меняющиеся
4
градиент температуры и силовая нагрузка. Например, величина градиента температу ры может достигать в условиях космоса 200-250°С на характерный размер конструкции. Похожая проблема возникает при эксплуатации элементов платформы и других как космических, так и наземных устройств. Проблема оказывается крайне сложной в силу большого количества управляющих параметров (до 100 и более) и целей управления. Решением таких комплексных проблем может служить проектирование интеллектуальных систем [2], где в качестве инструмента управления выступают температурные и (или) пьезоэлектрические деформации.
Управление ростовыми деформациями актуально при лечении различных патологий у детей и взрослых. К примеру, в работе [3] оптимизирована процедура лечения расщелины твердого нёба у детей. Дано биомеханическое обоснование новой методики лечения, которая позволяет избежать травматичной операции по установке носовой корректировочной пластинки. Процессы роста и рассасывания костной ткани также можно понимать под ростовыми деформациями. Показано, что костная ткань обладает пьезоэлектрическими свойствами [4, 5, 6] и что есть возможность оказывать влияние на процессы перестройки костной ткани [7] и сращивания переломов.
Управление пластическими деформациями необходимо при снижении уровня остаточных напряжений в системе. В работе [8] была разработана теория управления остаточными напряжениями, которая позволила решить ряд вопросов управления самоуравновешенными остаточными напряжениями в задачах терм оу пру гоп л астичн ости.
С развитием науки в этих областях, было замечено, «сто все перечисленные виды деформаций имеют ряд общих особенностей, которые не зависят от природы их возникновения и в современной науке носят название собственных деформаций {eigenstrairi).
Термин собственные деформации впервые ввел Рейснер (Я^БЗпег) в 1931 году [9]. Под этим термином он понимал неупругие деформации, соответствующие самоуравновешенным остаточным напряжениям. В 1991 голу Мура {Мига) [10] предложил более общее определение собственной деформации, принятое в современной научной литературе. В рамках геометрически линейной теории это есть неупругие деформации любой природы (температурные, пьезоэлектрические, пластические, ростовые, фазовые и др.). В этой же работе Мура предложил понятие
5
импотентной собственной деформации (например, нагрева) как деформации, не вызывающей напряжений в системе. Позже в 2001 году Иршик (Irschik) и Циглер (Ziegler) [11] ввели понятие нильпотентной собственной деформации, то есть не создающей полной деформации в любой точке системы.
Вопросы моделирования и решения задач управления в упругости с сосбственнымн деформациями (в основном термоупругости) рассматриваются в литературе давно. Спектр работ по тематике работы можно описать в двух категориях: моделирование в теории упругости с собственными деформациями (в том числе и с целью решения задач управления) и собственно решение задач управления.
Исследования по термоупругости сначала стимулировались задачами о термоупругих напряжениях в элементах конструкций. Они проводились на основе теории, разработанной Дюамелем (1838) и Нейманом (1841), которые исходили из следующего предположения: полная деформация является суммой упругой
деформации, связанной с напряжениями обычными соотношениями закона Гука, и чисто теплового расширения, соответствующего известному из классической теории теплопроводности температурному полю.
Классическими работами в этой области являются монографии [I, 12, 13, 14, 15, 16, 17]. В этих работах рассматриваются гипотезы и постановки задач термоупругости, в работах [15,18] исследуются математические аспекты постановок и решения задач терм оу пру гости, в частности, формулируется ряд теорем и следствий, позволяющих доказать существование и единственность решения задачи термоупругости в обобщенной постановке. Монографию [14] отличает множество сформулированных и разобранных задач расчета напряжений и деформаций под действием температуры. Автор рассматривает также проблемы моделирования, выходящие за рамки термоупругости.
Иные публикации больше сфокусированы на решении более частных и более сложных задач. Наиболее фундаментальными из статей по своим результатам решения прямых задач несвязанной термоупругости можно назвать работы Нура {Noor) [19], Локе {Locke) [20], Дави {Davi) [21]. В этих работах формулируются и реализуются на задачах с простой геометрией основные принципы решения задач термоупругости: в многослойный балках [21], в многослойных композиционных панелях [19]. Нелинейный отклик в многослойных оболочках из композиционных
6
материалов был описан в работе [20].
Подавляющее число работ по решению задач термоупругости обращено к вычислению напряженно-деформированного состояния при различных граничных условиях в заданной области. Так, в работе [22] вычисляются температурные напряжения в трехслойной балке, в работе [23] с помощью преобразования Лапласа приводится аналитическое решение в напряжениях для однородного цилиндра. Отличает последнюю работу то, что источник тепла совершает вращательное движение. Заметный вклад в моделирование и управление температурными напряжениями и деформациями внес Таучерт (ГаисНеП). В первых работах [24,25] на эту тему он предложил численный алгоритм вычисления температурных напряжений в термоупругом цилиндре. Алгоритм был основан на применении метода Ритца (и его модификации) для минимизации функционала дополнительной энергии деформации. Несколько позже [26] им была решена задача о температурном выпучивании в композиционной оболочке прямоугольной формы. Развитие технологий привело к расширению применения композиционных материалов, анализ напряжений и деформаций в конструкциях, изготовленных с помощью новых материалов, нашел отражение в работах Хайера (Нуег) [27, 28,29, 30]. В этих работах вычисляются на основе классических гипотез термоупругости напряженно-деформированные состояния в оболочках цилиндрической [27, 28] и плоской формы [29, 30]. Оболочки считаются многослойными, каждый слой - композиционный материал. Расчеты представлены в виде последовательности аналитического и численного этапов решения. В других работах рассчитывались искривленные балки, пластины, цилиндры (например, [31, 32,33]) и другие тела правильной или симметричной формы (например, [34,35,36]). Рассматривалось и температурное выпучивание [37]. Тенденции сохранились и до сих пор. Но значительно расширился круг решаемых задач, например, рассматриваются новые материалы, свойства которых можно считать нсклассическими, что изменяет привычные процедуры вычислений [38, 39, 40 ]. Также решаются задачи термоупругости в динамической постановке [41].
Иные работы посвящались исследованию не столько напряженно-деформированного состояния, сколько связанных с ним характеристик: распространение волн в теле [42], напряжения в области неоднородности [43], локализации колебаний [44,45]. Заканчивая описание литературы по решению
7
- Київ+380960830922