Устойчивость сжатых пластин за пределом упругости при сложном нагружении в условиях ползучести

2
СОДЕРЖАНИЕ
1. ОБЗОР СОВРЕМЕННОГО СОСТОЯНИЯ ПРОБЛЕМЫ УСТОЙЧИВОСТИ СЖАТЫХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ ЗА ПРЕДЕЛОМ УПРУГОСТИ........................... 4
1.1. Концепция устойчивости..................................... 4
1.2. Гипотеза компланарности в теории вязкоупругопластических процессов................................................ 16
1.3. Влияние истории нагружения................................ 20
1.4. Заключение по разделу 1. Постановка задачи исследования 26
2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ВЫПУЧИВАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТИ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТОНКИХ ПЛАСТИН И ПОЛОГИХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПАНЕЛЕЙ...................................... 27
2.1. Уравнения связи между перемещениями, деформациями и напряжениями за пределом упругости в условиях сложного нагружения и ползучести.................................. 27
2.2. Усилия и моменты в пластинке и цилиндрической панели 30
2.3. Уравнения вариационного метода Лагранжа в задачах выпучивания и устойчивости сжатых прямоугольных пластин и цилиндрических панелей................................... 34
2.4. Пошаговый метод решения вариационных уравнений............ 40
2.5. Выводы по разделу 2....................................... 43
3. ОЦЕНКА ДОСТОВЕРНОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО ВЫПУЧИВАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТИ СЖАТЫХ ПЛАСТИН ЗА ПРЕДЕЛОМ УПРУГОСТИ.................................................... 44
3.1. Аппроксимации функционалов пластичности................... 44
3.2. Аппроксимации диаграмм деформирования..................... 49
3.3. Бифуркационные задачи для сжатых пластинок при простом докритическом нагружении................................. 55
3.3.1. Разрешающее уравнение для сжатой в двух направлениях пластинки................................................ 55
3.3.2. Шарнирно опертая по трем сторонам и свободная по четвертой пластинка, сжатая в направлении свободной стороны.................................................. 59
3.3.3. Сжатая в двух направлениях шарнирно опертая по контуру пластинка................................................ 62
3.4. Выпучивание сжатых пластинок при малом начальном прогибе.. 65
3.4.1. Шарнирно опертая по трем сторонам и свободная по
четвертой пластинка, сжатая в направлении свободной стороны............................................... 65
з
3.4.2. Сжатая в двух направлениях шарнирно опертая по контуру пластинка. Физически линейное, геометрически нелинейное решение.......................................... 75
3.4.3. Продолжение. Алгоритм численного решения............. 80
3.4.4. Продолжение. Исследование процессов простого и
сложного нагружения и устойчивости..................... 83
3.5. Выводы по разделу 3........................................ 89
4. ПРИНЦИПИАЛЬНЫЕ ОСОБЕННОСТИ ПРОЦЕССА ВЫПУЧИВАНИЯ ПРИ ПОЛЗУЧЕСТИ................................... 90
4.1. Выпучивание сжатого упругопластического стержня в условиях ползучести................................................. 90
4.2. Характер влияния обратной ползучести на процесс выпучивания 95
4.2.1. Без учета обратной ползучести........................ 95
4.2.2. «Идеальная» обратная ползучесть...................... 97
4.2.3. Отсутствие ползучести при разгрузке................. 101
4.3. Выводы по разделу 4...................................... 105
5. РЕАЛИЗАЦИЯ СОВРЕМЕННОЙ КОНЦЕПЦИИ УСТОЙЧИВОСТИ В ЗАДАЧАХ ВЫПУЧИВАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТИ СЖАТЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИН И ПОЛОГИХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПАНЕЛЕЙ
ПРИ ПОЛЗУЧЕСТИ И СЛОЖНОМ НАГРУЖЕНИИ
ЗА ПРЕДЕЛОМ УПРУГОСТИ........................................ 106
5.1. Алгоритм численного решения.............................. 106
5.2. Результаты расчета квадратной, шарнирно опертой по контуру пластинки, сжатой в одном и двух направлениях............. 109
5.2.1. «Мл ювенное» нагружение............................ 109
5.2.2. Влияние уровня нагрузки............................. 126
5.2.3. Влияние сложного нагружения на критическое время 153
5.2.4. Влияние начального прогиба.......................... 161
5.2.5. Влияние скорости ползучести......................... 171
5.3. Сжатая вдоль образующей квадратная пологая цилиндрическая панель.................................................... 180
5.4. «Приведенно-модульная» нагрузка, «касательно-модульная» нагрузка, предел устойчивости, нагрузка надежности........ 188
5.5. Бифуркационное и критическое время....................... 192.
5.6. Выводы по разделу 5....................................... 196
ЗАКЛЮЧЕНИЕ И ВЫВОДЫ........................................... 197
БИЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК........................................ 199
ПРИЛОЖЕНИЯ
217
4
1. ОБЗОР СОВРЕМЕННОГО СОСТОЯНИЯ ПРОБЛЕМЫ УСТОЙЧИВОСТИ СЖАТЫХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ ЗА ПРЕДЕЛОМ УПРУГОСТИ
1.1. Концепция устойчивости
История развития представлений о понятии «устойчивость» достаточно известна и описана в большом количестве обзоров, например, [7, 8, 37, 38, 40, 41, 68, 74, 80, 89, 95, 121, 129, 130,229] и др. В связи с тематикой работы основное внимание в обзоре уделяется той части общей концепции устойчивости, которая относится к медленным процессам нагружения и деформирования упругопластических систем.
Согласно современной концепции, устойчивость рассматривается как свойство процессов движения и равновесия систем, в том числе медленных процессов типа ползучести [71, 74, 75, 80, 85, 89, 95, 133, 148]. Под устойчивостью понимается способность систем сохранять состояние равновесия или движения во времени под действием малых возмущений. Под неустойчивостью понимается способность систем при действии сколь угодно малых возмущений получать большие перемещения. Понятие устойчивости, его определение и критерии неотделимы от практического представления о патере устойчивости конструкций и их элементов, как о катастрофическом развитии деформаций и перемещений.
Основы теории упругой устойчивости, заложенные в 18 и 19 столетиях Л.Эйлером, Ж.Лагранжсм, Дж.Брайаном, Ф.С.Ясинским, относились к бифуркационной постановке [204, 206, 210, 211 220]. В исследованиях С.П.Тимошенко, В.З.Власова и других ученых [18, 185... 187, 228, 230] проблема линейной упругой устойчивости в этой постановке была, по существу, решена. В 1910 г. Т.Карман впервые получил систему нелинейных уравнений для исследования послсбифуркационного поведения упругих прямоугольных пластин [196]. Обобщение уравнений на цилиндрические оболочки дали Л.Доннел (1943 г. и 1950 г.) и Цзян [49, 196]. Нелинейный вариант теории пологих оболочек рассмотрел Маргерр (1938 г.) [20]. Благодаря трудам В.З.Власова [18] теория пологих оболочек стала широко применяться в задачах устойчивости. Общая теория нелинейной устойчивости, в основе которой лежит анализ послебифуркационного поведения, была построена в 1945 г. В.Койтером [219] и развита в работах Б.Будянского, ДжХатчинсона, Э.И.Григолюка, И.И.Воровича, Х.М.Мупггари, Дж.Томпсона и других исследователей [12, 22, 38, 151, 195, 215]. Теория устойчивости при пластических деформациях берет свое начало в конце 19 и первой половине 20 века в трудах Ф.Энгессера, Т.Кармана, П.Бийлаарда, Е.Хвала, К.Ежска, Ф.Шенли, А.А.Ильюшина и других [5, 109, 110,207, 212, 213, 216, 217, 223, 224]. Дальнейшие наиболее существенные результаты в развитии теории устойчивости упругопласти-
5
ческих систем были получены Е.Стоуэллом, Э.И.Григолюком, Ю.Р.Лепиком, В.Г.Зубчаниновым, В.Д.Клюшниковым,
Л.А.Толоконниковым и рядом других авторов [36, 74, 79, 89, 125... 128, 130, 132, 139... 143, 193, 194, 226].
Современная концепция устойчивости берет свое начало в первоначальных работах Т.Кармана [217, 218] и Ф.Шенли [223, 224] по устойчивости стержня. Изучая теоретически и экспериметально процесс выпучивания сжатого стержня с малыми начальными несовершенствами, Карман отчетливо осознавал, что его приведенно-модульная нагрузка является лишь оценкой границы устойчивых состояний процесса упругопластического деформирования. Об этом он писал в 1947 г. в комментарии к статье Ф.Шенли [90, 218]. Там же он охарактеризовал значение работы Шенли и существование касательно-модульной нагрузки как указание на необходимость пересмотра подходов к определению границы устойчивых состояний в связи с необратимостью процесса деформирования в неупругом случае.
В 1952 г. А.Пфлюгер [221], исходя и решения задач о продольном изгибе стержней прямоугольного и двутаврового сечений, подтвердил вывод Шенли о том, что кривая выпучивания, начинающаяся при касательно-модульной нагрузке, представляет устойчивые положения равновесия. Сверху кривая выпучивания ограничена приведенно-модулъной нагрузкой.
Идеи Кармана и Шенли о необходимости исследования устойчивости процесса нагружения большинством ученых сразу осознаны не были ввиду еще не вполне сформировавшегося понятия устойчивости. Под влиянием работ Дуберга и Уайлдера [209], Ю.Н.Работнова [163], В.Д.Клюшникова [130] в 1950-е годы сложилось мнение, что для оценки устойчивости достаточно определить бифуркационную нагрузку. Причем касательномодульная нагрузка дает нижнюю границу устойчивых состояний, а приведенно-модульная - верхнюю.
Важнейшим шагом в осмыслении нового подхода к понятию устойчивости явились работы А.А.Ильюшина (1960 г.) [115] и В.Г.Зубчанинова (1960-61 гг.) [53, 54]. А.А.Ильюшин показал, что выпучивание сжатого стержня, работающего в составе конструкции малой жесткости, может сопровождаться как уменьшением нагрузки на стержень (разгружающая конструкция), так и увеличением (догружающая конструкция). В отличие от работы А.А.Ильюшина, В.Г.Зубчанинов провел анализ процесса послеби-фуркационного выпучивания стержней в разгружающих и догружающих системах произвольной жесткости и показал, что имеется целый спектр нагрузок бифуркации с устойчивым и неустойчивым послебифуркационным выпучиванием. В догружающей конструкции бифуркационная нагрузка может иметь любое значение между касательно-модульной и приведенно-модулыюй, а в ралружающей системе - также любое, но между приведен-
6
но-модульной и некоторой величиной, больше приведенно-модульной, по меньше нагрузки Эйлера для упругого стержня.
Начало процесса выпучивания для догружающих систем является устойчивым (рост прогибов возможен только при увеличении нагрузки). В разгружающих системах выпучивание сопровождается убыванием нагрузки на сжатый стержень, а нагрузка на конструкцию может как увеличиваться (если нагрузка бифуркации меньше критической), так и убывать (при бифуркационной нагрузке выше критической). В последнем случае послебифуркационное выпучивание стержня является неустойчивым.
Ничем не поддерживаемый от выпучивания стержень в составе разгружающей конструкции начнет изгибаться при касательно-модульной нагрузке. Процесс выпучивания будет оставаться устойчивым до предельной точки, характеризуемой условием
где р — параметр нагрузки на конструкцию, /- мера выпучивания.
Если же стержень в разгружающей системе удержать от выпучивания с помощью поддерживающих связей и нагрузить выше приведенно-модульной нагрузки, но меньше бифуркационного значения, соответствующего условию (1.1.1), то после устранения связей стержень останется в устойчивом состоянии. Его выпучивание возможно только при увеличении нагрузки и будет устойчивым до достижения предельной точки, в которой выполняется условие (1.1.1). Причем предельная нагрузка окажется существенно выше, чем неподдержанного стержня [59, 62]. В этой работе
В.Г.Зубчанинов впервые показал способ практической реализации отмеченного еще Карманом обстоятельства, что для различных историй нагружения одному и тому же уровню нагрузки за пределом упругости могут соответствовать различные деформированные состояния.
В дальнейшем, основываясь на теории бифуркаций А.Пуапкаре [2, 160, 161] и учитывая точку зрения Р.Хилла [198] и М.Хорна [214] на понятие устойчивости упругопластических систем, он пришел к необходимости различать точки бифуркации процесса квазистатического деформирования и точки бифуркации Пуанкаре. В точке бифуркации процесса деформирования нарушается единственность этого процесса (ветвление процесса). Продолжение может идти по различным ветвям. При этом бифуркация еще не означает потери устойчивости. Одна из ветвей может оказаться устойчивой, и процесс деформирования продолжается вплоть до точки бифуркации Пуанкаре [74, 95, 133]. Устойчивым по Пуанкаре считается процесс, бесконечно малое возмущение которого не приводит к катастрофическому росту перемещений. Точкой бифуркации Пуанкаре является такая точка процесса, для которой бесконечно малое возмущение вызывает катастро-
7
фический рост перемещений. В связи с этим, условие (1.1.1) записывается в виде
^-*«0. (1.1.2) dp
Соответствующая нагрузка называется критической или пределом устойчивости.
Высказанные положения иллюстрируются дифференциальным уравнением движения в условиях вязкого внутреннего сопротивления [74, 85, 95, 133]
rnf + nf + Rf = 0. (1.1.3)
В малой окрестности процесса выпучивания членом, содержащим ускорение /, можно пренебречь. Тогда, исходя из (1.1.3), можно записать достаточно общее уравнение медленного движения упругопластической системы
/=Ф(/.р, «>/0> О-*-4)
где/- характерное перемещение; р - параметр нагрузки; п - характеристика вязкости пластического деформирования; //, — возмущающие факторы.
Если / = Опри фиксированных во времени / = const и р = const, то из (1.1.4) следует уравнение равновесия
Ф(/* РуП,^) = 0, (1.1.5)
которое справедливо для любой произвольной точки N процесса и определяет квазистатическое деформирование.
Далее рассматривается, при каких условиях точка N оказывается неустойчивой по Пуанкаре. Перемещение /и нагрузку р в малой окрестности этой точки можно представить в виде:
/=/*+£> р- Pn + я ^ (ll-б)
где £ = df, q-dp - бесконечно малые величины. Соответствующее изме-ненея правой части (1.1.2) представляется первыми членами ряда Тейлора
Ф(/, р, п,р,) = Ф(Л. Ры, П, /1,) + ф}# + 0'pdp, (1.1.7)
где Ф^-дФ1д/, Ф’р = дФ1др в точке N. После подстановки (1.1.6) и
(1.1.7) в (1.1.4) с учетом (1.1.5) получается дифференциальное уравнение
</£/<//= (1.1.8)
Его решение методом вариации постоянных дает
£ = СеЛ1 +0'pex,\e-*'q(t)dt, (1.1.9)
где Л = Ф^. Произвольная постоянная С зависит от начальных условий,
определяемых в соответствии со способом возмущения квазистатического процесса (1.1.5) в точке N. Например, при возмущении посредством cry-
8
пенчатого увеличения нагрузки на постоянную величину q = const общее решение (1.1.9) конкретизируется:
Z = Cex'-дФ'р1Ф',. (1.1.10)
При начальном условии £=0 при / = 0 из (1.1.10) следует
4=-чФ'р/Ф'/(1-ех'). (1.1.11)
Анализ формулы (1.1.11) показывает, что при Я = Ф^< 0 с течением
времени влияние возмущения затухает и процесс возвращается к невозмущенному (1.1.5), определяемому условием
</Ф = Ф}4Г + Ф;ф = 0, (1.1.12)
откуда при df = £, dp = q следует
£ = (1.1.13)
При Х-Ф'{> 0 возмущенный процесс неограниченно отклоняется от
невозмущенного. Условие Я == 0, которое в развернутом виде записывается как
<£}(/*,= (1.1.14)
дает границу устойчивых состояний или точку бифуркации Пуанкаре. Би-
фуркация в этой точке состоит в возможности двух продолжений процесса: либо неустойчивый нсвозмущенный квазистатический процесс прохождения состояний равновесия (1.1.5), либо развертывающийся во времени процесс катастрофического роста перемещений, представляющий собой потерю устойчивости.
Вместо (1.1.14) можно получить другое условие, позволяющее определить точку бифуркации Пуанкаре из анализа невозмущенного процесса квазистатического деформирования. Из (1.1.12) с учетом (1.1.14) следует dp = 0. Продолжение процесса выпучивания осуществляется при df> 0, что приводит к условию (1.1.2), которое и характеризует бифуркационную точку Пуанкаре.
Более строгое обоснование такого подхода приведено в [74, 85, 95, 133]. В математическом аспекте данная проблема относится к хорошо разработанной теории устойчивости решений дифференциальных уравнений [4, 144, 157]. Однако для упругопластических систем она во многом еще не решена.
Типичные зависимости нагрузки р от характерного перемещения /для различных элементов конструкций после бифуркации при нагрузках р♦ показаны на рис. 1.1.1 ... 1.1.4. Для стержней (рис. 1.1.1) после бифуркации наблюдается неединствегаость решения и возрастание прогибов, которое, как правило, приводит либо к разрушению, либо к недопустимо большим деформациям. Выпучивание пластин имеет сходный характер (рис. 1.1.2), но, в зависимости от граничных условий, возможно более или менее значительное возрастание нагрузки. Общим для упругих стержней и пластин
9
является выполнение условия (1.1.2) в точке бифуркации. Такое поведение стержней и пластин предопределило успех бифуркационной теории Эйлера. У оболочек (рис. 1.1.3) после бифуркации наблюдается резкое падение сжимающей нагрузки при одновременном росте перемещений.
Рис. 1.1.3
Рис. 1.1.4
*/
Рис. 1.1.1
Неизбежное наличие случайных начальных несовершенств в реальных конструкциях, даже проектируемых как идеальные, не позволяет ограничиться рассмотрением только задач о процессе послебифуркационного вы-
10
пучивания. Предел устойчивости конструкции с начальными несовершенствами существенно меньше предела устойчивости для послебифркацион-ного выпучивания и может оказаться даже шоке бифуркационной нагрузки. Это наглядно продемонстрировала экспериментальная проверка теории устойчивости оболочек, выполненная А.Робертсоном (1928-29 гг.),
В.Флюгге (1932 г.), Е.Лундквистом (1933 г.) [38]. Величина опытных критических нагрузок для цилиндрических и сферических оболочек составляла лишь около одной четвертой от бифуркационных. В 1939-42 гг. Т.Карман и Цзян [196] показали, что такое расхождение обусловлено неустойчивым послебифуркационным поведение оболочек. Предел устойчивости, достигаемый в процессе выпучивания оболочек, оказался весьма чувствительным к начальным несовершенствам формы.
Выпучивание упругопластических систем (рис. 1.1.4) в корне отличается от поведения упругих [53, 54, 59, 62, 74, 95]. Во-первых, имеется целый спектр нагрузок бифуркации р, < р* < р, с устойчивым {р1 < р* < рк)у либо неустойчивым (ркйрш < ру) послебифуркационным поведением у одного и того же элемента Поэтому среди точек бифуркации различают устойчивые (докритические) и неустойчивые (послекритические). Для первых (1р1сЦ> О, для вторых <1р1й<, 0. Наименьшей возможной нагрузкой бифуркации является так называемая касательно-модульная нагрузка /?,. Первая неустойчивая точка бифуркации - приведенно-модульная нагрузка Кармана рк. По-слебифуркациошюе поведение упруго пластической системы в процессе ее выпучивания может обнаружить резервы послебифуркационной устойчивости и прочности (рис. 1.1.4). В силу этого различаются докритический и послекритический процессы выпучивания. Критическое состояние достигается в предельных точках (точках бифуркации Пуанкаре), в которых имеет место условие (1.1.2), что и принимается за критерий неустойчивости при квазистатическом процессе упругопластического выпучивания.
Потеря устойчивости конструкции после ее докритичсского выпучивания или деформирования характеризуется внезапным и значительным развитием деформаций. Поэтому при анализе устойчивости конструкций важнее знать критические деформации и перемещения, чем критические нагрузки [120]. Критерий неустойчивости в своей простейшей форме (1.1.2) подчеркивает оценку катастрофического развития выпучивания по деформации, в отличие от методически несовершенной оценки по несущей способности, то есть по силам [95]. Линия, разделяющая области устойчивого и неустойчивого выпучивания называется границей устойчивых состояний (кривая Г на рис. 1.1.1 ... 1.1.4).
Если начальные несовершенства велики, то задачи устойчивости может и не быть. Например, при эксцентриситете 6 для показанного на рис. 1.1.4 прямого упругопластического стержня меньше некоторого т/ стержень теряет устойчивость при нагрузке рт (кривая 1). Если достаточно велико (д > 77), то задачи устойчивости не возникает (кривая 2). Нагрузку рн> разде-
11
ляющую указанные задачи, В.Г.Зубчанинов предложил назвать нагрузкой надежности устойчивых процессов нагружения [85,95, 133].
Во многих исследованиях начальные несовершенства не учитываются. Это соответствует так называемой концепции бифуркационного выпучивания или концепции бифуркаций процессов деформирования идеализированных систем [125, 130]. Согласно этой концепции, в какой-то момент нагружения происходит бифуркация основного пути деформирования (без учета начальных несовершенств) в другой равновесный путь. Эта концепция рассматривает весьма идеализированную модель системы, ибо малые несовершенства идеальной геометрии конструкции приводят, как правило, к динамической потере устойчивости в предельной точке, а не к бифуркации типа ветвления. В соответствии с бифуркационной концепцией определяется нагрузка бифуркации, при которой решение задачи перестает быть единственным в математическом смысле. Такая точка зрения является очень узкой и частной. Начальные несовершенства естественны и неизбежны, их необходимо учитывать [85, 95].
Современная практика проектирования строительных конструкций [149], заложенная исследованиями Н. С. Стрелецкого, Б.М.Броуде,
А.В.Геммерлинга и др. [10, 11, 33, 173], исходит из того, что в реальных конструкциях всегда есть причины, вызывающие в проектируемых центрально сжатыми стержнях еще и изгиб. Изучение статистическими методами случайных эксцентриситетов и погнутий показало, что они увеличиваются при возрастании гибкости. Для учета неблагоприятных факторов расчет стержней, сжатых осевой силой, производится как внецентренно сжатых. Принятые при этом значения начальных случайных эксцентриситетов показаны на рис. 1.1.5, где у0 - относительный эксцентриситет; е0 -абсолютный эксцентриситет;/? - ядровое расстояние; Я - наибольшая гибкость стержня.
Го^о/р
Рис. 1.1.5
12
Из рис. 1.1.5 следует, что для диапазона гибкостей 20 < А, < 200
0,002 < е0 /(рЯ) < 0,003. (1.1.15)
С учетом, что р = Иг1Р = 1/(Рутю) = г2/утк, г2=1/Р, Д = /0/г, /0=^/ выражение (1.1.14) приводится к виду
0,002 < («о/10)(Ушх/г) < 0,003. (1.1.16)
Для прямоугольного поперечного сечения =Л/2, г = Л/-Л2, для идеального двутавра ут = Л/2, г = Л/2. Подстановка этих величин в (1.1.16) показывает, что для рассматриваемого диапазона гибкостей можно принять
0,01<ео/Л<0,3 или 1/ЮОО<е0//0 <1/400. (1.1.17)
Практическая проверка устойчивости таких стержней сводится к сравнению напряжений для центрально сжагого стержня с критическими, вычисленными с учетом начальных эксцентриситетов. Критические напряжения определяются через предел устойчивости внецентренно сжатого стержня, достигаемый при его выпучивании за пределом упругости. Задача решается в геометрически линейной постановке, материал считается нелинейно-упругим, то есть не учитывается реальный процесс разгрузки [149], что вполне допустимо при не очень малых эксцентриситетах [72, 95, 133].
В экспериментальных исследованиях пластического деформировали конструкционных материалов и устойчивости стержней, пластинок и оболочек за пределом упругости обнаруживается наличие ползучести даже при комнатной температуре.
Обзоры состояния теории устойчивости элементов конструкций в условиях ограниченной и неограниченной ползучести содержатся в работах [103, 136, 200] и др. Впервые задача устойчивости сжатого стержня из линейного вязкоупругого материала, подчиняющегося закону Кельвина в условиях ограниченной ползучести, была решена А.Р.Ржаницыным [168, 169]. Аналогичную задачу для неограниченной ползучести, описываемой теорией течения, решил Н.Хофф [199]. В этих решениях анализируется устойчивость процесса выпучивания при наличии возмущающего прогиба, соответствующего окончанию этапа возрастания нагрузки до заданного уровня. Если возмущающий прогиб равен нулю, то выпучивание вообще не начинается. Такой подход сохраняется и в более поздних работах, в том числе и за пределом упругости, например, в работах В.И.Ванько и
С.А.Шестерикова, В.Г.Зубчанинова и др. [14, 15, 76, 133].
Отрешение решить задачу устойчивости при ползучести без исследования процесса выпучивания привело к созданию различных бифуркационных подходов. Сюда относится критерий Ф.Шенли [225]; основанные на идее А.А.Ильюшина критерии бифуркации с условием Ю.Н.Работнова-
С.А.Шестерикова [164], Л.М.Куршина [135]; теория псевдобифуркаций В.Д.Юпошникова [131, 132]; теория особых точек М.Н.Кирсанова [124].
13
Однако и здесь решение осложнилось неопределенностью выбора начального возмущения. Для согласования расчетных результатов с экспериментальными пришлось рассмотреть целый спектр возмущении [124, 131, 135]. Такого рода бифуркационная теория устойчивости идеальных систем при ползучести может оказаться достоверной только в том случае, если критическое время реальной системы при стремлении начальных несовершенств к нулю будет приближаться к бифуркационному значению.
При исследовании процессов деформирования упругопластических систем в условиях ползучести с позиций современной концепции устойчивости В.Г.Зубчанинов [85, 95, 133, 148, 105, 106] предлагает рассматривать два этапа: этап «мгновенного» нагружения по заданной истории (квазиста-тическое нагружение, при котором ползучесть проявиться не успевает) и этап ползучести системы во времени при постоянной внешней нагрузке после досгижения ею задашюго уровня.
По характеру свойств ползучести материалы делятся на материалы с ограниченной ползучестью и неограниченной ползучестью. В условиях ограниченной ползучести существует длительная критическая нагрузка. Процесс «мгновенного» нагружения для этого случая изображен на рис. 1.1.6 линией 1. Кривая 2 относится к процессу очень медленного (длительного) нагружения с полной выборкой ползучести. Соответствующие пределы устойчивости обозначены рт и р'т, причем рт < рт. После остановки «мгновенного» нагружения в точке М при нагрузке р0 < р*т начинается этап ползучести при р0 = const с переходом системы из точки А/ в точку М'.Такой процесс устойчив, поскольку он ограничен по перемещениям выходом на кривую 2 длительного нагружения.
При «мгновенном» нагружении до точки N выше длительного предела
устойчивости рл выпучивание конструкции не прекратится до достижения мерой выпучивания / некоторого критического значения в точке Nf, которая, несмотря на ограничешгую ползучесть, и является точкой бифуркации Пуанкаре. Параметром прослеживания здесь является время, и условие потери устойчивости, в отличие от (1.1.2), записывается в виде
—— —> со (1.1.18)
dt
при
В случае неограничешюй ползучести (рис. 1.1.7) при нагружении до любого уровня выше нагрузки надежности рнУ соответствующего точке N на кривой мгновенного нагружения, дальнейшее развитие ггроцесса заканчивается потерей устойчивости в точке N*. В этой точке также выполняется условие (1.1.18). Существенно отметить, что если за параметр прослеживания процесса принять прогиб, то после прохождения точки бифуркации Пуанкаре (точка N' на рис. 1.1.6, 1.1.7) определяемое из расчетных
14
уравнений время / начинает уменьшаться («обратный ход времени»). Это является следствием решения задачи в квазистатической постановке. При нагрузке ниже нагрузки надежности точки бифуркации Пуанкаре нет. Процесс выпучивания является монотонным, критическое время достигается при прогибе причем последнее условие выполняется одно-
временно с (1.1.18) [85, 95].
Рис. 1.1.7
Решение задач выпучивания и устойчивости при ползучести затруднено тем, что реологические свойства реальных материазов не вполне точно соответствуют упрощенным математическим моделям, применяемым для их описания. Например, теория течения не описывает обратной ползучести, наблюдаемой в экспериментах после полной разгрузки. Теория старения, хотя и хуже, чем теория течения описывает ползучесть при переменных напряжениях, но в задаче о построении кривой релаксации по опытной кривой ползучести может дать лучшее соответствие эксперименту [123]. Натожение прямой и обратной ползучести при частичном сбросе нагрузки, а также при разгрузке и повторном нагружении, может привести к прекращению ползучести на некотором интервале времени, что наблюла-
15
ется экспериментально [31, 84,123]. Ряд экспериментов показывает, что на ползучесть оказывает заметное влияние сложное упругопластическое нагружение вплоть до полного прекращения ползучести на одних участках траектории нагружения и ее возобновления на последующих участках [104].
По-видимому, именно не учет или неудовлетворительное математическое описание этих явлений, в частности, различного характера ползучести в зонах роста и уменьшения сжимающих напряжений, не позволяет до сих пор создать достаточно точную теорию устойчивости при ползучести. Примером этого может служить выполненное в работах [101, 102, 172] исследование выпучивания после возмущения процесса сжатия идеального стержня в точках бифуркации, определяемых по существующим теориям [124, 131, 135]. Численный расчет с использованием для описания ползучести теории упрочнения и учетом пластических деформаций дал в принципе тот же результат, что и в первоначальной задаче Н.Хоффа [199].
Современная концепция устойчивости, основанная на исследовании процессов нагружения и деформирования элементов конструкций, требует физически достоверного математического описания этих процессов. Решение проблемы устойчивости при ползучести в такой постановке может быть выполнено только методом СН-ЭВМ, рассмотренным в разделе 1.2.
16
1.2. Гипотеза компланарности в теории вязкоупругопластических процессов
Выпучивание пластинок и оболочек в общем случае сопровождается возникновением пластических деформаций. Причем упругопластическос деформирование происходит в условиях сложного нагружения. Поэтому выбор теории пластичности, достоверно учитывающей эффекты сложного нагружения, является весьма важным.
Теория пластичности была заложена в конце 19 и первой половине 20 века трудами Б.Сен-Венана, Р.Мизсса, Л.Прандля, Е.Рейсса, В.Прагсра, Г.Генки, А.Надаи, А.А.Ильюшина [34, 111, 150, 152, 166, 171, 201] и других ученых. Существенно новым шагом явилось создание
A.А.Ильюшиным теории упругопластических процессов. Ее основные положения были опубликованы в 1954 г. [112]. Векторное представление процессов деформирования, нагружения и определяющих соотношений связи напряжений с деформациями оказалось эффективным и геометрически ясным при описании сложных процессов нагружения, встречающихся в практике инженерных расчетов на прочность и устойчивость.
В период 1954-90 гг. благодаря трудам А.А.Пльюшина [113,114,117] и его учеников В.С.Ленского, Р.А.Васина, А.С.Кравчука, Дао Зуй Бика,
B.И.Малого, В.Г.Зубчанинова, Ю.Н.Шевченко [17, 47, 85, 105, 106, 134, 137, 145, 202] и других происходило дальнейшее развитие теории упругопластических процессов при сложном нагружении. На этом этапе
А.А.Ильюшиным в 1971 г. была выдвинута гипотеза компланарности для связи между напряжениями и деформациями [119]
Ï^SijIN + iXIP-M^àSijIa, (1.2.1)
или, в разрешенном относительно StJ виде,
S^Nà'j+^P-NjzsSu/a, (1.2.2)
где Э/у, S/j - компоненты девиаторов деформаций и напряжений, а —
модуль девиатора напряжений, s - длина дуги траектории деформации, т = cos «9t, «9j - угол сближения в процессе упругопластического деформирования (угол между вектором напряжения и вектором скорости деформации) в девиаторном изображающем пространстве А.А.Ильюшина. Точкой обозначено дифференцирование по параметру прослеживания процесса (обобщенному времени). Функционалы процесса Р и N конкретизируются исходя га экспериментальных исследований и аппроксимируются функциями, достоверными для реализуемых траекторий нагружения и деформации.
В 1975 г. В.Г.Зубчаиинов выдвинул теорию пластичности для траекторий малого кручения и произвольной кривизны, из которой гипотеза компланарности следовала как частный случай. Опыты с траекториями малого
17
кручения и средней кривизны показали, что теория малого кручения и гипотеза компланарности дают близкие друг к другу результаты. В то же время, как показал В.Г.Зубчанинов [77, 80, 81, 85, 89, 90, 93, 105, 106], гипотеза компланарности обобщает практически все частные теории пластичности, разработанные в первой половине 20 века, включая теории типа течения с изотропным упрочнением. Экспериментальная проверка, выполненная Р.А.Васиным [17], B.C.Ленским [137, 138], В.Г.Зубчаниновым [90, 105, 106] и др., показала, что гипотеза компланарности вполне удовлетворительно описывает процессы упругопластического деформирования для траекторий малой и средней кривизны.
Выполненные в лаборатории механических испытаний Тверского государственного технического университета в 1970-е годы экспериментальные исследования по выпучиванию пластин и оболочек позволили установить, что траектории деформирования для них являются траекториями малой и средней кривизны [67, 74, 80].
В связи с этим, В.Г.Зубчаниновым на основе гипотезы компланарности была построена теория устойчивости оболочек и пластин при сложном нагружении за пределом упругости [80, 85, 89, 105, 106]. Впервые эта теория была доложена в 1983 г. в Перми на VIII Всесоюзной конференции по прочности и пластичности, а подробно опубликована в материалах И Всесоюзного симпозиума «Устойчивость и пластичность в мехашпее деформируемого твердого тела» (Тверь, 1986 г.).
В 1999 г. соотношения гипотезы компланарности были обобщены
В.Г.Зубчаниновым на случай учета деформаций ползучести при сложном нагружении [103, 105, 106, 107]. Полные деформации представляются в виде суммы уиругопластических и вязких (creep)
Эу-Эу + Э". (1.2.3)
Для связи деформаций и напряжений используются соотношения вида (1.2.1)
3°=SylN + (UP-\IN)6Syfcr, (1.2.4)
Э" = Su IN" + (1 IP" - MN")6Sy /ст, (1.2.5)
где Ру N - функционалы процесса упругопластического деформирования,
Pcr, Ncr - функционалы процесса ползучести.
Для функционалов процесса выполняются равенства
d = Ps0 r0 = Р"Гтсг = (PP°r /(P+Pcr))sty (1.2.6)
где х — cos i9j, r0 = o.os3\, xcr = cos ; 9X - угол сближения в процессе вязкопластического деформирования (угол между вектором напряжения и вектором скорости полной деформации в изображающем девиаторном пространстве А.А.Ильюшина); Э\ - угол сближения в процессе упругопластического деформирования (угол между вектором напряжения и век-
18
тором скорости упругопластической деформации); &£* - угол сближения в процессе ползучести (угол между вектором напряжения и вектором скорости деформации ползучести).
Элементарная мощность процесса деформирования представляется в виде
A = Sij3ij=(TST, (1.2.7)
что на основании (1.2.3) дает соотношение
zs = T0s0 + Tcrscr. (1.2.8)
Из (1.2.6), (1.2.8) следует
/Vo Kst) = Р[ 1 - scrxcr /(st)), (1.2.9)
где
sr=SIJ3l]/cr, s" г" = Sj3‘jr /cr, * = i" = p"3" , (1.2.10)
scr является функционалом процесса (по повторяющимся индексам — суммирование).
При Ncr ->со, Pcr = &/scr, из (1.2.5) следуют соотношения теории ползучести типа течения
Э"=scrStJ/a. (1.2.11)
В этом случае = 0, тсг =1, и определяющие соотношения гипотезы компланарности вместо (1.2.1), (1.2.2) принимают вид
3iJ = SijlN+[(\IP-\IH)&+scr]SIJla, (1.2.12)
5(/ = Ю(/+[(/,-А^)г5-Р5сл]5/у/ог. (1.2.13)
Для решения проблемы описания функционалов процесса Р, jV, scr физически достоверными аппроксимирующими функциями А.А.Илыошиным в 1971 г. был предложен метод СН-ЭВМ [118]. В этом методе выбор аппроксимирующих функций выполняется по способу последовательных приближений. В начальном приближении задается некоторый частный вид функций, например, по какой-либо из существующих теорий пластичности. В результате решения краевой задачи определяется совокупность траекторий напряжений и деформаций во всех точках тела. Эти траектории группируются по классам. Для каждого класса траекторий деформаций проводятся эксперименты на испытательной машине, реализующей сложное нагружение по заданной траектории (машина СН). В результате получаются экспериментальные траектории напряжений. Сопоставление расчетных траекторий напряжений с экспериментальными для одних и тех же траекторий деформации позволяет уточнить вид аппроксимирующих функций. Далее вновь решается краевая задача с уточненными функциями процесса и находятся новые траектории напряжений и деформаций. Приближения повторяются до тех пор, пока расчетные и экспери-
19
ментальные траектории не совпадут между собой с требуемой точностью. При экспериментах в пространстве напряжений процесс последовательных приближений организуется аналогично.
Большое количество накопленных экспериментальных данных (например [17, 43, 90, 92, 149]) облегчает решение этой проблемы, поскольку во многих случаях вместо проведения опытов на машине СН можно использовать имеющиеся данные. В.Г.Зубчаниновым предложены аппроксимирующие функции [80, 85,90, 96, 100, 105, 106]
Р = 2С7* + (2(7 - 2а*)((1 - соя Эх)/2)р,
= 2С, + (2а - 2ад(1 - СОБ Эх)/гу, (1.2.14)
где а, а,, а* - упругий, пластический (секущий) и касательный модули сдвига
Функции (1.2.14) при р- 4 и <7 = 0,3 физически достоверно описывают процессы упругопластического деформирования углеродистой стали [90, 105], поэтому они используются как основной расчетный вариант.