2
Работа выполнена в Сибирском государственном технологическом университете
з
Оглавление
Введение 5
Глава I. Общие сведения по изгибу и колебаниям стержней и теории тонких оболочек 8
1. Устойчивость стержневых систем 8
1.1. Система координат 10
1.2. Уравнение равновесия стержня 11
1.3. Уравнение равновесия стержня в касательной системе координат 14
2. Устойчивость тонких пластин и оболочек 16
2.1. Уравнение сильного изгиба тонкой пластины в декартовых координатах 20
2.2. Векторное уравнение изгиба пластины в цилиндрических координатах 25
3. Колебания нагруженных стержней 30
Выводы 32
Глава II. Систематизация решений в параметрическом виде для нелинейного изгиба стержней 33
1. Общее решение задачи об изгибе стержня 33
2. Изгиб стержня с защемленным концом и другим свободным концом иод действием нагрузки под произвольным > глом 35
3. Изгиб стержня с защемленным концом и другим свободным концом под действием поперечной силы 37
4. Изгиб стержня с защемленным концом и другим свободным концом под действием продольного сжатия 42
5. Изгиб стержня как аналогия перемагничивания магнитной системы 45
6. Изгиб стержня с обоими защемленными концами под действием продольного сжатия 46
7. Изгиб стержня с обоими шарнирно закрепленными концами под действием продольного сжатия 47
8. Сводная таблица решений и описание интерактивной программы демонстрации аналитических решений для изгибов стержней 49
Выводы 52
4
Глава III. Решение уравнения равновесия для круговой пластины 53
1. Устойчивость круговой пластины под действием радиального сжатия 53
1.1. Задача о пластине с защемленными краями 54
1.2. Задача о пластине с закрепленными краями 57
2. Специальные функции. Система обозначений 58
2.1. «Эллиптический интеграл Бесселя» 58
2.2. «Эллиптическая амплитуда Бесселя» 59
2.3. «Эллиптический синус Бесселя» 60
3. Формы прогиба пластины. Пороги внешней нагрузки. 61
3.1. Представление решений с помощью введенных специальных функций 61
3.2. Спектр внешней нагрузки и профили пластины 63
Выводы 69
Глава IV. Колебания нагруженных стержней после потери устойчивости 70
1. Общее уравнение движения стержня 70
2. Колебания консоли в нагруженном состоянии 71
2.1. Определение частоты собственных колебаний нагруженного стержня 71
2.2. Частоты колебаний при продольной нагрузке 77
2.3. Частоты колебаний при поперечной нагрузке 79
3. Аналогия с магнитными колебаниями в ферромагнитном слое 80
Выводы 82
Заключение 83
Библиографический список литературы 85
Приложения 90
1. Общие сведения из геометрии поверхностей 90
2. Интерактивная про!рамма демонстрации аналитических решений для изгибов стержней 106
3. Программа расчета специальных функций 111
4. Решение уравнения изгиба стержня типа уравнения нелинейного маятника 114
5
Введение
В авиационной, ракетной, кораблестроительной и других областях промышленности всегда большое внимание привлекают проблемы устойчивости и колебаний конструкций: оболочек, мембран, стержневых систем и т.д. Особое значение имеет задача о поведении конструкций под действием быстро меняющихся во времени и собственно ударных нагрузок, поскольку ударные разрушения относятся к наиболее тяжким последствиям природных и техногенных катастроф. Поэтому изучение ударных, или динамических нагрузок всегда является объектом пристального внимания исследователей, особенно после появления основополагающей работы М.А. Лаврентьева и АЛО. Ишлинского [1].
Такие задачи о поведении конструкций крайне важны как в теоретическом, так и практическом отношении, однако точные решения их получить весьма сложно. Подобные задачи очень часто решаются приближенными или численными методами, и только небольшое число задач удалось решить аналитически.
В последние годы в работах 10.В. Захарова [2-4] была найдена аналогия между задачей о перемагничивании магнитного слоя с несимметричными граничными условиями и задачей Эйлера об устойчивости упругого стержня. Для магнитной системы была найдена последовательность пороговых полей потери устойчивости ферромагнитного слоя как аналогия исследованной М.А. Лаврентьевым и АЛО. Ишлинским [1] динамической потери устойчивости упругой системы.
Найденная аналогия помогла получить ряд аналитических результатов для описания устойчивости магнитных и упругих систем. Так, для упругих систем были найдены точные решения в эллиптических функциях нелинейного уравнения сильного изгиба упругого стержня-консоли под действием поперечной сосредоточенной нагрузки на свободном конце [5-6].
Полученные теоретические результаты позволяют подойти с новых позиций к анализу более сложных упругих систем, и, в частности, к анализу задач об изгибе тонкой пластины и о колебаниях стержней.
6
Интересно не только само явление потери устойчивости конструкций, но и их закритическое поведение. Всякие попытки точно решать сложные проблемы устойчивости и механики сплошных сред приводят к необходимости получения и решения соответствующих, как правило, нелинейных уравнений, т.е. требуют развития математического аппарата.
Задача об изгибе стержня является одним из вопросов расчета конструкций. Как правило, такие задачи решаются на базе приближенных линеаризованных уравнений равновесия для изогнутых стержней, приводящих к решениям в виде полиномов. Чаще всего используются именно эти решения. Вместе с тем имеются для некоторых случаев точные решения нелинейных уравнений, выраженные в квадратурах [7-10], или в эллиптических интегралах [12-13]. В последнем случае решения определяются тремя параметрами, связанными с условиями на двух концах и действующей силой и находящихся из вспомогательных таблиц и номограмм. Все эти решения имеют громоздкий вид и труднодоступны для инженеров-практиков, поэтому до последнего времени решались задачи получения приближенных выражений даже для таких стандартных характеристик, как максимальный прогиб стержня [16]. Вместе с тем, в последнее время есть определенный прогресс в получении точных решений, выраженных через эллиптические функции с единственным параметром - модулем к, определяемым действующей силой. В настоящее время известны достаточно эффективные, быстрые алгоритмы для вычисления эллиптических функций и интегралов, что позволяет создать эффективный пакет прикладных программ визуализации точных решений для изгиба тонких стержней. В наши дни, когда перед конструкторами стоят задачи миниатюризации спутников, это имеет ясно выраженное прикладное инженерное значение при расчете устройств точной механики в условиях ограниченных габаритов, поскольку точные решения в ряде случаев значительно отличаются от приближенных. Например, прогиб в приближенном решении оказывается в некоторых случаях в два раза больше прогиба в точном. Поэтому сравнение точных решений с приближенными может позволить найти те области параметров, где целесообразно использовать точное или возможно использовать приближенное
7
решение. Это может позволить выбрать оптимальные характеристики создаваемых устройств в точной механике.
Задачи об изгибе оболочек и пластин при достаточной ясности и проработанности для линейных случаев существенно усложняются при переходе к рассмотрению сильных изгибов, г.е. к нелинейному случаю. Вместе с тем изучение закритического поведения оболочек и пластин обязательно приводит к рассмотрению нелинейных задач различной степени сложности.
Не будут исключением и задачи, которые являются целью этой диссертационной работы:
исследование устойчивости упругих стержней и пластин под действием внешней нагрузки в геометрически нелинейном случае, нахождение порогов устойчивости и соответствующих им форм выпучивания, исследование колебаний упругих стержней после потери ими устойчивости.
8
Глава I. Общие сведения по изгибу стержней и теории тонких оболочек
В этой главе приводится обзор сведений об изгибе только двух типов систем -стержней и пластин. Эти два модельных объекта лежат в основе теории устойчивости конструкций.
1. Устойчивость стержневых систем
Классическим эффектом в этой области является Эйлерова неустойчивость по отношению к изгибу стержня конечной длины [7]. Для упругих стержней спектры порогов потери устойчивости и соответствующие им формы стержней, находящихся под действием силы при различных граничных условиях, хорошо изучены теоретически в основном для малых изгибов. Экспериментальные проверки проводились обычно при постепенном увеличении силы, и потеря устойчивости происходила при первом пороговом значении силы, при Эйлеровой силе. Но к 1949 г. М.А. Лаврентьев и А.Ю. Ишлинский [1], изучая действие взрыва на стержень, показали, что в этих условиях потеря устойчивости происходит при следующих, более высоких порогах. Когда к стержню мгновенно прикладывается нагрузка Р, в п раз превышающая критическую Эйлерову силу Рс, то стержень изгибается с числом полуволн, соответствующим отношению Р1РС, а затем разламывается на то же число кусков.
М.А. Лаврентьев и А.Ю. Ишлинский назвали потерю устойчивости при постепенном увеличении нагрузки до Эйлеровой силы статической потерей устойчивости, а потерю устойчивости при взрывной нагрузке при высоких порогах -динамической потерей устойчивости. Термин динамическая устойчивость в литературе часто связывают с поведением конструкций под действием периодической силы. В дальнейшем мы будем применять этот термин в более общей трактовке, распространяя его на случай импульсивного приложения нагрузки.
Динамические Эйлеровы неустойчивости, возникающие при ударных нагрузках на упругие системы и приводящие к разрушениям, активно изучались около пятидесяти последних лет. При этом изучалось в основном воздействие вдоль
9
оси системы, вдоль балки, оболочки и т.п. [7-11]. Влияние поперечной нагрузки на динамическую потерю устойчивости изучалось недостаточно.
Задача о сильном изгибе тонкого стержня при продольном нагружении была рассмотрена и точно решена для произвольно больших прогибов во многих работах, например, в [10-13]. Но в этих работах было получено решение для функции прогиба через квадратуры - эллиптические интегралы.
Для конечных отклонений от положения равновесия уравнение продольного изгиба стержня становится нелинейным. Его решение после приведения к виду уравнения для нелинейного маятника для угла между касательной к стержню и осью ОХ было получено в 1938 г. в диссертации X. Хайнзерлинга ([14], см. также [15]). Решение в окрестности первого, статического порога было найдено в эллиптических функциях. Это решение для изгиба упругого стержня точно совпадает с решением [42-47] для распределения намагниченности при перемагничивании фсрр< магнитного слоя вдоль направления анизотропии. В работах [5, 6] было получено аналогичное решение для изгиба стержней через эллиптические функции Якоби. Выражения для всех порогов в линейном и нелинейном случаях для упругой и магнитной систем совпадают.
Таким образом, для продольного случая проведено подробное рассмотрение, т.е. решены нелинейные уравнения и найдены статические и динамические пороги потери устойчивости для упругого стержня и магнитного слоя. Аналогичные результаты были получены в последнее время в работах [17-20].
Для поперечного случая такое подробное рассмотрение проведено для магнитной системы. Для упругого стержня рассматривалась в различных приближениях только форма при статической нагрузке. В наиболее подробной монографии Е.П. Попова [12] были рассмотрены возможные формы устойчивости консоли как отрезки кривых - эластик Эйлера. В этом случае решения [12] определяются тремя параметрами, связанными с условиями на двух концах и действующей силой и находящихся из вспомогательных таблиц и номограмм.
В работе Е.П. Попова [13] приводится подробное исследование, произведенное Ж. Альфаном [21, 22], для задачи о стержне под воздействием распределенной поперечной нагрузки. Было получено общее решение для прогиба в параметрическом виде через эллиптические функции Вейсрштрасса [53-55], не развитие
- Київ+380960830922