2
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ......................................................7
ГЛАВА 1. ОБЗОР ОСНОВНЫХ ПОДХОДОВ, МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ И МЕТОДОВ РАСЧЕТА В ИССЛЕДОВАНИЯХ ОБОЛОЧЕК СТУПЕНЧАТО-ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ 17
ГЛАВА 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ
УПРУГИХ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК СТУПЕНЧАТОПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ....................................34
2.1. Основные соотношения для пологих оболочек ступенчато-переменной толщины при конечных прогибах........34
2.2. Два варианта краевых задач для пологих оболочек ступенчато-переменной толщины .............................39
2.2.1. Модель Кирхгофа-Лява..............................39
2.2.2. Модель Тимошенко-Рейснера.........................48
2.3. Уравнения равновесия для оболочек, подкрепленных
узкими ребрами...........................................55
2.4. Уравнения в смешанной форме для оболочек ступенчато-переменной толщины.........................59
2.5. Выводы.................................................62
ГЛАВА 3. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ УСТОЙЧИВОСТИ ДДЯ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК СТУПЕНЧАТОПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ............................................63
3.1. Уравнения равновесия в перемещениях и безразмерной
форме для пологих оболочек ступенчато-переменной толщины.63
3.2. Использование метода последовательных нагружений для линеаризации исходной нелинейной краевой задачи................71
3.3. Применение метода Бубнова-Галеркина для сведения линейной краевой задачи к системам линейных алгебраических уравнений 73
3
3.4. Применение метода Бубнова-Галеркина для сведения краевой задачи в форме дифференциальных уравнений к системам нелинейных алгебраических уравнений......................77
3.5. Линеаризация систем нелинейных алгебраических уравнений методом последовательных нагружений...........................80
3.6. Обоснование точности и достоверности методики решения краевых задач для уравнений равновесия оболочек ступенчатопеременной толщины.......................................84
3.7. Выводы...................................................94
ГЛАВА 4. МЕТОД КОНСТРУКТИВНОЙ АНИЗОТРОПИИ
ДЛЯ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК СТУПЕНЧАТО-ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ..............................................95
4.1. Схема метода конструктивной анизотропии, учитывающая сдвиговую и крутильную жесткость перекрестной системы ребер...............................95
4.2. Уравнения равновесия оболочек ступенчато-переменной толщины при «размазывании» жесткостных характеристик
ребер (модель Кирхгофа-Лява).............................101
4.3. Уравнения метода конструктивной анизотропии
в смешанной форме.........................................104
4.4. Обоснование эффективности предлагаемой схемы МКА........105
4.5. Критерий применимости предлагаемой схемы
метода конструктивной анизотропии.........................107
4.6. Выводы..................................................108
ГЛАВА 5. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОГИХ
ОБОЛОЧЕК, ОСЛАБЛЕННЫХ ВЫРЕЗАМИ........................109
5.1. Устойчивость оболочек, ослабленных локально расположенными сквозными вырезами.......................109
5.2. Устойчивость перфорированных оболочек...................113
4
5.3. Устойчивость оболочек, ослабленных несквозными вырезами 114
5.4. Оболочки, ослабленные внутренними вырезами, как вариант трехслойной оболочки с дискретным внутренним слоем.....116
5.5. Обоснование эффективности предлагаемой модели трехслойных оболочек с дискретным внутренним слоем.................118
5.6. Некоторые обоснования достоверности расчетов оболочек, ослабленных вырезами...................................120
5.7. Выводы...................................................121
ГЛАВА 6. ВАРИАЦИОННО-ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ МЕТОД......................122
6.1. Основные положения вариационно-параметрического метода 122
6.2. Полная энергия деформации пологих оболочек ступенчатопеременной толщины.....................................123
6.3. Применение метода Ритца для получения нелинейной системы алгебраических уравнений...............................126
6.4. Нелинейная система алгебраических уравнений в случае размазывания жесткостных характеристик ребер...........129
6.5. Нелинейная система алгебраических уравнений для модели Тимошенко-Рейснера.....................................133
6.6. Метод продолжения решения по параметру...................134
6.7. Линеаризация систем алгебраических уравнений на основе
метода продолжения решения по параметру...................137
6.8. Методика расчета оболочек
ступенчато-переменной толщины.............................145
6.9. Реализация вычислительного эксперимента на основе вариационно-параметрического метода ..................149
6.10. Выводы..................................................150
ГЛАВА 7. ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ И УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОГИХ РЕБРИСТЫХ ОБОЛОЧЕК.............................................152
5
7.1. Влияние учета сдвиговой и крутильной жесткости ребер на напряженно-деформированное состояние
и устойчивость ребристых оболочек...........................152
7.2. Влияние поперечных сдвигов на расчет напряженно-деформированного состояния и
устойчивость ребристых оболочек.............................154
7.3. Исследование НДС и устойчивости ребристых оболочек........158
7.4. Местная и общая потеря устойчивости.......................163
7.5. Характер распределения усилий и напряжений в оболочках ступенчато-переменной толщины..............................167
7.6. Применение критерия Мизеса для анализа появления пластических деформаций....................................175
7.7. Расчет НДС оболочек с использованием вычислительных схем метода последовательного наращивания ребер,
метода последовательного изменения кривизны.................178
7.8. Схема метода покоординатного спуска для выбора рациональных параметров оболочки
(жесткости ребер, кривизны).................................185
7.9. Выводы....................................................190
ГЛАВА 8. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТРЕХСЛОЙНЫХ
ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК С ДИСКРЕТНЫМ ВНУТРЕННИМ СЛОЕМ И ИХ ИССЛЕДОВАНИЕ ВАРИАЦИОННОПАРАМЕТРИЧЕСКИМ МЕТОДОМ................................200
8.1. Модель трехслойной оболочки, учитывающая поперечные сдвиги, различные в каждом слое....................................200
8.2. Вариационно-параметрический метод исследования трехслойных пологих оболочек с дискретным внутренним слоем.............205
6
8.3. Исследование устойчивости трехслойных пологих оболочек в зависимости от
жесткости внутреннего дискретного слоя...................207
8.4. Модель трехслойной оболочки с дискретным внутренним слоем
с учетом различия в прогибах внешних слоев...............211
8.5. Выводы.................................................212
ГЛАВА 9. ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ
НЕПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК СТУПЕНЧАТО-ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ..............................................213
9.1. Основные соотношения для непологих оболочек ступенчатопеременной толщины при конечных прогибах...............213
9.2. Вариационно-параметрический метод расчета
непологих оболочек ступенчато- переменной толщины........216
9.3. Панели оболочек вращения...............................220
9.4. Вариационно-параметрический метод для замкнутых цилиндрических оболочек ступенчато-переменной толщины..221
9.5. Расчет панели ребристой цилиндрической оболочки
при действии сосредоточенного момента....................227
9.6. Исследование устойчивости замкнутых цилиндрических оболочек при действии полосовой нагрузки........................229
9.7. Выводы.................................................230
ЗАКЛЮЧЕНИЕ....................................................231
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ................235
ПРИЛОЖЕНИЯ....................................................256
7
ВВЕДЕНИЕ
Тонкостенные обол очечные конструкции, усиленные ребрами, накладками и вставками или же ослабленные вырезами или перфорацией, относятся к одному из самых распространенных классов комбинированных конструкций, применяемых в самых различных областях современной техники. Работающие, благодаря своей криволинейной форме, как пространственные элементы такие оболочечные конструкции позволяют наиболее рационально распределить материал в сооружении и использовать его прочностные свойства при удовлетворении условий прочности и устойчивости.
Однако большие возможности применения тонкостенных оболочечных конструкций сдерживаются трудностями их расчета и проектирования. Определение напряженно-деформированного состояния таких оболочек как систем с усложненной внутренней структурой вызывает не только вычислительные, но и принципиальные затруднения. Их разрешение на основе разработки новых модельных представлений и подходов, совершенствования методов расчета и реализующих их алгоритмов является одной из самых актуальных проблем механики деформируемого твердого тела и представляет несомненных практический интерес.
Все исследования в области теории и методов расчета тонкостенных оболочечных конструкций можно условно отнести к одному из двух основных направлений: исследования, основанные на континуальной расчетной модели (аналитические и полуаналитические методы), и исследования, основанные на дискретной расчетной модели (численные методы).
Оба эти направления, развиваясь и совершенствуясь, взаимно дополняют и обогащают друг друга.
В настоящее время создана достаточно совершенная теория оболочек, в развитие которой значительный вклад внесли отечественные ученые [1-3, 15, 26, 30, 33,22, 37, 43-46, 107, 108, 128, 129, 173, 181, 137-139, 54, 111, 133, 134,135, 140, 174].
8
Однако практическое применение разрешающих уравнений теории оболочек остается весьма затруднительным ввиду их сложности [70, 72, 182, 131, 132, 34], поэтому для решения прикладных задач используются упрощенные математические методы и приближенные методы расчета [75, 175, 176, 180].
С возникновением и развитием электронной вычислительной техники шло бурное развитие и применение численных методов расчета [4-5, 12-14, 19,47,49, 50,56, 57, 67, 125, 140- 146, 167, 168].
Самыми популярными на сегодняшний день численными методами, используемыми при расчете оболочек являются метод конечных элементов (МКЭ) и метод суперэлементов (МСЭ) [56, 197, 57, 104, 114, 120, 130, 140- 146, 143, 155, 156, 157, 161,159,165, 166, 179, 188, 126,112].
Несмотря на большие возможности мощных вычислительных комплексов, реализующих эти методы, применение их для сложных конструкций также сталкивается с рядом проблем. При неизбежно большом числе узлов конечно-элементной сетки возникают технические трудности, связанные со значительными затратами машинного времени, и математические затруднения, обусловленные необходимостью решения обширных систем алгебраических уравнений.
Эти обстоятельства привели к разработке иерархических подходов к расчету сложных конструкций типа метода подконструкций и других, позволяющих на каждом этапе расчета иметь дело с фрагментами конструкции, имеющими сравнительно небольшое число степеней свободы.
Каждый такой фрагмент требует предварительного расчета, который может быть выполнен только на основе исследований в области аналитических и полуаналитических решений для плоских или объемных конструкций как фрагментов более сложных конструкций.
На сегодняшний день существует практически общепринятая точка зрения, что только дальнейшее развитие и совершенствование аналитических
9
и полуаналитических методов обеспечивает дальнейший прогресс в развитии численных методов. Поэтому задача дальнейшего развития теории линейного и нелинейного деформирования тонкостенных оболочечных конструкций ступенчато-переменной толщины является, несомненно, весьма актуальной и представляет как теоретический, так и практический интерес.
Целью диссертационной работы является:
- дальнейшее развитие и совершенствование теории оболочек ступенчато-переменной толщины с учетом геометрической нелинейности и разработка новых математических моделей этих оболочек;
- разработка более эффективных методов комплексных исследований оболочечных конструкций ступенчато-переменной толщины;
- исследование конкретных оболочечных конструкций ступенчатопеременной толщины.
Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:
- разработаны более совершенные математические модели пологих оболочек ступенчато-переменной толщины, для чего получены уравнения в смешанной форме, уравнения равновесия с учетом поперечных сдвигов, разработана новая схема метода конструктивной анизотропии и модель оболочки с вырезами, в том числе с внутренними (модель трехслойной оболочки с дискретным внутренним слоем);
- исследована местная и общая потеря устойчивости ребристых оболочек, оболочек с вырезами;
- разработан вариационно-параметрический метод (ВПМ), позволяющий проводить комплексные расчеты самых различных оболочечных конструкций ступенчато-переменной толщины;
- разработан метод последовательного наращивания ребер (МПНР), позволяющий находить НДС конструкции, находящейся под действием заданной нагрузки при локальном изменении ее жесткости;
10
- разработан метод последовательного изменения кривизны (МПИК), позволяющий находить НДС конструкции, находящейся под действием заданной нагрузки, при изменении ее кривизны;
- разработана на базе МПН, МПНР и МПИК схема метода покоординатного спуска, позволяющая проводить выбор рациональных параметров конструкции при заданном виде нагрузки и ограничениях на НДС конструкции;
- разработана нелинейная модель трехслойных пологих оболочек с дискретным внутренним слоем с учетом поперечных сдвигов, разных в каждом слое, при конечных прогибах;
- разработана нелинейная модель непологих оболочек ступенчатопеременной толщины при конечных прогибах;
- на основе ВПМ разработан алгоритм расчета трехслойных пологих оболочек с дискретным внутренним слоем и непологих оболочек ступенчатопеременной толщины;
- проведены исследования конкретных оболочечных конструкций ступенчато-переменной толщины с различными параметрами.
Практическая значимость диссертационной работы заключается в разработке математического и программного обеспечения комплексных расчетов (устойчивость, подбор рациональных параметров) пологих оболочек ступенчато-переменной толщины, трехслойных пологих оболочек с дискрстшлм внутренним слоем, непологих оболочек ступенчато-переменной толщины, которое может найти применение в проектных и конструкторских организациях при проектировании облегченных высокопрочных конструкций в авиастроении, судостроении, машиностроении, строительстве. Результаты работы нашли внедрение в АО «Саратовский авиационный завод», Институте проблем точной механики и управления РАН. Они используются также в учебном процессе Волгоградской государственной архитектурно-строительной академии в курсах "Теория оболочек" и "Численные методы" для магистров
11
(направление "Строительство") и аспирантов, обучающихся по техническим специальностям.
Основные научные положения, выносимые на защиту:
1. Математические модели:
- дальнейшее развитие геометрически нелинейных моделей пологих оболочек ступенчато-переменной толщины;
- геометрически нелинейная модель трехслойной пологой оболочки с дискретным внутренним слоем;
- геометрически нелинейная модель непологой оболочки ступенчатопеременной толщины.
2. Методы и методики:
~ вариационно-параметрический метод;
- метод последовательного наращивания ребер;
- метод последовательного изменения кривизны;
- методика выбора рациональных параметров конструкции, основанная на вариационно-параметрическом методе.
3. Результаты исследований конкретных оболочечных конструкций:
- исследование влияния различных факторов на НДС и устойчивость ребристых оболочек и оболочек, ослабленных вырезами;
- исследования на основе вариационно-параметрического метода устойчивости пологих оболочек ступенчато-переменной толщины и выбора их рациональных параметров;
- исследования на основе вариационно-параметрического метода устойчивости трехслойных пологих оболочек с дискретным внутренним слоем и непологих оболочек ступенчато-переменной толщины.
Достоверность научных положений обеспечивается корректной математической постановкой задач, выводом уравнений равновесия на основе вариационного метода, сравнением результатов решения тестовых примеров, полученных с помощью разработанных методов, с результатами других ав-
12
торов. Достоверность результатов была проведена также независимо от автора по месту внедрения разработанных программ.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на 52-57 научных конференциях Санкт-Петербургского государственного архитектурно-строительного университета (С.-Пб, 1994 - 2000г.); на семинаре секции строительной механики и сопротивления материалов Санкт-Петербургского Дома ученых РАН (С.-Пб, сентябрь 1994г.); на III и IV международной конференции “Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте” (С.-Пб, январь 1995г. и июнь 1999г.); на 2-й летней международной школе по проблемам механики сплошной среды (Саратов, июнь 1996г.); на XVIII международной конференции по теории оболочек и пластин (Саратов, июнь 1997г.).
Полностью работа докладывалась на научном семинаре кафедры прикладной математики и информатики Санкт-Петербургского государственного архитектурно-строительного университета под руководством д.ф.-м.н., проф. Б.Г. Вагера (С.-Пб, октября 2000г.); на научном семинаре кафедры Прочности материалов и конструкций Петербургского государственного университета путей сообщения под руководством д.т.н., проф. В.З. Васильева (С.-Пб, ноябрь 2000г.); на научном семинаре кафедры Сопротивления материалов Санкт-Петербургского государственного морского технического университета под руководством д.т.н., проф. С.В. Сорокина (С.-Пб, октябрь 2000г.); на научном семинаре кафедры Строительной механики Волгоградской государственной архитектурно-строительной академии под руководством д.т.н., проф. В.А. Игнатьева (Волгоград, май 2001г.).
В качестве апробации работы можно рассматривать также шесть выполненных под руководством автора и защищенных кандидатских диссертаций (A.C. Филиппов, В.А. Юлин, М.Ю. Вахрушева, О.В. Рыбакова,
А.Ю. Сальников, Д.С. Филиппов).
13
Публикации. По результатам диссертационной работы опубликовано 23 печатные работы, в том числе одна монография.
Структура и объем диссертации. Текст диссертации изложен на 248 страницах, состоит из введения, девяти глав, заключения, списка литературы из 208 наименований и содержит 55 рисунка, 5 таблиц. Приложения приведены на 121 странице.
Содержание работы:
Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, сформулированы цель и задачи исследования, положения, выносимые на защиту, практическая ценность работы и краткий анализ работ по теме диссертации.
В первой главе описаны и проанализированы основные подходы, математические модели и методы расчета в задачах исследования напряженно-деформированного состояния тонкостенных оболочечных конструкций ступенчато-переменной толщины.
Во второй главе рассматривается модель пологой оболочки ступенчато-переменной толщины (ребра, накладки, вырезы). Выводятся уравнения равновесия для модели Кирхгофа-Лява и Тимошенко-Рейснера. Доказывается, что краевые условия на боковой поверхности ребер и краях вырезов (свободный край) входят в уравнения равновесия и выполняется автоматически. Точность их выполнения зависит от точности решения краевой задачи для уравнений равновесия. В полученных уравнениях равновесия учитывается дискретное расположение ребер (вырезов), их ширина, сдвиговая и крутильная жесткость ребер, жесткое соединение ребер в местах пересечения, поперечные сдвиги. Для оболочек с вырезами получена краевая задача для односвязной области. Как частный случай получены уравнения для оболочек подкрепленных узкими ребрами (задаваемыми с помощью дельта-функции). Получены уравнения в смешанной форме.
В третьей главе рассматривается методика решения задач для пологих оболочек ступенчато-переменной толщины, основанная на применения мето-
14
да последовательных нагружений (МПН) и метода Бубнова-Галеркина для сведения нелинейной краевой задачи (в виде системы дифференциальных уравнений в частных производных) к последовательному решению системы линейных алгебраических уравнений. Получены системы линейных алгебраических уравнений для произвольного этапа нагружения для моделей Кирхгофа-Лява и Тимошенко-Рейснера. Приводится обоснование точности и достоверности результатов, полученных по разработанной методике.
В четвертой главе рассмотрен метод конструктивной анизотропии (МКА) для оболочек вафельного типа и перфорированных оболочек, позволяющий выполнять расчеты с учетом сдвиговой и крутильной жесткостей ребер. Получены уравнения МКА в перемещениях и в смешанной форме. Проведено обоснование эффективности предлагаемой схемы МКА по сравнению с другими известными схемами. Выведен критерий применимости МКА для ребристых оболочек.
В пятой главе рассмотрена устойчивость оболочек, ослабленных как сквозными, так и не сквозными вырезами. Рассмотрена устойчивость перфорированных оболочек, в том числе, подкрепленными ребрами. Рассмотрены также оболочки, ослабленные внутренними вырезами, как вариант трехслойной оболочки с дискретным внутренним слоем. Показана эффективность таких оболочек по сравнению с равновеликими по объему ребристыми оболочками. Проведено исследование устойчивости таких оболочек. Приводятся результаты исследования и их сравнение с результатами других авторов.
В шестой главе рассматривается вариационно-параметрический метод (ВПМ) комплексных расчетов оболочек ступенчато-переменной толщины (устойчивость, выбор рациональных параметров). Основная идея ВПМ заключается в применении метода Ритца к функционалу полной энергии деформации пологой оболочки ступенчато-переменной толщины для получения разрешающей системы нелинейных алгебраических уравнений. Для линеаризации полученной системы применяется »метод продолжения реше-
15
ния по параметру (нагрузки, жесткости ребер, кривизны). В результате получается система линейных алгебраических уравнений, имеющая разные правые части в зависимости от того, вдоль какого параметра ищется решение.
На основе ВПМ разработаны метод последовательного наращивания ребер (МПНР), который позволяет находить поправки к НДС пологих оболочек ступенчато-переменной толщины при локальном увеличении или уменьшении жесткости оболочки, и метод последовательного изменения кривизны (МПИК), который позволяет находить поправки к НДС оболочек при изменении их кривизны. Для МПНР и МПИК получены уравнения в перемещениях и в смешанной форме для моделей Кирхгофа-Лява и Тимошенко-Рейснера, а также уравнения МКА. Приводится обоснование сходимости и точности решения по МПНР и МПИК, а так же обосновываются пределы их применимости.
Разработана расчетная схема метода покоординатного спуска, использующая возможность смены параметров в ходе расчетов для нахождения рациональных параметров оболочки (жесткости ребер, кривизны) при заданных ограничениях на ее НДС для заданного уровня внешней нагрузки.
Проведено обоснование сходимости и точности решений, получаемых с использованием ВПМ. Описана программная система, реализующая алгоритм ВПМ и методика обхода критических точек кривой «нагрузка-прогиб».
В седьмой главе приводятся результаты исследования напряженно-деформированного состояния (НДС) и устойчивости ребристых пологих оболочек. Показано существенное влияние на НДС и устойчивость учета сдвиговой и крутильной жесткости ребер и поперечных сдвигов. Исследована устойчивость ребристых оболочек при различном числе ребер, различной ширине и высоте ребер, различной кривизне оболочек.
Исследован характер распределения напряжений и усилий в обшивке и ребрах. Рассмотрены характерные особенности местной и общей потери устойчивости ребристых оболочек. Для анализа нахождения оболочки в упру-
16
гой зоне при деформировании применяется критерий Мизеса. Для различных материалов оболочки приведен анализ упругих деформаций при потере устойчивости.
В восьмой главе разработана математическая модель трехслойной пологой оболочки с дискретным внутренним слоем с учетом различных в каждом слое поперечных сдвигов (гипотеза ломаной нормали). С использованием ВПМ получена система линейных алгебраических уравнений для произвольного этапа изменения параметра нагрузки. Проведено исследование устойчивости таких оболочек при различной жесткости внутреннего дискретного слоя. Рассмотрена так же модель трехслойной пологой оболочки с дискретным внутренним слоем с учетом различных прогибов внешних слоев.
В девятой главе разработана математическая модель непологой оболочки ступенчато-переменной толщины. На основе ВПМ получена система разрешающих уравнений, учитывающая влияние поперечных сдвигов на НДС конструкции. Как частный случай рассматриваются замкнутые цилиндрические оболочки ступенчато-переменной толщины и панели цилиндрических оболочек. Приводятся результаты расчетов НДС и исследований устойчивости замкнутых ребристых цилиндрических оболочек и панелей цилиндрических оболочек.
В заключении приводятся основные выводы и результаты работы.
В приложения вынесены коэффициенты выведенных уравнений и исходные тексты программ расчета на ЭВМ.
17
ГЛАВА 1. ОБЗОР ОСНОВНЫХ ПОДХОДОВ, МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ И МЕТОДОВ РАСЧЕТА В ИССЛЕДОВАНИЯХ ОБОЛОЧЕК СТУПЕНЧАТО-ПЕРЕМЕННОЙ
ТОЛЩИНЫ
Потребности кораблестроения в начале 20 века и потребности самолетостроения, начиная с 30-х годов 20 века, дали мощный толчок развитию теории пластин и оболочек как в линейной, так и в геометрически нелинейной постановках.
Большой вклад в построение, обоснование и развитие геометрически нелинейной технической теории оболочек внесли С.А. Алексеев, H.A. Алу-мяэ, С.А. Амбарцумян, Л.Н. Балабух, В.В. Болотин, И.Г. Бубнов, В.З. Власов,
A.C. Вольмир, И.И. Ворович, К.З. Галимов, А.Л. Гольденвейзер, Л. Донелл, Х.М. Муштари, М.С. Корнишин, A.B. Кармишии, В.А. Крысько, В.В. Неверов, В.В. Новожилов, П.М. Огибалов, П.Ф. Папкович, В.В. Петров, A.B. По-горелов, P.A. Ржаницын, В.И. Феодосьев и др.
Основы теории ребристых оболочек были заложены еще в 40-х годах в работах В.З. Власова и А.И. Лурье. В их работах заложены два основных подхода к учету дискретности подкрепления в виде ребер. Ребристая оболочка представляется В.З. Власовым как контактная система, состоящая из гладкой оболочки и работающих совместно с ней тонких стержней. А.И. Лурье обшивку и ребра рассматривает как одно целое и для них на основе вариационного принципа получаются уравнения равновесия и граничные условия. Оба считали, что ребра взаимодействуют с обшивкой по линии. В дальнейшем большинство авторов следовало одному из этих двух подходов.
Третий подход к ребристым оболочкам основан на сведении их к кон-структивно-ортотропной схеме, т.е. дискретно-подкрепляющие оболочку ребра заменяются путем их «размазывания» сплошным слоем постоянной толщины и в уравнения равновесия вводятся соответствующие жесткостные
18
коэффициенты, учитывающие увеличение жесткости всей конструкции (метод конструктивной анизотропии).
В конце 60-х годов П.А. Жилиным было предложено рассматривать ребристую оболочку как оболочку ступенчато-переменной толщины. При этом автоматически учитывается, что контакт между обшивкой и ребрами происходит по всей поверхности полосы, а не по линии. Аналогичный подход к ребристой оболочке при решении нелинейных задач применил позже В.В. Карпов.
Современное состояние теории характеризуется работами Абовско-гоН.П., АмироИ.Я., Власова В.З, Грачева O.A., Гребня Е.С., Гречанинова И.П., Григолюка Э.И., Гузя А.Н., Енджиевского Л.В., Жилина П.А., За-руцкогоВ.А., Кантора Б.Я., Карпова В.В., КлимановаВ.И., Корнеева B.C., Лурье А.И., Маневича А.И., Милейковского И.Е., Михайлова Б.К., Немиров-скогоЮ.В., Постнова В.А., Преображенского И.Н., Рассудова В.М., Тере-бушко О.И., Тимашева С.А., Бискова и Хачисона, Фишера С. и Берта С. и др.
Хотя имеется большое число работ по исследованию ребристых оболочек, но, в основном, это работы, касающиеся цилиндрических оболочек, выполненные без учета нелинейных факторов и на основе модели Кирхгофа-Лява (без учета сдвиговых деформаций).
Чаще всего рассматриваются замкнутые цилиндрические оболочки, решение для которых находится в виде рядов. Уравнения пространственной задачи теории упругости для ребристой оболочки в линейной постановке получены в работе [204]. В работах Амиро И.Я. и Заруцкого В.А. [9, 10] даны обзоры состояния исследования ребристых оболочек как при статической постановке, так и в динамической. Следует отметить еще обзор работ в области статики ребристых оболочек, составленный Кантором Б.Я. и др. [73]. К приведенным выше обзорам, на наш взгляд, следует добавить еще работы ученых Красноярского края: Абовского Н.П., Енджиевского Л.В. и др. [1-3, 51,
19
184, 185], а также работы Карпова В.В. [85, 89, 90, 95], кроме того работы Тимашева С.А. [171] и Климанова В.И. [105].
Исследования, как правило, выполняются с использованием для описания НДС обшивки теории упругих тонких оболочек, основанной на гипотезах Кирхгофа-Лява, а для описания НДС ребер - теории тонких стержней Кирхгофа-Клебша. Почти во всех работах принимается, что ребра присоединены к обшивке вдоль линий главных кривизн и передают на обшивку реакции, распределенные вдоль этих линий. В линейной постановке используется статический критерий устойчивости и задача сводится к решению систем дифференциальных или интегральных уравнений нейтрального равновесия.
С целью упрощения задачи в конкретных исследованиях прснебрегает-ся некоторыми факторами. В большинстве работ считается, что ребра и обшивка прикреплены по линии, при этом авторы пренебрегают влиянием сдвиговой и крутильной жесткостью ребер на НДС конструкции.
Сводя задачу устойчивости ребристой оболочки к рассмотрению устойчивости системы панелей, опертых на упругие ребра, Гавриленко Г.Д. [35] решает задачу в более строгой постановке.
В работе Коротенко H.A. [106] в линейной постановке проведен расчет оболочек с учетом кручения и показано, что это влияние существенно. В работах Грачева O.A. [38, 39] рассмотрены ребристые сферические оболочки в линейной постановке с учетом сдвиговых деформаций (модель Тимошенко -Рейснера) и исследовано влияние сдвиговых деформаций на критические нагрузки в зависимости от эксцентриситета ребер.
В геометрически нелинейной постановке при определении критических нагрузок разыскивается предельная точка кривых нагрузка-прогиб оболочки в работах [29, 35, 69, 78, 86, 105,121, 169,171, 184]. В работе Климанова В.И. и Тимашева С.А. [105] дан вывод нелинейных уравнений и условий сопряжения для гибких пологих ортотропных оболочек на прямоугольном плане с учетом упругих и неупругих деформаций, линейной и нелинейной ползуче-
20
сти материала, несовершенств формы поверхности. В детерминированной и стохастической постановках решены новые задачи нелинейного изгиба, устойчивости, закритического поведения и динамики пологих оболочек, скрепленных с опорными ребрами и оболочек, подкрепленных ортогональной сеткой ребер. Эта работа является естественным продолжением работы Тимашева С.А. [171].
Рассмотрению задачи расчета ребристой оболочки, как контактной задачи в геометрически нелинейной постановке, посвящены работы Теребуш-коО.И. [169, 170]. Рассматривается часть оболочки между ып и 1+1-т продольным и и У+7-/И поперечным ребрами. На выделенный участок оболочки действует поперечная поверхностная нагрузка q, а по краям действуют силы взаимодействия соседних участков оболочки и подкрепляющих ребер. Используя условие совместности деформаций оболочки и ребра в точках контакта записываются граничные условия для края оболочки, опирающейся на 1-е продольное ребро.
В работах Карпова В.В. [84, 85-90, 95] устойчивость ребристых оболочек рассматривается с позиции геометрической нелинейности. Для сведения нелинейных уравнений к последовательности решения линейных уравнений применяется метод последовательных нагружений [135, 136]. При этом определяется и местная, и общая потеря устойчивости во взаимосвязи.
Единичные функции для задания дискретности толщины пластин и оболочек применяются в работах [2, 51, 52, 53,184]. Причем, в работах Абов-скогоН.П., Енджиевского Л.В. и др. [2, 51, 184, 185] задание дискретной переменности толщины используется для задач как в физически, так и в геометрически нелинейной постановке. При этом могут рассчитываться как оболочки, подкрепленные ребрами, так и ослабленные вырезами.
В геометрически нелинейной постановке проведены исследования также в основном цилиндрических оболочек с использованием гипотезы Кирхгофа - Лява. Ребра в этих исследованиях рассматривались как одномерные
21
упругие элементы, присоединенные к обшивке по линиям (Теребушко О.И., Гречанинов И.П., Милейковский Н.Е, Тимашев С.А. и др.). В нелинейной теории пластин и оболочек широкое применение получил метод продолжения решения по параметру. Основные положения этого метода применительно к задачам механики были изложены Э.И. Григолюком и В.И. Шалашилиным в их совместной работе. Этот метод получил свое дальнейшее развитие в работах В.В. Петрова и его школы (В.В. Карпов, В.В. Кузнецов, В.А. Крысько, И.Г. Овчинников и др.).
В.В. Карповым разработана геометрически нелинейная теория оболочек ступенчато-переменной толщины, учитывающая наличие в конструкции одновременно ребер, вырезов и накладок, совместную работу ребер, их сдвиговую и круптильную жесткости.
Как частный случай им получены все известные ранее уравнения равновесия ребристых оболочек. Им доказана эквивалентность подходов В.З. Власова и А.И. Лурье к ребристым оболочкам, а также показано, что краевые условия (свободный край) на боковой поверхности ребер и на краю вырезов входят в уравнения равновесия и выполняются автоматически при решении краевых задач.
Анализируя подход В.В. Карпова, основанный на составлении и решении уравнений равновесия для оболочек ступенчато-переменной толщины, следует отметить, что разрешающие уравнения для этих оболочек являются довольно сложными системами дифференциальных уравнений в частных производных, содержащими разрывные коэффициенты (единичные функции, дельта-функции и их первые производные).
Поэтому представляется актуальной разработка другого подхода к исследованию рассматриваемого класса оболочек, основанного на использовании функционала полной энергии деформации конструкции и разработка нового, более эффективного метода расчета.
22
Исследованию оболочек с вырезами посвящены работы Борзых Е.П., ГриголюкаЭ.И., ГузяА.Н., Кривошеева Н.П. и Корнишина М.С., Космода-мианского A.C., Малинина A.A., Пирогова И.М., Преображенского И.Н., Савина Г.Н., Филынтинского Л.А., Черных К.Ф., Чернышенко И.С., Чехова В.H., Шнеренко К.Н., Броутена Ф. и Олмроса Б. и др.
В основном в них рассматриваются цилиндрические оболочки с отверстиями в линейной постановке.
Исследование напряженно-деформированного состояния и устойчивости оболочек, имеющих большие отверстия или вырезы, вызывает немалые сложности из-за необходимости решения задачи для многосвязной области. Для некоторых простых случаев возможно, применяя аппарат конформных отображений, свести исходную задачу к задаче для односвязной области. Если же оболочки, ослабленные вырезами, подкреплены ребрами жесткости, то задача еще больше усложняется.
Для нелинейных задач появляются дополнительные сложности. Решение задач для гладких оболочек, ослабленных отверстиями, в геометрически нелинейной постановке приводится в работе Кривошеева Н.П. и Корнишина М.С. [110]. Для решения используется метод конечных разностей, поперечные сдвиги не учитываются. При наличии в оболочке ребер этот подход не может быть применен.
При рассмотрении задачи устойчивости для оболочек с отверстиями различаются два класса задач: когда размеры отверстий одного порядка с минимальными внешними размерами оболочки и когда размеры отверстий значительно меньше минимальных внешних размеров оболочки. Если отверстия малы, то концентрация напряжений у контура отверстия не влияет на общую потерю устойчивости оболочки.
Из обзора литературных источников по теме диссертации следует, что оболочки, подкрепленные ребрами или ослабленные вырезами, исследованы, в основном, на упрощенных моделях и поэтому актуальным является разра-
23
ботка математической модели пологих оболочек ступенчато-переменной толщины с учетом поперечных сдвигов и с учетом геометрической нелинейности, а также проведение расчетов на устойчивость на основе такой модели конкретных оболочечных конструкций. Представляет также интерес исследование перфорированных оболочек, подкрепленных ребрами жесткости. Все эти нерешенные задачи являются объектом исследований в данной работе.
В последнее время внимание исследователей было привлечено также к проблеме расчета трехслойных оболочек с дискретным внутренним слоем. Исследованию таких инструкций посвящены работы Л.П. Каратаева, М.А. Овчинникова, Б.К. Михайлова, О.Л. Соколова, Л.Ф. Водяного,
В.К. Кабулова и К.Ш. Бабамурадова, A.A. Краснова и других.
В работе Михайлова Б.К., Каратаева Л.П., Овчинникова М.А. [123] исследуется трехслойная пластина с дискретным ребристым заполнением, которая рассматривается авторами как статически неопределимая система, состоящая из двух однослойных плит с ребрами, направленным в противоположные стороны. Основная система получается из исходной путем разделения ребра по средней линии. Таким образом, задача расчета трехслойной плиты с внутренним ребристым заполнением сводится к расчету двух ребристых однослойных плит с последующим определением неизвестных из канонических уравнений, число которых равно числу ребер.
Методам расчета трехслойной пластины и оболочек симметрического строения по толщине посвящена работа Водяного Л.Ф. [27], в которой вариационным методом получены уравнения изгиба непологой трехслойной оболочки, а также решена задача об изгибе трехслойной оболочки с жестким заполнителем под действием равномерно распределенной нагрузки в случаях шарнирно-неподвижного опирания и заделки кромок. В работе также рассмотрен изгиб подкрепленных трехслойных оболочек и пластинок под дейст-
24
вием поперечной нагрузки с учетом дискретного расположения ребер жесткости.
Многие авторы уделяют внимание многослойным пологим оболочкам [65, 109, 191]. Например, Кабуловым В.К. и Бабамурадовым К.Ш. [71] разработана программа численного расчета для пологих трехслойных оболочек, испытывающих конечные прогибы под действием внешних сил. Методике решения нелинейных задач строительной механики посвящена работа Краснова A.A. [109]. Данная методика рассматривается в применении к расчету многослойных, несимметрично армированных, гладких и подкрепленных пологих оболочек и пластин. Она позволяет по единому алгоритму определять компоненты НДС конструкций и критическую нагрузку при статических и динамических воздействиях. Юркевичем A.A. [191] доказана теорехма о существовании решения задач для геометрически нелинейных пологих трехслойных оболочек с граничными условиями типа защемления и шарнирного опирания для общего случая естественных граничных условий, а также для случая двухслойной оболочки.
Григолюком Э.И. и Куликовым Г.М. [42] уделяется большое внимание геометрически нелинейной теории многослойных анизотропных оболочек типа Тимошенко, построенной на основе независимых гипотез относительно характера распределения перемещений и поперечных касательных напряжений по толщине пакета. Путем использования смешанного вариационного принципа получены уравнения равновесия, граничные условия и интегральные соотношения для касательных напряжений. Рассматривается уточненная теория пологих многослойных оболочек. Получена система разрешающих уравнений относительно силовой функции F, функции перемещений и функции сдвига, совпадающих по форме записи с нелинейными уравнениями трехслойных оболочек Э.И. Григолюка - П.П. Чулкова [43]. Здесь же исследуется модель архмированного слоя, позволяющая определять механические свойства материала на основании свойств составляющих его компонентов, а
25
также геометрически нелинейный вариант теории многослойных анизотропных оболочек с учетом локальных эффектов. На основе разработанных программ представлен детальный анализ эффекта анизотропии в перекрестно армированных оболочках.
Внимание исследователей уделяется также многослойным оболочкам вращения. Тимониным А.М. [172] получена разрешающая система уравнений, состоящая из десяти нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка в частных производных с переменными коэффициентами, и сформулированы соответствующие граничные условия для этой системы. По разработанной методике построен и реализован алгоритм численного решения задач о нелинейной деформации слоистых ортотропных оболочек вращения с малой сдвиговой жесткостью, находящихся под воздействием несимметричных и локальных краевых и поверхностных нагрузок и температурных полей. Многослойные конструкции, выполненные в виде комбинации оболочек вращения с произвольной формой меридиана, в том числе разветвленной и многосвязной, являются предметом исследований Игнатьевой Э.В. [65]. В основу численных алгоритмов расчета НДС положен полуаналитический вариант метода конечных элементов, который применяют вместе с методами прямого численного интегрирования для расчета НДС конструкций при нестационарном нагружении. Разработана эффективная методика и расчет НДС многослойных пологих оболочек из композиционных материалов с упругими промежуточными опорами, включая выбор и обоснование варианта теории оболочек в соответствии с особенностями рассматриваемого класса задач и свойствами многослойных материалов с новым типом ячеистого заполнителя.
Проанализировав вышеупомянутые работы, посвященные трехслойным оболочкам и пластинам, можно сделать вывод, что большинство из них относится к гладким конструкциям с разными жесткостными характеристиками слоев [42, 65, 172, 191]. И только малое число работ относится к трехслой-
26
ным пластинам и оболочкам, подкрепленным ребрами [27, 115, 123]. Причем задачи в них рассматриваются в линейной постановке. В геометрической нелинейной постановке решены задачи для трехслойиых оболочек в работах [42, 65, 109, 191]. Трехслойная пластина с внутренними ребрами рассматривается в работе [123]. Однако рассматривается упрощенная модель.
В большинстве работ, посвященных трехслойным оболочкам и пластинам, исследуются гладкие конструкции с разными жесткостными характеристиками слоев, и только в некоторых работах рассматриваются (в основном в линейной постановке) трехслойные пластины и оболочки, подкрепленные внутренним слоем ребер (например, О.Л. Соколов). Анализ публикаций по этому направлению показывает, что трехслойные оболочки с дискретным внутренним слоем исследованы недостаточно полно и требуется разработка для них более совершенной математической модели.
При исследовании конкретных оболочечных конструкций во многих случаях необходимо знать, как изменяется их НДС при заданном параметре нагрузке при изменении жесткостных и геометрических параметров (дополнительные накладки или вырезы, воздействие коррозии и т.д.).
Значительное число исследований посвящено разработке методик и определению оптимальных параметров подкрепленных оболочек. При решении этой задачи в качестве функции цели, как правило, выбирается объем материала оболочки, а в качестве ограничений - условия, при которых обеспечивается заданный уровень напряжений в оболочке и ее устойчивость. С одной стороны, многовариантный расчет, к которому приводятся все алгоритмы оптимизации, может быть выполнен до конца на современных ЭВМ, если ограничения описываются достаточно простыми соотношениями. С другой стороны, простые соотношения могут давать достоверные результаты только в узком диапазоне изменения параметров обшивки и ребер, хотя решение задачи оптимизации требует поиска решений при широком изменении параметров.
27
В работе И .Я. Амиро и В.А. Заруцкого [8] отмечается, что в целом обоснование достоверности результатов, получаемых при решении задач оптимизации, требует дальнейших исследований. Видимо, отмечают И .Я. Амиро и В.А. Заруцкий, наиболее достоверные задачи оптимизации ребристых оболочек можно получить тогда, когда речь идет о выборе лучшего проекта из числа однотипных.
Не менее актуальна задача о выборе рациональных параметров оболочки, исходя из условий обеспечения устойчивости и минимума веса конструкции.
Решение этого класса задач традиционными методами оптимизации практически невозможно.
Методам расчета пластин и оболочек посвящено большое число публикаций [8, 19, 52, 53, 68, 76, 87, 135, 146]. Умение применять современные методы, особенно машинно-ориентированные методы, для расчета конструкций настолько стало настолько важным моментом исследования, что во вес учебники по строительной механике были введены главы, посвященные методам расчета, например [67].
Для решения линейных задач используются как аналитические методы (точные и приближенные) [8], так и численные: метод конечных разностей [35], метод конечных элементов [144], метод Бубнова-Галеркина [28, 29] и др. При использовании аналитических методов решения разыскиваются в форме двойных рядов [8] и др. При решении нелинейных задач к выбранным членам ряда добавляются слагаемые, отражающие развитие прогибов потерявшей устойчивость оболочки, преимущественно к центру кривизны [8]. Для приближенного решения систем уравнений в этих случаях широко используется метод Бубнова-Галеркина [28] и метод конечных элементов (МКЭ) [144, 145].
На основе численных методов решены задачи устойчивости замкнутых цилиндрических оболочек как с учетом моментности докритического состоя-
28
ния, так и без учета. Основной вывод проведенных исследований сводится к тому, что с увеличением числа ребер влияние моментности докритического состояния оболочек снижается [145].
В нелинейной теории пластин и оболочек широкое распространение получил метод продолжения решения по параметру. Основные положения метода продолжения решения по параметру применительно к задачам механики были изложены Э.И. Григолюком и В.И. Шалашилиным в их совместной монографии [41]. Так, в конце 50-х годов, взяв за параметр нагрузку,
В.В.Петров сформулировал метод последовательных нагружений (МПН), получивший широкое применение [135]. Его учениками были получены другие варианты этого метода. В.В. Кузнецовым за параметр взяты геометрические размеры оболочки [113]. В.В. Карповым за параметр взята высота ребер [89].
В них поставленные задачи рассмотрены в линейной постановке и без учета многих, на наш взгляд существенных, факторов. В большинстве работ, посвященных трехслойным оболочкам и пластинам, исследуются гладкие конструкции с разными жесткостными характеристиками слоев, и только в некоторых работах рассматриваются (в основном в линейной постановке) трехслойные пластины и оболочки, подкрепленные внутренним слоем ребер (например, О.Л. Соколов [197, 57]). Анализ публикаций по этому направлению показывает, что трехслойные оболочки с дискретным внутренним слоем исследованы недостаточно полно и требуется разработка для них более совершенной математической модели.
При исследовании конкретных оболочечных конструкций во многих случаях необходимо знать как изменяется их НДС при заданном параметре нагрузки при изменении жесткостных и геометрических параметров (дополнительные накладки или вырезы, воздействие коррозии и т.д.).
Бурное развитие компьютерной техники во второй половине 20 века и связанный с ним прогресс в развитии численных методов решения задач механики деформируемого твердого тела и строительной механики привели на
29
сегодняшний день к появлению мощных вычислительных комплексов, реализующих в основном алгоритмы МКЭ и МСЭ в перемещениях и позволяющих решать самые разнообразные задачи, связанные с расчетом сложных конструкций на любые виды воздействий и с учетом различного рода нелинейностей. Наиболее известна и широко применяема сегодня программа конечно-элементного анализа ANSYS. В настоящее время программа ANSYS представляет собой многоцелевой пакет проектирования и анализа, признанный во всем мире.
Исторические обзоры работ этого направления содержатся во многих монографиях [140, 142, 155,157, 160,165, 166, 179, 197 и др.] и диссертациях и поэтому нет необходимости их повторять и цитировать.
Так как в основе данного исследования лежат аналитические и полу-аналитическис методы, то подробный обзор численных методов здесь не приводится. Однако особенности применения самого распространенного из них - метода конечных элементов нельзя не отметить.
Численные методы, и особенно метод конечных элементов (МКЭ), в связи с фантастически быстрыми арифметическими возможностями цифрового компьютера произвели революцию в механике твердого тела. Проектирование и анализ различных сложных сооружений и внедрение более современного проектирования сейчас сдерживаются только нашими способностями представить себе современный проект и нашими возможностями смоделировать то, что мы представили, и теми инструментами, с помощью которых мы можем ввести наш проект в компьютер. Здесь мы сталкиваемся с разрывом между теоретической и научной стороной МКЭ и его практическим использованием. Большие шаги были сделаны в предварительной подготовке, во вводе и выводе информации, что позволило сузить этот разрыв; однако моделирование сложных и очень больших конструкций, а также ввод параметров и алгоритмов, которые составляют основу внутрен-
30
них расчетов и помогают представить параметры проектирования, все ещё требует пристального внимания исследователей.
МКЭ с его очень широким применением и большими возможностями, является обычно выбираемым методом для расчета всех конструкций, кроме простейших случаев.
Для постановки и решения задачи по МКЭ требуется информация о конструкции. Весь объем информации, определяющий конструкцию, отдельные её фрагменты и элементы, по своему содержанию разбивается на категории, отражающие топологию, геометрию, связи, физические свойства, жест-костные характеристики, внешние воздействия.
Порядок соединения конгломерата элементов во фрагменты и фрагментов в конструкцию может быть назначен множеством способов[142, 144]. Правильный выбор и удачная упорядоченность топологической структуры позволяют оптимизировать такие параметры решения, как ширина ленты и заполненность матрицы системы разрешающих уравнений, что повышает пропускную способность алгоритмов.
Тонкостенные оболочечные конструкции, усиленные ребрами или жесткими вставками, относятся к наиболее распространенному классу комбинированных конструкций, так как они позволяют наиболее оптимально распределить материал в сооружениях при удовлетворении условий прочности и жесткости.
Основные трудности расчета по МКЭ подкрепленных пластин и оболочек связаны с необходимостью учета совместности работы элементов различной мерности и удовлетворения контактных условий.
Наиболее распространенный путь учета подкрепления базируется на использовании одних и тех же КЭ для аппроксимации оболочки, ребер и вставок. Ребра трактуются как вставки шириной в один КЭ. Это позволяет учесть их жесткость на растяжение (сжатие), кручение и изгиб в двух плоскостях.
31
При неизбежно большом числе узлов конечно-элементной сетки возникают технические трудности связанные со значительными затратами машинного времени, и математические затруднения, обусловленные необходимостью решения обширных систем алгебраических уравнений.
Это обстоятельство привело к необходимости разработки иерархических подходов к расчету сложных конструкций типа метода суперэлементов (МСЭ), метода подконструкций и других, позволяющих на каждом этапе прямого хода расчета иметь дело с фрагментами конструкции, имеющими сравнительно небольшое число степеней свободы [159, 160,142 и др.]
Проще говоря, конструкция моделируется поэтапно от элементарных конечных элементов до кластера элементов, желательно повторяющихся, вплоть до группы кластеров - суперэлемента элементарного уровня, опять же желательно повторяющегося и т.д. с более и более сложными элементами до тех пор, пока вся структура не станет результирующим суперэлементом. Последующий процесс статического, динамического и прочностного расчета приводит к формированию основного элемента, проходя через такое число этапов, какое необходимо, от первого суперэлемента до самого сложного, т.е. конструкции в целом, для чего и проводился расчет. Затем процесс как бы развертывается в обратную сторону, в ходе которого искомые значения неизвестных рассчитываются от ранее полученных результатов для СЭ предыдущих уровней, пока не получатся значения для каждого основного конечного элемента.
Каждый фрагмент (суперэлемент) сложной конструкции требует предварительного расчета и получения для него матрицы жесткости (МЖ), матрицы упругих свойств.
Эта часть работы может быть выполнена только на основе исследований в области аналитических и полуаналитических решений для плоских и объемных конструкций как фрагментов (СЭ) более сложных конструкций.
32
В исследованиях по строительной механике и теории упругости проблема уменьшения числа степеней свободы рассматриваемых систем или понижения мерности задач является одной из важнейших, так как её решение в каждом конкретном случае связано с возможностью получения аналитического решения или же значительного снижения вычислительных затрат.
Кроме того в результате численного расчета проектировщик не получает аналитической связи силовых и деформационных параметров, необходимой для рационального проектирования. Такая связь обычно выявляется при использовании приближенных континуальных схем, где внешние нагрузки и искомые усилия и перемещения описываются функциями непрерывно изменяющегося аргумента.
На сегодняшний день существует практически общепринятая точка зрения, что лишь гармоничное параллельное развитие и использование как аппарата, основанного на континуальных расчетных схемах, так и аппарата, вытекающего из принятия дискретных расчетных схем, является правильным.
Взаимно дополняя и обогащая эти два направления, можно получить достаточно надежное решение проблемы.
Анализ работ по рассматриваемой проблеме показывает, что к настоящему времени для расчета тонкостенных оболочечных конструкций ступенчато - переменной толщины используется широкий спектр подходов, математических моделей и методов. Актуальной задачей является дальнейшее совершенствование нелинейной теории тонкостенных оболочек ступенчато -переменной толщины, теории трехслойных оболочек с дискретным внутренним слоем, разработка метода комплексных расчетов таких конструкций.
Весьма актуальной является также разработка методов, позволяющих находить поправки к напряженно-деформированному состоянию (НДС), находящихся под действием заданной нагрузки конструкций ступенчато - переменной толщины. Это позволит далее в сочетании с методом последова-
33
тельных нагружений разработать схему метода покоординатного спуска, позволяющую производить выбор рациональных параметров конструкции при заданном параметре нагрузки и ограничениях на ее НДС.
34
ГЛАВА 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ УПРУГИХ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК СТУПЕНЧАТО-ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ
2.1. Основные соотношения для пологих
оболочек ступенчато-переменной толщины при конечных прогибах
Рассматриваются прямоугольные в плане пологие оболочки. Срединную поверхность оболочки толщиной И примем за координатную поверхность. Оси дг, у направим по линиям главных кривизн оболочки, ось 2 -по нормали к срединной поверхности в строну вогнутости.
Деформации удлинения 8 х, г у вдоль осей Ох, Оу и сдвига 8^ в
срединной поверхности оболочки связаны с перемещениями соотношениями
гх=--кх1Г-х дх х
ди дУ 51У дУГ
е™ = — + — +--------,
ду дх дх ду
где и, V, IV - перемещения точек срединной поверхности оболочки вдоль осей х, у, 2 соответственно; кх = ^ , ку = ^ - главные кривизны
оболочки вдоль осей х и у (/?! и Я2 - главные радиусы кривизны в направлении осей х и у).
Со стороны вогнутости оболочка подкреплена ортогональной сеткой ребер, параллельных сторонам оболочки (рис. 2.1), высота и расположение которых задаются с помощью единичных столбчатых функций 8(х-ху-),
Чу-Уг)-
СдИг') 2 % дУ 1 иг И = кЛУ + — 'дГГ\
1 8х ) / * ду у 21
т п пт
Н(х,у) = ][>'5(* )§0' - У‘ )• (2л)
У=1 М М >1
- Київ+380960830922