Содержание
ВВЕДЕНИЕ..........................................................4
ОБЗОР К ГЛАВЕ 1...............................................4
ОБЗОР К ГЛАВЕ 2..............................................14
ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ДВУХСЛОЙНОЙ СИСТЕМЫ ЖИДКОСТЕЙ С ДЕФОРМИРУЕМОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ РАЗДЕЛА И ЗАДАННЫМ
ТЕПЛОВЫМ ПОТОКОМ НА ВНЕШНИХ ГРАНИЦАХ.............................35
Введение.......................................................35
1.1 Линейная устойчивость механического равновесия.............38
1.1.1 Постановка задачи......................................38
1.1.2. Длинноволновая неустойчивость равновесия..............43
1.1.3 Неустойчивость относительно ячеистых возмущений........54
1.1.4 Случай слоев разной толщины............................64
1.2 Слабо-нелинейный анализ режимов неустойчивости.............69
1.3 Влияние термокапиллярного эффекта на устойчивость механического равновесия двухслойной системы...............................73
1.3.1 Длинноволновая неустойчивость равновесия...............75
1.3.2. Неустойчивость относительно ячеистых возмущений.......78
1.4 Влияние вертикальных вибраций на устойчивость..............81
Заключение.....................................................90
ГЛАВА 2. ВЛИЯНИЕ ВРАЩАТЕЛЬНЫХ ВИБРАЦИЙ НА ПРОЦЕСС
НАПРАВЛЕННОЙ КРИСТАЛЛИЗАЦИИ БИНАРНЫХ СПЛАВОВ.....................92
Введение.......................................................92
2.1 Численное исследование морфологической неустойчивости фронта при направленной кристаллизации модельных бинарных систем с низкой температурой кристаллизации....................................94
2.1.1 Постановка задачи. Основные уравнения и граничные условия 94
2.1.2 Метод решения..........................................99
2
2.2 Влияние высокочастотных вращательных вибраций на морфологическую неустойчивость при направленной кристаллизации бинарных сплавов.................................................109
2.2.1. Учет действия высокочастотных вращательных вибраций 109
2.2.2 Морфологическая неустойчивость фронта при направленной кристаллизации бинарного сплава сукциноиитрил с примесыо этанола под действием вращательных вибраций............................110
2.2.3 Влияние вращательных вибраций на морфологическую неустойчивость фронта при направленной кристаллизации бинарных систем сукциноиитрил с примесыо салола и сукциноиитрил с примесыо ацетона........................................................114
2.3 Течения и тепломассоперенос при направленной кристаллизации высокотемпературных сплавов иод действием вращательных вибраций. 126
2.3.1 Результаты расчетов по влиянию вращательных вибраций на течения и тепломассообмен при выращивании кристаллов Сева...128
2.3.3 Влияние вращательных вибраций на течения и тепломассообмен при выращивании кристаллов Се81.............................133
2.4 Численное моделирование нестационарного процесса направленной кристаллизации бинарного сплава в присутствии вращательных вибраций конечной амплитуды и частоты...................................139
2.4.1 Постановка задачи. Определяющие уравнения и граничные условия. Модель......................................................140
2.4.2 Результаты численного моделирования нестационарного процесса
направленной кристаллизации в отсутствие вибраций..............145
2.4.1 Результаты численное моделирование нестационарного процесса направленной кристаллизации в присутствии вращательных вибраций 149
Заключение.......................................................153
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.........................................................154
Литература.........................................................156
3
ВВЕДЕНИЕ
ОБЗОР К ГЛАВЕ 1
Интерес к теории конвективной устойчивости обусловлен ее многочисленными техническими приложениями. Исследование условий возникновения конвекции важно для оптимизации тепловых режимов хранения нефтепродуктов в емкостях, процессов химической технологии и др.
1. Устойчивость неоднородно-нагретых жидкостей и двухслойных систем несмешивающихся жидкостей с недеформируемыми границами раздела
Неоднородно-нагретая жидкость может находиться в равновесном состоянии, в котором скорость жидкости равна нулю (состояние механического равновесия); условием механического равновесия является постоянство и вертикальность градиента температуры [1]. При определенных условиях состояние механического равновесия может стать неустойчивым и в жидкости возникает конвективное движение.
Условиям возникновения конвекции в неоднородно-нагретых жидкостях посвящено большое число работ. Устойчивость механического равновесия подогреваемого снизу горизонтального слоя жидкости с двумя свободными идеально теплопроводными границами впервые исследовалась теоретически Релесм [2]. Было установлено, что переход от чисто теплопроводного режима к режиму конвекции при подогреве снизу происходит при некотором критическом значении безразмерного комплекса, названног о впоследствии числом Релея. Это число определяет отношение подъемно-опускных сил к силам вязкого трения. Теория Релея объясняет возникновение конвективного движения влиянием архимедовых подъемных сил. В работе [3] численно исследовано возникновение конвекции в горизонтальном слое жидкости с одной твердой и одной свободной границами. Найдено критическое значение числа Релея для монотонной моды неустойчивости. Обнаружено, что при нагреве
4
сверху в спектре возмущений имеются колебательные возмущения, которые являются затухающими. Одно из первых экспериментальных исследований устойчивости равновесия горизонтального слоя жидкости со свободной поверхностью при подогреве снизу проведено в [4]. Общие свойства спектра возмущений равновесия неоднородно-нагретой жидкости исследованы в работе [5]. Показано, что при нагреве сверху механическое равновесие устойчиво, а при подогреве снизу все возмущения являются монотонными. При исследовании горизонтального слоя с внешними границами, на которых задан постоянный тепловой поток в [6] обнаружено, что наиболее опасными являются длинноволновые возмущения. Критическое число Рслся для данной задачи, определенное по толщине слоя и полному перепаду температур, равно 720 (при использовании полутолщины слоя и полуразности температур оно равно 45). Обзор результатов исследований устойчивости равновесия неоднородно-нагретых жидкостей приведен в монографии [1].
Исследованию возникновения конвекции в двухслойных системах не-смешивающихся жидкостей также посвящено достаточно большое число работ, однако, большинство из них выполнены в предположении недеформи-руемой поверхности раздела. В работе [7] рассмотрена устойчивость равновесия двухслойной системы неограниченных в продольном направлении горизонтальных слоев иесмешивающихся жидкостей с идеально теплопроводными внешними границами. Обнаружена неустойчивость по отношению к монотонным возмущениям с конечной длиной волны при подогреве снизу. В работах [8-10] найдены специфические особенности поведения двухслойных систем, отличающие их от одиночных слоев жидкостей. Показано, что двухслойная система горизонтальных слоев иесмешивающихся жидкостей при определенных условиях становится конвективно неустойчивой при нагреве сверху, а также обнаруживает колебательную моду неустойчивости при подогреве снизу. Механизм неустойчивости и область параметров, в которой возможна конвекция при нагреве сверху, проанализированы в [8]. Показано, что неустойчивость развивается из-за разности коэффициентов теплопроводности, либо коэффициентов объемного расширения. Устойчивость механиче-
5
ского равновесия двухслойной системы при подогреве снизу рассмотрена в [9]. Показано, что гидродинамическое и тепловое взаимодействие на границе раздела приводят к появлению осциллирующих мод в спектре возмущений при подогреве снизу. Представлены некоторые результаты расчетов для системы муравьиная кислота (нижний слой) - трансформаторное масло (верхний слой). Полное исследование устойчивости равновесия данной пары жидкостей для случая теплопроводных внешних границ проведено в [10], в предположении, что слои имеют разную толщину. Результаты двух последних работ хорошо согласуются с экспериментальными данными [11], полученными ранее для той же пары жидкостей.
2. Устойчивость равновесия двухслойных систем с деформируемыми поверхностями раздела
В упомянутых выше работах исследования проводились в предположении о недеформируемости границы раздела в рамках приближения Буссине-ска. При построении приближения Буссинеска [1] предполагается, что плотность слабо меняется при отклонении температуры Т от температуры начала отсчета Г0:
р = р0( \-рв).
Здесь в = Г-Т0у р0 = р(Т0)у /3 = -(\/р)др/дТ - коэффициент объемного расширения. Как и любое другое приближение, приближение Буссинеска является асимптотическим, для его получения необходимо совершить двойной предельный переход:
У30—^ 0, (За—> со,
где /Зв - параметр Буссинеска\Ga-gWfv2 — число Галилея, V - коэффициент кинематической вязкости, % - ускорение свободного падения, к - харак-
6
терный размер системы. Число Грасгофа Ог = /ЗвСа остается при этом конечной величиной. Как показано в [12] для малых неоднородностей плотности, вызванных неизотермичностыо, отклонение формы поверхности раздела от плоской пропорционально параметру Буссинеска рв ~ 1/Са. Поэтому в рамках приближения Буссинеска деформациями поверхности раздела обычно пренебрегается. В [13] показано, что учет деформаций поверхности раздела в рамках обычного приближения Буссинеска может приводить к физически неверным результатам.
В случае двухслойной системы несмешивающихся жидкостей в указанном выше пределе получаются граничные условия на поверхности раздела, соответствующие непроницаемой недеформируемой границе, поэтому в рамках приближения Буссинеска свободная конвекция должна изучаться для заданной формы поверхности раздела, определяемой неконвективными факторами [14]. Однако, для некоторых ситуаций приближение недеформируемой поверхности раздела недостаточно. Например, если относительная разность плотностей того же порядка величины, что и неоднородности плотности, вызванные неизотермичностыо, то при конечных числах Релея сила тяжести неспособна сохранить поверхность раздела плоской. В этом случае деформации поверхности раздела могут быть немалыми и должны быть корректно учтены. Корректное обобщенное приближение Буссинеска для случая, когда и неоднородности плотности, и параметр Буссинеска малы, сформулировано в [14,15].
В работе [15] на основе обобщенного приближения Буссинеска исследована устойчивость механического равновесия двухслойной системы несмешивающихся жидкостей с деформируемой поверхностью раздела и идеально теплопроводными внешними границами в случае жидкостей с близкими плотностями. Считалось, что толщины слоев и все параметры жидкостей, за исключением плотностей, одинаковы. Найдены монотонная и колебательная моды неустойчивости с конечной длиной волны. Позднее та же задача решена в [14] для жидкостей с разными свойствами. Обнаружена монотонная длинноволновая мода неустойчивости, связанная с деформируемостью по-
верхности раздела (в частном случае, рассмотренном в [15], эта мода отсутствует). Показано, что в широком диапазоне параметров длинноволновые возмущения являются наиболее опасными.
В случае одиночного горизонтального слоя жидкости с заданным тепловым потоком на внешних границах неустойчивость равновесия при подогреве снизу возникает в результате развития монотонных длинноволновых возмущений. В работе [16] исследована устойчивость механического равновесия двухслойной системы горизонтальных слоев несмешивающихся жидкостей с заданным тепловым потоком на внешних границах и недеформируемой границей раздела. Показано, что, если отношение толщин слоев жидкостей близко к нулю или единице, т.е. система близка к одиночному слою с заданным тепловым потоком на внешних границах, то реализуется длинноволновая монотонная неустойчивость. Обнаружено также наличие области длинноволновой монотонной неустойчивости при промежуточных значениях отношения толщин слоев, близких к 0.5.
На основании данных о существовании длинноволновой моды неустойчивости в случае двухслойной системы жидкостей с деформируемой поверхностью раздела и идеально теплопроводными внешними границами и в случае двухслойной системы жидкостей с недеформируемой поверхностью раздела и заданным тепловым потоком на внешних границах было сделано предположение о том, что для двухслойной системы горизонтальных слоев несмешивающихся жидкостей с деформируемой поверхностью раздела и заданным тепловым потоком на внешних границах могут существовать две моды длинноволновой неустойчивости. Исследованию этой задачи посвящена первая глава настоящей работы.
В рамках линейной теории устойчивости можно получить информацию только о критических значениях параметров, при которых возникает конвекция, и форме критических возмущений. Информация о характере течений, реализующихся выше порога устойчивости, остается неизвестной. Для изучения характера ветвления и слабонадкритических течений применяется сла-
8
бо-нелинейный анализ. Обзор работ, посвященных слабо-нелинейному анализу и изложение метода можно найти в [17].
Слабо-нелинейному анализу крупномасштабных конвективных течений в двухслойной системе с деформируемой поверхностью раздела и идеально теплопроводными внешними границами посвящены работы [18-20]. В [18] для случая слоев одинаковой толщины в плоской постановке сформулировано и исследовано нелинейное уравнение для амплитуды возмущений. Нелинейность амплитуды входит в уравнение квадратичным образом. Показано, что в длинноволновом пределе конвекция возникает жестко, а полученное амплитудное уравнение не дает устойчивых конвективных движений вблизи порога.
В [19] рассмотрен случай слоев жидкостей разной толщины. В длинноволновом приближении получено амплитудное уравнение, описывающее крупномасштабные конвективные движения, сопровождающиеся деформацией поверхности раздела. В этом случае развитие конвективного движения описывается уравнением Кэна-Хиллиарда (наряду с квадратичной нелинейностью, в системе имеется слагаемое третьей степени). Обнаружено, что при определенном соотношении толщин слоев становится возможным мягкое ветвление. Найдено солитонное решение и показана его неустойчивость относительно плоских возмущений.
Работа [20] посвящена исследованию периодических режимов крупномасштабной конвекции в двухслойной системе с деформируемой границей раздела. В предельном случае большого поверхностного натяжения получено амплитудное уравнение, описывающее деформацию поверхности раздела. Исследованы периодические двумерные режимы течения; показано, что в зависимости от параметров задачи возможно как жесткое, так и мягкое возбуждение конвекции. Обнаружено конечно-амплитудное возбуждение конвекции при нагреве сверху.
Нелинейный анализ конвекции в двухслойной системе с деформируемой поверхностью раздела проведен в [21]. Задача решалась численно методом конечных элементов в двумерной постановке для вытянутой по горизонтали
9
прямоугольной полости. Найдены критические параметры возникновения конвекции в такой системе.
3. Влияние термокапиллярного эффекта на конвективную устойчивость
В системах со свободными поверхностями или поверхностями раздела жидкостей конвективные движения могут возбуждаться не только вследствие изменения плотности с температурой, когда мри нагревании более легкие элементы жидкости всплывают вверх под действием архимедовой силы (конвекция Редея - Бенара), но и за счет изменения поверхностного натяжения при изменении температуры или концентрации примеси (конвекция Маран-гони). При этом возникает тангенциальная сила, направленная вдоль градиента поверхностного натяжения, т.е. в сторону убывания температуры (при нормальном термокапиллярном эффекте). Эта сила вызывает растекание всплывших элементов жидкости, и, следовательно, позволяет всплывать новым нагретым элементам жидкости. Таким образом, термокапиллярные силы (при поперечном нагреве слоя) могут приводить к развитию начального возмущения.
Исследование термокапиллярной конвекции было впервые проведено Пирсоном [22]. Он рассмотрел бесконечно длинный топкий слой жидкости, налитый на твердую поверхность. Задача решалась в предположении неде-формируемости свободной поверхности, поверхностное натяжение считалось линейной функцией температуры, конвекция Релея - Бенара не учитывалась, на свободной поверхности жидкости задавалась постоянная температура. Обнаружено, что механическое равновесие системы может стать неустойчивым не только при нагреве твердой границы, но и при нагреве свободной поверхности, при условии, что поверхностное натяжение жидкости уменьшается с ростом температуры. Неустойчивость возникает по отношению к возмущениям с конечной длиной волны. Если на свободной поверхности зафиксировать тепловой поток, то в спектре наиболее опасных возмущений появляются длинноволновые монотонные возмущения [23].
10
Возникновение неустойчивости Марангони, обусловленной градиентом концентрации на поверхности раздела двух жидкостей, исследовано в [24]. Конвекция Релея-Бенара и деформации поверхности раздела не учитывались. Показано, что неустойчивость существует для массопереноса в обоих направлениях. При наличии гравитационных волн на поверхности раздела под действием термокапиллярного эффекта потеря устойчивости равновесия наблюдается как при подогреве снизу, так и при подогреве сверху [25].
В работе [26] в рамках обычного приближения Буссипсска исследована конвекция Релея - Бенара - Марангони в двухслойной системе жидкостей с деформируемой поверхностью раздела и идеально теплопроводными внешними границами. Приведены результаты теоретического и экспериментального исследований для системы жидкостей бензин - вода. В рамках линейной теории устойчивости обнаружено, что при подо1реве снизу критическое число Марангони меньше, чем в случае нагрева сверху. В экспериментальных исследованиях критическое число Релея, полученное для подогрева снизу, находится в диапазоне между критическими числами Релея, предсказанными теорией в отсутствии и при наличии термокапиллярной конвекции. Более того в ходе эксперимента при нагреве сверху неустойчивость не была обнаружена даже для чисел Марангони, в пять раз превышающих критическое значение по линейной теории. Несовпадение предсказанных теоретически и найденных в эксперименте критических значений числа Релея авторы объясняют загрязнением поверхности.
В двухслойной системе горизонтальных слоев нссмешивающихся жидкостей с плоской поверхностью раздела термокапиллярный эффект может приводить к возбуждению конвекции колебательным образом [27, 28]. В серии работ [29-31], на модельных задачах исследована термокапиллярная неустойчивость в двухслойных системах и влияние на этот тип неустойчивости различных факторов. В системе жидкостей с одинаковыми свойствами и плоской границей раздела монотонная неустойчивость имеет место только при нагреве со стороны толстого слоя, а колебательная неустойчивость - при охлаждении его [29]. В термокапиллярных волнах доминирует продольное
11
движение вблизи границы раздела слоев жидкости. Поддержка этих колебаний температурным полем осуществляется за счет различия фаз движения в разных слоях. В работе [30] найдены условия возникновения монотонной и колебательной неустойчивости в двухслойной системе с деформируемой поверхностью раздела при тепловом числе Релея, равном нулю. Для колебательных режимов конвекции выделены два разных механизма: капиллярный, при котором кинетическая энергия движения переходит в потенциальную энергию деформируемой границы раздела (капиллярные волны), и термокапиллярный, при котором в процессе движения меняется свободная энергия поверхности из-за изменения ее температуры (термокапиллярпые волны). Капиллярные и темокапиллярные волны существенно различаются по структуре движения жидкости.
Теоретическое и экспериментальное исследование неустойчивости Релея-Бенара-Марангони в двухслойной системе жидкостей с деформируемой поверхностью раздела, проведено в [32] для случая слоев разной толщины и и-дсально теплопроводных внешних границ. Найдено, что в случае, когда плотности жидкостей близки, наблюдается длинноволновая колебательная неустойчивость. Длинноволновые колебательные возмущения нарастают, когда подогревается слой большей толщины.
Основные результаты в области исследований термокапиллярной конвекции обобщены в монографии [33].
В рамках диссертационной работы проведено теоретическое исследование возникновения конвекции Релея-Бенара-Марангони в двухслойной системе с деформируемой границей раздела и заданным тепловым потоком на внешних границах. Исследование проводится в рамках обобщенного приближения Буссинеска, сформулированного в [14].
4. Влияние вибраций на конвективную устойчивость
Для развития современных технологий важно уметь управлять устойчивостью .механического равновесия систем. Вибрационное воздействие высокой частоты может являться одним из средств управления, поскольку такие
12
вибрации могут оказывать как стабилизирующее, так и дестабилизирующее влияние на устойчивость равновесных состояний и течений. При изучении воздействия вибраций высокой частоты применяют процедуру осреднения,
которая заключается в том, что поля разбиваются на две составляющих -
• •
пульсационную и осредненную, не зависящую от быстрого, вибрационного, времени. При исследовании тепловой конвекции метод осреднения был применен впервые в [34]. Математическое обоснование, метода осреднения можно найти в [35]. Стабилизирующее действие высокочастотных вибраций на устойчивость равновесия слоя жидкости с идеально теплопроводными внешними границами, было обнаружено в [36]. Подробное изложение теории вибрационной конвекции можно найти в монографии [37], в которой также приведен обзор основных результатов, полученных в данной области. В соответствии с [37], разделение всех процессов на быстрые и медленные можно провести, если характерное время вибраций много меньше гидродинамического и теплового времен: соу> V/Н2, (о^> %/к2 ,.гд,с со - частота вибраций, V - кинематическая вязкость, % - коэффициент температуропроводности жидкости. В: то же время, для возможности пренебрежения сжимаемостью необходимо выполнение условий асо<с:с и Л,:»/?, где с - скорость звука, Я - длина звуковой волны, соответствующей частоте вибраций-. Амплитуда вибраций а должна быть малой а/30<£ И. . .
При определенных условиях жидкость при действии вибраций может находиться в так называемом состоянии квазиравновссия. При этом жидкость в среднем остается неподвижной, совершая лишь пульсационное движение.. Условия существования квазиравновесных состояний можно найти в.[37].
Вибрации влияют также на форму поверхности раздела сред. Общий теоретический подход для исследования поведения поверхностей раздела в поле высокочастотных малоамплитудных вибраций сформулирован Д.В;Любимовым и А.А.Черепановым. В [38-42] на основе этого подхода исследован ряд конкретных задач о поведении поверхности раздела в вибрационных полях различной природы. Расчеты [38-42} объяснили поведение поверхности раздела при действии различного типа вибраций, наблюдавшееся в
. . . * * • 13
экспериментах [43, 44], где было обнаружено, что вертикальные вибрации подавляют развитие неустойчивости Релея-Тейлора, а горизонтальные вибрации делают плоскую горизонтальную поверхность раздела неустойчивой, формируя на ней квазистационарный периодический рельеф. Изложение общего подхода для исследования поведения поверхностей раздела при действии вибраций различного типа и результатов решения конкретных задач по этой тематике можно найти в монографии [45].
Исследование влияния вибраций на возникновение термокапиллярной конвекции в двухслойной системе с плоской границей раздела проведено в работах [29, 30]. Показано, что высокочастотные вертикальные вибрации подавляют движение в поперечном направлении и более эффективно воздействуют на движение в слое большей толщины. При этом в толстом слое возникает двухвихревое течение, которое имеет слабый конвективный перенос тепла. Роль слоев в формировании термокапиллярной неустойчивости меняется в сравнении со случаем отсутствия вибраций.
Исследованию влияния высокочастотных вертикальных вибраций на устойчивость механического равновесия двухслойной системы несмешиваю-щихся жидкостей с близкими плотностями посвящен раздел 1.4 диссертационной работы.
ОБЗОР К ГЛАВЕ 2
С быстрым развитием электронных технологий и широким использованием интегральных схем значительно возросла необходимость в создании полупроводниковых кристаллических подложек высокого качества. Одной из главных трудностей на пути получения совершенных материалов для создания полупроводниковых подложек является большая сегрегации примеси на фронте кристаллизации и неустойчивость фронта, поэтому актуальной является разработка способов управления тепломассопереносом в процессах кристаллизации. Вторая глава диссертации посвящена исследованию возможно-
14
сти управления процессами тепломассопереноса при направленной кристаллизации с помощью высокочастотных вращательных вибраций.
1. Методы выращивания кристаллов
Можно выделить три группы основных методов кристаллизации: из твердой фазы, из 1'азовой фазы, из жидкой фазы (расплав, раствор) [46-50]. Рассмотрим наиболее распространенные методы получения монокристаллов полупроводников в промышленных масштабах. Классический метод выращивания кристаллов из твердой фазы - метод зонной плавки. При использовании этого метода вдоль длинного слитка твердого материала медленно перемещается узкая зона расплава, в результате чего, благодаря рекристаллизации, происходит перераспределение примесей в слитке [51-53]. При выращивании из газовой фазы, примесь медленно выпаривается из раствора, пары охлаждаются и конденсируются. Метод молекулярной эпитаксии (ММЭ) позволяет последовательно слой за слоем наращивать полупроводниковые чипы на подходящей кристаллической подложке [54-56]. В каждом слое (толщина которого может не превышать диаметра одного атома) точно повторяется кристаллическая структура подложки. Для производства крупных монокристаллов применяют методы кристаллизации из расплавов. Самые распространенные среди множества способов выращивания кристаллов из расплавов: метод Чохральского, вертикальный и горизонтальный методы Бриджмена. Суть метода Чохральского (впервые метод описан в [57]) заключается в вытягивании кристалла из расплава с помощью затравки. Затравка представляет собой маленький кусочек того материала, который и нужно вырастить, она служит образцом для нового кристалла и центром кристаллизации. Затравка вращается и поднимается вверх, как бы вытягивая новый кристалл из тигля, в котором находится расплав [58]. Исследованию влияния различных факторов на процесс кристаллизации методом Чохральского посвящено большое количество статей (см., например, [59-62]).
В вертикальном (горизонтальном) методе Бриджмена (Рис. 1) расплав находится в вертикально (горизонтально) закрепленном тигле с остроконечным
15
- Київ+380960830922