ОГЛАВЛЕНИЕ
СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ И СОКРАЩЕНИЙ.......................... 3
ВВЕДЕНИЕ............................................................. 5
1. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О РАСПАДЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО РАЗРЫВА НА СКАЧКЕ ПЛОЩАДИ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ.............................
23
1.1. Построение решения задачи РПР СПС для газа Дюпре в области физически допустимых значений входных параметров.......... 23
1.1.1. Выбор типа и определение параметров модели РПР СПС 23
1.1.2. Втекание................................................ 27
1.1.3. Истечение............................................... 44
1.2. Ограничения на входные параметры задачи РПР СПС для идеального газа при звуковом истечении............................... 64
1.3. О некоторых аспектах численной реализации варианта схемы С.К.
Годунова для квазиодномерных уравнений в случае газа Дюпре 70
Выводы............................................................. 78
2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О РАСПАДЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО РАЗРЫВА В УЗЛЕ СТЫКОВКИ ТРЕХ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ КАНАЛОВ И НА ЛОКАЛЬНОМ ПРЕПЯТСТВИИ....................................... 80
2.1. Разделение потоков в узле стыковки трех параллельных каналов 80
2.2. Смешение потоков в узле стыковки трех параллельных каналов 89
2.3. Два типа моделей РПР для трубы с локальным препятствием....... 94
Выводы............................................................ 113
3. РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ ГАЗОВ В СИСТЕМАХ РАЗВЕТВЛЕННЫХ КАНАЛОВ......................................................... 115
3.1. Распад произвольного разрыва в узле стыковки под произвольным углом двух и трех каналов................................ 115
3.2. Распад произвольного разрыва в узлах стыковки L- и Т-образных каналов.................................................. 131
3.3. Распад произвольного разрыва в узлах стыковки П- и Ш-образных каналов.................................................. 135
Выводы............................................................ 139
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.......................................................... 141
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАН НОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.................................. 142
СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ И СОКРАЩЕНИЙ
s - площадь поперечного сечения канала;
В - узел стыковки каналов (линия разрыва);
R (R) - прямая (обратная) центрированная волна разрежения;
S (S) - прямая (обратная) центрированная ударная волна;
(R,S)~ одна из волн (R или S);
Т - контактный разрыв; р - давление газа;
р - плотность газа; е - удельная внутренняя энергия; и - скорость потока; с - скорость звука;
М - число Маха;
у - отношение удельных теплоемкостей; а - коволюм газа;
е = рО!р - а)!(у -1) - калорическое уравнение состояния для газа Дюпре; y/j(p) O'= 1,2) - функции, задающие зависимость (/7,м)-диаграмм состояния газов с соответствующими начальными значениями (р,-,£/,-);
Rs - вектор силы реакции местного сопротивления;
О - угол между продольными осями стыкующихся каналов; ср9с- параметры задачи о распаде произвольного разрыва;
МС - местное сопротивление;
КМС - коэффициент местного сопротивления;
ЛП - локальное препятствие;
СПС - скачок площади (поперечного) сечения канала;
РПР - распад произвольного разрыва;
задача РПР СПС - задача о распаде произвольного разрыва на скачке площади (поперечного) сечения канала;
ВР - волна разрежения;
4
УВ - ударная волна;
СУВ - стоячая ударная волна;
КР - контактный разрыв;
ЛП - локальное препятствие;
1ІР - поверхность разрыва;
ПП - перфорированная перегородка;
задача РПР ІІП — задача о распаде произвольного разрыва на перфорированной перегородке.
Все расчеты, за исключением особо оговоренных случаев, проведены в относительных переменных
р = Р/ ; р = Р/ ; й = 1/ ; а = ар$; с% = ^0/ ; V =а + , а в
у /п>о /Ро Ао 0 /Ро /Ро /т
качестве основных значений взяты нормальные значения параметров
р0 =105#а ; Т0=ЖК\ у = \А\ а = Ъ,№мУкг.
#
»
ВВЕДЕНИЕ
Проблема расчета параметров газа на внутренних и внешних границах расчетных областей является одной из самых важных проблем в вычислительной газовой динамике. Граничные условия варьируются достаточно широко в зависимости от типа решаемых задач, поэтому вряд ли можно предложить метод, пригодный для всех случаев. Ниже рассматривается подход, приемлемый для расчета параметров газа на внутренних границах высокоскоростных легкогазовых установок. Потребность в исследовании процессов и явлений, происходящих при высокоскоростном (свыше 3 км/с) полете и ударе, возникла и постоянно поддерживается в результате интенсивного развития космической техники. Поскольку прямые эксперименты на космических объектах чрезвычайно дороги и не всегда возможны, были разработаны средства высокоскоростного метания, то есть установки и устройства, позволяющие разгонять твердые тела (элементы) до высоких скоростей в лабораторных и полигонных условиях. Разные средства высокоскоростного метания базируются на различных физических принципах. Так, например, при метании взрывом тело ускоряется продуктами детонации взрывчатых веществ [83, 84, 66, 64, 85], в легкогазовых установках метаемый элемент разгоняется предварительно сжатым легким газом (водородом, гелием) [82, 87, 19, 40], а в электродинамических контактных ускорителях на тело действует сила Лоренца [114]. Среди средств высокоскоростного метания легкогазовые установки (ЛГУ) занимают особое место, поскольку предназначены для метания тел заданной массы и формы в заданном направлении. Первая ЛГУ была разработана в США [103] в 1948 году и, судя по входным параметрам, предназначалась в качестве альтернативы существующим в то время артиллерийским системам. Однако в силу ряда причин она не смогла составить серьезную конкуренцию артиллерийским пушкам. К концу пятидесятых годов XX века легкогазовые установки оказались востребованными, и с тех пор Соединенные Штаты Америки являются мировым лидером в области высокоскоростного метания из легкогазовых систем. Серьезным конкурентом США в этой области с начала 60-х годов прошлого века был только Советский Союз. В на-
стоящее время ЛГУ, кроме Соединенных Штатов Америки, разрабатываются и используются при проведении экспериментов в Канаде, ФРГ, Франции, Израиле, Китае, Японии и в некоторых научных организациях России, в том числе в НИИ прикладной математики и механики (г. Томск) и в ВНИИ экспериментальной физики (г. Саров).
Классические легкогазовые установки состоят из имеющих общую ось симметрии пороховой камеры, поршневого и баллистического стволов, которые сопряжены между собой коническими переходниками. Пороховая камера ограничена неподвижной стенкой, а баллистический ствол вакуумирован. Объем поршневого ствола между метаемым телом и поршнем заполняется легким (рабочим) газом. После инициирования заряда в пороховой камере поршень под действием образующихся газов приходит в движение и начинает сжимать рабочий газ, который затем ускоряет метаемый элемент.
Одновременно с экспериментальной отработкой классических легкогазовых систем шел поиск новых схем метания из ЛГУ. Так в [22] предложена схема центрированного подгона метаемого тела. Чтобы исключить разрушение метаемого тела при больших сдвиговых напряжениях, в [48-51] сформулирован принцип свободного метания (метаемое тело в процессе разгона не должно соприкасаться со стенками канала), а в [58, 59] предложены легкогазовые системы с перетоком продуктов сгорания из пороховой камеры в камеру высокого давления. В Ливерморской национальной лаборатории (США) разработан проект использования легкогазовых систем для непосредственного вывода в ближний космос капсул с грузами, которые могут выдержать большие ускорения. Для этого в [99] предложены Ь-образная, а в [37] Т- образная легкогазовые системы. Для уменьшения общей длины ЛГУ сотрудниками Балтийского государственного технического университета (г. Санкт-Петербург’) предложена П-образная, а в [13] Ш-образная легкогазовые установки. Из перечисленных новых (нетрадиционных) схем ЛГУ были реализованы в металле только Ь- и П-образные легко-газовые системы.
Высокая стоимость изготовления и эксплуатации легкогазовых систем требует тщательной предварительной теоретической проработки баллистиче-
ских схем метания и математического сопровождения экспериментов. Такой теоретический анализ проводится в настоящее время с помощью компьютерных программ, позволяющих рассчитать внутрибаллистическис характеристики выстрела из ЛГУ. Компьютерные программы реализуют конкретные алгоритмы решетя систем уравнений в частных производных с краевыми условиями, которые моделируют процессы высокоскоростного метания в легкогазовых системах. Поэтому работы, связанные с математическим моделированием процессов выстрела из ЛГУ, а также с теоретическим обоснованием и построением алгоритмов и программ расчета внутрибаллистических параметров как внутри, так и на границах расчетных областей, являются актуальными.
К середине 70-х годов прошлого века в Советском Союзе и США были созданы компьютерные программы расчета выстрела из классических ЛГУ, учитывающие его основные особенности, в частности, волновые процессы в легком и пороховых газах, силы сопротивления поршшо и снаряду при их движении по поршневому и баллистическому стволам, силы сопротивления деформации материала поршня при его движении в коническом переходнике [35, 39, 36, 76, 45]. К настоящему времени при расчете предельных режимов выстрела из ЛГУ учитывается взаимодействие потока легкого газа со стенками поршневого и баллистического стволов (теплоотдача стенкам, плавление и унос материала стенок, засорение рабочего газов), реальные термодинамические свойства легкого газа, сжимаемость материала поршня [17, 101, 87, 88,38].
Частные точные и оригинальные численные алгоритмы решения задач о метании свободного тела, а также расчеты одноступенчатых баллистических установок как со свободным метаемым элементом, так и со скачком площади поперечного сечения представлены в [48, 51, 36, 60, 61, 81, 58, 59,42,43, 53-56, 67, 33]. Параметрические расчеты П-образных легкогазовых систем и ЛГУ с перетоком продуктов сгорания из пороховой камеры в камеру высокого давления проводились Л.С. Нарежневым и Ю.Ф. Христенко. В [24] разработан пакет программ для расчета течения газа в каналах, содержащих характерные типы местных сопротивлений.
Каждая нетрадиционная ЛГУ, как объект математического моделирования, представляет собой систему каналов постоянного и переменного сечения, в которых движутся газы, поршень и метаемое тело. В отличие от классических легкогазовых систем в этих каналах имеются особенности типа скачков площади поперечного сечения, препятствий, не полностью перекрывающих каналы, узлов разветвлений и соединений, как параллельных каналов, так и под углом, а также узлов поворота и разворота газа. В газовой динамике по аналогии с гидравликой особенности подобного типа часто называются местными сопротивлениями (МС). В некоторой окрестности каждого МС поток газа испытывает заметное пространственное воздействие. Конечно, высокоскоростные потоки газа в таких каналах можно рассчитывать, привлекая для всей области расчета или для некоторой ее части нестационарные уравнения газовой динамики с двумя или тремя пространственными координатами. Однако проведение неодномерных расчетов не всегда оправдано, поскольку требует привлечения большого объема вычислительных ресурсов [27, 28, 67, 20]. Поскольку во всех легкогазовых системах продольные длины каналов существенно превосходят их поперечные размеры, ниже рассматривается следующий альтернативный подход.
Эксперименты показывают, что при взаимодействии ударной волны с МС течение, возникающее после распада ее начального фронта, существенно неодномерное. Однако в некоторой окрестности МС устанавливается квазистацио-нарное течение, а вне ее у вновь образованных волн поперечные возмущения за их фронтами затухают [63, 90, 100, 102, 104-113, 115]. Поэтому при описании течений газа в каналах с местными сопротивлениями возможна следующая схематизация. С помощью сечений выделяется участок (зона) локального воздействия. Вне зоны течение считается одномерным, а разделяемые этим участком потоки связываются между собой соотношениями на некоторой искусственно вводимой поверхности разрыва (в ряде случаев вводятся две поверхности разрыва). При этом интегральное влияние разрыва (разрывов) на поток должно быть эквивалентно воздействию на поток выделенной зоны. Кроме этого упростить математические модели позволяют следующие обстоятельства. В первом
приближении легкий и пороховые газы можно полагать невязкими и нетеплопроводными, а теплоотдачу газов стенкам стволов не учитывать. Таким образом, при выбранном подходе процессы в нетрадиционных ЛГУ описываются квазиодномерными уравнениями газовой динамики и газодинамическими уравнениями внутренней баллистики в приближении Эйлера в ряде подобластей, каждая из которых ограничена либо двумя внутренними, либо одной внутренней и одной внешней границами. Внешней границей может быть либо неподвижная стенка пороховой камеры, либо левая сторона метаемого тела или правый конец баллистического ствола, а внутренней - левая или правая сторона поверхности разрыва, моделирующего соответствующее местное сопротивление. На поверхностях разрывов выполняются энтропийное неравенство, а также законы сохранения массы и энергии. В законе сохранения импульса учитываются его потери на МС, которые зависят от вида местного сопротивления. В каждой подобласти вводится в общем случае неравномерная по времени и по пространственной координате разностная сетка. В начальный момент времени значения скорости, давления и плотности газа в узлах этой сетки известны. Для определения параметров газа в следующий момент времени, как правило, привлекаются явные, однородные конечно-разностные схемы, аппроксимирующие исходную для данной подобласти систему уравнений в частных производных [21, 46, 5, 101, 34]. Расчеты обычно проводятся с общим для всех подобластей шагом по времени, выбираемым из условия устойчивости разностных уравнений. Чтобы замкнуть алгоритм расчета, на каждом шаге по времени необходимо определить параметры газа на внешних и внутренних границах каждой подобласти. После этого процесс расчета повторяется. Особые сложности возникают при определении параметров газа на внутренних границах. Цель диссертационной работы - теоретически обосновать и построить алгоритмы и программы расчета параметров газа на внутренних границах, моделирующих в нетрадиционных ЛГУ местные сопротивления. Она достигается следующим образом. Поверхность разрыва, соответствующую конкретному МС, располагают на границе подобластей между соседними узлами разностной сетки. Тогда параметры газа на поверхности можно определить, решив задачу об обобщенном распаде
произвольного разрыва, который возникает при взаимодействии двух масс газа, находящегося в соседних ячейках. Полученное решение справедливо в течение шага по времени. Заметим, что при расчете легкогазовых систем можно считать, что для легких и пороховых газов справедливо уравнение состояния Дюпре [47, 57, 79].
Специфика течений газов в ЛГУ предъявляет вполне определенные требования к решениям задач обобщенного РПР:
- адекватность решений задач обобщенного РПР реальным физическим процессам, происходящим в переходной области;
- существование и единственность решений задач обобщенного P1JUP для всех физически допустимых значений входных параметров;
- простота в реализации алгоритмов решения обобщенных задач РПР. Удовлетворить в максимальной степени всем перечисленным выше требованиям вряд ли возможно, поэтому приоритет отдавался первым двум. Соблюдение первого требования означает верифицируемость законов сохранения массы, импульса и полной энергии а также условия неубывания энтропии на линии разрыва. В алгоритме следует также предусмотреть возможность согласования результатов численных расчетов с имеющимися экспериментальными результатами, либо расчетными данными задач в более строгой постановке. Такое согласование достигается за счет разумной схематизации РПР, отражающей существенные физические аспекты рассматриваемого процесса и в то же время содержащей неопределенность (параметрические соотношения) в задании характеристик МС, которая не может быть снята без привлечения дополнительной информации извне. Второе требование означает возможность доказательства существования и единственности решений задач обобщенного РПР во всей области определения её входных параметров. То есть предварительно должно быть исследовано качественное поведение решений соответствующих задач для всего диапазона значений входных параметров, и при необходимости предусмотрена возможность доопределения решений там, где они не существуют. Третье из перечисленных требований предполагает «экономичность» алгоритма в смысле максимально возможного сбережения ресурсов (машинных, логических и т. п.).
Построение алгоритмов решения обобщенных задач РПР для некоторых типов МС в контексте перечисленных выше требований и составляет новизну результатов данной работы. Основная идея решения состоит в том, что члены, учитывающие потери импульса на соответствующих МС, задаются с константным произволом. Впервые параметрический способ задания реакции потока на уступ для скачка площади поперечного сечения канала был предложен в работе [29]. Дальнейшее развитие этого подхода в настоящей работе позволило сконструировать алгоритмы РПР для ряда характерных типов МС, полностью удовлетворяющим первым двум упомянутым выше требованиям. Особо следует отметить, что с методологических позиций в работе реализован один из возможных подходов к решению обобщенных задач РПР, который, по мнению автора, позволяет с наибольшей полнотой и конкретностью осветить важнейшие аспекты этих решений. Получить аналогичные результаты на основе иных подходов, например, [95, 97,23], либо не удается, либо представляется проблематичным.
Практическая применимость работы состоит в том, что предложенные в ней обобщенные алгоритмы РПР могут быть использованы при расчете течений газа в каналовом приближении в системах труб постоянного и переменного сечения с такими местными сопротивлениями как скачки площади поперечного сечения, препятствия, не полностью перекрывающие трубу, узлы разветвлений и соединений как параллельных труб, так и под углом друг к другу, а таюке узлы поворотов и разворотов газа.
К настоящему времени решения классической задачи РПР построены для достаточно широких классов уравнений состояния. Так для изотермического газа задача РПР как основная модельная задача для описания разрывных течений была рассмотрена ещё в позапрошлом веке Б. Риманом [77]. В [62] II. В. Кочи-ным был рассмотрен случай политроиного газа, а в [65] Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшицем проведено качественное исследование задачи РПР для нормального газа. В более поздних работах [68, 78, 91] приведено решение классической задачи РПР для нормального газа, причем в [68, 78] доказываются существование и единственность решения, а также приводятся формулы для расчета параметров течения. В [91] рассмотрен алгоритм решения задачи РПР для сред с дву-
членным уравнением состояния. В [1] решение задачи РПР получено для произвольного выпуклого уравнения состояния, удовлетворяющего условиям Бете-Вейля. При этом авторами отмечено, что нарушение условия выпуклости может повлечь неединственность решения. Алгоритм, предложенный в [92], при тех же ограничениях на уравнение состояния, что и в [1], требует меньшего объема вычислительных ресурсов. Использование условия выпуклости позволяет свести расчет распада разрыва к последовательному интегрированию систем дифференциальных уравнений для определения давления и плотности на контактном разрыве с учетом монотонной зависимости разности давлений на КР от шага интегрирования. В [93] для выпуклых уравнений состояния значения газодинамических параметров вблизи точки распада разрыва рассчитываются с помощью разложений соответствующих функций в ряды. Такой подход позволяет рассчитать газодинамические функции на линии t = const для всех возможных конфигураций распада разрыва. При отсутствии автомодельных решений у неоднородных систем уравнений гиперболического типа решение задачи РПР в [80] предложено искать в классе ДП-решений.
Можно выделить два основных аспекта практического использования решений классической задачи РПР. Первый - при получении решений некоторых задач газовой динамики о взаимодействии сильных разрывов, например [78, 89], второй - при построении ряда разностных схем для численного интегрирования газодинамических уравнений и при расчете граничных параметров газа, например, [21,91,46, 32,101].
В работах [63, 90, 100, 102, 104-113, 115] проведено детальное исследование волновых процессов в каналах переменного сечения. На основе изучения экспериментальных данных были установлены закономерности, подтверждающие гипотезу о квазиодномерном характере течения в окрестности изменения поперечного сечения канала. Эти исследования подготовили почву для обобщения классической задачи РПР на случай канала со скачком площади поперечного сечения. Впервые задача РПР СПС поставлена и решена В.Г. Дуловым [29], а позднее независимо - И.К. Душевым [95]. Более поздние работы этих авторов и
их сотрудников привели к появлению теории обобщенных задач о распаде произвольного разрыва [31].
Для дозвуковых течений идеального газа в [16] приведен алгоритм расчета течения в окрестности скачка площади сечения, основанный на предположении об изоэнтроничности течения в этой зоне. Показано хорошее совпадение численного решения с аналитическим и данными эксперимента. В [86] решение задачи РПР СПС конструируется в области допустимых значений параметров. Реакция К уступа предполагается функцией числа Маха набегающего потока. В [18] для описания нестационарного движения идеального газа в системе каналов используется понятие сеточного графа, узлы которого содержат МС. Для определения параметров течения в узлах графа используются интегральные законы сохранения и соотношения на характеристиках.
В рассмотренных выше моделях квазиодномерных течений влияние МС на поток учитывается посредством привлечения дополнительной информации, полученной гипотетически или из эксперимента. Возможен иной подход к определению интегральных характеристик потока в зонах локального воздействия. В [25, 26] для замыкания системы уравнений, связывающих параметры газа в переходной области, привлекается гипотеза о независимости коэффициента восстановления давления от любых геометрических воздействий на поток. В [25] приведены результаты расчета весового коэффициента среднего давления
(рр для адиабатических течений идеальной сжимаемой жидкости и несжимаемых течений газа в канале с внезапным расширением. В последнем случае с доверительной вероятностью, большей 0.95 и удовлетворительной погрешностью
показано совпадение расчетного и опытного значений <рр. Сформулированная в
[25, 26] гипотеза позволяет расширить область применения квазиодномерного подхода при описании течений газа в каналах сложной геометрии.
В цитируемых выше работах решение задачи РПР получено для различных типов конфигурации переходной области. В [16] рассматривается процесс дозвукового истечения из широкой части канала в узкую. Выбор соотношений на СПС обуславливается предположением об изоэнтропичности течения. В [23]
- Київ+380960830922