хз
Оглавление
Стр.
Введение.......................................................6
1. Обзор теоретических подходов к описанию
развитых турбулентных течений. 13
1.1 Общая характеристика современных моделей развитой гидродинамической турбулентности.............................13
1.2 Прямое численное моделирование турбулентности..............20
1.3 Уравнения Навье-Стокса, осредненные по Рейнольдсу . 22
1.4 Моделирование большими вихрями.............................26
1.5 Детерминированный хаос и гидродинамическая турбулентность..29
1.6 Другие перспективные подходы к описанию турбулентности 34
1.7 Выводы по первой главе ................................... 38
2,Обобщение модели локального баланса и обобщенные решения Кармана.............................................41
2.1 Вывод основных уравнений модели............................41
2.2 Стационарное решение диссипативной модели для плоского течения Куэтга...............................................55
2.3 Безнапорное турбулентное течение в цилиндрической щели 57
2.4 Крупномасштабность модели обобщенного локального
баланса.....................................................67
2.5 Модель турбулентности. Стационарность и нестационарность... 69
2.6.Развитое турбулентное течение Тэйлора-Куэтга между двумя
соосными вращающимися цилиндрами............................71
2.7 Сравнение с экспериментами.................................75
2.8 Закон сопротивления для турбулентного течения Тэйлора-Куэтга при очень больших числах Рейнольдса при вращении только
внутреннего цилиндра............................................ 81
2.9 Турбулентное течение в круглой трубе............................ 87
2.10 Выводы по главе ................................................90
3.Нестационарное крупномасштабное моделирование плоского турбулентного течения Куэтта.....................................92
3.1 Феноменологическое уравнение переноса удельной скорости диссипации турбулентной энергии и саморегуляризация его разностной аппроксимации............................................98
3.2 Об уравнении переноса импульса в приближении постоянства
во времени удельной скорости диссипации турбулентной энергии 105
3.3 Взаимодействие крупномасштабных полей скорости и диссипации
в приближении локального баланса турбулентной энергии.......... 111
3.4 Регуляризация уравнений модели введением операторов
высокого порядка по пространственным переменным.................114
3.5 Анализ проведенных численных экспериментов......................122
3.6 Выводы по главе... .......................................... 130
4.Новос уравнение для мелкомасштабных поляризационных Фурье-компонент в анизотропной турбулентности. 132
4.1 Введение........................................................132
4.2 Вывод уравнений для мелкомасштабных фурье-компонент скорости
в анизотропной турбулентности ..................................133
4.3 Приложение для моделирования большими вихрями...................141
4.4 Сравнение с некоторыми другими моделями ........................142
4.5 Вывод основных уравнений в спектральном пространстве 144
4.6 Вывод основных уравнений в физическом пространстве 153
4.6.1 Выводы 155
4.7 Баланс турбулентной энергии в спектральном пространстве... 156
4.8 Линейная неустойчивость сдвиговых турбулентных течений, создаваемая мелкими вихрями ... 159
4.8.1 Введение.....................................................159
4.8.2 Линейный анализ устойчивости мелкомасштабных поляризационных Фурье-компонент скорости в анизотропной турбулентности .... 160
4.8.3 Анализ результатов и заключение 164
4.9 Выводы по главе.................................. 165
5. Обобщенная модель Навье-Стокса-Бюргерса для метода моделирования большими вихрями в неизотропной турбулентности 168
5.1 Мотивация постановки задачи 168
5.2 Уравнения модели...............................................169
5.3 Спектры напряжений Рейнольдса и энергии квазиоднородной турбулентности ... 174
5.4 Спектры энергии и напряжений Рейнольдса для случая однородного сдвига............................................. 176
5.5 Асимптотики одномерных спектров Рейнольдса в области
очень больших волновых чисел ..................................180
5.6 Поведение спектров в области малых волновых чисел.... 187
5.7 Численный расчет спектров напряжений Рейнольдса и энергии.
Сравнение с экспериментами................... 191
5.8 Г рафики спектров энергии и напряжений Рейнольдса 193
5.9 Выводы по главе 195
6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ.........................................200
Список литературы.................................... 208
ЬВЕДЕНИЕ
Проблема описания развитой гидродинамической турбулентности остается одним из важнейших направлений исследований математиков , гидромехаников и физиков. Причина состоит, с одной стороны, в распространенности турбулентных течений в природе и технике, с другой стороны, в чрезвычайной сложности описания из-за неустойчивости явления турбулентности , возбуждения громадного числа степеней свободы среды и сильным нелинейным взаимодействием составляющих гидродинамических полей. Определенные надежды в решении проблемы турбулентности до сих пор связывают с увеличением мощностей будущих ЭВМ с соответствующим развитым математическим обеспечением , что позволило бы рассчитывать развитые турбулентные течения на основе исходных уравнений Навье-Стокса , справедливость которых для турбулентности разделяет подавляющее большинство исследователей в настоящее время. Однако, представляется маловероятным , что учет всех возможных степеней свободы, для которых необходимо задать начальные условия , одинаково важен для расчетов развитых турбулентных течений . Косвенным указанием на это обстоятельство является наличие универсальных закономерностей в развитых турбулентных потоках , одни из которых справедливы для всех развитых турбулентных течений в соответствующем диапазоне масштабов ( закон
Колмогорова для инерционного интервала), другие справедливы для некоторых классов течений ( логарифмический профиль Нрандтля для скорости, локальный баланс энергии турбулентности и т.п.) [113,114]. IIo-видимому, чтобы вышеуказанные закономерности проявились, необходимо, чтобы развитая турбулентность отличалась коллективным поведением , при котором динамика системы существенным образом определялась бы взаимодействием относительно небольшого числа степеней свободы -” коллективных мод”, а динамика оставшихся мод носила бы пассивный характер. Этот подход соответствует , в целом, подходам бурно развивающейся науки -синергетики. В диссертации автор явно использует метод Хакена [156] для выделения параметров порядка- неустойчивых мод для пульсаций скорости с предварительным переходом к поляризационным компонентам скорости , широко использованных Дж.Ли [315-317] для анализа изотропной турбулентности .
В целом, нахождение таких коллективных мод в произвольных развитых турбулентных течениях представляет сложную нерешенную задачу.
Следует отметить, что огромный вклад в развитие теории гидродинамической турбулентности внесли и вносят такие российские ученые, как
А.Н. Колмогоров, А.М. Обухов, М.Д.Миллионщиков, JI.B. Келлер, A.A. Фридман, Л.Д. Ландау, A.A. Предтеченский, В.Ю. Юдович, М.М.Сущик
, Б.Л.Рождественский , А.С.Монин , А.М.Яглом, С.С.Зилитинкевич,
7
U.M. Белоцерковский, Л.М. Опарин, Б.М.Чечеткин, Б.П.Давыдов , U.A. Ладыженская, Е.А.Новиков, М.С. Дубовиков, Л.Н.Секундов, В.С.Львов,
В.В. Новожилов, В.А. Павловский, В.Е. Захаров , Е.А. Кузнецов,
Б.П. Устименко, М.А. Гольдштик, В.Н. Штерн, Н.И. Яворский , A.C. Гиневский, Е.В. Власов, С. Назаренко, П.С. Ланда , Ю.Л. Климонто-вич, В.В. Струминский, Ю.В. Лапин, М.Х. Стрелец, Е.Б. Гледзер, Ф.В. Должанский, Л.Г. Лойцянский, А.Н. Васильев, Л.Ц. Аджемян, Н.В. Антонов, Я.Б. Зельдович , Г.И. Баренблат, Д.В. Чаликов , Б.Н. Коротков,
А.М. Головин, В.И. Воробьев, A.C. Гурвич , В.И. Татарский, Г.Н. Абрамович, A.B. Гапонов -Грехов, А.Д. Гиргидов, М.И. Рабинович , А.Л. Афендиков, В.Н. Жигулев , К.И. Бабенко , В.Б. Вагер , Б.А. Кадер,
Э.В.Теодорович, Ю.С. Качанов , В.Я Левченко, В.В. Козлов и многие другие.
Автор перечислил тех ученых, чьи работы так или иначе оказали влияние на развитие своих собственных подходов к турбулентности. В данной диссертации автор предложил подход для выделения коллективных мод лишь к части развитых турбулентных течений , а именно, приближенно удовлетворяющих локальному балансу энергии турбулентности, что сответствует течениям с большими градиентами средней скорости. Не исключено, что подобный подход применим, практически, к любым развитым турбулентным потокам, поскольку в любом турбулентном потоке из-за неустойчивости крупномасшабного течения развивает-
Я
ся трехмерная структура и представляется мало вероятным зануление всех компонент тензора- градиента средней скорости в каких-либо точках потока ( даже если этого требует геометрия границ потока) из-за спонтанного нарушения симметрии. Основное внимание в диссертации уделено гипотезе и ее следствиям об отрицательности коэффициента диффузии удельной скорости диссипации турбулентной энергии, впервые предложенной автором диссертации, построению детерминистской модели динамики крупномасштабных вихрей с масштабами, равными и превышающими интегральный масштаб турбулентности и фильтрации мелкомасштабных компонент, используя методы решения некорректных задач математической физики [96,145].
Основная цель настоящей диссертации - это создание концепции динамики коллективных крупномасшабных мод , важной для связи описания пространственных характеристик турбулентности в конкретных типах течений и сложного временного поведения и объясняющей наличие в экспериментах ” когерентных структур” и ’’странных аттракторов”. Другая цель состояла в расчете стационарных характеристик турбулентности, включая установление законов сопротивления для ряда важных классических типов течений на основе диссипативной модели турбулентности, предложенной автором настоящей диссертации. Диссертационная работа состоит из пяти глав.
В главе 1 дается подробный обзор наиболее используемых современ-
0
ных моделей развитой гидродинамической турбулентности В связи с важностью концепции динамического хаоса в теории развитой турбулентности [401] дается сводка теоретических результатов и экспериментальных работ по его описанию и выявлению.
В главе 2 дается изложение замкнутого самосогласованного описания на феноменологическом уровне обобщенного приближения локального баланса (диссипативная модель). На основе стационарных уравнений диссипативной модели получены решения для некоторых классических типов турбулентных течений. Характерная особенность уравнений состоит в том, что в случае развитого турбулентного течения между двумя движущимися друг относительно друга плоскостями ( плоское течение Куэтта) воспроизводится классический результат Т.Кармана 1937 года [298], а для других течений Куэтта модель дает существенно новые решения, зависящие лишь от двух классических констант Прандтля-Кармана плоского турбулентного пограничного слоя . Решения сопоставляются с имеющимися экспериментальными данными для данных типов течений. Исследуется также предельное поведение решений при очень больших числах Рейнольдса. Это направление является исключительно актуальным и широко дискутируется мировым научным сообществом.
В главе 3 предложенная концепция локального баланса , используя гипотезы об адиабатичности и методы решения некорректных задач мате-
1П
матической физики, проверяется аналитическим и численным анализом динамики крупномасштабных мод в случае плоского течения Куэтта и сравнением результатов анализа с физическими экспериментами. Маломодовое описание с 12 и 14 переменными дают временное поведение типа хаотического аттрактора при некотором значении параметров модели. Физически эти моды соответствуют компонентам крупномасштабной скорости и диссипации энергосодержащих вихрей, распределенных по ширине канала. Характерная особенность модели - это жесткость систем дифференциальных уравнений, обусловленная существенным различием временных и пространственных масштабов энергосодержащих вихрей по ширине канала, что не позволило автору проанализировать динамику процесса при большем числе мод. ( С другой стороны, при очень малом масштабе дискретизации по пространству модель перестает быть крупномасштабной и выходит за границу области своего применения.)
В главе 4 дается вывод нового более простого уравнения для мелкомасштабной составляющей скорости. Получен новый нетривиальный инвариант тензора-градиента крупномасштабной скорости, который в отсутствии крупномасштабной завихренности сводится к наибольшему собственному числу тензора скорости деформации крупномасштабной скорости. Далее получены системы квазиодномерных (1+1) интегро-
дифференциальных или , альтернативно, в частных производных урав-
11
нений, что позволяет свести исходную трехмерную задачу к одномерной при моделировании турбулентности большими вихрями.
В пятой главе предложена новая обобщенная модель Навье-Стокса-Бюргерса, которая является , по- существу, одной из простейших нелокальных каскадных моделей для анизотропной турбулентности. Линейная часть этой модели соответствует уравнениям Навье-Стокса а нелинейности соответсвуют модели Бюргерса. Простота модели позволяет получить явное выражение для всех спектральных компонент подсеточного тензора Рейнольдса.
19
1 Обзор теоретических подходов к описанию развитых турбулентных течений.
1.1 Общая характеристика современных моделей развитой гидродинамической турбулентности.
Движение газов и жидкостей в природе и технике носит, как известно, преимущественно турбулентный характер. Лишь сравнительно очень небольшая часть явлений, обусловленных относительно медленным движением водных и воздушных масс может быть отнесена к ламинарным : ток крови в мелких сосудах , задачи анализа движения простейших микроорганизмов в лужах, капиллярные струи окрашенной жидкости в печатающих устройствах и т.п. Большинство исследователей в настоящее время полагают, что движение несжимаемой жидкости, не только ламинарное но и турбулентное описывается уравнениями Навье-Стокса [113,114,155].
дгщ 4- щдрц - ид)д;Щ — -д~1д{р (1)
д{Щ = 0 (2)
где д{ - частная производная по ьй пространственной координате, д;(х, 1) - у компонента скорости 0=1,2,3), р- плотность, р- давление, г/- коэффициент молекулярной вязкости жидкости . Здесь и далее по тексту по повторяющимся индексам подразумевается суммирование ( соглашение
13
Эйнштейна). В качестве граничных условий обычно берется условие прилипания на твердых границах. В качестве начальных условий задается значение скорости во всем пространстве, занятом жидкостью. Если обозначить через (7 и Ь характерные скорость и длину течения, то уравнения Навье-Стокса (1) и (2) можно привести к безразмерному виду:
щ = щ/и,
2/г = Хг/Ь,
т = Ь/(Ь/и),
Р = р/(еи2)
дтгч + - Ие~1д)д,У{ — -дiP (3)
где Ле-число Рейнольдса. При больших числах Рейнольдса коэффициент при операторе Лапласа в (3) становится малым, что приводит к большим математическим трудностям в описании развитой турбулентности на основе уравнений (1),(2).
Прежде чем переходить к классификации моделей турбулентности, обратимся к определениям, что же понимается под словосочетанием ”гидродинамическая турбулентность”. Поскольку в настоящее время не существует общепризнанной теории турбулентности , дающей исчерпывающее ее количественное описание, то обратимся к качественным динамическим свойствам жидкости, характеризующим турбулентность.
14
Согласно |372<|, турбулентность- это движение жидкости , обладающее сложной и , по-видимому, случайной структурой на некотором макроскопическом масштабе, важном для динамики. Одним из наиболее существенных свойств развитой турбулентности является усиление процессов переноса импульса, энергии и пассивной примеси в жидкости. Турбулентное течение содержит в себе гораздо в большей степени мелкомасштабную структуру, чем ламинарное течение. Наличие такой структуры при этом свидетельствует об увеличении транспортных свойств жидкости, поскольку эта мелкомасшабная структура развивается из разрушения крупномасшабных структур, которая затем переходит в тепловую энергию жидкости. Другой важной особенностью турбулентных потоков жидкости является их случайность и неустойчивость к малым возмущениям. Два турбулентных потока, которые были почти одинаковы в некоторый момент времени, не остаются тождественными на временных масштабах, представляющих интерес. Эта неустойчивость тесно связана с ограниченной предсказуемостью атмосферных движений . Под развитой турбулентностью обычно понимают турбулентное движение , осуществляемое при числах Рейнольдса, во много раз превышающих критическое число Рейнольдса Яесг, которое определяет переход от ламинарного движения к турбулентному. Статистика развитых турбулентных течений обладает устойчивыми свойствами, в отличие от переходных режимов. Систематическое изложение современной
15
теории турбулентности содержится в [113,114]. Модели турбулентности должны согласоваться с каскадным процессом переноса энергии от больших масштабов к малым и последующей диссипацией мелких вихрей непосредственно в тепло (процесс Колмогорова-Ричардсона [80]), или необходимо дать альтернативные механизмы иерархии масштабов. Кроме того, развитая турбулентность характеризуется с одной стороны пространственно-временным хаосом, с другой стороны наличием в жидкости у порядочных образований - когерентных структур [35,37]. И, если при установлении режима развитой турбулентности говорят о переходах ”порядок - хаос”, то при больших числах Рейнольдса говорят, что хаос порождает порядок [37]. Одна из целей данной диссертации и состоит в том, чтобы дать феноменологичский подход для режима развитой турбулентности, который согласовался бы с хаотическим поведением жидкости, процессом Ричардсона-Колмогорова и давал бы разумные значения коэффициентов сопротивления и пространственных распределений характеристик турбулентности.
Один из аспектов трудностей, с которыми сталкиваются при построении теории развитой турбулентности , связывают обычно с незамк-нутостью системы моментных уравнений [113]. Поскольку гидродинамические поля в развитой турбулентности быстро изменяются в пространстве и времени, было предложено О.Рейнольдсом в 1890 году (см.
, например, [ИЗ]) представлять гидродинамические ноля в виде:
Щ =< щ > -н4
р=<р> +р',
где < щ >, < р >- значения гидродинамических полей, осредненных либо по пространству, либо по времени, либо но ансамблю реализаций. Используя свойства операций осреднения [113 ], получаем соотношение:
< ищ >=< щ >< щ > + < и[и^ > (4)
Применяя операцию осреднения к обеим частям уравнения (1), с учетом (2), (4), после несложных преобразований будем иметь следующее уравнение :
дг < щ > + < и,- > ду < и* > +<9;- < >= < р > -\-iydjdj < щ >
(5)
для средней скорости и уравнение для пульсаций скорости:
< ггу > <щ> +и^и[ = -д~1др + (6)
где У=1,2,3 . Уравнения (5) обычно называют уравнениями Рейнольдса . Эти уравнения уже содержат плавно меняющиеся величины как в пространстве, так и во времени, однако в результате осреднения в уравнениях (5) появились новые неизвестные слагаемые < и\и^ > , где
переменную с компонентами Яу — —д < и'£и'- > называют тензором
17
напряжений Рейнольдса. Отметим, что после взятия операции осреднения уравнение (2) перейдет в уравнение несжимаемости для средней скорости
< Щ >= О
а также уравнение несжимаемости для пульсаций скорости
— О
Уравнения для определения тензора Рейнольдса можно получить из исходного уравнения (1.1), используя операцию осреднения и ее свойства либо для двухточеченых моментов < и'(ж) и'(у) > либо для одноточечных < д'(ж)и'(ж) >, однако число получающихся при этом новых неизвестных всегда будет превышать число имеющихся уравнений, то есть система уравнений будет незамкнута. Замкнуть эти системы можно лишь выразив ”лишние” переменные из каких-либо дополнительных соображений через моменты низшего порядка , для которых уже имеются соответствующие эволюционные уравнения. Поскольку в настоящее время не существует общепризнанного способа такого замыкания, то говорят о проблеме ’’замыкания”. Несмотря на определенные успехи в использовании полу эмпирических моделей турбулентности, полученных исходя из моментных уравнений, которые широко используются на практике, имеются определенные трудности в использовании этого
подхода. В этом подходе не находят применения идеи об когерентных
1Я
структурах, хаосе, каскадном процессе Колмогорова-Ричардсона (однако, см. [66]). Сложность в построении замкнутого описания турбулентности состоит и в том, что при турбулентности происходит возбуждение столь большого числа степеней свободы жидкости N ( согласно [113])
N = Яе^А
или согласно более современным оценкам [73]: N = (Яе/Яесг)°^Ау Яесг-критическое число Рейнольдса, при котором осуществляется переход от ламинарного течения к турбулентному. Обычно Яе = 104 — Ю10 для развитых турбулентных течений, встречающихся на практике, что показывает на невозможность в настоящее время непосредственно рассчитывать развитые турбулентные течения на основе уравнений Иавье-Стокса. Следует отметить, что до настоящего момента отсутствует доказательство существования сильного решения уравнений Навье-Стокса в трехмерном пространстве при больших числах Рейнольдса и на больших промежутках времени (см., например,[164]). Это обстоятельство делает спорными практически любые аналитические и численные результаты, которые получают из этих уравнений.
ю
1.2 Прямое численное моделирование турбулентности.
Прямое численное моделирование турбулентности является наиболее естественным из подходов и является, по существу, областью исследований прикладной математики. К настоящему времени не построено ни одного аналитического турбулентного решения уравнений Навье-Стокса , асимптотические методы пока также не позволили построить приближенные решения уравнений Навье-Стокса , хотя здесь и имеется некоторый прогресс ( см. , например, [107], [205], [327], [355], [412]). В результате ничего не остается, по-видимому, как пытаться численно решать уравнения Навье-Стокса теми или иными методами [353]. Однако в режиме развитой турбулентности возбуждается громадное число степеней свободы N , при этом N (Яе/Яест)9'* , где Яесг- критическое число Рейнольдса, при котором ламинарное течение теряет устойчивость. Поскольку числа Рейнольдса (Яе) достаточно велики для реальных течений, то современные даже самые мощные компьютеры не способны рассчитать такие течения на достаточно больших промежутках времени.
Прямое численное моделирование впервые , по-видимому, использовалось в работе [373]. Расчеты были осуществлены на пространственной сетке 32x32x32 для изотропной турбулентности для числа Рейнольдса
9.П
Ue\ = 35 (определенного no микромасштабу Тэйлора Л). Ссылки на описания рассчетов более сложных типов течений приведены в [353]. Недавно Гото [277] повторил расчеты Орсага и Паттерсона на более мелкой пространственной сетке 1024x1024x1024, в десятки раз увеличив число Рейнольдса, в результате чего был подтвержден вывод первых авторов о справедливости спектра Колмогорова-41 в рамках точности численного эксперимента (константа Колмогорова С=1,64).
Прямое численное моделирование вторичных течений в канале проведено в [161].
В работе Никитина был осуществлен расчет турбулентного течения в круглой трубе [118].
Обзоры прямого численного моделирования турбулентности содержатся в работах [35,37,161,353].
Следует отметить, что, несмотря на возрастающие возможности компьютеров, модели турбулентности все еще необходимы для расчета турбулентности в сложных течениях. Кроме того, из-за распространенности турбулентных течений в природе и технике любая достаточно надежная модель турбулентности или закономерность, установленные для достаточно широкого класса течений, позволяет сократить затрату машинного времени на расчет турбулентности и уделить больше ресурсов компьютера другим аспектам проблемы, например, теории плазменной
турбулентности , предсказания изменений погоды и климата, образова-
91
- Київ+380960830922