Моделирование нелинейной динамики поверхностных и внутренних волн в однородных и двухслойных жидкостях

Содержание ггес*:, с ; і
г . гос ц/гстс:і!сілл
Спік ок (и ионных обозначении и.ЕЛЛОТ- '.м
Введение
А. Современное (<)( гояние проблемы Б. Краткая характерне тика дій < ертлцпп
Часть I. ВОЛНЫ В СЛОЯХ ИДЕАЛЬНЫХ ЖИДКОСТЕЙ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ГЛУБИНЫ
Глава 1 Возмущения свободной границы однородной жидкости
1.1 Аппрокс имацпи линейного дне перс ионного пип ношения 27
1.2 Упрощение» исходных нелпнеиных і равнений 29
1.3 Эволюционное уравнение для поверхнос іньїх воіммцснші 32
1.4 Переход шнейных воли с глубокой воды на ме ікмо 31
1.5 Нелинейные перподнчес кие у< тановнвшиес я вснм\ щення 37
1.0 И(*лпнс‘йньк* уединенные с тационарно бс*г\ щпе решения 42
1.7 Численные решения для трехмерных ВСНМ\ЩЄНІШ 45
1.8 Трансформация нелпнеиных плоских гюверхнос гных волн 48
Глава 2 Волны на границе раздела двух жидкостей различной плотности при наличии твердых крышки и дна
2.1 Упрощение ш ходных нелинейных } равнении 55
2.2 Применение аппрокс пмацнн днсперс ионною с оогношечшя 57
2.3 Трансформация линейных волн в сужающемся канале 61
2.4 Получение нелинейного эволюционною уравнения 01
2.5 Нелинспные плос кие стационарно бегущие возмущения 00
2.6 Нелинейные ирос транс твенные установившие« я решения 71
2.7 Эволюция плоских волн по мере их рас проетраненпя 74
Глава 3 Воздействие внутренних волн на возмущения свободной поверхности в водоемах со скачком плотности
3.1 Аппрокс нмашш линенної о днсперс ионного с оотношенпя 79
3.2 Упрощение исходных нелпнеиных уравнений 81
3.3 Эволюционное уравнение для внутренних волн 85
3.4 Нелинейные плос кие ус гановпвшпеея решения 89
3.5 Определение возмущении свободной поверхнос ТІІ в водоеме
с неглубоким ПІІКНОКЛІШОМ 94
3.6 Нелинспные пространственные ус іановіївшиеся волны 92
3.7 Трансформация плоских веммушешш на обеих границах 99
,Я Нб-о*
(\VirjfA\4tlllir І
Часть II. ДОСТАТОЧНО ДЛИННЫЕ ВОЛНЫ В ВЯЗКИХ ЖИДКОСТЯХ
Глава 4 Возмущения свободной границы одного слоя жидкости
4.1 По* тановка задачи и \ прощеній* ш ходных > равнений 103
4.2 Учет не<тацпонарного трения жидкости о дно 109
4.3 Вывод нелинейною модетьного уравнения 110
4.4 Анализ решений звозюціїонноїо уравнения 112
4.5 Чік ленная реализация рас четой по модельному уравнению 115
4.0 Результаты вычислении по эволюционному уравнению 118
4.7 Моделирование воїн, бегущих в ра мичных направлениях 127
Глава 5 Волны в двухслойных системах между дном и крышкой
5.1 Ней тановка задачи и упрощение не ходных уравнений 137
5.2 Определение зрений о крышку, дно и межд> < лоями 140
5.3 Моде іьное уравнение* дія во імущенни границы ра ше іа 143
5.1 Трансформация не пшенных плоских уединенных во ш 147*
Глава 6 Возмущения границы раздела двух тяжелых жидкостей при наличии свободной поверхности
6.1 Постановка задачи и упрощение шходных уравнений 159
С.2 Нахождение нестационарных трений о дно и междз слоями 103
0.3 Учет инерции жидкостей и нелинейное ти воїн 101
0.4 Вывод молельного шлеї ро-днфференциальыого уравнения 100
0.3 Анализ плоских рс*шеннй эволюционною уравнения 109
0.6 Рас прсн гранение нелинейных уединенных возмущении 171
Глава 7 Волны в горизонтальном канале с двухслойным потоком
7.1 Пос гановка задачи и } прощечше не ходных уравнений 179
7.2 Определение картины возмущенного ючения в слоях 182
7Л Дальнейшие преобразования уравнений движения 187
7.4 Нахождение фазовой скорости н трений на границах 191
7.5 Эволюционное уравнение для воїн на границы рашела 196
7.6 Нелинейные уединенные решения модельного \ рашн*ния 202
Заключение 209
Сине ок цитируемой литературы
213
1
Список основных обозначений
а амплитуда первого »лена в решении типа волн Сгокса.
.1 параметр или оператор в модели второго порядка точної ти.
Ь правая часть в уравнении для амплитуды вертикальной скорости,
( фазовая скорость линейных волн,
С козффнциені ы при разных членах в эволюционных уравнениях.
(І дій криминантуравнения для волн в потоке двухслойной жидкое гн.
дифференциальный оператор,
Е коэффициент при квадратичном по : члене в профиле с корос тн потока,
I вспомогаїельная функция для определения трении на і ранішах,
Г ыпффицпент при шненном по с члене в профиле скорости потока,
(I - ускорение свободного падения,
С изображение шдродинамичес кого напора в простраж і вс» Лапласа,
// глубина слоя жидкое гн.
II расстояние между дном и крышкой двухс тонной жидкое ш.
/ мнимая единица,
/ постоянная интегрирования,
.1 - модуль эллнптпчес кой функции Якоби, к волновое число,
К - вспомогательная величина для волн в потоке двухслойной жидкости. I характерный продольный размер волны.
т текущий номе»]) гармоники ряда, Фурье по трансверс альной координате, М максимальное число Ф\ рье-гармоник ис> трансверс альной координате, п текущий номер гармоники ряда Фурье но продольноп координак*.
.V - максимальное число Ф,\рье-гармоник но продольной координате». р - давление в жидкое ш,
Р изображение вспомогательной функции в иространс тве Лаплас а, ц расход жидкое ти в с леи».
О - амплшуда расхода жидкое ти в с чек», г - горизонтальный радиус-вектор,
П - вспомогательная величина для волн в потоке двухслойной жидкости, л изображение времени в иространс іве Лапласа,
5 - безразмерный парамеїр в формулах для потока двухс тонной жидкое ти, / время,
Т - вспомогательная величина для волн в потоке* двухслойной жидкое ти, н вектор гори юнтальной с ос тавляющей с корости жидкое т и, и - век гор характерной скорости расирос і ранения волн.
('шкоь (М ИОН111,1\ оПоШ«1'/< //и//
е функция, характеризующая иертикатьиып профиль < корос ти жидкости, Г изображение функции г в прос зршстве Лап час а,
/е вертикальная с ос ывляющая скорости жидкое ш,
1Г харамерныи размер задачи в транс вере ачыюм направтенпи, г продольная координата, у трансверсальная координата, с вертикальная координата, о чне ЧОВОН КОЭффПШЮНТ.
) большая приведенная глубина жидкости,
коэффицпен 1 при нелинейном члене в эволюционных уравнениях,
Г гпдрос тат ичес кии член в линеаризованных у равнениях движения.
6 меньшая приведенная глубина жидкости, т малый параметр,
// вертикальное < мещенне е иободнон границы,
( вертикальное < мещеипе I раннцы раздела.
в безразмерный аргумент моненармоническоп санкции,
0 вс помогай* тьная величина дтя затухающих вотн,
О декремещ запхания грави ыциониых колс»бании,
Л «длина волны» гравитационных возмущений,
Л линейный Фу рье-оператор для «дпфферсчпша !ЬНОП» модели.
// коэффициент при втором члене в решении шла волн С1 оке а.
V кинема 1 ичес кая вязкое ть,
£ продольная коордпназа в двнжущейс я с не теме отс чем а. р плотность жидкое гн, а поверхностное натяжение, г касательное трение на границе елоя жидкое ш,
О вспомогательная функция в методе квазнпрос 1ы\ волн.
Ф вс помогательная функция для дв\х с чоев с о с вобешной поверхнос тью. ^ - угол между наиравтс*нис*м распрей гранения волны и осью 0\,
\ - приведенная масса двухслойной жидкости,
С приведенная вязкое Iь двухслойной жидкости,
Ф вспомогательная функция для двух слоев со свободной поверхностью, л круговая (цикличес кая) час тота гармоничен кич волн,
нелинейным Фурье-оператор для «дифференциальной» модели.
г/7 приведенная ветчина ускорения свободного падения,
V оператор градиента, определенный в горизонтальной плоское ш.
1ш(А‘) и Пс(Л-) мнимая и дсиствитсмьная части волновою чне м.
(l
Cttiuoh ot inmiihi\ tHHHihficniin
По Ч1К по Бонда inn модифицированное чп< no Бонда,
Но ЧШ no i идродпнамичес кон гомохроннос i и.
Индом ы:
0 значения величин, относящиеся к бесконечно малой частоте или к невозмущенному поп оку.
1 значения величин, относящиеся к верхней жидкости,
2 значения величин, относящиеся к нижней жидкости, а амплшудные значения величин,
В значения дне с ипативных кспффиииентов.
Вой характеристики с оли гонов уравнсчшя Бус синем ка, а) - значения величин, относ яшиес я к кнондальным волнам, с/ крпгические значения величин,
(I значения коэффициентов, \читывающих дисперсию волн в жидкое jи. D - оиераюр. содержащий дифференциальный операюр О,
] шачения параметров, учи шваюшнх с тационарный поток жидкое ш.
(/ значение безразмерной инершюннои ве шчины.
/ шачения величин, о гное яшнеся к границе раздела, j значения j-ы\ компонс»Н1 величин (п1юдольны\ или транс вере а льных), К(IV характеристики солнюнов уравнения Корхевега до Вриза,
/ - шачения величин, С) I нос яшиес я к верхней или нижней жидкостям,
L - значения величин, обезрлзмеренные на характерный размер волны, ш значение ш-он гармоники колебаний, и значение1 н-ой гармоники колебаний.
N - значения коэффициентов. учитывающих нелпненнос ть волн,
I значения координат, характеризующие рас положение ирепятс твня,
^ - значения величин, о гное яшнеея к свободной поверхнек III.
5 значения коэффициентов, учитывающих наклон внешних границ,
/ оператор, С одержлщии ДИффорсЧШИроВаННО НО времени,
I шачения продольных компонент величин,
I/ значения лраневерсальных компонент величин,
J - большая приведенная величина,
6 - меньшая приведенная величина,
v значения величин, обезразмеронных на кинематичес кую вя зкос i ь.
£ оператор, с одержлщии дифференцирование по координате параметр, содержащий час готу гармонических волн.
^ значения безразмерных величин.
Надчерк комплекс ио сопряженное значение величины, а штрих' вспомогательные значения величин.
Введение
А. Современное состояние проблемы
Гравитационные волны в жидкостях с лу жат одним п з к лас (ическнх объемов гидромеханики. Эти вопросы привлекают внимание большого числа исследователей не* только ввиду их исключительной важности для технических приложений, но и благодаря и.х уникальное ги для изучения фундаментальных закономерное тон развншя нелинеиных во шовых с ipyiayp. На свободных границах могут иметь мест волны различных типов: бегущие стационарные пли нестационарные, регулярные» щи нерегулярные в нрое транс тве. и т д.
К настоящему времени с дое i а точной подробное 1ью изучены линейные волновые* движения идеальной жидкости (например. Лаитхнлл, 1981). 13 ге-чение последних триднаш лет появилась обширная литс*[мтура, посвященная рас прос i ранению нелинейных возмущений в средах с дисперсией (см. монографии Карпмана (1973), Черксчова (197G), Сретенского (1977), У тема (1977), Виноградовой и др. (1979), Захарова и др. (1980), Миро-полы кого (1981). Березина (1982), Пелинове кого (1982). BxaiHarapa (1983), Л>ма (1983). Марчука и др. (1983), Накорякова и др. (1983), Пелинове кого п др. (1984). Вольшшгера (1985), Калоджеро и Дстаспериса (1985). Овсянникова и др. (1985). Абловииа и Спгура (1987). Юэна и Лэика (1987). Габова (1988), Додда и др. (1988), Вольцншерл и др. (1989). Ньюэлла (1989). Селсмова (1989). Шокина и др. (1989), Накорякова и др. (1990), Алексеенко п др. (1992), Dia/in к Локпьоп (1996). Пелинове кого (1996). Отепаняниа и Фабриката (1996), Dingeniaiis (1997), Jolnixem (1997). Ляпидевского и Тешукова (2000), Рабиновича и Трубецкого (2000), Рис кина и Трубецкого
(2000), Франка (2001). Хакнмзянова и др. (2001). Ильичева (2003), Молот-кова (2003), Островского и Потапова (2003), Pcdlosky (2003), Куркина и Пелинове кою (2004) и приведенную в них библиографию). Несмотря на интенсивное ib исследования, эта проблема решена далеко не полное 1ью.
Так, при 1 сореП1чсском моделировании волновых процессов в случаях, когда хараксерный юрпзонтальный размер плоских еллбонелиненных возмущении мал или велик по сравнению с- глубинон жидкое тн, выведены и рассмотрены эволюционные уравнения типа уравнения Коргевега дс* Вриза, Буссшюс ка. Шредпн1с»ра? Бенджамина Оно, Джозефа и им подобные. Из недавних работ на эту н\м> следует выделить статьи Капиова (1998), Бахолдпна (1999), Талиповой и др. (1999), Dias k Ku/uetsov (1999).
8
Ннслслие
Holloway ct al. (1999). Пелинове кою п лр. (2000), Claike с/ al. (2000). Кудряшов«! и Сухарев«! (2001), Dias i: ITidiev (2001), Colley (2002). Слкшяева
(2001) и Grimsliaw e/ al. (2002). Ho of) hicib их применения недостаточно широка: небольшими являются диапазоны длин волн, в коюрых они могут быть in пользованы.
В связи с этим одной из актуальнейших задач гидродинамики, с прак-ТПЧе( КОЙ ТОЧКИ зрения. С Т<1ЛО (ОВМе< ТНОО описание эволюции как длинных, так и коротких трехмерных волн, бслуших по свободным границам. Первой подобной моделью была так называемая рефракционно-дифракционная модель (Beikhoff. 1972), вывод которой вое нроишедеи и в монографии Се-лезова (1989): V (с,;е V у) + ,,/< =1). с = ~'/А. („ = (1л/(1к. Чдесь
oiie])<iTop V определен в горизонтальной н никое ги. у потенциал (коро-c. I и жи д кости, и.* циклическая ч«к io la. а к волновое чис ю. Д«шная модель получила широкое рас nj)oc траненне в инженерных рас чегах (например). Lo/aiio Ac Lin, 1980; Ebrisole. 198j; Hadclei A: Dingemaiis. 1985). Однако она справедлива только дзя линейных гармоничен ких возмущении. Ее обобщение на нос ыциоиарньгн случаи выполнено Белборовоп и др. (1992). Похожий подход дзя нелинейных волн был см ущос звзен в работе Kailiatu A: Kiiby (1995).
Другая модель, предложенная Пелинове ким (1988), пригодна дзя пологою изменения дна п линейных ipeXMepilblX безвихревых ВОШ>щенИЙ // свободной поверхности слоя идеальной жидкое ги произвольной глубины:
где / время, U век юр скорости жидкости, осредненнын по гл\бл-не слоя //, а у ускорение свободного падения. Вывод данной cue юмы двух дифференциальных уравнении основан на простейшей полиномиальной аппроксимации точною (цмнеценденюою) дне перс ионного соотношения: u,2+(A/</) о.’1 = (jli к2. При этом относ п юльная ошибка апирокс имации не превос ходит 11 (/ д 1я фазовой и 18 {/ для групповой с корости во вс ем диагкпоне частот, а с некгр длин волн ограничен лишь капиллярным и планетарным масштабами. В указанной с ытье проведано сравнение решения, полученною на базе «дифференциальной» модели, с известным решением задачи о постепенном переходе монохроматпчес кого линейною возмущения с глубокой воды на мелкую. С’ помощью данного подхода в работе Козлова и Пелинове кого (1989) был также исследован наках гравитационной волны на откос* малого постоянною уклона. Но ошибка при расчею высоты заилеска может дос шгать *10 */.
\ Гон/н чеши*' их тиши щн>Пм \tu
м
ДЛЯ MlKiU'HHOlO щучення двумерных возмущении конечной Д\1П 1111}-ды ш жпьзуекя и много иных меюдов: методы граничных шиегра 1ьны\ уравнений (например. Kim с/ ul.. 1983; Петров и Смолянин, 1993: Афана-<ьев и Стуколов. 1999). методы адаптивных сеток (см. Вольшшгер п др.. 1989). методы конечных элементов с подвижными границами (< м. CJleaves г t «f., 1997). методы, основанные на днекретных моделях несжнмаемои жпд-кос тн (Франк, 2001), и i. д. Большой вклад в развит не ллгорит мов рас чета планарных волн внесен сотрудниками Института вычислительных кинологии СО РАН (Марчук и др., 1983; Clmbaiov к Sliokin, 1987; Шокин и др.. 1989; Chnbaiov с/ «/., 2000; Хакнмзянов и др.. 2001: и г. п.).
Что касаетс я трехмерных нелинейных уравнении для умеренно длинных возмущений, то в первою очередь нужно отменить так на плваемое цилиндрическое» уравнение Коргс»В(»га де Вриза (Лутовцов и Лутовцов, 1909) Оно справедливо, когда длина волны мною мс»ньше расстояния до осп симметрии ыдачи. Хорошо известная модель Кадомцева Пеюиашвиш (1970) предполагает, чго характерныи горизонга шный масштаб рассматриваемых вошущенип по продольной координлю много меньше, чем По 1 ране вере алыюй. В пен лс'днне дес ятилетня вес* больший интерес у пеелс-дователей был привлечен к уравнениям, в которых не* заложена указанная неравноправность направлений (например, Kim с / ul.. 1988; Пелшювскнй и Степанянц. 1994). В первой из этих статей допускалось, что топография можег быть дос галочно крутой, и учитывалась сила Корнолнса. А во второй работе двумерное уравнение Бусспнеска применялось для изучения поперечной н продольной неуоончнвос тн уединенных волн в с родах с положительной дне перс пен. В час т нос тн. были не с ледованы прей транс л венные с олшоны и уединенные возмущения с перисщичое ки модулированным фронтом. Следует подчеркнуть, что все эти эволюционные уравнения пршод-ны только для квазиплоских волн малой, но конечнол амплитугды, бегущих пренмущес твенно в одну сгорош.
В статье* Johnson (1996) для во тушений поверхнос ги слоя идеальной жидкости, распространяющихся как в направлении росы координаты с. так и навстречу, было предложено одно обезразмеренное уравнение:
Здес ь £ малый параметр (о 1 ношение амплитуды волны к невенмущенной глубине слоя). Только этим данная модель лучше уравнения Кадомцева Нетвиашвнлп. Тем не менее*, вычисления, результаты которых продста-
at
di1 di2 :дР 2
: А_.А=0
3 di1 ' Он'1
10
Нм дети
плены в работ«» Джонсона, были выношены для волн, бегущие и разные стороны, в том числе и под различными углами к оси ()\. При зі ом характерные продольный н лрансвереальный масштабы возмущений окалывались сравнимыми.
К сожалению, в упомянутых етаїьях не приведен корректный вывод не -пользовавшихся уравнении, и их авторы пренебрегают диссипативными потерями, связанные < трением о дно и на других границах жидкое теп. Вопрос о нелинейных волновых процессах в вязкой жидкости, вообще, тучен слабо. При учеге дне с пплшш ос новное внимание уделялос ь затуханию волн, а эффекі их торможения практически не рассматривался. Однако в некоторых же периментах (например. Haminack к Segui. 1974) отмеча-лосъ, что с корос л н рас прос з ранения і равитацпонных возмущений нес колько ниже* значений, предс ка зываемых невязкои теорией. Кроме того, при тсоретических исследованиях волновых піюцессов для греїшя жидкости о дно и на других границах обычно інпользовали либо его квазистапио-нарное (пропорциональное скорости) значение» (Псхлиновскип. 1971), либо значение, ус редненное на длине волны (Keulegaii, 1948; Cliestei, 1908; Oft к Sudan, 1970). Только в рабо і е Kakutani к MatMiuelii (1973) с помощью с гаидартного метода разложения ио малому параметру и преобразования Фурье для возмущения лОЛ1ЦПНЫ слоя получено уравнение Коріевеїа де Вриза с* дополнительным диссипаливным членом типа интеграла Дюаме-ля. Анализ явлений, описываемых выведенным уравнением, в зтой етаїье сделан не» был. <1 в дальнейшем одним из авторов проводилис ь лишь численные расчеты (Mat.xuuelii. 197G). В работе СЬен (1989) вязкий член в виде свертки аналогичным образом добавлен к уравнению Кадомцева Пе-твнашвнли.
Другой подход к моделированию пространственных волн основывается на использовании систем уравнений, все из которых с одержи г как линейные, так и нелинейные слагаемые (например, Peiegiine, 19G7; Карп-ман. 1973; Gieen к Naghdi, 197G). В них входят осредненное по глубине слоя значение скоро« ги жидкости (или потенциал із случае безвпхрево-ю движения) и отклонение границы раздела. Такие системы достаючно сложно решаїь и не с ледова і ь, но они пригодны для существенно трехмерных возмущений н различной геометрии дна, что позволяет применять их для расчета волн в натурных условиях и технических устройствах (Марчук и др., 1983; Вольциигер и др.. 1989; Шохин и др.. 1989; Франк, 2001; Ха-кимзянов и др., 2001). При этом трения на границах обычно олределяюте я в рамках квашс гационарного приближения.
\ ( чи І/і \/« іІІІ()( с Ос ІчАШП IIJn/Gji *•!« З
Понимание динамики ее тсс і венных водоемов не реа іьио без расе мол рения вопроса о волнах в ( гратифншірованньїх жидмиїях (например, tie Блон и Майсек. 1981; Филлипс. 1982). Для правильного описания внутренних во змилений в морях и океанах, содержащих пнкнокліїн, необходимо задавать реальную зависимость плотности or глубины. Но наиболее» простои моде 1Ыо. учитывающей с тратификацию. являен я профиль в інше одної! ступеньки. Хотя и двухслойной жидкое III ВОЗМОЖНЫ только две» моды колебании (барогрешная и первая бароклинная). wo ограничение не так серьезно. Результаты наблюдении показывают (Л<* Блон и Машек. 1981). что во многих ситуациях большая часть энергии приходится именно на первые две моды колебаний.
В связи с этим как теоретики, так и эксперимент а юры, конечно же. проявили бо іьшои интерес к нелинейным волнам на границах раздела двух нее мешиваюшнхея жидкостей различной плотности, ограниченной сверху и снизу неподвижными «(»деформируемыми поверхностями. В частности. Long (1950) п Benjamin (19G6) нашли формулы для і іавньїх характеристик плос ких у единенных ус гановшшшхе я возмущении. > равнение типа уравнения Кортеш»! а де Вриза для рас с ма і риваемой дв> \< тонной с не темы было выведено в работе» Djoidjevic к Rcclckopp (1978). Скорости и длины ею <о-литоных решении совпадали с полученными ранее резу льтатаміг или были близки к ним. Во всс*х этих статьях была опрс»делеиа одна и ia же зависимость кршического 01 ношения равновесных і лубнн слоев от отношения плотное і ей жидкое той: hlt = где» Кс hi hr = h\/h-> > то
на границе раздела могут наблюдаться одиночные волны типа «хребет», а при //, < наоборот. пша «впадины». Был проведен также и ряд лабораторных опытов по распространению уединенных возмущений (Букреев п Гаврилов, 1983; Гаврилов, 1988а; Гаврилов. 19885; Micliallet к Baithelemy, 1997), позволивших определить, какие модели лучше описывают экс иернменгальные» данные».
Задача о динамике длинных волн малой, но конечной амплитуды в с не теме, соеіоящей из двух слоев и имеющей свободную верхнюю поверхность, была впервые поставлена в работе Keulegan (1953). Но при отыскании уединенных решений Keulegan дополнительно предположил,чю разноси» плотностей жидкое Хей мною меньше их абсолютных значении. Эю позволило пренебречь возмущением свободной поверхности, возникающим при распространении волн на границе» раздела слоев. Указанное» ограничение было снято в с гатьс» Peteis к Stoker (1960). где два найденных класса решении были названы быстрым и медленным в соответствии < суще« і вен-
12
Ннсді mir
ным различием фазовых скоростей возмущений. С дрмой і гороны, первая чеша характеризуется ( инфазнымп ко ісбанпями частиц жидкое тп в гори-зонілльнои плоскости, в то время как вюр<ія сдвигом фа і на 7г. В этой ( III уацнп ДЛЯ ВО. III медленной МОДЫ КІВІК нмо< ть крптичес кого отношения равновесных і л\бпн слоев от отношения плотностей жидкостен оказалась значительно бо іее сложной: —3/^-3/\ - 1) + Ьг,р,(Зр9 — 4) —р\ = 0.
Если в случае* горизонтальнои нсдеформиру емой крышки 0 < h(< < 1. то при наличии свободной повс*р\нос ш 1 < U,, < 1,25. Такое же* уравнение было получено и в рабо le Kakutain к Jamasaki (1978). где* для внутренних п поверхное іных возмущении в двухслойной C1IUOMO приведены без вывода эволюционные* уравнения шпа уравнения Кор і свега де* Вриза. На слабые* ме< і а іаки\ модс’леп было указано выше*. Большой вклад в решение* матема і ичечких проблем, возникающих при и з\ че*нпи плен ких волн в двух'лонных жидкое тях внес єн є отруднпками Ине ти іута гидродинамики имени М.А..Іавреіпьеиа СЧ) РАН (Овсянников, 1979: Макаренко, 1981: Овсянников и др.. 1985; Стурова. 1988; Ляпидевский и Тешуков, 2000).
11ри ]>ае е мо і рении дне е пиацпи во ш в е тра гнфицнрованном океане* е ле-дуег огметнп» статью Петрова (1979). В ней утверждалсяь, что линейное затухание* поверхностных гравш анионных возмущении за сче*т молекулярної! вяікси ти сущеетвечшо лишь в области умеренно коротких волн, а в диапазоне длинных волн малоэффективны также и извс*с гные из теории механизмы релаксации, обусловленные турбулентной вязкостью (Китайгородский. 1959). Был сделан вывод, что затухание* длинных поверхное і ных возмущений пропс ходит блаюдаря их взапмодойс твпю с о с лучайными внутренними волнами. Эгот результат вс*рен для глубокого окс*ана. но в прибрежной зоне н, в особенное пі, при лабораюрном моделировании решающий вклад в дне с ипацню дают зрение о дно и боковые* с генкп, а в случае* носмсшивающихе я жидкостей и между слоями.
В ряде экспериментов (например, Walker, 1973; Segiu* к Напиши k. 1982; Букреев и Гаврилов, 1983; Міс hallet к Bai t helciny, 1998) исследовалась не только трансформация уединенных волн, но н отмечалось, что скорости распространения гравитационных возмущений несколько ниже* значений, предсказываемых невязкои теорией. Первые попытки учел гь влияние пограничных слоев на динамику длинных внутренних волн малой, но конечной амплитуды, бегущих но граниш* раздела жидкостей, были предприняты Коор к Butler (1981) и Leone (t ai (1982). В этих статьях, подобно рабо і с Keulegan (1948), с* помощью энергетических соотношении п выражений для і рения, ус редненного на длине волны, были выведаны формулы
\ ('он/мча шик чн 1ояшч щню ic\li,i
имя в верхнем и нижнем (тоях \ I раницы ращс их равны i рониям о крмшм п дно еиотвсп ibohho В статье Leone (t al (1982) дни пиацпя у границы раще*ла 34 юна точнее. Том но моноо З'довтеюорнте» ]ьного (опдшя тео-рип < экс перименточ Хаммака (Srgiu i: Hammack, 1982) но псм\ чалое ь, так как в опытах двухслойная система состояла m воды и соляною рас-твора (толщина ппкноклпна менялась от одною до двз\ сантиме еров, что мною больше« размеров во шикающих пограничных ( юов). Очевидно, что в iaKofi ciiTjamin тронно на границе1 раздела но можем оказывать практически никакого воздснствпя. Хотя, вообще»-ю. в рабой» Loono е/ al (1982) не < лодовалек ь кетухашю3 (»дпнонных возмз шонип в двухе лонной ллшкос тн со ( вободной п<)В(»])ХИО( 1ью. рс»Ш(*нпе» удалое ь ле»гко подправить и на е лучан мдачн е тве»|)Дой крышкой (Гаврнтов, 1988а). Кроме* того, Kjn п Баттор по аналогии со статьеч! Kakutani A: Matsuudii (1975) полз чили для функции тока эволюционное» уравнение» е интогра шным члс*ном типа < вертки. ЗЧШЫВаЮШПМ не» ТОЛЬКО IpOHIlO о дно, но и трение» о «крышк\». которой не» бы ю II в их опыlax.
Что каеаокя ыдачн о i равитационных во шах на свободных поверхностях Н(ТТ>боКНХ потоков жидкости со сдвигом продольной скорое ГП. ТО она ,\ла» полнека прпвчокаог внимание» споциатие юв в облас ш гидромеха-нпки (нап[)п\к»р, Bums. 1953; Hunt, 1955; Miles. 1957; Yeltlnii/e»n A: van Wijiigaaulen, 19G9: a также обло]> l><*ic*j»iiiie», 197G). Однако в поеледне»е время интерес к подобным исследованиям заметно всмрос (ем. монографии СТеианянна и Фаб|)пканта (199G), Ляпидевского н Тешукова (2000) п ряд других работ). В частное л п. в недавних е гатьях Пе»линове кого и др. (2000) и Giimsliaw (t al (2002) предложены модельные» уравнения для вну-тре*ннп.\ волн, учитывающие е гационарные потоки нде*альных жидкое ген с кзсочно-послоянной зависимое гью скорое in от глубины в рапичпых многоелонных е [)с*дах.
И$ работ по изучению волн на границе* ращела двухе лонной вязкой жидкости при наличии стационарного с двшовою потока отмешм статью Hooper A: Giinishaw (1985). где* было аналнтиче»е кп показано, что дв\хс тонное* течение Пуазеиля ус юйчнво в широком днапатне парамс»тров. А в ра-боых Charle»s A: Lille*lc»ht (19G5) и Као ^ Paik (1972) для таких же* потоков различных минеральных маее»л е водои в плоских однодюнмовых каналах была зке перпмен 1ально продемонстрирована \с тоичнвос ть ic»4c»hiiii к виз -тренним возмущениям вплоть до возникновения турбзлеитиос TII ( I . (’.. CC .111 числа Рейнольде а для воды не* превышали 2000).
Пін к шн•
Б. Краткая характеристика диссертации
Актуальность темы диссертации обус ловлена, в псрвмо очередь, фундаментальны \ш научными проблемами і ндрешеханикп и общей теории нелинейных во шовых процессов. Несом нон на также практическая значп-мосіь шучення возмущении на свободных г])анпца.\ жидкостей д ія океанологии, метеорологии. гидроакустики, мореплавания и прогнозирования воли цунами. Вследствие важной роли волн в процессах, определяющих горизонтальный п вертикальный обмен в стратифицированных жидкостях, вопрос об эволюции гравитационных возмущении занимает существенное место в понимании динамики сстес івенньїх водоемов в цепом (Ле Ьлон и Машек, 1981).
Цель работы сое гоп і в моделировании распространения во ш малой, но конечной амплшуды на свободной поверхности и і ранние раздела жидкое ієн различной п ютности. При >том если жидкое ш можно с чіпать идеальными, то рассматриваются как ніпкочастогные. так и высокочастотно возмущения. А в вязкпх жидкое тях все внимание уделено длинным (по отношению К гл\бинам С лоев) волнам, полому ЧТО именно Д 1Я них может быть заметным влияние* нес ыционарного грения в прш ранпчны.х об л ас тях.
Краткая аннотация ос новных с емн глав дне с ерташш приведена шике. Общими допущениями являются несжимаемость жидкое ієн. (Лабая нелинейность волн, пренебрежение величинами третьою порядка малое і и, а также неподвижность и недоформнруемость пологого дна (в главах 2. 5. 7
и крышки системы). Во вс ох главах, кроме последней, предполагается, что средние шачонпя скоростей частіш в слоях равны нулю. т. е. < іацпо-нарныо течения отсутствуют.
Первая часть работы посвящена изучению транс формации безвихревых возмущений в идеальных жидкостях произвольно!! глубины (спектр длин волн ограничен лишь капиллярными и планетарными масштабами). Вдсч ь всюду для перехода от с не тем уравнении, с одоржашнх і ори юнтальные компоненты скорое і ей час тиц. к одному у равнению для во шушений с вободных границ использовано приближение» о квазис гацнсшарнос ш волн малой, но конечної! амплитуды (в с цс гемо отс чета, движущейс я вмес гс* с возмущением, форма волны меняется медленно).
В слши 1 исследованы поверхностные возмущения однородной слоя. В разделе 1.1 проанализированы аппрокс и.машш линейного лис перс ионного соотношения различных порядков точности (не юлько полиномиальные*.
/> /\/м!к<1Я \.|/мк/<•/>//< I пял ;нн > < 1> I ниш/
но п дробно-рациональные). В разделе 1.2 бзаюдаря эшм дппроы имаин-ям предложены дифферентыльная е вяль поверхностною п ое редненного по вертикальнои координате значений екороети частиц, которая хорошо согласуется как е известным решенном для очень коротких волн С том а. так и с очевидными результл ымн в низкочастотном пределе. С помошыо данной < вязи и < гандарлных краевых условий выполнено упрощены* < ш юмы исходных не линепных уравнений гидродинамики. В разделе* 1.3 завершен ВЫВОД )В0ЛЮЩЮНН01 о уравнения для 1рехмерны\'возмущечшй уровня жидкости. В раздело 1.4 эю сравнение протез тировано на задаче о и мвнеш переходе» илос кнх линейных во 1Н с глубокой воды на мелкую, и показано. Ч1о ошибка для модели второго порядка точное ли не» превосходи! 4 */. В разделе 1.5 аналитически найдены двумерные» нелинейные ус ыновив-шнеся возмущения шла волн Сюкеа (в предо к» очень высокочас ютных возмущении полученная завис иное ть длел к лас ( ичес кин результл! Стоке а, а для дос 1ЛЮЧНО длинных во ш совпадает < хорошо твое тным вырлженп-с»м. с к'дуюшим из уравнения Кор1 света дс» Вриза) п кнопдальных волн, а также предс ывлены реп 1ьта1Ы вычислении для друшх перподпчс»(кнх решений модельного .уравнения. В разделе* 1.6 тоорегнчоекн определены скорости рас 111Ю(1 ранения и продольные» размеры плоских нелинейных уединенных с таиионарно 6см ущпх во тушении для умеренно ни зкочле л о I ных волн, п проведено их сравнение с характеристиками еолшонов уравнений Бус<шкчка н Кортевега до Вриза. Кроме гого. рассчитаны уединенные двумерные* возмущения по тою уравнения, а в фазовом прост ране изо решении 31 ого уравнения исследовано их повеление вблизи особых точек (положении равновесия). В разделе 1.7 вычне юны различные 1рс»\мерные ус тлновпвшисс я решения, которые* позволили продемош трпровл! ь влияние* величины п направления волновою век юра на вид таких возмущении. Наконец, в разделе 1.8 приведены результаты расчетов по л ране формации нолиненных плоских повсрхнос гных волн (как длинных, так и коротких) не только над юрпзонгальнои твердой границей, но и в бас с еинач с наклонным учас тком дна.
В мам 2 рассмотрены возмущения границы раздела дву\ нес мешп-ВЯЮШИХСЯ жидкостей Произвольной ИЛС)1НО(ТИ между крышкой II дном. В разделе 2.1 выполнено упрощение исходных нелинейных уравнений неразрывное ли и движения для каждого слоя. В разделе* 2.2 протезированы новые» час 1 отные Паде-аппрокс имашш дисперсионного с оси ношения для линейных волн (второй порядок точное л и можем давать ошибку менее 2 '/). Применение данною выражения снова сделало возможным предло-
к»
Нмжииг
ЖИТЬ дифференты ТЬНЫСС ВЯЗИ Г1)<1ННЧНЫ\ II ()( родненных но вергиказыюй координате значений ( корост ей час шц и обеих жидкостях, которые опять хорошо (оглас уются е известными решениями типа ВОЛН СТОКС <1 ДЛЯ ( лу-ч<1я бесконечно глубоких слоев и аналогичным» результатами в длинноволновом пределе. В разделе 2.3 проанализированы два спсн оба изучения трансформации линейных волн в слабо сужающихся кан<1лах. В разделе 2.4 система уравнении сведена к одному нелинейному эволюционному уравнению для трехмерных возмущении границы раздела. В разделе 2.5 аналитически найдены нелинейные плоские стационарно бегущие нерподи-ческие и уединенные решения. Первые из них совпадают с помученными ранее теоретическими зависимое тями для вы< окочас тотных волн и в случае равных неглубоких слоев, а вторые хорошо онис ывают экспериментальные» данные ряда авторов. В разделе 2.6 приведены результаты вычисления форм для различных нелинейных прое гранетвенных установившихся возмущений. Наконец, в разделе 2.7 продемонстрирована эволюция плоских не только длинных, но и коротких волн по мере их распрое гранения как между горизонтальными твердыми границами, так и в канале1 с наклонным участком крышки.
В г лам 3 осугцес твлено моделирование нелинейных волновых процес с ов в водоемах со скачком плотное ш (и внутри, и и на свободной поверхности). В разделе 3.1 благодаря допущению о малости изменения плотное ш по глубине точное днсперс ионное соотношение заменено приближенным, которое представляет собой произведение двух дробно-рациональных аппрокс има-ций, использовавшихс я в предыдущих главах. В разделе» 3.2 с помощью этого выражения исходная система шести уравнений гидродинамики сведена к спс теме трех уравнений. В разделе 3.3 получено одно эволюционное уравнение для трехмерных нелинейных возмущений ппкноклина в широком диапазоне пропорции глубин слоев н длины волны. В разделе 3.4 аналитически найдены периодические II одиночные плоские стационарно бегущие» решения малой, но конечной амплитуды (последние хорошо согласуются с лабораторными измерениями). В разделе 3.5 используя предположение о том, что характерный горизонтальный размер возмущения шачительно больше глубины верхнего слоя, определена дифференциальная связь волн на поверхности водоема < во кмущениямн границы раздела. В разделе» 3.6 представлены результаты вычислений различных прос транственных установившиеся нелинейных волн (как в пикноклине, так и на свободной поверхности). Наконец, в разделе 3.7 рассчитана трансформация двумерных возмущении на обеих границах. В частности продемонс грнрована картина,
I) К/м/кня ла/мк/грш /ш»<1 лписр^щич
которая похожа на интерференцию свободных и вынужденных (возникших из-за уединенной ондулярноп внутренней волны) возмущений поверхности водоема.
Вторая чш ть работы посвящена изучению эволюции достаточно длинных волн в вязких жидкостях. Здесь всюду для перехода от < пс тем уравнений. содержащих горизонтальные компоненты скоростей частиц, к одному уравнению для возмущений свободных границ использовано допущение о том. что волны малой, но конечной амплитуды распространяются лишь в одном направлении. При этом линейные возмущения могут бежать и навстречу друг другу.
В главе 4 исследованы поверхностные волны в одном слое жидкости. В разделе» 4.1 изложена постановка задачи и выполнено упрощенно системы исходных уравнений неразрывности и движения. В разделе 4.2 получено выражение типа свертки для нестационарного трения жидкости о дно. В разделе 4.3 выведено нелинейное модельное уравнение, которое даже для идеальной жидкости над горизонтальным дном является обобщением уравнения Кадомцева Пствиашвнли на случаи сущее твенно трехмерных возмущений свободной границы. В разделе* 4.4 найдены его кнопдаль-ные» II уединенные» бездисенпатнвные решения, сделан дне перс ионных анализ линейных волн, предсказана возможность наблюдения отрыва тонкого придонного слоя и возникновения зоны возвратного течения при распространении гравитационных возмущении. В разделе 4.5 даны разностная схема и метод расчетов по модельному уравнению. В раздело 4.0 представлены результаты вычислений трансформации различных волн малой, но конечной амплитуды над неровным дном. В частное тп, эволюция илек кого возмущения в бассейне» переменной глубины хорошо согласуется с тестовыми опытными данными. Продемонстрирован также1 дисбаланс эффектов длинноволновой дисперсии п слабой нелинейности волн, вызванный уменьшением глубины жидкости, п его компенсация (в ос новном) вязкой диссипацией. Наконец, в раздело 4.7 построена новая модель, которая применима дзя нелинейных волн, бегущих в различных направлениях. Она состоит из одного уравнения для возмущения свободной поверхности слоя и двух простейших линейных вспомогательных, которые нужны для нахождения скорости жидкости, входящей лишь в члены второго порядка малости главного уравнения.
В главе 5 рассмотрены возмущения границы раздела двух жидкостей произвольной плотности, находящихся между твердыми дном н крышкой. В разделе 5.1 содержится постановка задачи и упрощение исходных уравне-
18
Ннсдсиис
Нин гидродинамики. В разделе* 5.2 определены градиент давления на границе раздела, а также нестационарные трения о крышку, дно и между слоями. В разделе 5.3 завершен вывод модельного интегро-дифференциального уравнения для пространственных волн и указаны его плоские бездпсси-пативные решения (периодические и одиночные). Наконец, выполненное в разделе 5.4 сопоставление результатов расчетов с экспериментальными данными ряда авторов показало, что это уравнение хорошо описывает трансформацию нелинейных двумерных уединенных возмущении и лучше других способно предсказать уменьшение амплитуды таких волн по мере их распространения. Кроме того, продемонстрировано влияние вязкостен на эволюцию как плоских, так и трехмерных возмущений не только между горизонтальными твердыми границами, но и в канале с наклонным участком крышки.
В глаье 6 осуществлено моделирование возмущений границы раздела двух жидкостей разной плотности при наличии свободной поверхности. В разделе 6.1 сформулирована постановка задачи и сделано упрощение исходных уравнений неразрывности и движения в каждом слое. В разделе 6.2 найдены выражения для нестационарных трений о дно н между слоями. В разделе 6.3 учтено влияние длинноволновой инерции жидкое тон и слабой нелинейности возмущений. В разделе 6.4 с помощью метода, подобного методу квазнпростых волн, выведено модельное интегро-дифференциальное уравнение для трехмерных возмущений границы раздела. В разделе» 6.5 проанализированы как периодические, так и одиночные плоские решения эволюционного уравнения. Наконец, в разделе 6.6 представлено сравнение результатов расчетов по этому уравнению с опытными данными по затуханию нелинейных уединенных возмущений, измеренными на нескольких лабораторных установках.
В рлаве 7 исследованы полны на границе раздела двухслойного потока в горизонтальном канале с твердыми неподвижными дном и крышкой. В разделе 7.1 изложена постановка задачи (имеется стационарное слоистое течение Пуазейля) и выполнено упрощение исходных уравнений гидродинамики. В разделе 7.2 определена картина возмущенного течения в слоях и показано, что при некоторых параметрах системы и не слишком малых скоростях установившегося потока профили вертикальных компонент скоростей жидкостей могут заметно отличаться от линейных. В разделе 7.3 продолжены преобразования уравнений движения, а также установлены связи давления на границе раздела и горизонтальных составляющих скоростей жидкостей с отклонением этой поверхности в первом приближении.
1) Крлткля \fijMhicpiH игла лііс< ер і лини
В разделе 7.4 найдены формулы для фазовой скорости линейных волн н нестационарных трений на всех границах системы. В разделе» 7.5 завершен вывод модельного интегро-дифференцнального уравнения для возмущений границы раздела и проанализирована зависимость сто основных коэффициентов от скорости установившегося течения и отношения глубин слоев. Наконец, в разделе 7.0 получены двумерные нелинейные стационарно бегущие решения эволюционного уравнения в виде кноидальных н уединенных волн. Показано, что величина и направление установившегося потока жидкости могут изменять не только характерные длины возмущений, но и их полярность.
Научная новизна основных положений, результатов и выводов, полученных в диссертации, может быть сгруппирована в следующие четыре главных пункта.
Во-первых, она заключается в выводе нелинейных эволюционных уравнении, имеющих большую область применимости, чем аналогичные уравнения, предлагавшиеся ранее другими авторами для рассматриваемых задач. Впервые построены п изучены нелинейные «дифференциальные» модели, пригодные для описания трансформации как длинных, так н коротких волн в бассейнах с пологим дном.
Во-вторых, проведен детальный учет вязкости при распространении гравитационных возмущений в мелких жидкостях. Предсказана возможность наблюдения отрывов тонких пристенных слоев и возникновения у твердых границ зон возвратного течения. Кроме того, впервые исследован вопрос о конкуренции между влияниями уменьшения глубины бассейна и нестационарного трения о недеформнруемые границы. В час тности, продемонстрирована ситуация, когда вклады этих эффектов в основном компенсируют друг друга.
В-третьих, предложен новый подход к моделированию динамики пространственных волн малой, но конечной амплитуды, который свободен от основных недостатков, использовавшихся ранее методик. Данный подход применим для слабонелннейных волн, бегущих под любыми углами друг к другу, но нахождение решений и их анализ значительно проще, чем с помощью стандартных систем уравнений.
Наконец, в-четвертых, исследовано влияние установившегося ламинарного сдвигового потока двух жидкостей в горизонтальном канале на вид профилей вертикальных компонент скоростей. Впервые показано, что величина и направление стационарного течение могут изменять не только характерные длины возмущений, но и их полярность.
20
IfocjK'iiiic
Научная и практическая ценность полученных в работе результатов состоит, в первую очередь, в выводе нелинейных эволюционных уравнений, способных описывать волновые процессы на свободной поверхности однородной жидкости н границе раздела двухслойной системы произвольной глубины. Изучение систем со скачком плотности очень важно для понимания поведения внутренних волн в стратифицированных жидкостях с тонким пнкноклином. Поэтому данные уравнения могут неполь юваться для моделирования динамики трехмерных возмущений не только в лабораторных установках, но н в естественных водоемах. Предсказанные явления отрыва тонких пристенных слоев и возникновений возвратных течений у твердых границ при распространении волн могут оказать существенное влияние на процессы тепло- и массообмена в неглубоких слоях жидкостей.
Разработанные в диссертации методы получения эволюционных уравнений могут быть полезны как в других областях физики нелинейных волн, так 11 при решении ряда прикладных задач. Исследование влияния нестационарного трения на трансформацию умеренно длинных нелинейных возмущений свободной поверхности однородной ЖИДКОСТИ II вывод эволюционного уравнения для умеренно длинных волн малой, но конечной амплитуды в двухслойной системе с верхней свободной границей использованы в монографиях Накорякова и др. (1983) и Накорякова и др. (1990) соответственно.
На защиту выносятся следующие основные положения диссертации:
1. Построение дифференциальных моделей для слабонелинейных квазп-стацнонариых трехмерных возмущений свободной поверхности однородной жидкости и границы раздела двухслойной еш темы upon тольиой глубины. Аналитическое определение периодических и уединенных плоских приближенных решений предложенных уравнений. Численное нахождение форм установившихся бегущих пространственных волн и эволюции возмущений при различных пологих изменениях глубин бассейнов или геометрии каналов.
2. Вывод уравнения для расчета воздействия умеренно длинных внутренних волн на возмущение свободной поверхности водоемов с очень тонким пнкноклином. Результаты, демонстрирующие интерференцию свободных и вынужденных (возникших из-за возмущений пикноклина) поверхностных волн.
3. Получение модельных интегро-днфференцнальных уравнений, учитывающих малую, но конечную амплитуду трехмерных возмущений свободной поверхности однородной жидкости и границы раздела двухслойной