Самосогласованная нелокально-гидродинамическая теория неравновесных процессов переноса

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ..............................................................5
ГЛАВА 1. Проблемы описания неравновесных процессов переноса..........12
1.1. Стохастическая природа неравновесных процессов переноса 12
1.2. Замыкание уравнений баланса для неравновесных процессов 14
1.3. О микроскопическом обосновании феноменологических определяющих соотношений........................................16
1.4. Анализ и классификация подходов к обобщению уравнений гидродинамики...................................................18
1.5. Строгие статистико-механические результаты................26
1.6. О выводе уравнений нелокальной гидродинамики методом неравновесного статистического оператора........................29
ГЛАВА 2. Самосогласованные нелокально-гидродинамические модели
квазистационарных неравновесных течений структурированных сред.......................................................36
2.1. Новый самосогласованный подход к построению нелокальногидродинамических моделей неравновесных процессов переноса........................................................36
2.2. Статистико-механическая основа описания неравновесных процессов переноса..............................................39
2.3. Волновая природа неравновесного переноса импульса.........43
2.4. О моделировании релаксационных ядер переноса..............47
2.5. Специфика постановки граничных задач в нелокальных теориях.........................................................51
2.6. Построение пространственных зависимостей релаксационных ядер переноса для квазистационарных процессов...................53
2.7. Физический и математический смысл параметров нелокальной модели..........................................................56
2.8. Трехмоментная модель пространственной корреляционной функции.........................................................60
2.9. Самосогласованное определение параметров нелокальной модели..........................................................63
2.10. Слабо нелокальное приближение............................65
2.11. Сведение самосогласованной нелокальной формулировки 1раничных задач к нелинейной операторной системе................67
2.12. Математическая основа постановки и решения задач о неравновесных стационарных состояниях...........................71
ГЛАВА 3. Стационарное сдвиговое течение среды с учетом коллективного взаимодействия.......................................................77
3.1. Нелокальное обобщение задачи Куэтта........................77
2
3.2. Спектры структуры стационарного сдвигового течения..........81
3.3. Профили массовой скорости при стационарном сдвиге...........84
3.4. Баланс внутреннего момента вращения при стационарном сдвиге...........................................................85
3.5. Скачки скорости на твердых границах.........................87
3.6. Нестационарное течение Куэтта...............................89
3.7. Мезофлуктуации или пульсации скорости.......................91
ГЛАВА 4. Задача о стационарном течении структурированной среды в плоском канале в самосогласованной нелокальной формулировке.........................................................102
4.1. Самосогласованная нелокальная формулировка задачи..........103
4.2. Операторная формулировка задачи............................105
4.3. Асимптотическое исследование задачи........................106
4.4. Приближенное решение задачи................................107
4.5. Анализ решения задачи в самосогласованной формулировке....110
4.6. Эволюция профиля скорости вдоль течения....................111
4.7. Решение задачи о входном участке канала....................114
4.8. Анализ приближенных решений задачи о входном участке 117
4.9. Нелокальное описание течений многофазных сред..............119
ГЛАВА 5. Нелокальная модель пограничного слоя........................129
5.1. Явление турбулентности с точки зрения нелокально-гидродинамического подхода...........................130
5.2. Турбулентность и нелокальность как атрибуты неравновесного переноса.........................................140
5.3. Вывод нелокальных уравнений пограничного слоя.............142.
5.4. Критерии подобия для высокоскоростного обтекания...........145
5.5. Самосогласованная формулировка смешанной задачи для нелокальных уравнений пограничного слоя.........................148
5.6. Квазиавтомодельные режимы в нелокальный теории погранслоя......................................................149
5.7. Плоская свободная струя в затопленном пространстве.........151
5.8. Стационарное обтекание плоской полубесконечной пластины... 153
5.9. Нелокальный пограничный слой в газе с примесью второй
фазы.......................................................158
5.10. О нелокальном описании течений с ударными волнами.........160
ГЛАВА 6. Нестационарные сдвиговые процессы...........................170
6.1. Эффекты памяти в сдвиговом течении.........................170
6.2. Нелокальные эффекты в сдвиговом течении....................175
3
6.3. Торможение пластины за счет генерации
стационарных структур.....................................181
6.4. Движение пластины с околозвуковой скоростью..............190
6.5. Динамика крупномасштабных флуктуаций среды вблизи поверхности пластины..........................................194
6.6. Роль крупномасштабных флуктуаций в неравновесных процессах теплообмена.........................................196
ГЛАВА 7 Пластические течения при высокоскоростном деформировании
конденсированных сред.....................................213
7.1. Специфические особенности импульсного нагружения твердых тел...................................................213
7.2. Экспериментальные основания нелокального описания мезоструктуры в динамически деформируемом твердом теле....217
7.3. Релаксационная теория Максвелла.........................221
7.4. Распространение ударного импульса в конденсированной
среде.....................................................224
7.5. Уравнения состояния конденсированной среды...............225
7.6. Дисперсия массовой скорости и неравновесная температура ....228
7.7. Константы среды или функционалы процесса?................230
7.8. Неравновесный макро-мезоэнергообмен при ударном нагружении твердых тел........................................231
7.9. Нелокальное автомодельное решение........................232
ГЛАВА 8. Исследование неравновесных процессов методами
кибернетической физики....................................240
8.1. Кибернетическая физика...................................241
8.2. Метод скоростного градиента..............................244
8.3. Описание структурной эволюции системы....................247
8.4. Метод скоростного градиента в задаче о распространении нестационарной волны в твердом теле...........................253
8.5. Проблема структурной устойчивости в неравновесном переносе......................................................255
8.6. Эволюция структуры при квазистационарных процессах 257
8.7. Эволюция структуры при динамических сдвиговых
процессах.................................................262
ЗАКЛЮЧЕНИЕ..........................................................290
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ...................................................292
4
ВВЕДЕНИЕ
Проблема теоретического описания неравновесных процессов переноса в настоящее время является чрезвычайно актуальной. Развитие современной науки и техники требует описания высокоскоростных и тонких переходных процессов, которые не описываются классической механикой сплошной среды. Возникает потребность обобщения концепции континуальной механики на структурированные среды и процессы, протекающие в открытых системах вдали от термодинамического равновесия. Под неравновесными процессами здесь понимаются такие процессы, которые сопровождаются существенным отклонением функций распределения по поступательным степеням свободы от локально равновесного вида. Когда говорится, что среда имеет внутреннюю структуру, это значит, что существуют масштабы длины и времени, характеризующие реакцию системы на внешнее воздействие, которые отличны от размеров и времени жизни самой системы и характерных параметров ее нагружения.
В течение последних десятилетий попыток такого обобщения делалось множество, но ни одной достаточно общей теории, позволяющей описывать динамические процессы в различных средах с единых позиций, так и не было разработано. Наибольшей степенью общности обладают результаты, полученные на строгой статистико-механической основе , которыми, однако, никто не мог воспользоваться, поскольку на макроскопическом уровне описания эти модели так и оставались незамкнутыми. Причиной принципиальной невозможности построения замкнутой кинетической теории неравновесных процессов являются эффекты коллективного взаимодействия, которые не могут быть включены в кинетические уравнения через потенциал. Между тем экспериментальные результаты, полученные в различных областях механики (гидродинамики турбулентных течений, многофазных сред, волновых процессах в твердых телах, живых системах) обнаруживают множество общих для всех этих процессов особенностей, которые
5
проявляются тем ярче, чем выше скорости процессов и чем сложнее внутренняя структура среды. Эти особенности, характеризующие неклассическую реакцию среды на внешнее возмущение, заключаются в наблюдаемых эффектах самоорганизации и саморегуляции, которые всегда в той или иной степени сопровождают неравновесный перенос. Самоморганизация, проявляющаяся в реакции сложной системы на интенсивное внешнее воздействие, представляет собой процесс формирования многомасштабных вихре-волновых структур, не имеющих прямой связи с первичной структурой системы. Было отмечено, что тип и масштаб структур определяется скорее граничными условиями (режимом нагружения) и геометрией системы, чем веществом и фазовым состоянием среды. Саморегуляция или внутреннее управление на уровне структуры системы приводит к наблюдаемым неустойчивостям состояний частичного равновесия, к структурным переходам и переключению с одного режима на другой. На основе концепции механики сплошной среды эти эффекты невозможно описать корректно. Поэтому необходимо разработать принципиально новый подход к описанию неравновесных процессов переноса, который органично включал бы все эффекты, сопровождающие неравновесный перенос. Эта проблема и является целью представленной работы. Для создания нового подхода к проблеме неравновесного переноса требуется выйти за пределы классических представлений и переосмыслить базовые понятия континуального описания с различных точек зрения.
Самосогласованная нелокально-гидродинамическая теория
неравновесных процессов переноса содержит общие принципы построения математических моделей неравновесных процессов и представляет собой новый гибкий аппарат макроскопического описания открытых систем вдали от равновесия, где нелокальные определяющие соотношения замыкаются через обратные связи со структурой системы, эволюционирующей на промежуточных между макро- и микроскопическим масштабных уровнях.
6
В основу нового подхода положены полученные в неравновесной статистической механике обобщенные гидродинамические уравнения Д.Н. Зубарева. Методы математического моделирования позволили построить новый класс интегральных ядер, описывающих структурирование системы, с учетом общих принципов инвариантности, асимптотики и граничных эффектов. Методы теории нелинейных операторных систем специального вида использованы для корректной формулировки задачи на спектр масштабов внутренней структуры системы и разработки итерационных процедур для решения задач в самосогласованной формулировке. Эволюция структуры системы описывается с помощью кибернетических методов теории адаптивного управления. В частности динамические процессы описываются алгоритмом скоростного градиента, где в качестве функционала цели выбрана минимизация скорости интегрального производства энтропии в открытой системе.
Переход от дифференциальных уравнений баланса классической механики к интегро-дифференциальным позволил построить мягкую модель, с изменяющимся в ходе самого процесса типом уравнений, что обеспечивает описание смены механизмов переноса от волнового через структуры промежуточного масштаба до диффузионного в пределе классической гидродинамики. Появляется возможность описания процессов переноса с единых позиций как в твердых телах в виде упругих волн, так и диффузионного переноса в жидкости. При этом реакция любой среды на импульсное нагружение на начальной стадии будет упругой, а на последней стадии приближения к полному термодинамическому равновесию соответствовать гидродинамической реакции. Неравновесный процесс на промежуточной стадии тогда отвечает реакции некоторой многофазной среды. Такое представление вполне отвечает наблюдаемым эффектам, когда твердое тело при нагружении начинает проявлять свойства жидкости, а жидкость при ударе проявляет упругие свойства.
7
Структурирование неопределенности, содержащейся в неравновесных пространственно-временных корреляционных функциях, являющихся проекциями многочастичных функций распределения в конфигурационное пространство, позволило, как в квантовой механике, перейти к дискретным характеристикам фазового пространства системы на промежуточных между макро- и микро- масштабах. В рамках нелокальной теории установлена связь понятия структуры системы с первыми статистическими моментами неравновесной пространственно-временной корреляционной функции потоков. Кроме того, факт конечности скорости распространения возмущений в реальных средах естественным образом увязан с волновым характером процессов переноса вдали от равновесия. Важным шагом вперед можно считать строгую формулировку задач на спектр масштабов структуры, который определяется наложенными на систему граничными условиями, на основе теории нелинейных операторных систем специального вида.
Часть параметров структуры не определяется граничными условиями и эволюционирует самопроизвольно. В работе предложен принцип, согласно которому эволюция структуры системы всегда направлена в сторону уменьшения скорости производства энтропии в системе. Принцип сформулирован на основе понятий и методов теории адаптивного управления и неравновесной термодинамики. Появление обратных связей и внутреннего управления через структуры является неотъемлемым свойством неравновесного переноса и приводит к формулировке нового класса задач с частичным управлением. Именно привлечение кибернетических подходов позволило полностью замкнуть математическую задачу описания процессов неравновесного переноса с точностью до одной константы. Эта константа характеризует инерционные свойства структуры среды и может считаться эмпирической величиной. Эта величина может оставаться постоянной даже тогда, когда обычные константы среды (упругие модули, коэффициенты переноса) начинают меняться вместе с эволюцией ее структуры. Она теряет
8
свой физический смысл только вместе с понятием структуры среды, признаком чего являете я появление ее зависимости от размера и геометрии системы.
Для поддержания баланса энергии а ранних стадиях процесса релаксации с учетом обменных процессов между промежуточными масштабными уровнями, протекающими почти без диссипации, потребовалось включить крупномасштабные флуктуации, которые не отвечают второму началу термодинамики. Роль температуры в неравновесных условиях играет дисперсии скорости, характеризующая упорядоченные флуктуации скорости на промежуточных масштабных уровнях. При дроблении масштабов флуктуации становятся хаотическими и спускаются на микоскопический уровень, переходя в тепловые флуктуации. Только на этой стадии неравновесного процесса понятие термодинамической температуры становится корректным.
Новая самосогласованная нелокальная теория была апробирована на ряде традиционных тестовых задач (течения Куэтта, Пуазейля, Рэлея), которые должны служить проверкой любой теории, в широком диапазоне условий для разных сред. Стационарные и динамические решения, полученные для этих задач, их анализ и качественное сравнение с известными экспериментальными результатами позволили сделать вывод, что новая теория адекватно описывает турбулентные течения жидкости, неньютоновских сред, дисперсных смесей, процессы волнообразования в конденсированных средах и пластические течения твердых сред.
Более того, в рамках новой теории появляется возможность предсказать возникновение неравновесных резонансных структурных переходов в системе. До сих пор процессы бифуркации, характеризующие структурные переходы в системе, исследовались только для нелинейных динамических систем, где тип нелинейности, а значит и масштабные уровни, связанные с параметрами порядка, задаются изначально. В действительности, тип нелинейности, связанный с механизмами коллективного взаимодействия,
9
количество параметров порядка вместе с масштабами структуры системы и ее эволюция в принципе не могут быть заданы заранее из-за влияния эффектов обратных связей. Именно обменные процессы между разными масштабными уровнями и их самосогласованность и определяют неравновесную реакцию системы на нафужение. В рамках предложенной теории структурная перестройка сопровождается изменением механизмов коллективного взаимодействия и, следовательно, механизмов переноса.
Все полученные результаты являются новыми, достоверными и имеют большое общетеоретическое значение для физической механики, биомеханики и кибернетической физики. Практические приложения новой теории чрезвычайно широки: от разработки новых высокоскоростных аппаратов, новых тонких информационных и биотехнологий, предсказания разномасштабных катастрофических явлений до медицины.
Основные результаты работы опубликованы более, чем в сотне печатных работ, среди которых статьи в центральных журналах и трудах международных конференций, докладывались на нескольких десятках международных конференций и семинарах, проводимых в нашей стране и за рубежом.
Работа состоит из введения, 8 глав, заключения и списка литературы, содержащего 218 наименований. Объем работы 311 стр. и 59 рисунков.
Основные положения диссертации, выносимые на защиту:
1. новые принципы, необходимые для адекватного описания неравновесных процессов переноса в средах любой природы
• отказ от жестких математических моделей,
• нелокальность уравнений баланса, вводящая эффекты коллективного взаимодействия,
• учет волнового механизма переноса, отвечающего конечной скорости распространения возмущений,
10
• самосогласованность неравновесных корреляционных функций и граничных условий, влекущая за собой самоорганизацию,
• введение внутреннего управления посредством обратной связи между макроскопическим уровнем и уровнем внутренней структуры системы на основе теории адаптивного управления.
2. новая математическая модель неравновесного переноса, основанная всех перечисленных выше принципах,
3. итерационная процедура решения задач неравновесного переноса, разработанная на основе теории нелинейных операторных систем специального вида, работающая с учетом дискретизации масштабов и обратной связи
4. квазистационарные и динамические модели одномерных турбулентных течений и течений дисперсных смесей, не приводящие к противоречиям со всей известной совокупностью экспериментальных данных,
5. универсальная модель пограничного слоя и методика расчета, описывающая ламинарные, турбулентные течения, генерацию пульсаций, индуцирующих вторичный продольный градиент давления, процесс формирования ударных волн, отрыв слоя,
6. модель и методика расчета формы фронта и скорости распространения нестационарных волн в конденсированных средах,
7. новый подход к решению проблемы устойчивости состояний частичного равновесия на основе расчета времени жизни внутренней структуры системы,
8. методика предсказания разномасштабных катастрофических явлений на основе разработанных математических моделей и вычислительных процедур.
11
ГЛАВА 1.
ПРОБЛЕМЫ ОПИСАНИЯ НЕРАВНОВЕСНЫХ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА
1.1 Стохастическая природа неравновесных процессов переноса
При экспериментальном исследовании неравновесных процессов в средах помимо чисто технических трудностей, связанных с необходимостью, как правило, проводить измерения на малых пространственно-временных масштабах, возникают еще и принципиальные трудности обработки и интерпретации результатов полученных измерений. Любой эксперимент дает всегда значение величины, заведомо усредненное как по некоторой пространственной области, так и по некоторому промежутку времени. Чем более точное значение мы хотим получить в данной точке в данный момент времени, тем меньше должна быть окрестность, по которой прибор проводит усреднение. Однако, нельзя при этом стремиться бесконечно уменьшать эту окрестность, поскольку сами макроскопические величины, которые надо измерять в средах являются по определению средними плотностями распределенных механических величин. Если размер охваченной прибором окрестности точки становится соизмерим с размером структурного элемента среды, то результат усреднения уже относится не к макроскопическому масштабному уровню, а уровню внутренней структуры среды, который чаще всего характеризуется промежуточными между микро- и макроскопическим масштабами.
Вот на этом этапе и возникает проблема. С одной стороны, для того, чтобы в реальном времени контролировать быстропротекающие процессы с большими пространственными неоднородностями, необходимо уменьшать масштабы усреднения, а с другой, при этом теряется смысл полевого континуального описания системы вообще. Для разрешения этой проблемы
12
необходимо фактически переопределить понятие макроскопической плотности. Корректно сделать это можно только с позиций неравновесной статистической механики, переосмысливая распределенные величины с вероятностных позиций. В неравновесной статистической механике макроскопические величины строго определяются независимо от пространственно-временной окрестности точки как среднее значение физической величины по неравновесному фазовому распределению (в кинетической теории, например, это функция распределения частиц по скоростям). Однако, это распределение в общем случае неизвестно. Более того, для сложных сред невозможно построить замкнутые уравнения для неравновесных функций распределения. Поэтому целесообразно отказаться от традиционного построения макроскопической теории из «первокирпичиков», для которых сначала строится некая кинетическая модель.
Дело в том, что функция распределения, описывающая слабонеравновесные процессы в средах, которые ведут себя как бесструктурные или сплошные, близка к гауссову распределению, и макроскопическая величина четко определена его максимумом. При крупномасштабных структурах, то есть на масштабах процесса, соизмеримых с размером структурного элемента, распределение по скоростям далеко от равновесного. В общем случае неравновесное статистическое распределение является асимметричным, а его максимум может не совпадать со средним значением. Поэтому сами макроскопические величины определены в условиях неравновесности лишь в вероятностном смысле и вовсе не совпадают с их классическим определением. При этом естественно, надежность экспериментальных измерений падает, и принципиально невозможно требовать ее повышения, поскольку закон больших чисел для элементов среды, масштабы которых соизмеримы с масштабами неоднородности среды, не может иметь места. Поэтому в условиях существенной неравновесности нельзя требовать хорошей повторяемости результатов, поскольку вероятностный характер процесса будет проявляться непосредственно. А тогда в этих условиях невозможно набрать надежную
13
статистику по результатам измерений, особенно, если принять во внимание уникальность измерений высокоскоростных процессов в реальном времени.
В неравновесных условиях элементы среды в общем случае нельзя считать бесструктурными математическими точками, а внутренние масштабы становятся соизмеримы с масштабами неоднородностей макроскопических полей. Поэтому в случае произвольного отклонения от равновесного состояния системы вообще некорректно говорить о полном строгом описании ее поведения и фактически любой уровень описания неравновесной системы будет заведомо неполным. Наиболее конструктивным результатом в рамках неравновесной статистической механики является доказательство того факта, что уравнения, описывающие поведение неравновесной термодинамической системы в терминах неполного набора переменных, уже не могут быть чисто дифференциальными, то есть локальными в пространстве и времени.
1.2 Замыкание уравнений баланса для неравновесных процессов
Процессы переноса в распределенных системах описываются динамикой полей плотности массы, р, импульса р (р/р=у) и внутренней энергии Е
— + У(ру) = 0, р—+ = р— + У(0 + у-1) = Е
д( ж ж
Здесь .1 , () - потоки импульса и энергии соответственно, а ¥,2 - источники импульса и энергии. В случае, когда потоки выражены через плотности соответствующих величин, а источники заданы условиями задачи, уравнения баланса определяют распределения массы, импульса и энергии, то есть поля макроскопических величин. Однако, проблема определяющих соотношений между потоками и плотностями решена только в двух предельных случаях: для малых градиентов скорости или малых скоростей деформации (гидродинамический предел) и для малых деформаций (упругий предел). В обоих случаях уравнения баланса представляют собой дифференциальные уравнения в частных производных, которые справедливы при одном условии
14
V
-Ц-]г. Это условие означает, что характерный линейный размер
элемента внутренней структуры среды / можно пренебречь по сравнению с характерным размером неоднородности макроскопического поля скорости или же деформации (как позднее будет показано, вблизи гидродинамического предела в качестве критерия надо брать неоднородность поля массовой скорости, а вблизи упругого предела - неоднородность поля деформаций), и потому среда ведет себя как бесструктурная. Эти области адекватно описываются механикой сплошной среды.
Линейные определяющие соотношения, полученные в разных теориях, были объединены в рамках линейной термодинамики необратимых процессов переноса [179]. В основе этой теории лежит предположение о том, что макроскопическая система находится в состоянии, близком к локальному термодинамическому равновесию, когда температура и энтропия могут быть определены корректно в окрестности каждой точки, и когда все соотношения равновесной термодинамики имеют место. Гипотеза о линейной зависимости между термодинамическими силами и диссипативными потоками представляет собой простейшее допущение, позволяющее замкнуть гидродинамические уравнения баланса. Например, основные уравнения теоретической гидродинамики - уравнения Навье-Стокса - основаны на прямой пропорциональной зависимости между тензором вязких напряжений и тензором градиента скорости. Ограничения по области их применимости хорошо известны [71]. Классическая гидродинамика удовлетворительно описывает течения реальных газов и жидкостей на достаточно больших пространственно-временных масштабах, при не слишком больших скоростях, температурах и плотностях, а также вдали от критических точек и фазовых переходов.
При высоких скоростях и больших деформациях среда начинает проявлять эффекты своей внутренней структуры, что подтверждается многими экспериментами. Это неравновесные процессы, для которых проблема
15
определяющих соотношений между термодинамическими силами и потоками до сих пор не решена.
м
На высоких скоростях, когда выполняется другое условие Ы-{—и
\grad\y II
линейный масштаб неоднородности поля скорости или деформации одного порядка с размером внутренней структуры, в первую очередь возникает другая проблема - проблема определения макроскопической плотности в условиях, далеких от термодинамического равновесия. Классическое определение, базирующееся на понятиях механики сплошной среды, становится непригодным, и потому необходимо привлекать понятия теории вероятности и математической статистики. В частности, уравнения Навье-Стокса, относящиеся к параболическому типу, непригодны для течений с большими гидродинамическими градиентами, внутри тонких слоев около межфазных границ, а также вблизи начального момента времени. Последнее обстоятельство затрудняет постановку начальных и граничных условий для уравнений Навье-Стокса, так как приходится использовать фиктивные условия, отличающиеся от реальных на величину порядка толщины этих слоев [2]. Дело в том, что обычных коэффициентов переноса (вязкости, теплопроводности и др.) недостаточно для описания процессов переноса при высоких скоростях и больших пространственных неоднородностях, когда характерные масштабы процесса становятся соизмеримы с масштабами внутренней структуры. Поэтому в настоящее время актуальной проблемой является обобщение коэффициентов переноса в реальных средах на условия, далекие от термодинамического равновесия.
1.3 О микроскопическом обосновании феноменологических определяющих соотношений.
До 70-х г. ХХ-го века основные усилия были направлены на микроскопическое обоснование феноменологических законов и вычисление коэффициентов
16
переноса в линейных соотношениях термодинамики необратимых процессов переноса. Еще в 1940-х гг. Н.Н.Боголюбов [14] заложил основы динамической теории кинетических явлений, позволяющей последовательно получать локальные кинетические уравнения или непосредственно уравнения гидродинамики «из первых принципов». Для этого им были математически сформулирована гипотеза затухания пространственно-временных корреляций в системе, которая связана с представлением о последовательных стадиях процесса релаксации - стремления системы к термодинамическому равновесию, каждая из которых характеризуется своими временными масштабами и способами сокращенного описания неравновесных систем. Боголюбов предложил метод разложения по параметру плотности, где к-й член разложения содержит вклад (к+1)-частичного взаимодействия, и получил бесконечную цепочку уравнений для функций распределения - цепочку Боголюбова. Аналогичные результаты, полученные зарубежными авторами, называют цепочкой БГГКИ по первым буквам имен авторов, внесших вклад в развитие этой теории. В первом приближении но малому параметру из этой цепочки получается локальное уравнение Больцмана, которое лежит в основе кинетической теории газов. При дальнейшем сокращении описания из уравнения Больцмана получаются локальные уравнения классической гидродинамики. Однако, коэффициенты переноса в высших приближениях не являются аналитическими функциями параметра плотности, и вблизи гидродинамического предела появляется расходимость коэффициентов переноса. Причина появления такой расходимости заключается в дальнодействующих корреляциях между частицами, которые обусловлены их взаимодействием посредством слабо затухающих и дальнодействующих гидродинамических мод - коллективными эффектами. Такие корреляции возникают даже в средах простейшей структуры, состоящих из твердых сферических частиц одинакового размера. Такого же характера дальнодействующие корреляции играют основную роль в динамике плазмы. Учет уже двухчастичных корреляций и самосогласованности поля приводит к
17
нелокальному кинетическому уравнению для одночастичной функции распределения и далее к нелокальным уравнениям гидродинамики. Даже вблизи полного термодинамического равновесия Эрнст и Дорфман (См. [14] с.243) обнаружили эффект нелокальности в форме неаналитической зависимости гидродинамических частот от волнового вектора в коротковолновом пределе. Причем в этой области была обнаружена точка ветвления решений, из-за которой появляются особенности. Переход к разложениям по градиентам гидродинамических величин не улучшает ситуацию. Уже в приближении Барнетта, а для двумерных задач уже в приближении Навье-Стокса, получается неаналитическая зависимость вязкости от градиента скорости. При этом учет дальнодействующих гидродинамических мод приводит к расходимости коэффициента вязкости. Таким образом, с ростом градиентов и скоростей процессов классические уравнения Навье-Стокса становятся непригодными. Выход за рамки классической гидродинамики должен осуществляться путем последовательного построения обобщенной гидродинамики. Учет высших порядков по плотности, неоднородности или градиентам, связанный с учетом дальнодействующих корреляций, должен приводить к нелокальным в пространстве и времени гидродинамическим уравнениям, содержащим неаналитическую зависимость коэффициентов от градиентов гидродинамических величин. А это значит, что описание реальных неравновесных процессов потребует принципиального изменения всего математического аппарата и переосмысления концепции сплошной среды.
1.4 Анализ и классификация подходов к обобщению уравнений гидродинамики
Формально обобщение уравнений гидродинамики может быть проведено на различных стадиях сокращения описания. Попытки построения таких подходов предпринимались давно [110-112, 156, 166, 168, 171-174, 177, 183-185, 198-200,
18
203, 205-208, 210-209, 217] .Условно их можно подразделить на три основных типа.
1.4.1. Подходы первого типа содержат гидродинамические модели с высшими производными, полученные с помощью разложений по малому параметру (неоднородности или по числу Кнудсена) с последующим обрывом рядов на конечном числе членов.. Поскольку асимптотические разложения не обладают свойством равномерной сходимости к пределу, попытки продвинуться в сторону больших значений параметра, используя большее число членов асимптотического ряда, как правило, не приводит к успеху. Так, например, для разреженных газов существует такое число Кнудсена Kn*:V КпЖп*, что уравнения, полученные в рамках метода Чэпмена-Энскога и содержащие конечное число членов ряда для некоторых задач просто не имеют решения [178]. Градиентные модели и моментные теории могут быть отнесены к этому же типу, поскольку присутствие малого параметра, позволяющее пренебречь членами высшего порядка и замкнуть модель, неявно все равно подразумевается в этих теориях [65] . Кроме того, стоит отметить, что уравнения высших порядков слишком сложны, громоздки и требуют задания нефизических условий для высших производных.
Самые ранние попытки обобщить классическую теорию были предприняты для уравнений диффузии и теплопроводности [171, 217] и позволяли учесть конечность скорости процесса переноса. Так было получено так называемое телеграфное уравнение. Оно отличается от обычного параболического уравнения диффузии дополнительным членом со второй производной по времени от концентрации, который делает уравнение гиперболическим. Это уравнение может описывать процесс быстрой диффузии, для описания которой параболическое уравнение непригодно. Было доказано, что при t->oc решение телеграфного уравнения асимптотически стремится к решению обычного уравнения диффузии
19
Гиперболическое уравнение теплопроводности для среды, в которой перенос массы и импульса отсутствует, выведено А. Д. Хонькиным [157] из уравнения Больцмана и Робертсоном из уравнения Лиувилля [58]. Гиперболические уравнения выводились и использовались для описания распространения возмущений в среде с конечной скоростью многими авторами [211, 173-175]. В работах [156-157] гидродинамические уравнения,
описывающие высокоскоростные и сильноградиентные процессы переноса, получены на основе кинетического уравнения Больцмана. Эти гиперболические уравнения равномерно пригодны вплоть до границ и начального момента времени, включая кнудсеновские слои. Однако, эти уравнения корректны только до тех пор, пока эти слои тонкие. По мере того, как с ростом чисел Кнудсена толщина пристеночных слоев растет, полученные уравнения также становятся непригодны.
Ранее для замыкания уравнений баланса использовались только феноменологические подходы. Так были получены основные определяющие соотношения классической гидродинамики, линейной теории упругости, пластичности, теории многофазных течений, реологические соотношения. Все эти соотношения определяли реакцию конкретной среды на внешнее возмущение и, таким образом, вводили в описание системы тип среды и ее конкретные числовые характеристики (в виде коэффициентов диссипации или упругих модулей).
Для сред с внутренней структурой наиболее распространенным является полуэмпирический способ построения дифференциальных определяющих соотношений на основе конечномерных аппроксимаций для нелокальных уравнений, куда входят коэффициенты переноса, упругие модули и, возможно, другие эмпирические константы, характеризующие реакцию среды на внешнее возмущение. Сам способ построения таких моделей в виде отрезков ряда по временным производным позволяет отнести его к первому типу моделей.
Достаточно полная классификация дифференциальных моделей сред, данная В.Прагером, приведена в работе [81]
20
а +с,6 + с2е + с3б + с4
Здесь а - напряжение, е - деформация, точками обозначены первые производные по времени от напряжения и деформации, сх - различные константы среды. Придавая физический смысл этим константам, получаем 8 различных уравнений, определяющих модели сред. Для простоты приведем их в одномерном случае.
о + \хё = 0, - вязкая жидкость Ньютона
о-а0+р£ = 0,- вязко-пластическая среда
(Ф.Н.Шведов, Б.Г.Вайнберг, А.А.Ильюшии) а - + ре = 0,-упруго-вязкая среда Фойхта.
о - а0 - £е + ре = 0, - упруго-вязко-пластическая среда с + то + рё = 0,- вязко-упругая релаксирующая среда,
(модели Максвелла)
а - а0 + рё + та = 0, -вязко-упруго-пластическая релаксирующая среда, а - £е 4- рё + та = 0, - ( А.Ю.Ишлинский) а - а0 - £е + рё + та = 0, - (В.В.Соколовский, Л.Мальверн)
Принято считать, что для каждой среды должно быть свое определяющее уравнение. На самом деле вопрос о применимости той или иной модели связан не только со свойствами среды, но и с режимом ее нагружения.. Именно из-за этого коэффициенты модели перестают быть константами среды и превращаются в нелинейные функционалы гидродинамических градиентов. Это значит, что моделирование на основе дифференциальных моделей с эмпирическими коэффициентами неадекватно описывает неравновесные процессы переноса в реальных средах с внутренней структурой.
1.4.2. Понимание недостатков подходов первого типа привело к развитию интегральных моделей, в которых интегралы представляют собой свертку бесконечного ряда и не содержат малого параметра. Для газов такие модели
21
справедливы для произвольных значений чисел Кнудсена. Поскольку определяющие соотношения для диссипативных потоков интегральные, соответствующие гидродинамические уравнения баланса будут интегро-дифференциальными. Такие уравнения, включающие эффекты памяти и пространственной нелокальности, очень сложны, известны лишь некоторые частные результаты, касающиеся их решения. Так например, в работе [195] доказана теорема существования и единственности решения одномерного интегро-дифференциального уравнения теплопроводности. С математической точки зрения нелокальные уравнения приводят к так называемым псевдо-дифференциальным операторам, для которых строгая теория еще недостаточно разработана. В работе [208] рассматриваются некоторые неклассические эффекты, связанные с нелокальностью, когда возникают пограничные слои и анизотропия. В присутствии граничных эффектов операторы становятся анизотропными вблизи границ или даже во всей области. В работе [207] определяется математический смысл нелокальности в физических теориях, а также устанавливаются соотношения между классическим, неклассическим и псевдо континуумом, интегральными операторами и дифференциальными операторами бесконечного порядка. Показано, что большинство нефизических результатов классической теории обусловлено той свободой, с которой классический континуум образует сингулярности, высокочастотные колебания и т.п. В работе [210] было предложено исходить не из динамики материальной точки, а из динамики структурного элемента среды конечного размера. При этом подчеркивалось, что нелокальность есть плата за те эффекты, которые оказывают влияние на гидродинамические поля, но не включены в систему параметров, описывающих процесс. И в первую очередь вышесказанное относится к граничным эффектам.
Строго говоря, нелокальные гидродинамические модели должны строиться на основе нелокальных кинетических уравнений. Однако, сокращение описания даже от уровня локального кинетического уравнения, например, уравнения Больцмана, до гидродинамического уровня все равно должно приводить к
22
нелокальным гидродинамическим уравнениям, справедливым для произвольных чисел Кнудсена. В общем случае переход от кинетического уровня к гидродинамическому описанию, будучи в общем случае частью фундаментальной проблемы неравновесной статистической механики, не обходится без использования некоторых дополнительных упрощающих предположений.
В качестве моделей второго типа можно назвать нелокальные модели, использующие такие дополнительные предположения на кинетическом уровне описания, которые проще позволяют выйти на гидродинамическое описание, но не имеют строгой теоретической основы [157, 206, 211] . Как правило, принятые упрощения достаточно серьезны и сильно ограничивают их область применимости. Поэтому такие подходы не могут служить основой для построения достаточно универсальных макроскопических моделей.
В работе [18] для того, чтобы получить выражения для тензора напряжений и вектора теплового потока, пригодные для произвольных чисел Кнудсена, развит кинетический подход, основанный на понятии средней длины свободного пробега, принадлежащем еще Максвеллу. В результате получается нелокальная теория, в которой средние длины свободного пробега для массы, импульса и энергии являются единственными феноменологическими элементами. Делается существенное упрощающее допущение о характере производимого усреднения в соответствии с максвелловской функцией по скоростям, которое накладывает ограничение на степень неравновесности процессов. Кроме того, чтобы учесть взаимодействие с твердой границей, необходимо вводить дополнительные средние длины пробега вблизи границ, отличные от уже введенных, хотя и они не опишут полностью эффектов анизотропии. В ряде работ [169-170, 202, 218] на основе модельного уравнения Больцмана рассмотрена инжекция пучка пробных частиц в фоновый газ. При некоторых допущениях, касающихся характера взаимодействия частиц, интегрирование вдоль траекторий частиц позволяет выразить функцию распределения частиц по скоростям через плотность пробных частиц.
23
Дальнейшее интегрирование приводит к нелинейному интегро-дифференциальному уравнению относительно плотности пробных частиц в замкнутой форме. Использование 8-образной функции в качестве плотности вероятности столкновений позволяет получить в явном виде нетривиальные пространственно-временные распределения для плотности пробных частиц. В работах [110-112] развита полуфеноменологическая теория высокоскоростных и сильноградиентных процессов переноса в средах с микроструктурой на основе кинетического уравнения для ^-частичной функции распределения структурных элементов среды методом проекционного оператора с использованием общих принципов, модельных соображений и экспериментальных данных. Однако, эта теория пригодна только для безграничных задач, поскольку модель не учитывает влияния граничных эффектов. Вообще говоря, постановка граничных задач в нелокальной теории требует отдельного рассмотрения.
1.4.3. Подходы третьего типа также приводят к нелокальным гидродинамическим уравнениям, но базируются на строгих основаниях неравновесной статистической теории, то есть, можно считать, получены из первых принципов. Однако, в общем случае макроскопические выражения для интегральных ядер все равно неизвестны. Более того, до настоящего времени для них не найдены даже нетривиальные приближения, поэтому практически во всех случаях для того, чтобы добраться до числа необходимо привлекать те или иные модельные или эмпирические соображения. В отличие от моделей второго типа моделирование третьего типа осуществляется непосредственно на макроскопическом уровне описания и сводится к построению явных пространственно-временных зависимостей для интегральных ядер нелокальных уравнений, представляющих собой пространственно-временные функции потоков.
Однако, использование простых пространственно-временных зависимостей в качестве ядер переноса в общем случае делает модель слишком грубой и не
24
позволяет удовлетворить реальным граничным условиям, наложенным на систему. Дело в том, что при таком моделировании не учтена зависимость ядер от градиентов гидродинамических величин.
В частных случаях интегрирование по времени определяющих соотношений, заданных в виде дифференциальных уравнений, приводит к интегральным ядрам простейшего вида. Определяющие соотношения релаксационного типа приводят к ядрам экспоненциального вида, тогда как ядра гауссовского вида задаются определяющими уравнениями типа телеграфного. Тогда ясно, что экспоненциальные ядра описывают только процессы монотонной релаксации без учета скорости распространения возмущений в среде. Телеграфное уравнение гиперболического типа уже содержит конечную скорость распространения возмущений и сочетает в себе как процессы волновые на малых характерных временах, так и процессы диффузионные на больших. Однако, хотя все дифференциальные уравнения можно формально с помощью функции Грина записать в интегральной форме, далеко не все интегральные уравнения можно свести к дифференциальным. В общем случае всегда существующие в неравновесных условиях нелокальные гидродинамические корреляции приводят к немонотонному процессу релаксации и неаналитической зависимости интегральных ядер от градиентов гидродинамических величин. Поэтому при произвольной степени неравновесности некорректно строить дифференциальные модели определяющих соотношений.
В рамках обобщенной гидродинамики моделирование релаксационных ядер переноса для нестационарных процессов должно включать как нелокальные эффекты, так и эффекты памяти. Если пространственные и временные масштабы релаксации различаются по порядку величин или оба малы, то возможно расщепить пространственные и временные эффекты и построить разные модели по времени и координатам. Если эффекты нелокальности и памяти невозможно разделить, проблема моделирования релаксационных ядер
25
существенно усложняется из-за необходимости учитывать корреляции между этими эффектами.
1.5 Строгие статистико-механические результаты
Одновременно с попытками моделирования неравновесных течений реальных сред возникла необходимость обосновать гидродинамику исходя из молекулярной модели вещества. Очевидно, что проблема обоснования уравнений гидродинамики тесно связана с другой проблемой - проблемой определения пределов справедливости уравнений классической гидродинамики и возможностях выхода за эти пределы. Статистическая физика приводит к той же самой проблеме сокращенного описания неравновесных процессов переноса в реальных средах исходя из первых принципов.
Основной задачей статистической механики является вывод уравнений, описывающих необратимые процессы переноса на основе динамики частиц. Наиболее полное динамическое описание системы многих частиц дает уравнение Лиувилля для ^-частичной функции распределения в фазовом пространстве. Прежде всего, для вывода уравнений, описывающих необратимые процессы в реальных условиях, необходимо перейти к менее детальному и избыточному с информационной точки зрения описанию. Важное место в неравновесной статистической теории занимает идея Боголюбова об иерархии времен релаксации в процессе эволюции системы [14]. Постановка произвольных начальных условий требует задания большого числа многочастичных функций распределения, быстро меняющихся со временем. По истечении некоторого времени (для газов это время взаимодействия частиц) происходит синхронизация функций распределения, после которой эволюция системы определяется одночастичной функцией распределения независимо от начального распределения. Таким образом, на этой стадии эволюции число параметров, описывающих состояние системы, сокращается.
26
Кинетическое уравнение Лиувилля, для ^-частичной функции распределения полностью описывает эволюцию динамической системы, состоящей из N бесструктурных попарно взаимодействующих частиц
арг
-^ + Вд=0 (1.5.1)
0(
Оператор Диувилля определяется каноническими переменными в фазовом пространстве
.V к
Уравнение (1.5.1) описывает обратимую эволюцию замкнутых систем. Эволюция динамических систем, взаимодействующих с окружением, описывается другим уравнением, которое отличается от (1.5.1) наличием источника.. Этот дополнительный член делает уравнение для необратимым
+ (1.5.3)
3/ ' т
где - некоторая квазиравновесная функция распределения, а г > 0 — некоторая константа. Впервые это уравнение было получено Д.Н. Зубаревым в
работах [54-58]. По прошествии некоторого времени /: (Но)> г система
забывает часть начальных условий РмМ = - РмОо)- Тогда эволюция
полностью определяется квазиравновесной функцией Рм(0. В этом смысле т определяет время релаксации, в течение которого система достигает квазиравновесного состояния. Для газов это время соответствует среднему времени свободного пробега. При этом происходит сокращение описания, и эволюция системы определяется несколькими макроскопическими параметрами (усредненными по молекулярным скоростям). Такое описание соответствует гидродинамической стадии эволюции. В более сложных системах может быть несколько стадий, соответствующих некоторой иерархии релаксационных процессов. При этом каждая следующая стадия
Р* 3 ( д д )
т дгк ,3гк [зр* зр,]
(1.5.2)
27
характеризуется большей степенью хаотизации системы и менее детальным описанием ее эволюции.
В середине 50‘х был предложен метод корреляционных функций, позволяющий выразить коэффициенты переноса через равновесные временные корреляционные функции необратимых потоков (формулы Грина-Кубо) [166, 172, 183]. Эти результаты, однако, пригодны при малых пространственных градиентах и низких скоростях, когда состояние системы недалеко от полного термодинамического равновесия. Дальнейшее развитие статистической теории, связанное с выводом гидродинамических уравнений было направлено на расширение пределов их применимости [63]. Еще а 1960 г. Ричардсон [205] и позже Пиччирелли [203] построили решение уравнения Лиувиилля с помощью метода проекционного оператора и получили выражения для коэффициентов переноса, пригодные для любых гидродинамических градиентов. При этом интегральные ядра в нелокальных выражениях для диссипативных потоков содержат усреднение по локально-равновесной функции распределения. Эти интегральные ядра представляют собой обобщение формул Грина-Кубо на более неравновесные условия. Позже, в [184] методом Мори [200] были получены более общие соотношения переноса. Однако вычисление интегральных ядер, содержащих функции Грина для уравнения Лиувилля, а также получение для них приближенных выражений также же сложно, как и решение самого уравнения Лиувилля.
Плодотворный метод решения проблем неравновесной статистической механики был предложен Д.Н.Зубаревым [54-57]. Этот метод называется методом неравновесного статистического оператора, и основан на получении решений уравнения Лиувилля, зависящих от канонических переменных только через сокращенный набор параметров, характеризующих поведение системы
28
1.6 О выводе уравнений нелокальной гидродинамики методом неравновесного статистического оператора
Метод неравновесного статистического оператора основан на понятии квазиравновесной функции распределения. Следуя работе [57] кратко опишем план вывода нелокальных уравнений гидродинамики из обобщенного уравнения Лиувилля (1.5.3), не касаясь всех деталей этого метода.
Для того, чтобы выделить диссипативные процессы, будем искать решение уравнения Лиувилля в виде
ыо = рт(() + рт(Ь (1.6.1)
где Рцо -некоторая квазиравновесная функция распределения, определяющая выбранный уровень описания системы. Явный вид этой функции требуется определить. Рассмотрим релаксационный процесс в молекулярной системе,
изначально выведенной из равновесия. Спустя некоторый промежуток
временив окрестности каждой точки системы г устанавливается некоторое квазиравновесное состояние, которое полностью определяется выбранным набором средних гидродинамических плотностей. В этом состоянии значения этих величин могут существенно различаться от точки к точке. При этом квазиравновесная функция распределения отвечает экстремуму информационной энтропии
5 =-к/Р,01пР,„с1Г, (1.6.2)
(интегрирование проводится по фазовому пространству Гн , к - постоянная Больцмана) при условии, что все гидродинамические величины заданы. На гидродинамическом уровне описания состояние системы полностью определяется средними значениями плотностей массы р(г,0 (или плотности числа частиц п(г,/Д импульса р(г,$ и энергии Е(г,(), зависящих от времени и пространственных переменных. В этом случае квазиравновесная функция распределения имеет вид
29