Содержание
Введение...................................................................5
Глава 1. Современное состояние вопроса......................................12
1.1. Краткий обзор работ по теоретическим и экспериментальным исследованиям однородной турбулентности..................................12
1.2. Некоторые аспекты теории однородной изотропной турбулентности 21
1.2.1. Уравнение Кармана-Ховарта и гипотезы самоподобия................21
1.2.2. Динамическое уравнение энергетического спектра изотропной турбулентности и гипотезы замыкания этого уравнения.................33
1.2.3. Гипотезы связи вторых и третьих двухточечных корреляционных моментов................................................................41
1.3. Результаты экспериментальных исследований однородной турбулентности ..............................................................49
1.3.1. Экспериментальные исследования вырождения однородной изотропной турбулентности..................................................49
1.3.2. Особенности турбулентных потоков с однородным сдвигом поля средней скорости........................................................60
Глава 2. Исследование вырождения однородной изотропной турбулентности
с помощью замкнутого уравнения Кармана-Ховарта.....................68
2.1. Физико-математическое описание......................................68
2.1.1. Модель замыкания уравнения Кармана-Ховарта......................68
2.1.2. Модель пути смешения............................................69
2.1.3. Приведение исходного уравнения к безразмерному виду.............73
2.1.4. Граничные и начальные условия...................................74
2.1.5. Спектральные характеристики течения.............................80
2.2. Численная реализация................................................81
2.2.1. Описание метода численного интегрирования.......................81
2.2.2. Тестирование численной схемы....................................84
2.2.3. Вычисление спектральной функции.................................87
2.3. Основные результаты и выводы........................................89
2.3.1. Результаты расчетов вырождения однородной изотропной турбулентности...............................................................89
2.3.2. Основные выводы.................................................97
Глава 3. Исследование турбулентного потока с однородным сдвигом поля
средней скорости в приближении изотропной турбулентности...........99
3.1. Постановка задачи....................................................99
3.1.1. Основные предположения..........................................99
3.1.2. Вывод обобщенного уравнения Кармана-Ховарта.....................100
3.2. Метод решения обобщенного уравнения Кармана-Ховарта..................105
3.2.1. Постановка граничных и начальных условий........................105
3.2.2. Метод численного интегрирования..................................106
3.3. Основные результаты и их анализ......................................108
3.3.1. Качественный анализ решения обобщенного уравнения Кармана-Ховарта в случае турбулентного течения с однородным сдвигом 108
3.3.2. Сравнение результатов расчета с экспериментальными данными 110
3.3.3. Основные выводы.................................................117
Глава 4. Исследование турбулентного потока с однородным сдвигом в приближении осесимметричной турбулентности................................120
4.1. Постановка задачи....................................................120
4.1.1. Оценка возможности использования теории осесимметричной турбулентности для описания сдвигового потока............................120
4.1.2. Выражение тензоров вторых двухточечных моментов в теории осесимметричной турбулентности..........................................127
4.1.3. Построение модели для описания турбулентности в однородном сдвиговом потоке........................................................131
4.1.4. Выбор вида генерационного члена.................................134
4.2. Метод решения уравнений модели.......................................137
4.2.1. Приведение уравнений к безразмерному виду и постановка граничных и начальных условий.................................................137
4.2.2. Метод численного интегрирования.................................139
4.3. Основные результаты и их анализ......................................142
4.3.1. Сравнение результатов расчетов потока с однородным сдвигом
поля средней скорости с экспериментальными данными................142
4.3.2. Исследование процессов, происходящих при мгновенном возникновении сдвига поля осредненной скорости..................................147
4.3.3. Основные выводы..................................................154
Заключение..................................................................156
Список литературы...........................................................160
Приложение..................................................................168
Введение
Как известно, большинство течений газа и жидкости, существующих в природе, являются турбулентными. Теоретическое и экспериментальное исследование турбулентности является важным научным направлением как с точки зрения познания природы, так и для решения широкого круга инженерных задач. Физическая сложность процессов, происходящих при турбулентном режиме течения жидкостей, определяет сложность их математического описания. В настоящее время для теоретических исследований и расчетов турбулентных течений используют в основном два подхода. Один подход базируется на методе расчета турбулентности при помощи прямого численного моделирования решений трехмерных нестационарных уравнений Навье-Стокса на вычислительной сетке с ячейками, размер которых соизмерим с наименьшим из возможных характерных масштабов длины турбулентного движения (метод ПЧМ). В принципе, этот метод позволяет получить любые желаемые статистические моменты турбулентных полей скорости, переносимой субстанции и т.д. Практическое применение данного метода сильно ограничено необходимостью использования трехмерных вычислительных сеток с очень большим количеством узловых точек даже для умеренных чисел Рейнольдса, что требует привлечения суперкомпьютеров для решения задач. Кроме того, расчеты конкретных турбулентных потоков часто осложняются отсутствием достаточно подробных опытных данных, которые необходимы при задании начальных условий. Поэтому работы данного направления в основном посвящены исследованиям структуры турбулентности и часто не содержат прямых сравнений расчетов с опытами. Таким образом, несмотря на высокий темп развития вычислительной техники, вряд ли можно рассчитывать на широкое распространение методов ПЧМ в практике инженерных расчетов по крайней мере в ближайшее десятилетие.
Более доступным для численной реализации методом моделирования турбулентности является использование дифференциальных уравнений для статистических моментов турбулентности. Замыкание этих уравнений осуществляется посредством полуэмпирических теорий, базирующихся на различных гипотезах о процессах, происходящих при турбулентном режиме течения. Полуэмпирические модели, основан-
5
ные на уравнениях для статистических моментов низших порядков широко используются в инженерной практике. Однако, несмотря на более чем тридцатилетний опыт разработок и использования таких моделей, до сих пор все они имеют ограниченную универсальность. Одна из причин этого в том, что практически все современные по-луэмпирические модели турбулентности базируются на одноточечных статистических характеристиках турбулентности. Возможный путь усовершенствования по-луэмлирических моделей - использование двухточечных характеристик турбулентности, с помощью которых можно получить значительно больше информации о структуре турбулентного потока, а именно, двухточечные моменты кроме интегральных характеристик турбулентности - кинетической энергии и масштаба - позволяют найти тэйлоровскис масштабы, спектры пульсаций, скорость диссипации энергии в тепло, колмогоровские масштабы и т.д. Например, в работе [1] авторы при разработке модели Рейнольдсовых напряжений применили неодноточечную теорию однородной турбулентности для усовершенствования обменного члена. В работе [2] предложена двухпараметрическая “к-кГ’~модель, базирующаяся на уравнениях для одноточечных характеристик турбулентности, но для ее построения использована теория однородной турбулентности при ес спектральном описании. В работе [3] уравнение Кармана-Ховарта для двухточечных корреляций применено для вывода генерационного члена в уравнении для скорости вязкой диссипации в стандартной модели Рейнольдсовых напряжений в предположении локальной изотропии турбулентного движения. В монографии [4] построена потоковая модель второго порядка для описания турбулентности устойчиво-стратифицированной по плотности жидкости, для замыкания которой использован аппарат кинематики двухточечных корреляций для близкорасположенных точек в однородной турбулентности с постоянными градиентами скорости и скалярного поля. Таким образом, разработка полуэмпирических моделей на базе двухточечных моментов является актуальной задачей как в свете возможности усовершенствования с их помощью широко применяемых в инженерной практике моделей типа “к-є", “к-к\’\ модели Рейнольдсовых напряжений и т.п., так и для самостоятельного их использования при изучении турбулентных течений.
Построение моделей на основе уравнений для двухточечных моментов второго порядка исторически велось в двух направ л ениях. Одно заключалось в использовании
6
спектральной формы этих уравнений. Однако, модели такого типа не получили широкого распространения, поскольку замыкающие формулы для спектральных уравнений оказались весьма сложными. Второе направление базируется на использовании уравнений для двухточечных корреляций, записанных в физических координатах, замыкание которых может быть осуществлено посредством гораздо более простой и наглядной градиентной гипотезы, позволяющей выразить третьи корреляционные моменты через градиенты вторых. Такие градиентные формулы использованы для замыкания уравнения Кармана-Ховарта в работах [5], [6], [7], [3]. Однако, следует отметить, что в указанных работах эта модель была применена только для изучения вырождения однородной изотропной турбулентности и проверена на небольшом числе опытных данных в сравнительно узком диапазоне значений чисел Рейнольдса.
В настоящей работе, во-первых, была осуществлена подробная проверка одной из таких моделей, а именно градиентной формулы связи вторых и третьих двухточечных корреляционных моментов, предложенной Н. И. Акатновым в работе [7]. Для этого с помощью замкнутого посредством указанной градиентной модели уравнения Кармана-Ховарта были сделаны расчеты вырождения однородной изотропной турбулентности в широком диапазоне значений числа Рейнольдса. При этом кроме коэффициентов корреляции, кинетической энергии турбулентности, интегрального и тэй-лоровского масштабов, с помощью алгоритма “быстрое преобразование Фурье” по корреляционным функциям были найдены соответствующие одномерные энергетические спектры турбулентности, не вычислявшиеся в работе [7]. Для сравнения результатов этих расчетов с экспериментом были использованы опытные данные как ранних работ (например, данные Стюарта [8], Дж. Бэтчелора [9]) так и более поздних (например, широко известные опытные данные Конт-Бело и Корсина [10], [11]). Из условия хорошего согласия расчетов с экспериментом были подобраны значения эмпирических коэффициентов модели. В настоящей работе была предложена также модификация рассматриваемой модели, позволяющая получить на корреляционной функции участок закона “2/3” и участок закона “5/3” на соответствующем энергетическом спектре турбулентности, появляющиеся при больших значениях числа Рейнольдса. Выполненные на этом этапе работы исследования подтвердили приемлемость модели для описания вырождающейся однородной изотропной турбулент-
7
ности.
На втором этапе работы рамки применения указанной модели были значительно расширены. На базе уравнений для вторых двухточечных моментов были построены две полуэмпирические модели для описания однородной турбулентности в потоке с однородной скоростью сдвига. Несмотря на кажущуюся отдаленность рассматриваемого типа турбулентности от практических течений жидкостей и газов, она тем не менее имеет непосредственное отношение как к течениям в окружающей среде (верхняя атмосфера и отдаленные от дна и поверхности области океана), так и к техническим устройствам: в любой проточной машине имеются области с приблизительно однородным сдвиговым распределением скорости, к которым приложима модель однородного сдвигового потока.
Первая из предлагаемых моделей представляет собой обобщение уравнения Кармана-Ховарта на случай однородного сдвигового течения в предположении, что турбулентность остается изотропной. Основное уравнение модели выведено из уравнения для следа тензора вторых двухточечных моментов и отличается от обычного уравнения Кармана-Ховарта наличием генерационного слагаемого. Расчеты с помощью этого уравнения турбулентного потока с однородным сдвигом осредненной скорости должны были показать степень приемлемости описания неизотропной турбулентности изотропной моделью. Расчеты, проведенные в настоящей работе, и сравнения их результатов с опытными данными показали, что для некоторых величин (кинетическая энергия турбулентности, тэйлоровский масштаб турбулентности) имеет место удовлетворительное согласие расчетов с опытом, для других (например, интегральные масштабы) только качественное.
Вторая модель основана на предположении осевой симметрии статистических характеристик пульсационного движения и для ес построения применена теория без-сдвиговой осесимметричной турбулентности С. Чандрасекхара [12], [13]. Заключение о возможности применения данной теории для приближенного описания турбулентности в сдвиговых потоках было сделано на основе анализа опытных данных. В этом случае задача сводится к решению системы из двух уравнений относительно двух скалярных функций, через которые с помощью формул теории осесимметричной турбулентности могут быть выражены все диагональные компоненты тензора вторых
8
двухточечных моментов, позволяющие в свою очередь найти соответствующие энергетические спектры турбулентности, продольные и поперечные интегральные и тэй-лоровские масштабы, дисперсии продольной и поперечной пульсационных скоростей и т.д. Таким образом, предлагаемая модель позволяет с известной степенью приближенности описать анизотропию характеристик турбулентности, существующую в сдвиговых потоках. Замыкание уравнений модели было осуществлено посредством градиентных формул, записанных по аналогии с формулой из [7]. Далее в настоящей работе при помощи этой модели были сделаны расчеты однородного сдвигового потока при различных значениях числа Рейнольдса и скорости сдвига, а также была рассмотрена задача о внезапном наложении сдвиговою потока на первоначально изотропную турбулентность. Результаты этих расчетов удовлетворительно согласуются с опытными данными [14], [15], [16], [17]. Важно отметить, что в расчетах однородного сдвигового потока, сделанных с помощью осесимметричной модели и с помощью обобщенного уравнения Кармана-Ховарта, использовались те значения эмпирических коэффициентов замыкающей градиентной формулы, которые были подобраны из условия наилучшего согласия расчетов вырождения однородной изотропной турбулентности с соответствующими экспериментальными данными на первом этапе данной работы.
Проведенная работа показывает, что градиентная формула связи вторых и третьих двухточечных корреляционных моментов может использоваться гораздо шире, чем это делалось ранее, и, возможно, не только в рассмотренном случае потока с однородным сдвигом, айв других задачах. Обе представленные модели могут быть использованы для расчетов однородных сдвиговых потоков, а также для построения подсеточных моделей при исследовании турбулентных течений методом моделирования крупных вихрей.
Основное содержание настоящей работы изложено в четырех главах.
В главе 1 приведен обзор имеющейся в настоящее время литературы, посвященной теоретическим и экспериментальным исследованиям однородной турбулентности. Кратко изложена история вопроса. Достаточно подробно рассмотрена теория однородной изотропной турбулентности: кратко описаны выводы энергетических
9
уравнений динамики изотропной турбулентности в физическом пространстве и в спектральной форме, приведены существующие гипотезы их замыкания. Особое внимание уделено градиентным гипотезам связи вторых и третьих двухточечных корреляционных моментов. Раздел 1.3. посвящен экспериментальным исследованиям вырождения однородной изотропной турбулентности и однородного сдвигового потока. Приведенные здесь опытные материалы использовались в настоящей работе для сравнения с ними результатов выполненных в работе расчетов.
Глава 2 посвящена исследованию вырождения однородной изотропной турбулентности с помощью замкнутого уравнения Кармана-Ховарта. Подробно описана использованная градиентная модель замыкания и ее модификация на случай больших чисел Рейнольдса, а также особенности постановки начальных и граничных условий. В разделе 2.2. приведены метод решения исходного уравнения, тестирование численной схемы и методика вычисления одномерного энергетического спектра турбулентности. Раздел 2.3 содержит результаты расчетов вырождения однородной изотропной турбулентности и сравнение их с опытными данными.
В главе 3 изложена постановка задачи о потоке с однородным сдвигом осред-ненной скорости в приближении изотропной турбулентности. Особое внимание уделено выводу обобщенного на случай сдвигового потока уравнения Кармана-Ховарта из уравнений вторых двухточечных моментов. Приведены качественный анализ решения обобщенного уравнения Кармана-Ховарта и результаты числентгых расчетов в сравнении с экспериментальными данными.
Глава 4 посвящена исследованию турбулентного потока с однородным сдвигом в приближении осесимметричной турбулентности. В разделе 4.1. проведен анализ некоторых опытных данных по сдвиговым потокам, имеющий целью оценить степень адекватности применения осесимметричного приближения для описания рассматриваемого течения; изложены некоторые аспекты теории осесимметричной турбулентности С. Чандрасекхара, а также методика построения с помощью этой теории по-луэмпирической модели для описания однородного сдвигового потока. Некоторые детали вывода основных уравнений модели приведены в приложении. В разделе 4.2. коротко описаны постановка граничных и начальных условий и метод численного решения уравнений модели. Раздел 4.3. содержит результаты расчетов однородного
10
сдвигового потока и решения задачи о внезапном наложении сдвига на первоначаль но изотропную турбулентность, а также сравнение этих результатов с опытными дан ными.
Основные выводы настоящей работы изложены в заключении.
11
Глава 1. Современное состояние вопроса.
1.1. Краткий обзор работ по теоретическим и экспериментальным исследованиям однородной турбулентности.
Понятие статистической теории турбулентности, видимо, впервые было введено Дж. Тэйлором в работе [18]. В этой работе скорость в турбулентном потоке трактовалась как непрерывная случайная функция времени и точки пространства и было показано, что для более полного описания турбулентного движения нужно использовать не только одноточечные корреляционные моменты поля скоростей, но также и двухточечные, которые позволяют учитывать статистическую связь пульсации скорости в двух разных точках пространства. На основе двухточечного корреляционного момента второго порядка в [18] были даны определения интегрального масштаба турбулентности и микромасштаба турбулентности (в дальнейшем названного тэйло-ровским масштабом), с помощью которого установлена элементарная формула, выражающая диссипацию турбулентной энергии в тепло за счет действия сил вязкости. Кроме того, в этой работе впервые было введено понятие однородной и изотропной турбулентности, как наиболее простом случае турбулентного движения, и экспериментально исследовано ее вырождение. Понятие однородности состоит в том, что осредненныс характеристики пульсационного движения в данный момент времени во всех точках пространства имеют одну и ту же величину, а изотропность означает независимость свойств турбулентности от направления осей системы координат, в которой вычисляют характеристики турбулентности. В [18] впервые использовалось предположение о том, что поток в рабочей части аэродинамической трубы за турбу-лизирующей решеткой приближенно является однородным и изотропным.
Высказанная Тэйлором мысль о возможности изучения структуры турбулентности на примере изотропной турбулентности оказалась плодотворной и привела к созданию особого научного направления в теории турбулентности. В работе [19] Т. Карман заметил, что осредненные произведения проекций пульсационной скорости в двух разных точках пространства представляют собой компоненты тензоров, ранг которых определяется числом сомножителей под знаком осреднения, и что условия
12
однородности и изотропности значительно упрощают вид этих тензоров. В статье [20] Т. Карман и Л. Ховарт показали, что в однородной изотропной турбулентности все компоненты тензора вторых двухточечных моментов могут быть выражены через одну скалярную функцию В и - Вц (/, /*), а вес компоненты третьих двухточечных моментов через скалярную функцию Bill- Bll.l0, г\ (здесь г - расстояние между точками А и В, а / - время) и вывели уравнение динамики изотропной турбулентности относительно этих двух функций. Ими также были сделаны попытки установить закономерности вырождения изотропной турбулентности на основе полученного уравнения. Во первых, было найдено решение уравнения в том случае, когда можно пренебречь третьим моментом. Во вторых, в случае неупрощенного уравнения (т.е. Bu^l* 0) было выдвинуто предположение о самоподобии коэффициентов корреляту ч Вп {г,г) ч BU L{t, г)
и*™ J (*>г)=" и л(/, г) =--1 в течении времени вырождения, сели счи-
Ви&О) Bu,L
(/, 0)
г
тать функции / и К зависящими от особой переменной х =--------> гДе ^ (0 “ некая ха-
Ь(х)
рактерная длина турбулентности. Эта гипотеза позволила авторам найти простые степенные законы вырождения кинетической энергии турбулентности и изменения характерного масштаба, которые согласуются с экспериментально наблюдаемыми при некоторых дополнительных предположениях. В дальнейшем оказалось, однако, что в общем случае полного самоподобия функций f{%) и К (х) быть не должно и оно может иметь место только в некоторых особых с лучаях, например, при очень больших значениях числа Рейнольдса. Эти особые случаи были рассмотрены в последствии рядом авторов и некоторые особенно интересные работы данного направления будут рассмотрены в пункте 1.2.1. В работе [21] X. Робертсон на основе теории инвариантов установил общие формулы для двухточечных моментов любого порядка, удовлетворяющих условиям изотропности.
Названные выше исследования послужили толчком для интенсивных теоретических и экспериментальных исследований изтропной турбулентности в 40 х-50 х гг., в ходе которых были установлены некоторые важные закономерности пульсационно-го движения. К числу крупнейших достижений этого периода относится установленная А. Н. Колмогоровым (см. [22]) универсальность статистических характеристик
13
турбулентности в интервале диссипации (при больших значениях числа Рейнольдса), а также установленная А. Н. Колмогоровым в [22] и А. М. Обуховым в [23] универсальность статистических характеристик в инерционном интервале волновых чисел. Важные результаты были получены М. Д. Миллионщиковым, Л. Г. Лойцянским, Л. И. Седовым, А. М. Ягломом и другими. Теоретические и экспериментальные исследования в этой области продолжаются до настоящего времени. Целью некоторых из этих исследований являются попытки замкнуть уравнение Кармана-Ховарта, а также использовать теорию двухточечных моментов изотропной турбулентности в современных полуэмпирических моделях турбулентности. Обзор наиболее важных исследований однородной изотропной турбулентности, имеющих отношение к теме данной диссертационной работы, приведен в пункте 1.2.3. К теме изотропной турбулентности мы еще вернемся в конце данного обзора, когда коснемся темы изучения турбулентности методами прямого численного моделирования решений нестационарных уравнений Навье-Стокса.
Концепция однородной турбулентности оказалась удобной и для углубленного изучения нсизотропной турбулентности с помощью неодноточечных моментов поля скорости или их Фурье-образов в волновом пространстве. В работах Дж. Бэтчелора [24] и С. Чандрасекхара [12], [13] авторы построили математический аппарат для описания однородной осесимметричной турбулентности, которая может иметь место, например, в рабочей части аэродинамической трубы, если не принять особых мер для обеспечения изотропности турбулентного движения. В работе [24] Дж. Бэтчелор обобщил теорию X. Робертсона и вывел общие формулы для вторых двухточечных моментов, удовлетворяющих соотношениям, следующим из уравнения неразрывности (условие соленоидальности по одной переменной), а также условию осевой симметрии относительно некоторого направления, задаваемого единичным вектором Я. В работе [12] С. Чандрасекхар продвинул эту теорию значительно дальше и вывел общие формулы для соленоидальных осесимметричных тензоров второго и третьего рангов. Им было показано, что в осесимметричной турбулентности соленоидалыгые двухточечные моменты поля скорости второго порядка выражаются через две скалярные функции, а моменты третьего порядка - через шесть. Таким образом, математический аппарат осесимметричной турбулентности оказывается значительно слож-
14
нее, чем аппарат изотропной, хотя введенная в [24], [12] осесимметричная турбулентность с физической точки зрения относительно проста - осредненная скорость и скорость сдвига отсутствуют, касательные напряжения турбулентного фения равны нулю. В [13] С. Чандрасекхар рассмотрел вырождение осесимметричной турбулентности в предположении малости влияния третьих моментов (т.е. на последней стадии вырождения турбулентности), когда ими можно пренебречь. Сравнений расчетов с опытами не приведено. В конце статьи [13] С. Чандрасекхар указывает на одно весьма важное допущение, которое можно использовать для упрощения решения задач об осесимметричной турбулентности. А именно, как сказано выше, в осесимметричном случае все компоненты тензора вторых моментов могут быть выражены через две скалярные функции (? I и (?2 • В общем случае Q \ и Q2 зависят от /, г и угла ^между векторами г и Д. Уравнения для (2 \ и (2 2 можно сделать независимыми от угла у/ и функции (? 1,02 в этом случае обладают сферической симметрией относительно точки г = О, как это имеет место в изотропной турбулентности. Но компоненты тензора вторых моментов ЯВЛЯЮТСЯ суперпозицией и (?2, причем коэффициенты При (2 1 и (2 2 зависят от угла у/, поэтому окончательные формулы для вторых моментов имеют свойство осевой симметрии. Насколько известно, работы Дж. Бэтчелора [24] и С. Чандрасекхара [12], [13] не получили дальнейшего развития из-за громоздкости уравнений в общем случае и их незамкнутости (по крайней мере специальные поиски работ этого направления, предпринятые автором данной диссертации, не увенчались успехом).
В работах X. Моффата [25], С. Кроу [26], В. А. Сабельникова [27] и в некоторых других была посфосна теория быстрого искажения турбулентнос ти однородным сдвигом. В теории бысфого искажения слабое пульсационное движение налагается на однородное осредненное движение, которое в течении малого промежутка времени бысфо изменяется от одного стационарного состояния до другого. Решение задачи сводится к изучению приспособления (релаксации) пульсационного движения к новому состоянию осредненного потока, причем уравнения пульсационного движения линеаризуются и решения можно искать в виде интегралов Фурье. Из-за линеаризации уравнений решения оказываются справедливыми в течении сравнительно короткого времени релаксации, но, тем не менее, таким путем теоретически был уста-
15
- Київ+380960830922