Поляризационные и интерференционные эффекты в многомодовых волоконных световодах

СОДЕРЖАНИЕ
1.2
1.3
1.4
1.5
Список условных обозначений, символов единиц и терминов Введение
Глава 1 Обзор литературы
1.1 Асимптотические выражения для собственных чисел волноводных мод волоконного световода со ступенчатым профилем показателя преломления Поляризационные свойства многомодовых волоконных световодов
Статистческие характеристики спекл-структур и модового шума излучения волоконных световодов Оптические вихри в волоконных световодах Угловые передаточные характеристики волоконных световодов, влияние рассеяния на торцах световода на характеристики выходящего излучения, рассеяние па шероховатых поверхностях
Асимптотические формулы для решений дисперсионного уравнения
Асимптотические формулы для собственных чисел волноводных мод световода со ступенчатым профилем показателя преломления
2.2 Асимптотические формулы для расчета длины волны поляризационных и спскгрально-поляризациониых биений
2.3 Асимптотическое решение задачи ввода-вывода излучения для многомодовых волоконных световодов
Глава 3 Поляризационные характеристики волокопиых световодов
3.1 Расчет поляризационных характеристик многомодовых волоконных световодов со ступенчатым профилем показателя преломления
3.2 Экспериментальные исследования поляризационных характеристик многомодовых волоконных световодов
3.3 Спектрально-поляризационные характеристики несовершенных волоконных световодов
Глава 4 Статистические характеристики сиекл-структур излучения
Глава 2
2.1
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
Г лава 5
5.1
5.2
5.3
Глава 6 6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
волоконных световодов
Методика численного моделирования распределений 72
интенсивности выходящего излучения
Исследование статистических характеристик спекл-структур 88
излучения многомодовых волоконных световодов методом численного моделирования
Экспериментальное исследование статистических 109
характеристик спекл-структур излучения волоконных
световодов
Спектральные характеристики спекл-структур многомодовых 123
волоконных световодов
Вращение спекл-структуры волоконных световодов при 134
изгибах
Квазилучевая модель для расчета диаграмм направленности и 143
характеристик ввода в волоконные све товоды
Квазилучевой подход для решения задач ввода-вывода 143
излучения
Аппроксимация угловых передаточных характеристик 146
Экспериментальное определение угловых передаточных 149
характеристик волоконных световодов
Влияние несовершенств торцевых поверхностей на 159
передаточные характеристики световодов
Теоретические основы для учета влияния рассеяния 159
торцевыми поверхностями световодов на характеристики выходящего излучения
Индикатрисы рассеяния шероховатых и оптически 161
неоднородных поверхностей
Теория и экспериментальное исследование эффективности 164
ввода плоской монохроматической электромагнитной волны в световоды с рассеивающей поверхностью входного торца Влияние шероховатости поверхности входного торца и 178
диаграммы направленности источника излучения на эффективность ввода в волоконные световоды
Влияние шероховатости поверхности торцов световода на 182
модовый состав и диаграммы направленности излучения
6.6
6.7
Заключение
Литература
Использование светорассеивающего лака для равномерного возбуждения волноводных мод
Влияние рассеяния на поверхности торцов световодов на характеристики модового шума
196
200
211
215
5
СПИСОК УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ, СИМВОЛОВ ЕДИНИЦ И ТЕРМИНОВ
АКФ - автокорреляционная функция
воле - волоконно-оптическая линия связи
ВС - волоконный световод
ИР - индикатриса рассеяния
осш - отношение сигнал-шум
ООН - обратно отраженное излучение
ппл - полупроводниковый лазер
см - спектральная модуляция
СПС - спекл-структура
УПХ - угловая передаточная характеристика
ФВК - функция взаимной корреляции
чм - численное моделирование
эв - эффективность ввода
к - средняя высота шероховатости по ГОСТ 2789-73
го - радиус сердцевины световода
4> - диаметр сердцевины световода
У - угол ввода излучения
Ус - апертурный угол световода
пх - показатель преломления сердцевины световода
П2 - показатель преломления оболочки световода
0 - угол выхода излучения из световода
<р - азимутальный угол
л - длина волны излучения
кп - коэффициент направленного пропускания
К - коэффициент диффузного пропускания
ПА - числовая апертура световода
V - нормированная частота
р - постоянная распространения
ВВЕДЕНИЕ
Физико-математическая основа теории распространения излучения в волоконных световодах (ВС) была создана в 60 - 70х годах прошлого века. Уровень развития теории был достаточным для коммерческого использования волоконно-оптических устройств. Появление и широкое внедрение полупроводниковых лазеров (ППЛ) в 80-х дало техническую возможность для создания конкурентоспособных волоконно-оптических систем передачи данных. Существующие теоретические и экспериментальные данные обобщены в монографиях, как, например [1-7], научных обзорах [8-10] и учебниках [11-13]. Развитие вычислительной техники и программных средств за последние 30 лет существенно повлияло на развитие всей науки и техники, в том числе и на волоконную оптику. Это изменило подход к решению различных теоретических и прикладных задач, дало возможность проверить численными методами многие теоретические формулы и закономерности, полученные ранее. В настоящее время возникает две крайности при решении физических задач, которые часто считают альтернативными подходами. Это -использование строгих аналитических методов и исключительно численных расчетов. Однако не каждая задача имеет аналитическое решение, и даже если такое решение найдено, то для большинства задач математической физики это решение представляет собой функциональный ряд, который сложно использовать для прикладных целей. В некоторых случаях для таких решений сложно получить даже какое-либо численное значение из-за плохой сходимости ряда. Использование только численных методов затрудняет анализ полученных результатов. Сложно выявить влияние различных факторов, параметров и граничных условий на получаемые зависимости. Поэтому, во многих случаях, совместное применение, как аналитических решений, так и численных методов позволяет достичь наилучших результатов. Именно такой подход к решению задач волоконной оптики рассматривается в представлешюй диссертации.
Появление современных технологий производства волоконных световодов открыло возможность новых технических применений ВС, относящихся не к передаче данных, а к передаче оптического излучения. Для этих целей широко используются волоконные световоды со ступенчатым профилем показателя преломления (ППП), обеспечивающие высокую эффективность ввода и большие передаваемые мощности оптического излучения. В зависимости от решаемой технической задачи наиболее важными характеристиками ВС являются: лучевая прочность, спектральное затухание, угловая передаточная характеристика (в простейшем случае — числовая апертура), диаграмма направленности и степень поляризации выходящего излучения, а в некоторых случаях — параметры спекл-структуры.
7
Применение ВС со ступенчатым ППП для доставки мощного оптическою излучения [14] тесно связано с новым направлением в технике - использованием оптических ловушек для манипулирования микрочастицами [15]. Важным преимуществом многомодового волоконного световода, как будет показано ниже, является возможность создавать в ВС оптические вихри высокого порядка, что сложно осуществить с использованием голографических дифракционных элементов и невозможно - при использовании одномодовых световодов, в том числе микроструктурированных. Помимо упомянутого выше использования многомодовых ВС для создания оптических ловушек существуют и другие применения световода в качестве генератора оптических вихрей, в частности, для диагностики винтообразных внутренних напряжений в прозрачных средах. Для всех указанных применений важными характеристиками ВС для расчетов таких систем являются: диаграмма направленности, модовый состав и поляризация выходящего излучения.
В литературном обзоре (гл. 1) показано, что в настоящее время фактически не существует волновой теории, использующей волноводные свойства мод ВС для описания поляризационных явлений в многомодовых волоконных световодах со ступенчатым П1ТП без наведенною двулучепрсломления. Не существует и простой методики, позволяющей рассчитать диаграмму направленности излучения многомодового ВС со ступенчатым ППП с учетом конверсии волноводных мод. До настоящего времени не было известно влияние оптических вихрей в ВС на параметры формируемой спскл-структуры (СПС), а также не существовало методики оценки влияния шероховатости или оптической неоднородности торцевых поверхностей световода на характеристики распространяющегося и выходящего излучения.
Разработка и создание принципиально новых типов волоконно-оптических устройств невозможно без дальнейшего развития теории и частичного переосмысления существующих теорий, методов расчетов, трактовки ранее полученных экспериментальных данных. Принимая во внимание, что за прошедшие 50 лет, используя только аналитические или только численные методы, не удалось решить указанные выше задачи, необходимо искать новые подходы и методы решений широкого круга задач волоконной оптики.
С учетом вышеизложенного, сформулированы следующие цели работы.
На основании новых физико-математических моделей создать теории методики численного моделирования (ЧМ), получить аналитические выражения для решения актуальных задач волоконной оптики, используя которые появляется возможность выявить ранее неизвестные свойства волоконных световодов, определить области их практического применения, а также рассчитать требуемые характеристики различных волоконно-оптических устройств. Целью работы являлось также экспериментальное подтверждение
8
теоретических выводов и созданных методик расчетов. В частности, создание полноводной теории деполяризации излучения многомодовых ВС, методики численного моделирования распределений интенсивности когерентного излучения, выходящего из световода, в том числе спекл-структур, сформированных оптическими вихрями, совершенствование теории, описывающей влияние рассеяния излучения торцевыми поверхностями ВС на передаточные характеристики световода.
Практическая ценность диссертации заключается, прежде всего, в создании новых физико-математических моделей и теоретических представлений, позволяющих применить полученные результаты для решения широкого круга прикладных задач волоконной оптики. В частности, для создания, проектирования и оптимизации параметров волоконно-оптических систем. Выявленные поляризационные свойства многомодовых волоконных световодов со ступенчатым ППП и разновидность эффекта вращения спекл-структур могут быть использованы при проектировании волоконно-оптических датчиков, устройств доставки поляризованного излучения к измерительным приборам, для расчетов полей оптических ловушек микрочастиц и других целей. Созданные физико-математические модели, а также результаты исследований методом численного моделирования создают основу для разработки и внедрения новых методов диагностики качества ВС на основе анализа поляризационных, угловых передаточных характеристик и статистических характеристик енекл-структур выходящего излучения, а также для совершенствования существующих и создания новых стандартов в метрике волоконных световодов. Результаты исследований открывают новые возможности для пракгического использования волоконных световодов в качестве генератора оптических вихрей для манипуляций микрочастицами, диагностики винтовых внутренних напряжений и дислокаций твердых тел, оптических кристаллов, наноструктур и биологических объектов.
Материалы диссертации докладывались на 21 научной конференции в период с 1983 г. по 2007 г. В частности, на 4-й и 6-й международной научно-технической конференции «Компьютерное моделирование», г. Санкт-Петербург, 2003, 2005 гг., на международной научной конференции «Лазеры. Измерения. Информация», г. Санкт-Петербург, 2003 - 2007 гг., на международной научной конференции «Лазеры для медицины, биологии и экологии», г. Санкт-Петербург, 2004, 2006 гг., на 61-й научной сессии, посвященной Дню Радио, г. Москва, 2006 г.
Материалы диссертации опубликованы в [16-64].
На защиту выносятся:
I. Волновая теория деполяризации излучения при распространении по многомодовому ВС со ступенчатым ППП, основанная на полученных асимптотических формулах для
9
собственных чисел волноводных мод. Выявленные и теоретически обоснованные поляризационные свойства ВС, в частности, формулы, связывающие, угол, названный углом отсечки линейной поляризации выходящего излучения, с параметрами световода, открывающие новые возможности использования ВС для передачи поляризованного излучения. Аналитические формулы для описания спектрально-поляризационных биений в одномодовом двулучепреломляющем световоде с локальным дефектом, методика и результаты численного моделирования спектрально-поляризационных биений для случая большого количества локальных дефектов со случайным расположением по длине.
2. Методика ЧМ распределений интенсивности выходящего из ВС когерентного излучения. Условия возникновения в ВС 1руппы оптических вихрей и их влияние на пространственные и спектральные характеристики СПС. Предложенная методика, позволяющая отличать спскл-структуры, сформированные оптическими вихрями с одинаковыми направлениями вращения от СПС, образованных преимущественно волноводными модами со сравнительно малыми значениями азимутальных индексов.
3. Эффект вращения спекл-структуры выходящего излучения при изгибе световода одновременно в двух плоскостях, на основе которого возможно создание датчика угла поворота.
4. Физическая модель, позволяющая корректно описать угловые передаточные характеристики (УПХ) волоконных световодов со ступенчатым профилем показателя преломления, результаты экспериментальных измерений и полученные аналитические выражения.
5. Методика расчета, теоретические оценки и результаты экспериментальных исследований влияния оптических неоднородностей торцевых поверхностей ВС на параметры вводимого, выходящего и обратно отраженного излучения, в частности, эффективности ввода, модовый состав, диаграмму направленности излучения и шумовые характеристики при пространственной фильтрации, необходимые при проектировании волоконно-оптических систем в реальных условиях эксплуатации. Способ равномерного возбуждения волноводных мод световода с использованием светорасссивающего лака для стандартизации измерений параметров ВС.
ГЛАВА 1. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ
1.1 .Асимптотические выражения для собственных чисел волноводных мод волоконного световода со ступенчатым профилем показателя преломления
Первой теоретической работой в области диэлектрических волноводов, по-видимому, можно считать статью Д. Хондроса и П. Дебая [65], а первой экспериментальной - О. Шривсра [66]. Одной из первых публикаций, в которой рассматривается решение характеристического уравнения для волноводных мод диэлектрического цилиндрического световода, является статья Е. Снитцера [67], в которой, в частности, обобщены формулы для приближенного вычисления собственных чисел волноводных мод, а также определены основные характеристики распространения мод. В последствии, различные способы решения характеристического уравнения, а также полезные асимптотические формулы для собственных чисел волноводных мод многомодовых волоконные световодов представлены в монографиях [1-6]. Характеристическое или дисперсионное уравнение для диэлектрического цилиндрического двухслойного световода со ступенчатым профилем показателя преломления для гибридных волноводных мод, обозначаемых как НЕ,А и ЕН1г, где /, х -
азимутальный и радиальный индекс моды, имеет вид [1-6,67]:
1 к;(\у) 1 п.; кцуу) Л,2 V2 ,212Р2
иУ,(и)Л ™ *,(*) и У,(и) и2*2' к? 9
где J[(u)t К,(ы), J|(u), К/'М - функции Бесселя, модифицированные функции Ханкеля и
их производные по аргументам и, н> соответственно, к0=2я1Л - величина волнового
вектора в вакууме, Я - длина волны излучения, я,, п2 - показатели преломления
сердцевины и оболочки. Величины м, связаны с осевой постоянной распространения /? и
приведенной частотой V согласно формулам:
и = г„(пХ-Рг)Ш (11-2)
(1.1.3)
У = гХ('Ь-пг2)и\ (1.1.4)
где /'о - радиус сердцевины световода. Для поперечных волн (ТЕ0^, ТМ0 5)
характеристические уравнения имеют вид:
11
п\ к;м { 1 у»
и,2іуК0(мО uJ0(u)
= 0 для ТМ 0д
(1.1.6)
Уравнения (1.1.1), (1.1.5), (1.1.6) можно решить численными методами, но в этом случае невозможно получить аналитические выражения для описания какого-либо эффекта в ВС, соответственно, будет усложнен анализ получаемых результатов. В качестве простейших приближений для собственных чисел как гибридньїх, так и поперечных волн, в [1-4,67] использованы соответствующие нули функций Бесселя. Такой подход позволяет получить правильные оценки для величины собственных чисел и постоянных распространения волноводных мод, однако фактически не связан с параметрами световода. То есть в гаком приближении собственные числа, соответственно и постоянные распространения не зависят ни от радиуса сердцевины, ни от показателей преломления л,, п2, ни от длины волны излучения. Поэтому указанные формулы не пригодны для вычисления дисперсии, поляризационных и других характеристик световода. Существуют и более совершенные асимптотические формулы, лишенные указанного недостатка. Отметим наиболее удачное решение [68]:
где ир - собственное число волноводных мод Я£/(, р и ЕН,_1р при нормированной частоте
нД») = чр(У -> °о), которые являются корнями соответствующих функций Бесселя
Jltx{z). Главный недостаток формулы (1.1.7) заключается в том, что собственные числа
НЕЫр и ЕН,_1р мод оказываются вырожденными, поэтому формула (1.1.7) не позволяет
определить разность постоянных распространения волноводных мод, образующих линейно поляризованные (ЬР) модовые группы. Возможность решения уравнения (1.1.1) методом линеаризации отмечено в [5]. Однако арифметические формулЕЛ, аналогичные (1.1.7), но основанные на линеаризации уравнения (1.1.1) в литературе не приводятся.
Особо следует отметить работы [69-70] в которых приведено строгое с математической точки зрения рассмотрение краевой задачи для диэлектрических волноводов.
Для расчета разности собственных чисел Ап волноводееых мод, образующих линейно поляризованные модовые групшд в ВС со ступенчатым ППП в [2] приведена следующая формула:
однако, как будет показано ниже (п. 2.2), формула (1.1.8) не позволяет корректно оценить А и в многомодовом ВС.
“р(У) = “Р(™)ех р(-!/Г)
(1.1.7)
12
Математические выражения для напряженностей электромагнитного поля волноводных мод приведены во многих научных статьях 60-х - 70-х годов прошлого века. Обобщение существовавшего научного материала также дано в монографиях [1-6].
Ввод в ВС и выход излучения из ВС со ступенчатым Г1ПП рассмотрен в работах А. Снайдера |71] и Н.С. Капани |4]. Выражения, полученные в [71], представляющие собой произведения и суммы бесселевых функций, для коэффициентов возбуждения волноводных мод плоской электромагнитной волной далее цитируются и используются в п. 2.2. 1’асчсту и анализу распределений интенсивности выходящего из ВС излучения посвящена отдельная глава. В частности, в [4] отмечено, что для волноводных мод высокого порядка «картина излучения волновода оказывается подобной дифракционной картине свстораспределения системы для когерентных плоских волн, падающих из всех азимутов при угле иг на отверстие с радиусом Яс в непрозрачном экране». В цитате из [4] использованы следующие обозначения: Яс - радиус сердцевины ВС, и2 - угол, соответствующий направлению на главный максимум.
1.2. Поляризационные свойства многомодовых волоконных световодов
В настоящее время хорошо развита теория для описания поляризационных явлений в одномодовых и маломодовых волоконных световодах, в том числе для ВС с эллиптической сердцевиной. Это обусловлено тем, что одномодовые световоды широко используются в системах передачи данных и поляризационная дисперсия снижает пропускную способность волоконно-оптических линий связи. Поэтому целью большинства работ является создание теории и технологии, позволяющих снизить поляризационную дисперсию без существенного увеличения стоимости световода. Световоды с эллиптической сердцевиной, а также некоторые другие виды ВС используются для передачи поляризованного излучения. Поэтому теория распространения излучения в таких световодах была создана с учетом практического применения. Основные теоретические закономерности, касающиеся поляризационных явлений в ВС, обобщены в обзоре [10].
Поляризационные свойства многомодовых волоконных световодов изучены не достаточно подробно. Известно сравнительно небольшое количество научных работ, в которых представлены теоретические или экспериментальные исследования поляризационных свойств многомодовых ВС. Возможно, первой работой в этой области является статья В.Б. Вейнбсрга, Д.К. Саттарова [72], в которой были определены
индикатрисы рассеяния (диаграммы направленности выходящего из БС излучения) и деполяризации для ВС со ступенчатым ППП, и установлено, 'что максимальную степень линейной поляризации имеет излучение, входящее вблизи оси ВС. В середине 70-х была создана лучевая теория деполяризации света цилиндрическими двухслойными ВС [73]. В [73] на основании рассмотрения прохождения лучей через диэлектрический двухслойный цилиндр была получена формула для интегральной степени линейной поляризации р светового потока на выходе световода. Для малых углов, согласно [73]:
Р=\+^С(аис) (1.2.1)
2 2аис
где ис - угол луча относительно оси ВС, а = й(\-п2)1П /Д., и - длина ВС, Ос - диаметр сердцевины, п = п0/пе - относительный показатель преломления, п0, пс - показатели преломления оболочки и сердцевины, С - интегральный косинус. В последствии, лучевая теория иолу »шла дальнейшее развитие в работах [71-76]. Обобщение научных статей [71-76] дано в монографии [77]. Лучевая теория позволила объяснить эффект деполяризации распространяющегося по ВС излучения, а также правильно описала тенденцию уменьшения степени поляризации при увеличении угла распространения луча относительно оси ВС.
Кроме того, в [73] экспериментально продемонстрирована возможность передачи
поляризованного излучения в ВС со ступенчатым ППП с диаметром 100 мкм на расстояние 0.7 м. Однако лучевая теория не позволяет описать все основные поляризационные свойства ВС. Согласно лучевой теории:
И7 = 1/2, (1.2.2)
I, —> ОС
где I; - длина ВС, что не согласуется с экспериментальными данными: в световодах большой длины интегральная степень поляризации близка к нулю. При угле распространения ис —> 0, т.е. по оси ВС, длина, на которой происходит деполяризация излучения, бесконечно велика, что также не согласуется с экспериментом. Кроме того, с помощью лучевой теории невозможно описать зависимость степени линейной поляризации в дальней зоне дифракции от угла выхода излучения, так как лучи с различивши направлениями в ДЗД нельзя считать интерферирующими.
Для градиентных волоконных световодов волновая теория (или «волноводная») поляризационных эффектов описана в [78]. Для ВС, в которых доминирует наведенное двулучепреломление, теоретический подход и экспериментальные данные приведены в [79]. Интересные экспериментальные данные о деполяризации излучения многомодовых ВС представлены в [80-81]. Реализация возможности передачи поляризованного излучения с
14
использованием многомодовых ВС технически реализована в [82] с применением специальных волоконно-оптических разъемов, практически не создающих наведенного двулученреломления и специальных пространственных фильтров. Волновая теория деполяризации излучения, основанная на волноводных свойствах линейно поляризованных модовых групп до настоящего времени не была создана.
Возникновение спектрально-поляризационных биений в двулучепреломляющих одномодовьтх ВС является хорошо известным эффектом. Результаты подробных исследований приводятся, например в [83-87]. Влияние локального дефект одномодового ВС, приводящего к энергообмену мод двух ортогональных поляризаций, на спектрально-поляризационные характеристики ВС рассмотрено в [88]. В [88] изменение пространственного расположения точки энергообмена использовалось для измерения длины волны биений мод. Влияние неоднородностей одномодовых ВС, обусловленных случайным кручением осей собственного линейного двулученреломления на параметры волоконно-оптических кольцевых интерферометров, описано в [89-94]. В указанных работах, в частности в [93-94], представлен подробный обзор литературы.
1.3. Статистические характеристики спекл-структур и модового шума излучения волоконных
световодов
Исследованию спекл-структур волоконных световодов в 70-х - 80-х годах прошлого века было посвящено большое количество научных статей в различных журналах. Однако, как показали исследования, статистические характеристики спскл-структур излучения ВС практически не отличаются от статистических характеристик СПС излучения, рассеянного оптически неоднородной поверхностью, наирнмер шероховатой. Поэтому результаты теоретических и экспериментальных исследований спекл-структур рассеяния шероховатыми поверхностями, хорошо представленные в литературе, могут быть применены для оценки характеристик СПС излучения ВС. В частности, подробное описание свойств СПС дано в монографиях [95,96]. Обзор литературы по параметрам СПС излучения световодов приведен в [97]. Следует отмстить два важных свойства пространственных характеристикам СПС в ДЗД, описанные, в частности, в указанной литературе: функция плотности вероятности распределения интенсивности описывается отрицательной экспонентой, а характерный угловой размер спекл-пятна в ДЗД оценивается величиной XI(1, где (I - диаметр когерентного светового пучка на рассеивающей поверхности. Однако, как будет показано в гл. 4, такой подход для волоконных световодов не всегда даст корректный результат.
15
Практический интерес к спскл-структурам излучения ВС был вызван, прежде всего, необходимостью исследования модового шума ВС, являющегося причиной ухудшения качества передачи сигналов по многомодовым ВС. Эффект модового шума подробно рассмотрен в многочисленных статьях и обзорах, как, например, [98-104]. Методика определения отношения сигнал-шум (ОСШ) и ОСШ для различных ВС даны, в частности, в [97-104]. Известны некоторые способы подавления модового шума, как, например [94-108], каждый из которых имеет свои достоинства и недостатки.
Влияние шероховатости торцевых поверхностей волоконного световода, а также оптических вихрей в ВС на пространственные характеристики спекл-структур и параметры модового шума никем не исследовались.
1.4. Оптические вихри в волоконных световодах
Вихревая пространственно-временная структура характерна многим физическим процессам и объектам. В частности, в оптике сформировалась новая область, называемая оптикой винтовых полей или сингулярная оптика [109]. Основные свойства оптических вихрей рассмотрены в обзоре [109]. Появление оптических вихрей связывают с появлением особых точек, называемых винтовыми дислокациями по аналогии с дефектами кристаллической решетки твердых тел [109]. В окрестности винтовой дислокации первого порядка амплитуду электромагнитной волны можно представить в виде [110]:
А = Сгехр(±<а) 0-4.1)
где С - константа, г - расстояние то точки дислокации, а - азимутальный угол. Для дислокаций более высокого порядка выражение (1.4.1) переходит в [110]
А = Оехр(±//а) (1.4.2)
где / - порядок дислокации. Оптические вихри наблюдаются в различных оптических системах, как, например, турбулентной атмосфере, лазерах, голографических фильтрах, цилиндрических световодах. Вследствие зависимости фазы вихря от азимутального угла, при интерференции с расходящейся волной, образуется спиралеобразная интерференционная картина. Для интерферограммы одиночных оптических вихрей характерно ветвление спеклообразной структуры [109]. Одним из практических применений оптических вихрей является их использование в системах манипулирования микрообъектами [15]. Известно, что в волоконных световодах также могут возникать и распространяться волны с вращающимся волновым фронтом — оптические вихри [111-119], специфические свойства которых представляют интерес для создания принципиально новых технических устройств и технологий [15,120]. Теоретически волоконные световоды могут служить источником
16
оптических вихрей с заданными параметрами [121-1221. Однако в реальных многомодовых ВС получить одиночный оптический вихрь представляет серьезную сложность вследствие влияния несовершенств световода [123]. По-видимому, первой опубликованной работой, в которой была описана спиралеобразная интерференционная картина при взаимодействии расходящегося излучения и излучения, выходящего из многомодового волоконного световода является статья [124].
Вопрос интерференции большого числа оптических вихрей волоконного световода в литературе не рассматривается, хотя известны работы в области дифракции оптических вихрей, как, например [125]. Таким образом, вопрос влияния оптических вихрей на спекл-структуру излучения ВС, фактически, является не изученным.
1.5. Угловые передаточные характеристики волоконных световодов, влияние рассеяния на торах световода на характеристики выходящего излучения, рассеяние на шероховатых
поверхностях
При использовании лучевого приближения (или приближения геометрической оптики), описывающего распространения излучения в волоконных световодах в виде траектории движения лучей, предполагается, что все лучи, имеющие угол ввода у меньше апертурного
уї ла ус будут далее распространяться в световоде. То есть, такая модель, предполагает
простейшую угловую передаточную характеристику (УПХ) Т(у):
С учетом немеридиональных (или «косых») лучей, расчетные УПХ описываются болсс сложными выражениями [3-4]. Сведения о экспериментально измеренных УПХ для реальных многомодовых волоконных световодов в литературе не найдены. Как будет показано в гл. 5, реальные УПХ существенно отличаются от зависимости (1.5), а также от зависимостей, учитывающих распространение немеридиональных лучей. Для объяснения отличия диаграммы выходящего излучения от расчетной использовался подход, основой которого является различное затухание различных волноводных мод - так называемые дифференциальное модовое затухание. Сведения о дифференциальных характеристиках многомодовых ВС и методах их измерения приведены в обзоре [9]. Хотя такой подход не связан с физическими процессами, и не объясняет причину различного затухания волноводных мод, теоретически может использоваться для расчета диаграммы направленности и других параметров ВС. Однако на практике, такой подход не применим
У^Ус
У>Ус
(1.5)
17
для прикладных расчетов по двум причинам. Во-первых, для различных ВС параметры дифференциального затухания различные, причем зависимость коэффициента затухания от типа или номера моды также различна для разных ВС. Кроме того, коэффициенты затухания мод являются нелинейными функциями от длины световода. То есть, для расчетов параметров ВС с учетом затухания необходимо знать большое количество коэффициентов, определяемых экспериментально. Во-вторых, с использованием дифференциальных коэффициентов затухания можно определить изменение мощностей заданных модовых групп при изменении длины световода, соответственно изменение диаграммы направленности выходящего излучения, если известна ДН при какой-либо длине ВС. Но такой подход не позволяет объяснить и описать изменение углового распределения вблизи входного торца. Полагают, что изменение полуширины ДН при вводе излучения в ВС происходит «скачком» [126], объяснения которому не существовало. Соответственно, знания всех дифференциальных коэффициентов затухания не достаточно для того, чтобы вычислить диаграмму направленности излучения ВС. Аналогичная сложность возникает и при использовании наиболее общего описания передаточных характеристик ВС [127].
Влияние шероховатости или оптической неоднородности поверхности торцов световодов на характеристики выходящего излучения практически не исследовалось. В литературе приводятся данные об ухудшении эксплуатационных свойств волоконно-оптических устройств при рассеивающих торцевых поверхностях. Так, например, в [128] отмечалось значительное уменьшение глубины модуляции сигнала, вызываемое изменение модового состава при периодической деформации ВС; в [129] отмечено уменьшение мощности вводимого излучения в ВС при некачественном сколе торца в 4 раза. Уменьшение эффективности ввода и изменение угловой передаточной характеристики при шероховатой поверхности входного торца ВС является очевидным эффектом, который понятен и из общих соображений. Однако расчет характеристик световодов с рассеивающими торцевыми поверхностями (входной или выходной поверхности) ранее ии кем не выполнялся. Также очевидно, что такой расчет невозможно выполнить без сведений об индикатрисах рассеяния шероховатых поверхностей.
Описание свойств индикатрис рассеяния света шероховатыми поверхностями, достаточное для необходимых оценок, дано в [130-131].
18
ГЛАВА 2. АСИМПТО ТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ РЕШЕНИЙ ДИСПЕРСИОННОГО
УРАВНЕНИЯ
2.1. Асимптотические формулы для собственных чисел волноводных мод световода со ступенчатым профилем показателя преломления
Решения уравнений Максвелла для электромагнитной волны, распространяющейся в диэлектрическом цилиндре хорошо известны. Различные способы определения собственных чисел характеристического (дисперсионного) уравнения рассмотрены и проанализированы в обзоре литературы (Гл. 1). Однако, как будет показано ниже, для некоторых случаев использование известных асимптотических и приближенных формул либо неудобно, т.к. требует решения трансцендентного уравнения, либо может дать некорректный результат. Поэтому получение простых арифметических формул для расчета собственных чисел волноводных мод многомодового волоконного световода, позволяющих использовать их для решения задач численного моделирования, по-прежнему остается актуальной.
Рассмотрим задачу о вычислении собственных чисел характеристического уравнения для гибридных мод диэлектрического цилиндрического световода с бесконечной оболочкой и ступенчатым профилем показателя преломления. Из условий непрерывности тангенциальных составляющих электрического и магнитного полей на границе раздела сред, следует [6,67]:
л к!М 1 к;м /I,2 = (2ЛЛ)
н> К,(н>) и Jl{u) и» К,(\г) и Jt{u) и2и>2 к02
где Jl(u), К,(м), .//(м), К\{уу) - функции Бесселя, модифицированные функции Ханкеля и их производные по ар1-ументам и, гг соответственно, / - азимутальный индекс моды, к0 = 2тг / Я - величина волнового вектора в вакууме, /*,, п2 - показатели преломления сердцевины и оболочки. Величины и, гг связаны с осевой постоянной распространения р и приведенной частотой V согласно формулам:
и = г0(П]2ка2-/}>Г ™ = г0(р2-п2к2)''г
У = г0ка(п2-„2)и\
где /*0 - радиус сердцевины световода. Приближенные решения характеристического
уравнения (2.1.1), полученные для малой разности показателей преломления Ди сердцевины и оболочки приводятся во многих работах, например [1-3,67]. Положив правую часть
19
уравнения (2.2.1) равной нулю, уравнение (2.1.1) формально распадается на два независимых уравнения (так называемое приближение слабонаправляемых мод [2,3]):
К,(>у) н Jl{ц) 4 *
Однако для поперечных волн (/*0) правая часть уравнения 2.1.1 может быть равна нулю только при условии V = 0 (величина к0 является константой при фиксированном значении а, а осевая постоянная распространения изменяется в пределах п2к0 < р < л,А:0). Таким
образом, принятое приближение Ап —> 0 влечет за собой К->0, т.е. соответствует одномодовому режиму распространения волноводных мод. Границы применимости приближения слабонаправляемых мод для расчета собственных чисел мод многомодового волоконного световода подробно не исследовались. Кроме того, решение уравнений (2.1.2),
(2.1.3) также как и (2.1.1), возможно лишь численными методами, поэтому указанные уравнения сложно использовать на практике.
Для получения аналитических решений характеристического уравнения представим (2.1.1) в виде:
А(и№(») = ^(») (2-1.4)
где
+ (2.1.5)
J,{u) \vKtiw)
(2.1.6)
Jl(u) ы К,(м>)
V4 12В2
^ = - -ТТГ (2.1.7)
” и к0
Введем точки ри, ц1л, 17и> ^и являющиеся л- - корнем соответствующего уравнения:
^,(м) = 0 для р1з (2.1.8)
К,(м) = 0 для Я и (2.1.9)
.//(«) = 0 для г],, (2.1.10)
.7/(10 = 0 для 4^ (2.1.11)
В интервалах ,<н<7/л, уравнение (2.1.1) имеет: дна решения - ии(:) и м/д(2), исключая интервал 0<м<7п, где существует лишь единственное решение - М/;2). Традиционно,
20
решения u,J2) обозначают как собственные числа НЕ моды, a u,Jl) - как ЕН моды.
Следует отметить, что используемая нумерация корней характеристического уравнения отличается от существующей нумерации гибридных волноводных мод (НЕц, ЕНд). Так как на участке 0...г]п имеет место только одно решение - нумерация собственных чисел и™ начинается, фактически, с Такой подход удобен с математической точки зрения, так как связан с математическим решением и сопоставляет точки и,А с характерными точками бесселевых функций и их производных. Но традиционно, нумерацию ЕН],5 мод начинают с единицы (^=1), а линейно-поляризованной группой ЬРо^ считают группу, образованную двумя модами НЕ^. Если моды, соответствующие решениям и(//, и(** обозначить как то будет иметь место соответствие: \\\5(1) = ЕН^, \У1,5(2)=НЕ1,5.
Принимая во внимание, что существуют и другие системы нумерации мод [5], обобщим взаимосвязь индексов волноводных мод, образующих линейно-поляризованные группы, в таблице 1.
В качестве примера на рис. 2.1 приведены зависимости (и), Е2 (и) - кривые 1,2 и иК',(м) I пК,(\ч), п22иК[(и>) / ыК,(и>) - кривые 3,4 для /=1, К = 100 в диапазоне и 40...50. Уравнение (2.1.1) можно также представить в виде:
где 3,(и) = Ft (и), 32(м) = F2(u)/n12i З3 = F3(u)/ л,2. Тогда, аналогично [18] графики зависимостей 3, и 32 будут почти совпадать, а сами функции 3,,32 - иметь близкие значения. На рис. 2.2 приведено графическое решение уравнения (4) для / —1, F = 100. Кривая 1 соответствует произведению Fi(u)F2(u), кривая 2 - функции Fi(и). При и»1, w»l можно полагать F, «1, \uKfcw)/ wK,(w)\« 1, тогда решение уравнения (1) следует искать в близи точек £/s. Для больших индексов s решения уравнения (2.1.11) практически
совпадают с решениями асимптотических уравнений [68], но при больших азимутальных индексах / и малых s отличия становятся существенными.
Следуя работам [5,18], представим функции F,(w), F2(и), F3(u) в виде ряда Тейлора в
окрестности точек ,, производя дифференцирование при V = const:
3j(«i)32(m) = З3(м)
(2.1.12)
V=const ,ч=^і %ї
(w,і={1,2,3}.