- 2 -
ОГЛАВЛЕНИЕ
стр.
ВВЕДЕНИЕ.................................................
ГЛАВА I. ЧИСЛЕННОЕ РШЕНИЕ ВОЛНОВЫХ ЗАДАЧ МЕТОДАМИ
РАСЩЕПЛЕНИЯ И ФУРЬЕ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ..........10
§ I. Решение задач дифракции методом Фурье. ...
Модификация алгоритма..........................II
§ 2. Статистическая задача дифракции: флуктуации..
волн за случайным фазовым экраном............. 21
§ 3. Решение задач распространения волн методом
расщепления. Модификация алгоритма............ 27
§ 4. Статистическая задача распространения: флуктуации волн в случайно-неоднородной среде.... 34
Выводы по главе 1..............................42
ГЛАВА П. ТЕПЛОВОЕ САМ0В03ДЕЙСТВИЕ ЛАЗЕРНЫХ ПУЧКОВ. .
НА АТМОСФЕРНЫХ ТРАССАХ..................... 44
§ 5. Решение задач самовоздействия волн методом
расщепления.................................. 46
§ 6. Тепловые искажения лазерных пучков на вертикальных трассах.................................... 54
§ 7. Влияние флуктуаций скорости ветра на дефокусировку пучка...................................... 72
§ 8. Тепловое самовоздействие в турбулентной
среде......................................... 85
Выводы по главе П............................. 91
- 3 -
ГЛАВА Ш. МИНИМИЗАЦИЯ ТЕПЛОВЫХ ИСКАЖЕНИЙ МЕТОДАМИ
АДАПТИВНОЙ ОПТИКИ..................... 93
§ 9. Тепловое самовоздействие фокусированных
пучков в атмосфере....................... 94
§10. Программная фазовая коррекция тепловых искажений на вертикальных трассах................104
§11. Адаптивная фазосопряженная коррекция по
опорной волне............................III
§12. Компенсация турбулентных искажений мощных
лазерных пучков..........................127
Выводы по главе Ш........................134
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.........................................136
ЛИТЕРАТУР А........................................138
ПРИЛОЖЕНИЕ.........................................156
- 4 -
ВВЕДЕНИЕ
Повышение мощности источников когерентного лазерного излучения, ведущее к расширению сферы их применения в различных областях науки и техники, выдвигает на передний план исследования нелинейного взаимодействия излучения со средой, и в частности, нелинейного самовоздействия световых пучков в естественных средах. В последнее время роль таких исследований возрастает в связи с проблемой распространения мощного лазерного излучения в атмосфере.
Среди широкого круга задач нелинейной атмосферной оптики важное место занимают вопросы теплового самовоздействия когерентных пучков непрерывного излучения. Тепловые искажения пучка, вызванные молекулярным поглощением световой энергии газовыми компонентами атмосферного воздуха, имеют самый низкий энергетический уровень и будут проявляться в большинстве прикладных задач, связанных с передачей лазерной энергии через атмосферу. Являясь одним из основных препятствий на пути решения этих задач, проблема теплового самовоздействия ставит в ряд наиболее актуальных исследований разработку методов и систем адаптивного управления параметрами лазерного излучения с целью минимизации атмосферных искажений световых пучков.
К настоящему времени тепловое самовоздействие когерентных пучков в регулярных газовых потоках изучено достаточно подробно. Математическая модель, положенная в основу теоретического описания этого физического явления, подтверждена многочисленными лабораторными экспериментами. Она включает в себя систему многомерных квазилинейных уравнений в частных
5
производных второго порядка для комплексной амплитуды поля световой волны и первого порядка для поля показателя преломления среды. Аналитическое исследование такой задачи в общем случае представляет серьезную математическую проблему, не ре шенную до сих пор. В настоящее время общепризнанным методом теоретического анализа эффектов теплового самовоздействия является численное исследование на ЭВМ методами математического моделирования. Существуют различные алгоритмы численного решения задач волновой нелинейной оптики, основанные на методах конечных разностей, конечных элементов, расщепления и спектральных преобразований.
Однако, при прогнозировании тепловых искажений лазерных пучков на атмосферных трассах необходимо учитывать ряд важных дополнительных факторов - изменчивость оптических параметров среды вдоль трассы из-за стратификации атмосферы (на вертикальных трассах), флуктуации этих параметров из-за турбулентности атмосферы (на горизонтальных трассах). Эти вопросы в ностоящее время остаются малоизученными, так как для численного решения стохастических нелинейных уравнений методом статистических испытаний необходимы эффективные быстродействующие алгоритмы моделирования случайных полей с заданными свойствами, численного решения динамической части волновой задачи, статистического анализа полученных результатов.
Целью настоящей диссертационной работы является теоретическое исследование методами численного моделирования на ЭВМ основных закономерностей теплового самовоздействия когерентных лазерных пучков непрерывного излучения на атмосферных трассах. Данное исследование включало решение следующих ос-
- 6 -
новных задач:
1. Разработку эффективных алгоритмов численного моделирования и создание на их основе комплекса прикладных программ для решения на ЭВМ динамических и статистических задач нелинейной волновой атмосферной оптики.
2. Оценку тепловых искажений лазерных пучков на вертикальных трассах с использованием среднеширотных сезонных моделей высотного изменения параметров атмосферы.
3. Оценку тепловых искажений пучков на горизонтальных трассах с учетом влияния турбулентных флуктуаций скорости ветра и температуры среды на самовоздействие пучка.
4. Численное моделирование адаптивных оптических систем, предназначенных для минимизации тепловых и турбулентных искажений световых волн, с целью оценки эффективности методов фазовой коррекции лазерных пучков в атмосфере.
Научная новизна работы заключается в следующем. На основе предложенной автором модификации алгоритма расщепления разработан комплекс вычислительных программ для решения широкого круга детерминированных и стохастических задач нелинейной волновой оптики. Проверка этих программ на решении тестовых задач, а также сравнение результатов с имеющимися теоретическими и экспериментальными данными свидетельствуют об эффективности разработанных алгоритмов и о достоверности получаемых по ним результатов.
Впервые исследовано тепловое самовоздействие коллимированных и фокусированных пучков на вертикальных трассах с использованием среднеширотных сезонных моделей высотного профиля параметра нелинейности. Получены количественные зависимое-
- 7 -
ти передаваемой через атмосферу максимальной интенсивности излучения от начальной мощности пучка. Оценено влияние на тепловые искажения сезонных изменений характерной мощности теплового самовоздействия.
Количественно исследовано влияние флуктуаций скорости ветра на тепловое расплывание в стационарном приближении для уравнения переноса тепла. Вперзые в численном эксперименте решена нестационарная задача теплового самовоздействия пучка в турбулентной случайно-неоднородной среде.
Количественно оценена эффективность априорной (программной) фазовой коррекции тепловых искажений когерентных пучков на горизонтальных и вертикальных трассах. Поставлена и решена задача численного моделирования нестационарных адаптивных систем фазового сопряжения опорной волны. Количественно оценена эффективность таких систем при компенсации тепловых и турбулентных искажений лазерных пучков.
Методическая часть диссертации, включающая разработанные автором вычислительные алгоритмы и программы, имеет сферу применимости, выходящую за рамки сформулированной темы. Она охватывает, в частности, такие области прикладной оптики как математическое обеспечение контроля качества оптических систем, расчет лазерных резонаторов, коррекция цифровых изображений. Часть алгоритмов входит в систему математического обеспечения ИОА СО АН СССР, внедрена в СКВ НП "Оптика", принята в Государственный фонд алгоритмов и программ.
Проведенные исследования тепловых искажений пучков на атмосферных трассах, а также оценка влияния на них турбулентных флуктуаций скорости ветра и температуры среды, развивают
8
существующие представления о тепловом самовоздействии и позволяют прогнозировать искажения лазерных пучков при их распространении в атмосфере. Полученные количественные оценки эффективности методов минимизации тепловых искажений могут быть использованы при проектировании лазерных систем повышенной мощности.
На защиту выносятся следующие положения:
1. Применение процедуры расщепления в методе Фурье численного решения однородного параболического уравнения (приближение квазиоптики) позволяет увеличить быстродействие вычислительного алгоритма, снизить требования к оперативной памяти ЭВМ и тем самым расширить область применения метода при численном решении задач дифракции и распространения волн, включая стохастические нелинейные задачи атмосферной оптики.
2. Повышение мощности когерентного лазерного пучка непрерывного излучения, распространяющегося в турбулентной случайно-неоднородной среде, приводит сначала к ослаблению, а затем к усилению флуктуаций интенсивности. Мощностью, сверх которой начинается усиление флуктуаций, является критическая (оптимальная) мощность пучка, доставляющая максимальную среднюю интенсивность излучения в плоскость приема.
3. Метод фазового сопряжения опорной волны, реализованный в быстродействующей адаптивной системе (работающей в нестационарном режиме теплового самовоздействия), позволяет существенно снизить тепловые искажения пучка как в однородной, так и турбулентной случайно-неоднородной среде. При фокусировке пучков на вертикальной трассе достаточно эффективной является априорная (программная) фазовая коррекция по началь-
- 9 -
ному распределению интенсивности в сечении пучка.
10
ГЛАВА I
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ВОЛНОВЫХ ЗАДАЧ МЕТОДАМИ РАСЩЕПЛЕНИЯ И ФУЕЬЕ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
В задачах дифракции и распространения волн в неоднородных средах в последнее время широко применяются численные методы исследований. Это обусловлено как сложностьюсамих решаемых уравнении, например нелинейных, так и разнообразием начальных и граничных условии для них. В частности, численный подход используется в цифровой голографии [ 91-93 ] , для расчета неустойчивых лазерных резонаторов [ 94-101 } , в задачах распространения света в оптических волокнах С Ю2 3 , для расчета дифракции электронов в кристаллах С ЮЗ 3 $ в задачах нелинейной оптики \_ 4-7,16,25, 28-30 ] , для расчета качества оптических систем [ 104 J .
Среди методов, применявшихся в перечисленных работах, наибольшей эффективностью в смысле точности и скорости вычислений обладает метод расщепления [23,24 ] в сочетании с методом Фурье решения однородной задачи [ 30 ] . Особую роль при реализации этого метода на ЭВМ играет алгоритм быстрого преобразования Фурье (ШФ) [ 105-109 ] .
В настоящей главе рассматриваются некоторые методические вопросы применения алгоритма ШФ для численного исследования волновых задач, как детерминированных, так и стохистических. С точки зрения методики решения динамического скалярного уравнения для волнового поля оба эти класса задач принципиально не различаются, так как и в том, и в другом случае требуеется явное задание (в виде сеточных функций) либо граничных условий для однородного уравнения, либо дополнительно поля показателя преломления
II
среды (для неоднородного уравнения).
§ I. Решение задач дифракции методом Фурье. Модификация алгоритма
Рассмотрим задачу дифракции скалярного монохроматического поля гссх.у) , удовлетворяющего однородному волновому уравнению в приближении квазиоптики [_П0 J :
ал
где А- Сй/С- -2Т/Я. -волновое число. Для получения частного решения уравнение (1.1) дополняют граничными условиями
^ (к У, о) * Що (х, у), (1.2)
и условиями излучения на бесконечности. Разложение граничного поля в интеграл Фурье имеет вид
ио(х,у)^}$(1-3)
—Оо
где Го С ^ху 'Ху) -спектральная функция, связанная с 2С>(х} у) обратным преобразованием Фурье
оо
= ^ ]{%>(*, у)4#р&(& Х+ (I -4)
Задача дифракции заключается в нахождении поля 26 (х/у^ 2^) в любой плоскости полупространства 2 > 0 • Двумерная спектральная амплитуда Г 2) поля в плоскости 2 удовлетворяет
12
уравнению
X), (1.5)
решение которое имеет вид:
Н/й}Ц^( (1.6)
Тогда искомое поле '^Х/^ 2) находится как преобразование Фурье от ¥(2*^ г)!
еО
'№('*■1% X) ~ К щ) Х + %2 у}]Хо^ (1.7)
При численной реализации данного метода на цифровой ЭВМ непрерывные области определения функций ТсСК/у) и 2^,)
заменяются на дискретные "сетки", а сами функции - на их сеточ-
ные аналоги:
7(т■&,п• ах)ат,п.-Ф&З, 1>....о,...)#ял
2 2 '
Интегральные операторы (1.4), (1.7) заменяются на двумерные дискретные преобразования Фурье (ДПФ), которые для квадратных сеток
/Их = Му « л/#х =л^ »У шеют ввд:
Ф(м,л) =2 X] 'и(/1г)е*рЕг*&(п(:1,+л.е)2> (1.8)
j х о £* о
ІЗ
Начальные и граничные условия и условия излучения на бесконечности переносятся на границы сеток. Таким образом, алгоритм получения численного решения задачи дифракции методом Фурье следующий:
I. Найти по формуле (1.8), вычислив ДНФ от распределения поля на сетке в плоскости Ъ-О.
2..Найти спектр поля в плоскости 2 , умножив для этого /і) о) на функцию распространения, имеющую смысл фильтра пространственных частот
Н (**,*) = (1Л0)
3. Найти само поле в плоскости 2 , вычислив ДНФ от спектра согласно (1.9).
Несмотря на кажущуюся простоту этого алгоритма, его реализация на цифровых ЭВМ до 1965 года была чрезвычайно затруднена и не имела преимуществ перед другими методами из-за большого объема вычислений в дискретном двумерном преобразовании Фурье (ДНФ). Как известно, количество операции комплексного умножения в прямом алгоритме ДНФ на сетке /Кх Л/ точек пропорционально так что для /V =64 одно вычисление двумерного ДНФ требует '-"ҐО^ комплексных умножений. Поэтому в первых работах, посвященных численному решению дифракционных задач, использовалась интегральная форма решения уравнения (І.І). Ее оценка производилась прямым вычислением дискретной свертки 3 :
14 -
njL(j}t)E liet), a.id
«41 Ц
которая является дискретной аппроксимацией интеграла Гюйгенса-Френеля Г hi ] :
/С Z иС*/У) ~ ff**р{1tЛ[(*-**) +(у-у°)
-6ХЭ
В тех случаях, когда для корректного описания дифракции нужно учитывать большое число зон Френеля [ 110,111 J , расчет по формуле (I.II) требует ^ Д/ ^ комплексных умножений. Таким образом, метод прямого вычисления ДПФ не имеет преимуществ по сравнению с методом дискретной свертки.
Однако после опубликования алгоритма быстрого преобразования Фурье £ 105 J ситуация резко изменилась. Количество операций комплексного умножения в двумерном БПФ на сетке /У хД/ пропорционально /I/ 2 • А') ^ что для Д/=64 означает
сокращение вычислительных затрат более чем в 100 раз. В результате метод Фурье не только стал практически реализуем, но и превзошел по быстродействию метод дискретной свертки, а также разностные методы решения уравнения <I.I) j_ 23 J .
В настоящее время метод быстрого преобразования Фурье широко применяется для решения задач дифракции и распространения волн Q4-7,30,35,37,45,48,77,81,99,101,103,112 Л . Рассмотрим
некоторые специфические особенности вычислений по изложенному выше алгоритму метода БПФ. В основном они связаны с эффектами дискретизации и апертурного ограничения, хорошо известными в теории цифровой обработки сигналов [107] .
- 15
Дискретизация переменных Х,^ и в координатном
и частотном пространствах приводит к периодическому продолжению сеточных функций '%■(/)£■) , 9*» определенных в конечных областях изменения дискретных аргументов /, . Поэтому умножение спектра на частотную характеристику (я?,/г)
и возвращение в координатную область с помощью алгоритма БПФ приводит, в соответствии с теоремой о дискретной свертке, к вычислению периодической свертки вместо апериодической. Это, в свою очередь, ведет к необходимости искуственно увеличивать размеры расчетной сетки, вводя "защитные области" по ее краям £101 ] .
Для нахождения минимально возможного размера сетки при вычислении свертки через ШФ рассмотрим в качестве примера граничных условий ДЛЯ ПОЛЯ 'М'О (х, ^) однородную плоскую волну единичной амплитуды, освещающую апертуру шириной 7-Си0. Картина интенсивности (дифракция Френеля) на расстоянии 2 дается формулой [_юі]:
™ '£*Ч> -13)
где X1 - Х/сь0) & - (ъй/о /ъ -число Френеля апертуры.
Часть энергии, которая выпадает из полосы шириной -К-$ х'й К-&0 и, следовательно, переходит в соседний период (на расстоянии от входной апертуры) равна:
е(к) = ■ <і-і4)
Гч
Поскольку такое же количество энергии возвращается из соседнего периода в расчетную область, то этот процесс можно рассматривать как "отражение” поля от границ сетки. Таким образом, минимальный
- Київ+380960830922