Особенности динамики газовых включений и их проявления в акустике микронеоднородной жидкости

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Глава I. АКУСТИКА ПУЗЫРЬКОВЫХ СРЕД
>
1.1. Нелинейная динамика пузырьков..................... 14
1.2. Волновые процессы в двухфазных средах............. 25
1.3. Динамика роста и растворения газовых пузырьков в акустическом поле ............................................. 36
1.4. Пузырьки в океане: распределение и методы регистрации ,. . 46
Глава 2. ОСОБЕННОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ РЕЗОНАНСОВ ГАЗОВЫХ ПУЗЫРЬКОВ
2.1. Классификация особенностей динамических состояний пузырьков............................................ 59
* 2.2. Нелинейные колебания пузырьков под действием резонансного и шумового акустических полей 74
2.3. Отклик на воздействие модулированного сигнала..... 91
2.4. Субгармоническое излучение пузырьков при двухчастотном возбуждении............................................. 109
Глава 3. НЕЛИНЕЙНЫЕ ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ
3.1. Переходные процессы в окрестности порога параметрического возбуждения поверхностных колебаний пузырька .... 133
3.2. Электрохимические методы регистрации волн Фарадея на поверхности пузырька: теоретические основы.............. 166
3.3. Переходные процессы в окрестности субгармонического резонанса............................................... 183
3.4. Переходные процессы при наличии шума...........! . 197
2
Глава 4. АКУСТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ДВУХФАЗНЫХ
СРЕДАХ, ОБУСЛОВЛЕННЫЕ БИФУРКАЦИЯМИ ДИНАМИЧЕСКИХ СОСТОЯНИЙ ПУЗЫРЬКОВ
4.1. Нелинейное затухание звука в жидкости с пузырьками .... 207
4.2. Управляемая прозрачность................................ 222
4.3. Обращение волнового фронта....................... 231
4.4. Форма линии акустического излучения при кавитации .... 243
Глава 5. КОЛЛЕКТИВНЫЕ ЭФФЕКТЫ В ПЕЛЕНЕ ПУЗЫРЬКОВ
5.1. Коллективные колебания пелены пузырьков в жидкости . . . 254
5.2. Распространение акустических сигналов в двухфазной среде снарядной структуры..................................... 269
^ 5.3. Коалесценция газовых пузырьков в звуковом поле........... 286
5.4. Диффузионное разрушение жидких пен...................... 297
5.5. Роль граничной кинетики в формировании спектра размеров пузырьков в жидкости.................................... 309
Глава 6. ДИНАМИЧЕСКИЕ СИММЕТРИИ
В КАВИТАЦИОННЫХ ЯВЛЕНИЯХ
6.1. Симметрия уравнения Рэлея и анализ нелинейных пульсаций газовых пузырьков в жидкости............................ 317
6.2. Максимальный размер пузырька при автомодельных пульсациях.............................................. 333
* 6.3. Конформная симметрия и динамика закрепленных пузырьков 342
6.4. Распределение пузырьков коагулирующих в звуковом поле . 359
з
Глава 7. ПУЗЫРЬКИ В ОКЕАНЕ
7.1. Временная эволюция интенсивности обратного рассеяния от пелены всплывающих пузырьков............................... 369
^ 7.2. Динамика растворения всплывающих пузырьков в случайном
поле скоростей.......................................... 383
7.3. Эффект транспортной пробки при формировании газового факела всплывающими пузырьками............................. 395
7.4. Интерпретация акустических эхограмм газовых факелов . 401
7.5. Спектр шума газового факела........................... 412
Глава 8. ОПТОАКУСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ДИАГНОСТИКИ ПУЗЫРЬКОВ
8.1. Дисперсионные искажения оптоакустических сигналов в
^ приповерхностном слое океана............................ 433
8.2. Формирование предвестника при термоупругом возбуждении акустического импульса на поверхности моря................. 455
8.3. Соотношения между длинноволновыми характеристиками оптоакустических импульсов и моментами распределения пузырьков в приповерхностном слое океана................... 460
8.4. Особенности акустического излучения ледяной пластины, возбуждаемой лазерным термооптическим источником .... 469
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 490
ЛИТЕРАТУРА 493
Щ
4
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы. Физика нелинейных явлений занимает особое положение в современной науке. За последние десятилетия сформировались отдельные направления: нелинейная акустика, нелинейная оптика, нелинейная динамика и хаос. Нелинейная акустика многофазных сред, физика кавитационных явлений представляют собой подразделы нелинейной акустики.
Присутствие в жидкости микровключений - газовых пузырьков, сжимаемость которых на несколько порядков превосходит сжимаемость окружающей жидкости, приводит к тому, что нелинейные эффекты начинают проявляться при относительно небольших уровнях звукового давления.
Газовые включения в жидкости - объект, который практически всегда присутствует, и необходимость определить его дисперсный состав, концентрацию возникает крайне часто как при исследовании природных объектов, так и в технике, химической технологии, медицинских приложениях.
Свидетельством актуальности изучения этого объекта может служить присуждение наиболее значимых международных премий в области акустики:
• междисциплинарная серебряная медаль имени Гельмгольца-Рэлея американского акустического общества - профессору Лорансу Краму за работы по биомедицинским приложениям ультразвука, в частности, за исследования биомедицинских последствий акустической кавитации (2000 г.);
• медаль Тиндаля Института акустики - профессору Тимоти Лейтону за исследования акустики газовых включений в жидкости (2002 г.);
• серебряная медаль в области физической акустики профессору Филиппу Мэрстону за вклад в развитие акустических методов манипулирования
Введение
жидкими объектами (каплями, жидкими мостиками, пузырьками) (2003
г.);
• премия Брюса Линдсея - доктору Майклу Бейли за вклад в понимание ударноволновой литотрипсии и связанных с ней кавитационных явлений (2004 г.).
Структура фазового пространства динамической системы определяется наличием качественных особенностей: узловых и седловых точек, предельных циклов и сепаратрис, которые в значительной мере определяют характер эволюции системы. К особенностям динамической системы мы также относим наличие внутренних динамических симметрий. Применение теории непрерывных групп позволяет выявить эти устойчивые характеристики в поведении системы. Однако для газовых включений последовательное теоретическое описание этих объектов практически отсутствовало. Свидетельством актуальности подобного исследования может служить также непропорционально большое число работ, посвященных анализу нелинейной динамики пузырьков, основанных на численных расчетах, которые, конечно могут дать ответ на вопрос как?, но существенно реже с их помощью можно получить ответ на вопрос почему?
Исторически так сложилось, что при изучении нелинейных явлений основное внимание уделяется описанию установившихся движений, а переходные процессы невольно остаются в тени. Только в последние годы прослеживается заметный рост числа публикаций, посвященных изучению нелинейных переходных процессов. Эта проблема актуальна и для нелинейной акустики многофазных сред, поэтому изучение переходных явлений в динамике газовых пузырьков в жидкости представляет собой исследование «горячей точки» в физике кавитационных явлений.
Наличие структурных переходов (бифуркаций) в окрестности нелинейных резонансов приводит к ряд}' обстоятельств: бистабильности,
6
Введение_______
неустойчивости и даже хаосу, о которых говорят как о проявлении сложного поведения «простых» динамических систем. Весьма сложным может быть и реакция пузырька на относительно простое внешнее возмущение в этой области. Исследование данной проблемы способствует решению ряда важных задач: реализация “акустического лазера” в пузырьковых средах, объяснение формы спектральных линий акустического излучения при кавитации. В отличие от оптики, где форма линий излучения - мощный канал информации о физике процессов, протекающих на атомном или молекулярном уровне, в акустике до настоящего времени отсутствует связанная теория этого эффекта.
Г азовые пузырьки, взаимодействующие с акустическим полем, допускают весьма прямую аналогию с классическими задачами физики плазмы, в которых рассматривается взаимодействие частиц с полем. В качестве примера достаточно перечислить только название эффектов: затухание Ландау, эффект Мазитова-О’Нила, циклотронное эхо, автосинхронизация и т.д. В конце 1980 - начале 1990 годов это направление исследований переживало бурный расцвет. Участие в этой, актуальной на тот период времени, деятельности отражено в публикациях, вошедших в диссертацию.
Продолжая эту аналогию между взаимодействующими частицами и полем, нетрудно предугадать следующий шаг - непосредственный учет взаимодействия между частицами (пузырьками) посредством поля. Приоритет в публикации теории коллективных колебаний пелены пузырьков [137], к сожалению, не был реализован в решение актуальной задачи о спектре шума поверхностного волнения в килогерцовом диапазоне. Эта было сделано другими: [263, 264. 528, 443, 503]. Несмотря на значительные усилия, направленные на создание теории, основанной на учете кооперативных эффектов, объясняющей формирование спектра размеров пузырьков в
7
Введение
реальных.условиях, эта проблема до сих пор остается актуальной и требует своего решения.
Актуальность изучения газогидратов - потенциального энергетического источника - очевидна. Одним из наиболее эффектных проявлений газогидратирования являются газовые факелы - выбросы углеводородного сырья (как правило, в виде метановых пузырьков) подводных месторождений со дна океана. Изучение этого природного образования явилось удачным приложением развитых ранее теоретических представлений. Так, при описании структуры и эволюции газовых факелов использовались методы нелинейной динамики, позволившие найти частные аналитические решения. В основе предложенных дистанционных (активных и пассивных) акустических методов диагностики этих природных образований лежат представления о спектре коллективных колебаний пелены пузырьков.
Как следует из вышеизложенного, тема диссертационной работы соответствует современным тенденциям развития нелинейной акустики и направлена на решение актуальных научных и практических задач.
Цель работы. Целью диссертационной работы как научного исследования, основанного на современных методах теоретического анализа (группы Ли, теории нелинейных динамических систем), было изучение физических процессов, связанных с качественными особенностями в динамике газовых включений в жидкости: бифуркациями, нелинейными резонансами, внутренними динамическими симметриями и их проявлениями в акустике микронеоднородной жидкости.
Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие существенные научные результаты. Впервые:
• найдена группа симметрии уравнения Рэлея;
8
Введение
• описана динамика закрепленного пузырька, получен аналог уравнения Рэлея; найдена зависимость собственной частоты от контактного угла;
• на основе выявленной симметрии интеграла коагуляции найдено распределение пузырьков по размерам, являющееся точным решением кинетического уравнения и отвечающее постоянному потоку по спектру размеров;
• получено выражение, описывающее форму спектральных линий акустического излучения при акустической кавитации;
• дано объяснение экспериментально наблюдаемому эффекту генерации субгармонического сигнала ниже порога;
• получено кинетическое уравнение, описывающее динамику растворения всплывающих пузырьков в случайном поле скоростей, найдены частные решения;
• получено аналитическое выражение для пространственного распределения шума в окрестности газового факела;
• дано объяснение наблюдаемому в натурных экспериментах эффекту выделения предвестника оптоакустического импульса, возбужденного на поверхности океана.
Научная новизна подтверждена публикациями в рецензируемых научных изданиях, представлением докладов на международных и отечественных конференциях, экспертной оценкой на конкурсах РФФИ и ДВО РАН.
Научная и практическая значимость. Данное исследование расширяет представление о природе особенностей газовых включений и объясняет на их основе экспериментально наблюдаемые явления в микронеоднородной жидкости.
Полученные в диссертации результаты способствуют:
Введение
• решению задач акустической диагностики пузырьков на основе предложенных методик: по нелинейному отклику в окрестности как основного, так и субгармонического резонансов, по форме линии акустического излучения, по форме порога генерации ряби Фарадея;
• развитию (на основе предложенного теоретического описания) нового направления экспериментальных исследований - акустоэлектрохимии;
• решению практических задач по диагностике “газовых факелов” (выбросов углеводородного сырья подводных месторождений).
Научная значимость подтверждается фактом цитирования опубликованных результатов другими исследователями.
Диссертационная работа выполнялась в рамках федеральных целевых программ "Мировой Океан", "Интеграция" ТОЙ - ДВГУ А0025.01, при поддержке грантов РФФИ: 95-05-14130-а, 01-05-64915-а, 03-02-26984-3, 04-02-16412-а; 05-02-26883-3; РФФИ-Приморье 01-02-96901-а; проектов ДВО РАН: 03-3-А-07-094, 03-3-В-02-009, 04-3-А-07-038,04-3-А-02-051, 05-3-А-02-072.
Основные положения, выносимые на защиту:
• описание качественных особенностей в динамике одиночного пузырька: определение структур нелинейных резонансов. построение бифуркационных диаграмм, нахождение группы симметрии уравнения Рэлея;
• построение теории нелинейных переходных процессов в динамике пузырьков: для бистабильных колебаний пузырьков, в окрестности порога генерации ряби Фарадея и окрестности субгармонического резонанса радиальных пульсаций;
• проявления бифуркаций нелинейных колебаний пузырьков в акустике двухфазных сред: отклик на воздействие модулированного сигнала, субгармоническое излучение пузырьков при двухчастотном возбуждении, нелинейное затухание звуковой волны, обусловленное
Введение
гистерезисным характером амплитудно-частотной характеристики, режим управляемой прозрачности, обращение волнового фронта, теория формы линий акустического излучения при кавитации;
• построение теории кооперативных явлений в газе взаимодействующих между собой пузырьков: коллективные колебания пелены, коалесценция газовых пузырьков под действием акустического поля, особенности диффузионного разрушения жидких иен, механизмы формирования универсальных распределений газовых пузырьков в жидкости;
• проявление особенностей динамики пузырьков в акустике океана: описание структуры и эволюции газовых факелов - выбросов углеводородного сырья подводных месторождений, развитие активных и пассивных дистанционных акустических методов диагностики этих природных образований, объяснение характера дисперсионных искажений оптоакустических импульсов, обусловленное наличием пузырьков в приповерхностном слое океана, - выделение предвестника, установление связи между временными моментами импульса и моментами функции распределения пузырьков по размерам.
Личный вклад автора. Основная часть результатов получена лично автором. Во всех исследованиях постановка задачи и основные аналитические вычисления выполнены им. Список публикаций содержит 62 наименования, из них в 20 имеются соавторы. Автор признателен им за их согласие на включение материалов совместных исследований в диссертационную работу.
Апробация работы. Основные результаты были представлены на следующих конференциях и симпозиумах: Третьей и Шестой
дальневосточных акустических конференциях (Владивосток, 1982, 1997); IV Всесоюзной конференции “Проблемы научных исследований в области изучения и освоения Мирового океана” (Владивосток, 1983); Всесоюзном
н
Введение
симпозиуме “Акустическая кавитация и применение ультразвука в химической технологии” (Славское, 1985); IV Всесоюзном симпозиуме по физике акусто-гидродинамических явлений (Ашхабад, 1985); II Всесоюзном совещании “Метастабильные фазовые состояния” (Свердловск, 1989); Всесоюзном & симпозиуме “Кавитация-89” (Одесса, 1989); III семинаре СНГ Акустика
неоднородных сред (Новосибирск, 1996); 11, 13, 14, 16, 17 Intemattional Symposiums on Nonlinear Acoustics (Novosibirsk, 1987; Bergen, 1993; Nanjing, 1996; Москва, 2002; State College, 2005); Simposium on Adiabatic waves in liquid-vapor systems (Gottingen, 1989); International Workshop on Marine Acoustics (Beijing, 1990); International Symposium “Ocean’s 92” (Newport, Rhode Island, 1992); The Second International Symposium on Cavitation (Tokyo, 1994); 8-th International Symposium on Acoustic Remote Sensing and Associated Techniques of the Atmosphere and Oceans (Москва, 1996); 2-nd International Conference Control of Oscillations and Chaos (Санкт-Петербург, 2000); ^ Дальневосточной математической школе-семинаре им. акад. Е.В. Золотова
(Владивосток, 2000); 9-й школе-семинаре акад. Л.М. Бреховских “Акустика океана” (Москва, 2002); XIII и XV сессиях Российского акустического общества (Москва, 2003; Нижний Новгород, 2004); 5-th World Congress on Ultrasonics (Paris, 2003); PICES 3rd Okhotsk Sea Workshop (Vladivostok, 2003); Bifurcations 2003, (Southampton, 2003) 18th International Congress on Acoustics (Kyoto, 2004); Fifth Workshop on Russian-German Cooperation in the Sea of Okhotsk-Kurile Island System (Владивосток, 2004), а также на семинарах СПбГУДОИДВО РАН.
По материалам диссертации имеется 62 публикации, из них в международных и центральных научных журналах - 27 работ, в трудах международных и отечественных конференций опубликовано 28 работ, в региональных изданиях - 7.
12
Введение
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 8 глав, заключения и списка цитируемой литературы (614 наименований). Объем рукописи - 546 страниц, из них печатного текста - 461 стр., иллюстрации занимают - 85 стр.
*
13
АКУСТИКА ПУЗЫРЬКОВЫХ СРЕД
Пульсации газовых включений играют важную роль как во множестве природных явлений, так и в технологических, химических, биологических и иных приложениях. Характер этих колебаний весьма разнообразен и простирается от небольших вариаций объема до кавитационного коллапса. Сжимаемость воздуха в пузырьке обеспечивает упругость, а присоединенная масса окружающей жидкости играет роль массы этого природного осциллятора. Используя уравнение сохранения энергии, Миннэрт [490] получил выражение для собственной частоты колебаний пузырька
здесь Р0 - гидростатическое давление, Я0 - равновесный радиус пузырька, р0 - равновесная плотность окружающей жидкости, у - показатель политропы. Для пузырьков воздуха в воде при атмосферном давлении П0/?0 « 20.5 (м/с),
так что при радиусе в 10 мкм резонанс наступит на частоте 326 кГц.
Значительная сжимаемость газа (на несколько порядков превосходящая сжимаемость жидкости) приводит к заметной реакции пузырька на изменение внешнего давления. Именно это обстоятельство является определяющей причиной возникновения кавитации [539]. Большая часть обзора будет посвящена обсуждению радиальных пульсаций сферически симметричных пузырьков, поскольку именно эта мода колебаний наиболее сильно связана с акустическим полем и наиболее подробно описана теоретически. Кавитационные эффекты и явления, связанные с возбуждение поверхностных мод пузырька, обсуждаются только в той степени, в какой они необходимы для изложения оригинальных результатов. Вопросы динамики паровых пузырьков, поведение включений в криогенных жидкостях достаточно
(1.1)
Глава 1. Акустика пузырьковых сред
подробно описаны в монографиях [2, 20], и по этой причине не включены в обзор.
Структурно-неоднородные среды, примером которых является жидкость с пузырьками газа, характеризуются весьма сложными и разнообразными акустическими свойствами. Присутствие пузырьков сильно изменяет условия распространения волн. Резонансный характер пульсаций пузырьков приводит к дисперсии фазовой скорости, а сильная сжимаемость газа повышает нелинейность. Кроме того, появляются дополнительные механизмы потерь.
1.1. Нелинейная динамика пузырьков
Нелинейная динамика одиночного включения во внешнем поле давления представляет первоначальный этап в описании этой проблемы. После первоначальных успехов [389, 361, 103, 343, 584], в течение довольно продолжительного периода теория этого явления развивалась без появления очень ярких результатов [386, 374, 375, 362, 377, 308, 328]. Многие из полученных в этот период уравнений оказались на самом деле эквивалентными, поскольку их область применимости ограничивалась первым порядком “акустического приближения” к результатам, справедливым для несжимаемой жидкости [404].
Большинство, изложенных в диссертации результатов, основывается на анализе уравнения Рэлея, обобщенная форма которого [386, 387] иногда носит имя Келлера:
°о J
ЗаЛ. R
RR + ~R'\ 1-
Зс0
R R d + —+------
cQ dt j
Po
Здесь R(t) - значение радиуса пузырька в момент времени /; Р5 - статическое давление плюс давление внешнего поля, заставляющее пузырек пульсировать; точками, как обычно, обозначено дифференцирование но времени, с0 -равновесная скорость звука в жидкости. Давление на внешней P(R,t) и
15
Глава і. Акустика пузырьковых сред
внутренней стенке пузырька P.(R,t) связаны условием непрерывности нормальных напряжений
где о - коэффициент поверхностного натяжения, а ц - вязкость жидкости. Применяя к обеим сторонам уравнения (1.1.2) оператор
[1^(Л/с0) + (Л/с0)й/Л]-1 и разлагая результат по степеням сД можно
На первый взгляд это уравнение обладает определенным дефектом - требует для своего решения задания трех начальных условий. В действительности, это артефакт приближенной схемы, используемой для его вывода [529, 431]. Впрочем, рецепт преодоления этой трудности в описании радиационного затухания осциллятора хорошо известен. В пределе несжимаемой жидкости Со -» со уравнения (1.1.2, 1.1.4) переходят в более простое уравнение Рэлея-Плессета
По существу, уравнения (1.1.2), (1.1.4), (1.1.5) еще не являются замкнутыми, поскольку не определено давление на внутренней стенке пузырька /?(#,/)• Закон сохранения энтальпии (идеального газа) внутри пузырька устанавливает связь между вариациями давления и температурой Т.
(u'6)
здесь pg - плотность газа, Ср - теплоемкость при постоянном давлении, К -коэффициент теплопроводности и d/dt - конвективная производная. Это
(1.1.3)
преобразовать его к виду [530]
RR + -R2- —{r2'R + 6 RRR + 2 R2) = —\P(R,t) - Ps(t)] 2 c0 /?0
(1.1.4)
(1.1.5)
16
Глава 1. Акустика пузырьковых сред
уравнение может быть переписано в альтернативном виде, используя уравнение непрерывности
дР1
Л
+ уРЧ-и = (г-\)У-(КУТ),
(1.1.7)
где и - поле скорости. При получении (1.1.7) было использовано соотношение Срр§Т = [у/(у справедливое для идеального газа. Из
уравнения сохранения импульса нетрудно оценить, что максимальная разность давления между двумя любыми точками внутри пузырька не превосходит
Р:
М^,М2
Л
где X - типичное значение длины волны в газе, а М-Я!с%- число Маха для
перемещения стенки пузырька по отношению к скорости звука в газе сё. Во всех результатах, изложенных в данной работе Я0«Л, М« 1, так что давление в пузырьке можно считать пространственно однородным. Использование этого приближения позволяет немедленно проинтегрировать (1.1.7) и получить выражение для поля скорости в газе 1
и -
уР.
{у-\)К—--гР1
’ дг з '
(1.1.8)
После наложения кинематического граничного условия и = Я при г=Я, для давления получается дифференциальное уравнение вида
р,Л
' Я
(г- щЦ-
дг
-грА
ГВЦ
(1.1.9)
Поле температуры при этом, конечно, следует определять из уравнения (1.1.7), в котором скорость, входящая в выражение для конвективной производной, вычисляется с помощью (1.8). В качестве граничного условия, как правило, используют непрерывность температуры: Т(г = Д(*)) = Т0, где Г0 -
невозмущенная температура жидкости. Такая процедура очевидно является приближением, которое, однако, оправдано для газовых пузырьков в тех
17
Глава 1. Акустика пузырьковых сред
случаях, когда можно пренебречь паровой компонентой. Данный вопрос детально обсуждался Просперетти [529, 531]. Описанная выше модель гомобарического пузырька была разработана в серии работ Нигматулина и соавторов [184, 185, 505].
Квадрат отношения тепловой длины волны (х/®)"2 к невозмущенному
радиусу Я0: = где Х~К/(ргСр) - коэффициент
температуропроводности (тепловой диффузии), является тем параметром, с помощью которого удается классифицировать различные режимы теплопереноса.
В том случае, когда тепловая длина волны велика по сравнению с радиусом, распределение температуры внутри пузырька близко к равновесному. Большая величина параметра О позволяет построить приближенное решение в виде ряда по и\ В этом квазиизотермическом случае зависимость внутреннего давления в пузырьке, с точность до членов первого порядка включительно, описывается следующей формулой [532]
Ч' 3
и і V
1-
у-\1$ 1 Д? 5у х Я2 Л
Р =Р + —
’ 0 « а, ■
(1.1.20)
В другом предельном случае, который также допускает аналитическое рассмотрение, параметр I) мал, так что большинство объема газа в пузырьке теплоизолировано от жидкости. Выражение для давления, полученное Миксисом и Тингом [485,486] имеет вид
т
Му
р
чо у
\3
т
к К у
= 1+
Е>
= (4 л)2\
*0
4 \я
\1/2
Р
(г-*)
-1
*'1/2А + 0(£>), (1.1.21)
18
Глава 1. Акустика пузырьковых сред
Просперетти [532] придал этому выражению самосогласованный вид, подставив в интегральный член выражение для давления в нулевом приближении Pi(t) = P0(R1)/R(t)fr у-
т
ч Го ,
т
у
\*г
= 1 +
3у
4 ïïR.
Л
-1
о у
s~1/2ds + 0(D), (1.1.22)
т = (4 я)‘
dt\
Число работ, посвященных решению в том или ином приближении уравнения Рэлея, крайне велико, поэтому' мы ограничимся обсуждением не столько вычислительных схем, сколько физических эффектов, имеющих отношение к теме диссертации.
Вследствие нелинейной природы уравнения, описывающего колебания пузырьков во внешнем акустическом поле, нахождение решения не является простой математической проблемой. По этой причине многие работы на первоначальном этапе исследований ограничивались анализом линеаризованного уравнения [294, 519, 269, 70], либо использовали численные методы [510, 29, 215,406,408].
Первая попытка аналитического решения полностью нелинейной задачи, в пренебрежении затуханием и поверхностным натяжением, была предпринята в 1956 Гутом [351], и в результате были описаны пульсации пузырька в окрестности основного резонанса и первой субгармоники. Позже Эллером и Флином [305] было получено выражение для порога возбуждения субгармонической компоненты. Однако наибольшие успехи в применении асимптотических методов нелинейной динамики в решении этой задачи были достигнуты в работах Просперетти [523, 524] (см. также [499, 542, 332]). По существу речь идет о применении метода Боголюбова-Крылова [9] для анализа конкретного уравнения (1.1.5). Так, в окрестности основного резонанса со «О0
19
Глава 1. Акустика пузырьковых сред
#
решение представимо в виде
(Я - )/./?0 =— [а• ехр(-1й>/ + /*9) + с.с.] + £и,(я,.9,/) + е2и2(а,99() +... (1.1.23) 2
где 8 - безразмерный малый параметр, вводимый для описания порядка нелинейных членов. Медленно меняющиеся на временном интервале Т-2л 1(0 амплитуда а и фаза 9 резонансной компоненты определяются из «укороченных» уравнений, следующих из требования отсутствия «секулярных» членов в иерархической цепочке уравнений, возникающих при подстановке (1.1.23) в (1.1.5).
С точностью до членов третьего порядка включительно (~ £2\ а именно в этом приближении оказывается возможным описать существенно нелинейные эффекты, характеризующие основной резонанс и особенности возбуждения высших гармоник и субгармоник, система «укороченных» уравнений в окрестности о « С10 имеет вид [523, 524, 332]
а~~5а± — ^,п соэ#, 9 = -(б)-£10 +Ш0я2)-------------—эш#, 1.1.24)
2р0й)Д0 2 р0фЩа
здесь Рм - амплитуда внешнего периодического давления, точкой обозначено
дифференцирование по времени; коэффициент к имеет довольно сложный вид, однако для пузырьков больших 1 микрона можно пренебречь поверхностным натяжением и к = (6/2 - Ъу - 2)/16. При выводе (1.1.24)
диссипативные процессы учитывались только в линейном приближении. Эффективное затухание 8 является суммой вкладов потерь от акустического переизлучения (<у2Д0/2с0), вязкости (2 г/Д02) и тепловых процессов
[/,0/(2р0бУ^02)]3;л/г(г/>с), (зависимость функция ^ от теплового числа Пекле
Ре = (о)Я1/ %) имеет довольно громоздкий вид (см. выражение (3.28) в работе [532]). В приведенные выражения входят коэффициенты кинематической
20
Глава 1. Акустика пузырьковых сред
вязкости жидкости V и температуропроводности газа %. Давление внешнего поля в месте расположения пузырька записано в виде Р = Рт вт{Ш).
При анализе нерезонансной ситуации, а также окрестностей возбуждения первой и второй гармоники, двух первых субгармоник (в рассматриваемом приближении можно исследовать окрестность двух высших гармоник *у«( 1/2)О0, #«(1/3)П0 и двух первых субгармоник <у«2О0, сокЗО0) изменяется как структура асимптотического ряда (1.23), так и соответствующих “укороченных” уравнений [523, 524].
Для иллюстрации приведем простейшие решения уравнения (1.1.24) а,, А, описывающих установившиеся нелинейные резонансные колебания пузырьков (а = 0, «9=0):
а.2
Р"' со%Э, = 1РйКо(0 (1.1.25)
4 Р^К К
Как хорошо известно (см., например, [113]) особенностью нелинейного резонанса является существование порогового значения внешнего воздействия, начиная с которого в зависимости амплитуды установившихся колебаний от определяющих параметров возникает неоднозначность. Рисунок
1.1.1. иллюстрирует решение (1.1.25). Данный тип особенности является примером бифуркации седло-узел и является одним из немногих примеров особенностей нелинейной динамики пузырька, которые могут быть исследованы с помощью аналитических методов.
Как. уже отмечалось, параллельно развитию аналитических методов решения уравнения Рэлея совершенствовались подходы, основанные на численных расчетах [510, 29, 2]. Наиболее широко они использовались в трудах Вернера Лаутерборна и его сотрудников [408, 410-414, 514], позволив предсказать режим динамического хаоса и описать механизм реализации этого состояния через последовательность бифуркаций удвоения периода. Следует,
21
Глава 1. Акустика пузырьковых сред
А 2
а.
со-О,
Рис. 1.1.1. Зависимость амплитуды установившихся колебаний от определяющих параметров - расстройки и амплитуды внешнего поля. Возникновение перегиба в амплитудно-частотной характеристике приводит к возникновению бистабильности колебательных состояний пузырька.
22
Глава 1. Акустика пузырьковых сред
однако, отметить, что эти результаты были получены для моделей, позволяющих не решать внутреннюю тепловую задачу.
Детальные математические модели и выполненные на их основе численные расчеты, учитывающие термо-гидродинамические явления внутри пузырька, позволили оценить точность результатов, полученных в упрощенных моделях [186, 178, 505, 531, 382, 383]. Несмотря на существование количественных расхождений, качественное поведение удивительно хорошо передавалось и в относительно простых моделях, даже при значительных амплитудах давления, превышающих 1 атм.
Весьма своеобразное исследование было выполнено [560], в котором, в отличие от большинства публикаций, анализировался не частотный отклик, а отображение Пуанкаре, связанное с радиальными движениями стенки пузырька. Впервые было показано, что в ряде случаев уравнение Рэлея может быть сведено к Гамильтоновой системе, с помощью которой удалось выяснить, каким образом субгармонические орбиты рождаются из бифуркации седло-узел.
Следует отметить, что радиальные пульсации являются только одной из мод, которые могут возбуждаться акустическим полем. Исследование поверхностных колебаний имеет также довольно долгую историю. Первоначально изучалась неустойчивость радиальных движений [241, 518, 569]. Однако экспериментальные наблюдения осцилляций формы пузырька в звуковом поле [568] породили весьма многочисленные как теоретические, так и экспериментальные исследования [306, 370, 371, 267, 331, 526, 537, 353, 39, 435,436,438,439,483, 327, 599, 321-324].
Специального упоминания заслуживают работы, инициированные открытием стабильного режима сонолюминесценции одиночных пузырьков [336, 337, 235]. В эти годы был выполнен численный анализ полных уравнений гидро- и термодинамики для радиальных пульсаций, позволивший
23
Глава 1. Акустика пузырьковых сред
■■ ■-----------■■ г
предсказать возбуждение ударных волн, срывающихся со стенки пузырька на стадии схлопывания [598, 494-496]. Исследовались особенности нелинейной динамики пузырька в резонаторе (колбе) [187-189, 506]. В серии статей преемника профессора ван Вингартена - Детлефа Лёзе и его коллег представлена детальная карта режимов нелинейной динамики сонолюминесцентного пузырька [363, 255]. Были продолжены исследования различных неустойчивостей, развивающихся при интенсивных осцилляциях стенки пузырька [440, 46, 534, 535]. Завершая эту часть обзора, нельзя не упомянуть о громких, но достаточно спорных публикациях последних лет, об открытии (или неоткрытой) явления ядерного синтеза (sonofusion), сопровождающего коллапс кавитационного пузырька [573, 574, 551].
*
%
24
Глава 1. Акустика пузырьковых сред
1.2. Волновые процессы в двухфазных средах
Пузырьки начинают оказывать заметное влияние на физические процессы в жидкости, в которой они находятся, уже при относительно |i небольшой концентрации. Динамика этой двухфазной среды становится
гораздо более сложной и сопровождается появлением новых, интересных эффектов. Понятие двухфазная среда охватывает все многообразие состояний между двумя предельными случаями, когда одна фаза чрезвычайно мелко диспергирована в другой, и когда в простейшем случае две фазы, практически не смешиваясь, образуют два потока. Об этих двух предельных состояниях говорят как об однородных и разделенных (separated flow) потоках. Промежуток между этими предельными случаями заполняют менее точно определенные топологические фазы. Одним из характерных параметров этой классификационной схемы [254] является наличие относительных движений между фазами. Очевидно, что разделенные потоки движутся, вообще говоря, с различными скоростями и определение этой относительной скорости является одной из основных задач при изучении разделенных потоков. С другой стороны ясно, что две среды могут быть хорошо перемешаны и дисперсные частицы .могут быть достаточно маленькими, при этом относительное движение этих маленьких частиц будет мало. Таким образом, во втором предельном случае относительное движение исключается.
Поскольку в диссертационной работе практически все результаты относятся к ситуации, когда длина акустической волны Я велика по сравнению с радиусами пузырьков и, более того, она также велика по сравнению со средним расстоянием между пузырьками, мы ограничимся * обсуждением в данном литературном обзоре только случая однородной -
гомогенной среды. Действительно в этом случае жидкость с пузырьками газа можно рассматривать как в среднем однородную среду с некоторыми эффективными значениями плотности, давления и других величин..
25
Глава І. Акустика пузырьковых сред
Наличие пузырьков будем характеризовать объемным газосодержанием <р{ г,0 = (4^3)рЛЛ3(;Шйо,г,0 - долей объема среды, занятой
пузырьками. Здесь g(R,r>t) - функция распределения пузырьков но размерам, так что - число пузырьков с равновесными радиусами от Я0 до
Яц + с1Яц в единице объема.
Средняя плотность вводится через объемное газосодержание [181] р=а(}-<р)+рг<р> (1-2.1)
где р1 и р - плотности жидкости и газа соответственно.
В пренебрежении относительными поступательными перемещениями, уравнения сохранения массы и момента в такой среде имеют вид, аналогичный однофазной среде [181]:
^ + ±(ри,)^ 0, (1.2.2)
О/ ОХ-
Заметим, что в (1.2.3) опущены члены, ответственные за вязкую диссипацию. Как и в однофазной среде, существование баротропного уравнения состояния Р-Р(р) замыкает систему уравнений (1.2.1-1.2.3). Мы не будем вдаваться в детали вывода уравнения состояния двухфазной среды. Этому вопросу посвящены десятки публикаций, а оставаясь на «физическом» уровне строгости, остановимся на следствиях такого баротропного уравнения состояния, если оно существует, и его явном виде в простейших случаях.
С термодинамической точки зрения, существование соотношения Р = Р(р) и его прямого следствия, определяющего скорость звука в такой
среде с = у]дР/др, предполагает, что какие-то свойства среды при этом остаются фиксированными. Для однофазной среды скорость определяется в
26
Глава 1. Акустика пузырьковых сред
*
Рис. 1.2.1. Скорость звука в двухфазной среде (воздушные пузырьки в воде) для значений показателя политропы ^ = 1.0, у = 1.4 [254]. Экспериментальные данные [385] и [348] для частот 1 кГц (кружки), 0.5 кГц (квадратики) и экстраполяция на нулевую частоту (треугольники).
27
Глава 1. Акустика пузырьковых сред
состоянии термодинамического равновесия, но это совсем не так в двухфазной среде, и ниже мы остановимся на этом различии более подробно. Если не учитывать наличие фазовых переходов при распространении волны в двухфазной среде, массовое газосодержание М-ръ(р!р будет оставаться
постоянным. Скорость звука в газожидкостной среде определяется как скорость распространения малых возмущений волн сжатия [181] с2 ~{дР1др)^. Рассмотрим соотношение (1.2.1) и продифференцируем его по переменной Р, считая массовое газосодержание постоянным. Полагая др& /дР = и др1!дР = с^2, где с5 и с, - скорости звука в чистом газе и жидкости, и используя тот факт, что /?//?« (1 - (р), получаем
5
Зависимость скорости звука (1.2.4) от газосодержания приведена на рис. 1.2.1. Выражение (1.2.4) и его свойства впервые были получены и изучены Миннэртом [490]. Рис. 1.2.1 иллюстрирует чрезвычайно важную особенность распространения звука в двухфазной среде: скорость звука может быть много меньше скорости звука в каждой из фаз. Для смеси из воздушных пузырьков в воде эта скорость может составлять всего 20 м/с.
Результаты, приведенные выше, основывались на существовании эффективного баротропного уравнения состояния газожидкостной смеси. При получении выражений для скорости звука мы предполагали, что обе фазы все время находятся в динамическом равновесии. Для отдельного пузырька в жидкости это означало, что изменение давления с1Р вызовет мгновенное
случае, если характерные частоты возмущений будут много меньше собственной частоты пузырька. Только при этом условии пузырек будет вести себя квазистатически, а двухфазная среда обладать баротропным уравнением
/
\
(1.2.4)
/
§
изменение его объема. Это действительно будет иметь место, но только в том
28
Глава 1. Акустика пузырьковых сред
состояния. Следующий шаг - выход за рамки этого приближения и включение в структуру уравнений сохранения динамики отдельных пузырьков, описываемых уравнением Рэлея. Кроме принятых выше ограничений на длину волны Я<<А, Я(рАП «А (здесь Я - характерный размер пузырька, а Я(р~т - среднее расстояние между пузырьками), мы будем также полагать, что пузырьки находятся на достаточном расстоянии друг от друга <р«1. Эффективные радиусы присоединенных масс жидкости меньше расстояния между пузырьками, и взаимодействие осуществляется только через поле давления. Уравнения гидродинамики в окрестности одиночного пузырька в этом случае можно заменить уравнением Рэлея, приняв допущение о возможности замены давления на бесконечности давлением смеси. Таким образом, мы имеем уравнения (1.2.1-1.2.3), которые замыкает уравнение Рэлея
(1.1.5). '
Поскольку тема диссертации - акустика, мы имеем возможность сузить предмет обсуждения и, соответственно, упростить анализируемые уравнения. Начинать разумно с уравнений линейной акустики. Учитывая, что р& « ру,
запишем отклонение плотности от равновесия в виде
= р,(р', (1.2.5)
где нулевой индекс обозначает равновесное состояние, а штрих - возмущение. Линеаризованные законы сохранения (1.2.2, 1.2.3) принимают вид
¥'+А^-Ч= О, (1.2.6)
о/1 дх1
~ дЫ< дР' (1 7 7\
(1-2.7)
Здесь р0 - равновесная плотность газожидкостной смеси, близкая, в силу (р<< 1, к плотности чистой жидкости. Подставляя в это уравнение (1.2.5), полагая р\ = Р'1с1, исключая скорость, и пренебрегая (р0 «1, получаем
29
Глава 1. Акустика пузырьковых сред
1 дгР' Л 82<р'
°'2'8)
Вместе с линеаризованным выражением для объемного газосодержания = и уравнением Рэлея (1.2.8) описывает
распространение акустических волн в двухфазной среде.
Когда частота звуковой волны приближается к собственным частотам пузырьков, реакция последних не носит квазистатического характера, и как скорость, так и затухание волны начинают сильно меняться.
Теоретические работы по акустике разбавленных пузырьковых сред используют два разных, но дополняющих друг друга аналитических подхода. Первый, которому мы до сих пор следовали, подробно изложен в обзоре [596] и монографии [181]. Второй, развитый Фолди [329, 266, 589], использует классический акустический подход и рассматривает проблему многократного рассеяния акустической волны случайно распределенными точечными рассеивателями - газовыми пузырьками.
При описании распространения волн в жидкости со случайно расположенными пузырьками основной вопрос состоит в том, каким образом пузырьки меняют параметры взаимодействующих с ними волн. Наличие в жидкости даже небольшого количества случайно расположенных газовых пузырьков существенным образом изменяет дисперсионные характеристики звуковых колебаний, распространяющихся в такой среде. Основной причиной такого поведения волн является чрезвычайно большое резонансное сечение рассеяния на одиночном пузырьке, на два порядка превосходящее геометрические размеры включения.
При падении плоской звуковой волны Рт ехр(/кг) на одиночный пузырек, радиус которого много меньше длины волны звука К0 « Я, полное
30
Глава 1. Акустика пузырьковых сред
поле давления формируется интерференцией падающей и рассеянной компонент.
(1.2.9)
k-rj
где / амплитуда рассеяния, гь - координата центра пузырька. В условиях Мо«1 доминирующим будет вклад монопольной (не зависящей от углов) составляющей f которая выражается через амплитуду пульсаций стенки пузырька [275].
у—-----------------. (1.2.10)
о2-Q.20 + 2iXl0
Наиболее важным результатом теории многократного рассеяния является вывод уравнения самосогласованного поля [329, 266, 589, 20]
<
P(r)>= РтexpO'kr) + [*, p/?0/(/?o^)g(^)eXP!d|r ,Г| 1)<^(г,)>- (1-2-П)
J J г - г,
для усредненных по ансамблю рассеивателей величин, справедливого в предположении о неперекрываемости сечений рассеяния на отдельных включениях.
Интегральное уравнение (1.2.11) можно заменить эквивалентной дифференциальной формой, подействовав на обе части дифференциальным оператором (V2 + &2), (к2 -со11с])
[V2 + к1 +4^рЛ0/(Д0>^(Л„)]<Р(г)>=0. (1.2.11)
Элементарные решения этого уравнения Гельмгольца описывают распространение плоских в волн в двухфазной среде с законом дисперсии:
=кг +4 ;грЛ0/№»*>ЖЯо)- (1-2.12)
Из формулы (1.2.12) следуют выражения для скорости звука в двухфазной среде се/(&)
Г л а и а 1. Акустика пузырьковых сред
Скорость звука, с0 (м/с)
Частота,/(кГц)
Рис, 1.2.2. Зависимость скорости звука в воде с воздушными пузырьками (средний радиус пузырьков Я0= 0.012 см, объемное газосодержание ср^-0.0002) от частоты [254]. Экспериментальные данные [330] сравниваются с теоретическими кривыми для смеси пузырьков одинакового размера 7?0 = 0.011 см - пунктирная кривая, и реального распределения пузырьков - сплошная линия.
32
Глава 1. Акустика пузырьковых сред
і
Затухание, у (с1В/см)
Частота./ (кГ ц)
Рис. 1.2.3. Зависимость коэффициента затухания звуковой волны от частоты для тех же параметров двухфазной среды, которые были использованы при построении рис. 1.2.2.
33
Глава 1. Акустика пузырьковых сред
£іМ=Ке
с0 _ су -1
(1.2.13)
и затухания /(гу)
у{со) = Іт[(<у2 /с2) + 4л* |^/(До,0ЖЛо)] •
(1.2.14)
Рисунки 1.2.2 и 1.2.3 иллюстрируют зависимость скорости звука и затухания от частоты. Отметим, что дисперсионное соотношение (1.2.12) может быть также получено, основываясь на континуальном подходе, при подстановке решения в виде плоских волн в уравнение (1.2.8), описывающее распространение волновых возмущений в двухфазной среде. Обзор современного состояния исследований затухания и дисперсии скорости звука в микронеоднородных средах содержит монография В.А. Буланова-[20].
Весьма интересны недавние попытки развить классические результаты Фолди [543, 600, 325, 326, 359, 360], инициированные тем, что, начиная с
теоретическими данными, основанными на приближении самосогласованного поля.
При обзоре нелинейных волновых явлений в двухфазной среде мы ограничимся рассмотрением только тех случаев, когда можно пренебречь
пузырьков, поскольку именно в рамках этого приближения получены оригинальные результаты автора, приведенные в диссертационной работе. Легко понять что уравнение (1.2.8) в целом сохраняет свой вид, с тем исключением, что в правую часть будет входить точное выражение для объемного газосодержания, а не его линеаризованная часть. Таким образом, исходными являются нелинейное уравнение Рэлея (1.1.5) и
работ [553] были обнаружены расхождения между экспериментальными и
нелинейностью жидкости, считая, что основную роль играет нелинейность
(1.2.15)
34
Глава 1. Акустика пузырьковых сред
Удивительно, но это не очень значительное усложнение математической задачи позволяет описать большое количество новых физических эффектов. Параметрическое усиление и генерация звука в двухфазной среде достаточно подробно изложены в монографии [20]. Обзор работ, описывающих распространение акустических солитонов в жидкости с пузырьками газа, представлен в книге [181]. Прекрасная монография [183] содержит подробное и физически ясное изложение эффектов вынужденного рассеяния звука в жидкости с газовыми пузырьками [55, 58, 59], самовоздействия звука [207, 28, 56], обращения волнового фронта [21, 22, 57, 60, 110]. В газе нелинейных осцилляторов - пузырьков - могут наблюдаться эффекты эха [128, 175, 101]; автосинхронизации [94, 8, 253]. Необходимо отметить возможность создания акустические аналогов лазеров, активной средой которого является жидкость с пузырьками. Для этой схемы генерации мощных когерентных акустических сигналов С.Т. Завтраком было предложено (по аналогии с “laser”) название “saser” [94, 607-610]. В заключение этого раздела следует подчеркнуть, что его содержание ни в коей мере не претендует на полноту описания волновых процессов в двухфазных средах. Рассмотрены только те вопросы, которые непосредственно связаны с исследованиями автора, а их изложение служит необходимым введением в предмет исследований.
¥
35
Глава 1. Дкустика пузырьковых сред
1.3. Динамика роста и растворения газовых пузырьков в акустическом поле
Среди проблем, составляющих предмет акустической кавитации, вопрос о механизме, посредством которого газовые микропузырьки в жидкости (зародыши) могут расти в присутствии звукового поля, активно изучается на протяжении полувека. Первое исследование в этой области было выполнено Блэйком [215].
Как, правило, анализируется следующая физическая картина: одиночный газовый пузырек находится в бесконечной несжимаемой жидкости, которая насыщена (или недосыщена) растворенным газом. Пузырек покоится и изолирован, т.е. не прикреплен к стенке или маленькой частичке взвеси. Такой пузырек не будет находиться в диффузионном равновесии и, в отсутствии звукового поля, будет растворяться за счет диффузии содержащегося в нем газа в окружающую жидкость (статической диффузии).
Однако пульсации стенки пузырька в звуковом поле могут привести к появлению противоположного по знаку потока растворенного вещества, направленного внутрь пузырька и называемого “выпрямленной диффузией”. Этот поток может начать превалировать над статической диффузией, по достижении амплитудой внешнего акустического поля определенного (порогового) значения, и приводить к росту пузырька.
Качественное понимание процесса “выпрямленной диффузии” может быть получено при рассмотрении следующих характерных эффектов, сопровождающих радиальные пульсации стенки пузырька.
Первый эффект состоит в том, что когда пузырек сжимается, ^ концентрация газа в нем увеличивается и газ стремится продиффундировать в
окружающую жидкость. Под концентрацией будет пониматься число молей газа в единичном объеме (молярная концентрация). Аналогично, когда
36
Г л а в а 1. Акустика пузырьковых сред
пузырек расширяется, концентрация газа понижается, и газ теперь старается продиффундировать внутрь пузырька.
Второй эффект связан с изменением полной площади поверхности стенки пузырька. Поскольку эта поверхность больше на стадии расширения -больше газа войдет в пузырек на полупериоде расширения, чем покинет его на полупериоде сжатия. В результате в течение одного периода колебаний увеличится число молекул газа в пузырьке.
Наконец, третий эффект обусловлен сферичностью поверхности пузырька и носит название “shell effect”. В любой момент времени скорость диффузии газа в жидкость пропорциональна градиенту концентрации растворенного газа. Когда пузырек сжимается, толщина сферической оболочки, окружающей пузырек, увеличивается. Градиент концентрации при этом уменьшается и скорость диффузии, с которой газ покидает пузырек, уменьшается. Когда же пузырек расширяется, градиент концентрации увеличивается и увеличивается скорость диффузии газа в пузырек. В результате возникает суммарный поток газа в пузырек. Этот эффект целиком обязан сферической геометрии поверхности пузырька и отсутствует в одномерном случае, например, в условиях, когда поршень в трубе толкает столб жидкости. Он целиком обусловлен радиальным движением несжимаемой жидкости и его название - оболочечный (shell) как раз и подчеркивает особенность сжатия и расширения сферической оболочки.
Полное математическое описание диффузионной задачи для газового пузырька в жидкости в присутствии акустического поля требует задания уравнения движение стенки пузырька, уравнения диффузии и теплопроводности (как в жидкости, так и в газе) и выполнения условий непрерывности на стенке пузырька. Как обычно, задача упрощается введением определенных предположений. Во-первых, исключается перенос тепла, полагая, что температура однородна в пространстве и во времени. Второе,
Глава 1. Акустика пузырьковых сред
— ;=.•■■ .. сг- := .11 I г I I I '1
более существенное, предположение, состоит в том, что не учитываются пространственные вариации параметров внутри пузырька (гомобарический пузырек с однородной концентрацией газа).
Таким образом, задача описывается уравнением движения стенки пузырька, например в форме уравнения Рэллея-Плессета (1.1.5), и уравнением диффузии растворенного газа в жидкости
—+ (у-У)с = ЛДс, (1.3.1)
где О - коэффициент диффузии, V - скорость движения жидкости, с -молярная концентрация растворенного газа. В рамках рассматриваемой модели, т.е. при радиальных пульсациях пузырька в несжимаемой жидкости без учета поступательных движений его центра, отлична от нуля только радиальная компонента скорости V,. = Я2(()Я^)1 г1.
Уравнения диффузии (1.3.1) и динамики (1.1.5) связаны двояким щ образом. Во-первых, уравнение диффузии зависит от колебаний стенки
пузырька посредством конвективного члена
(уудс!дг) = [Я2(()Я(/) 1г2^дс1дг). Во-вторых, уравнение движения стенки
пузырька зависит от процессов диффузии через давление газа Рп которое определяется числом молекул газа в пузырьке N. Впервые эта система уравнений анализировалась [309] при решении относительно простой задачи статической диффузии для пузырька в отсутствие звукового поля. В начальный момент стенка газового пузырька, помещенного в бесконечный однородный раствор, неподвижна. По мере того, как газ начинает диффундировать внутрь или наружу пузырька, стенка и окружающая «ь жидкость приходят в движение. Однако это движение будет столь медленным,
что им можно пренебречь и опустить конвективный член в уравнении диффузии. После этого уравнение диффузии не зависит от движения стенки
38
Глава 1. Акустика пузырьковых сред
пузырька и может быть решено независимо. Эпштейн и Плессет использовали следующие начальные и граничные условия
где с0 - начальная однородная концентрация газа в жидкости, совпадающая с концентрацией газа вдали от пузырька, а с{ - концентрация газа в жидкости вблизи стенки пузырька. Значение с5 следует из закона Генри: с, =#-1/* (концентрация растворенного газа в жидкости прямо пропорциональна парциальному давлению газа над раствором). Поскольку для статического пузырька Р/=Р0 + 2<7/Я, где Р0 гидростатическое давление в жидкости, то
с5 =Н~1(Р0 +2<т/Я). Это значение не совпадает с тем, что обычно называют
концентрацией насыщения. Насыщение определяется как такая концентрация растворенного газа в жидкости, которая находится в равновесии с данным парциальным давлением над плоской поверхностью: с,=Н']Р0. Величина с5 будет медленно изменяться со временем, по мере того как будет изменяться размер пузырька, однако это изменение в работе [309] не учитывалось. Результат, полученный [309],
описывает скорость изменения числа молей газа п в пузырьке. Это решение подтверждает сделанное выше утверждение о том, что пузырек будет растворяться, если с0 меньше чем с5, т.е. если жидкость не является пересыщенным раствором.
Описание динамической задачи диффузии существенно сложнее
статической, поскольку следует учитывать влияние пульсаций пузырька и конвективным членом пренебрегать нельзя. Однако эти уравнения могут быть частично расщеплены, если колебания достаточно высокочастотны, так что очень небольшое число молекул газа успеет продиффундировать через стенку
с(г,0) = со г>Я\ Ншс(г,0 = с0; *>0,
(1.3.2)
Г
(1.3.3)
39
Глава 1. Акустика пузырьковых сред
пузырька за один период осцилляций. Смещение стенки пузырька за счет диффузии будет чрезвычайно медленным, по сравнению с движением в высокочастотном акустическом поле, поэтому им можно пренебречь на временах, сравнимых с периодом внешнего поля, и найти решение динамической задачи. После этого найденное решение динамической задачи можно использовать в уравнении диффузии для описания конвективного члена. Таким образом уравнения расщепляются и могут рассматриваться по отдельности.
Остающимися трудностями в решении этих уравнений являются: (а) нелинейный характер уравнения колебаний стенки пузырька; (б) необходимость задания граничных условий в уравнении диффузии на движущейся нелинейно границе (стенке пузырька).
Ши и Плессет [361] получили решение динамической задачи в предположение о малости амплитуды колебаний. Метод возмущений (с точность до квадратичных членов включительно) позволил описать нелинейные колебания пузырьков. Проблема движущейся границы была решена ими путем разложения граничного условия в ряд Тэйлора вблизи равновесного положения стенки пузырька. Диффузионное уравнение решалось также методом последовательных приближений и в квадратичном приближении приводило к следующему асимтотическому (справедливому на временах больших периода колебаний) выражению для средней скорости роста (или растворения) пузырька за счет механизма выпрямленной диффузии
здесь угловые скобки обозначают усреднение по периоду внешнего поля.
Условие малости диффузионного потока газа в пузырек за период колебаний существенно более слабое, чем требование малости амплитуды колебаний стенки пузырька. В работе Эллера и Флина [302] было показано,
(1.3.4)
Глава 1. Акустика пузырьковых сред
РОССИЙСКАЯ
*./•> f ч г п г. г;г.: м Л Г*
І V V і. Г '• > і !./&.« *. і r*j-\
KliÀbS'SîïlTCïfA
■.Л »■ . ; l - «£ ч*іч
что проблемы динамики и диффузии в большинстве случаев разделяются. Существенно нелинейное описание пульсаций стенки пузырька может быть найдено, например, с применением численных методов и затем использовано для вычисления конвективного члена в уравнении диффузии.
Дифференциальное уравнение (1.3.1), определяющее конвективный и диффузионный перенос растворенного газа в окрестности сферически симметричного пузырька
дс R\t)R(t) дс D д âî г2 дг г2 ôr
'.2 дс' дг
(1.3.5)
принимает следующий вид в безразмерных переменных: t' = Q0t, R' = R(t)l R0,
r' = r!R0:
dc_ R^R;, дс _ 1 1 д ( gdc ât'+ г'2 дг'~ Per’2 дг\ d/j
(1.3.6)
где Ре = (до2П>0/1)) - число Пекле и Ц, =<№'!&'. Трудности, связанные с заданием граничного условия на движущейся границе преодолеваются, следуя [614], путем перехода к лагранжевой координате А = (1 /З)[г/3 - Я/3 (*)],
отсчитываемой от стенки пузырька. Условие сохранения объема шарового слоя вблизи стенки пузырька и, соответственно, траекторию колебаний отдельных частиц в жидкости можно получить, фиксируя А:
г,(^,А) = [г;3(0,А) + ^'3(/)-/?,3(0)] =[я,3(*) + ЗА] 3, что, собственно, и есть
определение лагранжевой координаты. В этих координатах уравнение (1.3.6) выглядит следующим образом
дс ^ 1 д dt' Ре dh
(3 wV)f§
(1.3.7)
Граничное условие на стенке пузырька, в пренебрежении неравновесной кинетикой, является следствием закона Генри: концентрация растворенного
41
Глава І. Акустика пузырьковых сред
газа в жидкости пропорциональна парциальному давлению над поверхностью жидкости
ф' = RVW) = c(h = О/) = (1.3.8)
Уравнения (1.3.7), (1.3.8) описывают краевую задачу в области с фиксированными границами, для решения которой можно использовать стандартные методы.
Для высокочастотных колебаний и не очень маленьких пузырьков число Пекле велико Ре» 1 и, как следствие, - диффузионный пограничный слой мал по сравнению с размерами пузырька. Этот метод решения был использован в работе [302] и получил название приближения тонкого пограничного слоя.
В последующих исследованиях Скиннера [557, 558] анализировался массоперенос, сопровождающий периодические пульсации пузырька. В первой работе Скиннер определил порог по амплитуде внешнего давления выпрямленной диффузии, превышение которого приводит к росту пузырька. Решение было получено для линейных синусоидальных колебаний стенки включения при условии, что градиент концентрации пренебрежимо мал всюду, за исключением тонкого пограничного слоя. Во второй работе результаты были распространены и на область вдали от порога. Было выявлено наличие двух пограничных слоев у стенки пузырька. Первый (более тонкий) был связан меняющейся со временем концентрацией у стенки пузырька, следующей по закону Генри за изменением давления в пузырьке. Второй (более протяженный) был связан с возникновением квазистационарного потока газа из пузырька в жидкость.
Детальные экспериментальные исследования роста пузырьков в акустическом поле были выполнены Крамом [281]. Им, в частности, было обнаружено, что наличие поверхностно активных веществ оказывает значительное влияние на рост пузырька - неизмеримо большее, чем следует из
Глава 1. Акустика пузырьковых сред
теории и сводится к простому изменению поверхностного натяжения. Крамом и Хансеном [282, 283, 285] были проведены детальные сравнения имевшихся на тот момент экспериментальных и теоретических результатов по порогам выпрямленной диффузии в различных средах, в частности, впервые, - в биологических тканях. Ими был выполнен более последовательный, по сравнению с работой [302], учет членов в рамках теории возмущений и выяснено влияние диссипативных потерь на пороги. Эти исследования были продолжены в работе Черча, где было обнаружено влияние на процесс выпрямленной диффузии вариаций в концентрации растворенного газа на масштабах, сопоставимых и превышающих размеры пузырька.
Численные решения уравнений Рэлея и массопереноса (1.3.7) были выполнены Просперетти и его аспирантом Каматом [382]. Результаты этого расчета свидетельствуют о том, что аналитические выражения для порога выпрямленной диффузии всюду, за исключением условий насыщения, завышают его величину.
Существенное продвижение в аналитическом описании этой проблемы, позволившее отказаться от ограничений (близость к порогу и (или) малость амплитуды пульсаций пузырька), связано с работами Жери и его коллег [333-335, 572]. В пределе бесконечного числа Пекле распределение концентрации растворенного газа определяется только начальными условиями и заданным пульсациями стенки пузырька движением частиц жидкости. Молекулы растворенного газа “вморожены” в жидкость. Это является следствием того факта, что решение уравнения (1.3.7) в этом приближении зависит только от лагранжевой координаты с = с(Ь). Решение для больших, но конечных
значений Ре является, однако, не гладким, а сингулярным возмущением решения для бесконечного числа Ре. Физическая причина такого поведения состоит в следующем. Для Ре = со распределение концентрации материальное поле, что подразумевает постоянство с в пределах каждого
Глава 1. Акустика пузырьковых сред____________________________________________
ш ■ I I—- =Д=^===^= ..I ■■ г "■*■■■■ ^д‘ -• 1 ". I -г»", п-е^=^д=
физического (бесконечно малого) объема. Для 1« Ре < ос наличие диффузии означает, что с может меняться со временем в пределах физического объема, если имеется различие (градиент концентрации) между значениями с в соседних объемах. Отметим, что большая величина Ре указывает на то, что этот процесс изменения со временем концентрации в физическом объеме является медленным. Эти наводящие соображения указывают на наличие в задаче по крайней мере двух различных временных масштабов и являются побудительным мотивом для использования многомасштабных разложений при решении этой существенно нелинейной проблемы.
Другая сложность аналитического описания, которую преодолели Жери и его коллеги, состоит в зависящем от времени граничном условии (1.3.8). Для больших значений Ре поведение концентрации будет характеризоваться быстрым осциллирующим изменением вблизи стенки пузырька, обусловленным граничным условием (1.3.8) - законом Генри, и относительно медленным - диффузионным изменением, - вдали от стенки пузырька. Предложенное [333] решение состоит в разбиении решения на две составляющие. Первая - осциллирующая часть - удовлетворяет быстропеременной части граничного условия, но, как оказывается, не вносит заметного вклада в массоперенос. Вторая - медленно меняющаяся составляющая - описывает изменение концентрации вне пограничного слоя и удовлетворяет плавной составляющей граничного условия. Эта плавная составляющая граничного условия не произвольна, а выражается через функционал от осциллирующей составляющей. При нахождении как быстро осциллирующей, так и гладкой составляющей используются методы сингулярных возмущений: для нахождения осциллирующей составляющей приближение погранслоя, а для гладкой составляющей - многомасштабное разложении по времени.
Глава 1. Акустика пузырьковых сред
Этот подход был успешно применен при решении ряда сложных задач, связанных с сонолюминесценцией одиночных пузырьков, и был одним из факторов, способствовавших достижению определенного понимания этой проблемы. Следует отметить чрезвычайно высокий для теоретического исследования индекс цитирования этих работ - 69.
При написании данного раздела литературного обзора решение дилеммы как, не увеличивая объем, написать понемногу о многом, либо сосредоточиться на одном, но достаточно подробно, предпочтение было отдано второму подходу. Рост и растворение включений в акустическом поле за счет процесса выпрямленной диффузии очень красивый - и с физической, и с математической точки зрения, эффект. К его изучению “приложили руку” весьма уважаемые ученые, а нелинейных характер сопровождающих его процессов отвечает нелинейной направленности данного исследования. Наконец, и это главное, на этом эффекте основаны многие результаты, полученные автором и приведенные в основной части диссертации.
Глав а 1. Акустика пузырьковых сред
1.4. Пузырьки в океане: распределение и методы регистрации
Роль скоплений газовых пузырьков в акустике океана достаточно своеобразна. Исторически интерес к этому природному объекту возник в результате попыток объяснить различие между данными натурных измерений и теорией рассеяния акустических сигналов на взволнованной (шероховатой) поверхности океана [522]. Первоначально интерес представляли самые общие характеристики, связанные с распределением пузырьков в верхнем взволнованном слое. Позже были выявлены определенные структуры, связанные с обрушением отдельных волн и декорированием пузырьками Ленгмюровских ячеек. В 80-е годы было обнаружено новое образование -газовые факелы ~ выбросы метановых пузырьков со дна океана.
Определенный итог исследований на начало 80-х годов подвели монографии [212, 81]. Ситуация на начало 90-х описана в обзорных статьях [265, 522, 586], а состояние исследований на начало нового тысячелетия отражено в содержании Мемориальной лекции Роя Гриффитса, сделанной Дэвидом Фармером [320], и монографии В.А. Буланова [20]. Пузырьковые структуры в верхнем взволнованном слое океана достаточно подробно изучены, имеется обширная библиография по этому вопросу, в то же время о структуре и механизмах формирования газовых факелов известно существенно меньше, а обзорные статьи на эту тему просто отсутствуют. В силу этого в настоящем разделе основное внимание будет уделено именно описанию газовых факелов, а описание пузырьков в приповерхностном слое океана дано достаточно схематично.
Газовые пузырьки в больших количествах наблюдаются непосредственно под взволнованной морской поверхностью и их наличие обусловлено обрушением волн. Пузырьки влияют на характер распространения звука как в вертикальном направлении от поверхности - в глубь океана [312, 320], так и в горизонтальном - для лучей, проходящих
Глава 1. Акустика пузырьковых сред
вблизи морской поверхности [352]. Достаточно много исследований посвящено изучению влияния пузырьков на газообмен между океаном и атмосферой [233, 577, 562]. Сильная турбулентность, генерируемая
обрушивающимися волнами, приводит к адвективным перемещениям пузырьков под действием ленгмюровской циркуляции, фронтов и внутренних волн [581]. Это обстоятельство делает пузырьки природными трассерами при изучении динамики верхнего слоя океана.
Определение роли пузырьков во всех этих физических процессах требует знания их распределения по размерам как функции пространственных координат и времени. Предпочтительно получать информацию о профиле распределения пузырьков, используя только дистанционные методы, чтобы избежать возмущающего воздействия на процессы, в которых они участвуют. Акустические методы дистанционного зондирования в настоящее время являются наиболее употребительными. Их можно разделить на следующие i1 категории: изучение естественных шумов, генерируемых в приповерхностном
слое, эксперименты по распространению звука, анализ данных обратного рассеяния, доплеровские методы.
Широкое использование сигнала обратного рассеяния от приповерхностного слоя пузырьков для одночастотного зондирующего импульса берет свое начало, по-видимому, с работ Торпа [577, 579] (см. также рис. 1.4.1). Эта методика оказалась наиболее эффективной в изучении пространственного распределения скоплений пузырьков, однако она не позволяла измерить распределение пузырьков по размерам. Использование многочастотных гидролокаторов [586] позволило существенно продвинуться в определении спектра размеров. Следует, однако, отметить, что определение спектра размеров по набору экспериментальных данных связано с решением интегрального уравнения Фредгольма первого рода с острым ядром. Последнее обстоятельство требует введения специальной процедуры
47
Глава 1. Акустика пузырьковых сред
%
*
Рис. 1.4.1 Иллюстрация формы сигнала обратного рассеяния от взволнованной морской поверхности в зависимости от интенсивности обрушения волн -
http://www.bwb.org/FWG/PRAESEENZe/DAGA.
48
Глава 1. Акустика пузырьковых сред
регуляризации. Бистатические измерения с помощью набора из нескольких приёмников оказались эффективным инструментом при работах на небольших глубинах [320]. В настоящее время исследования, использующие сигнал обратного рассеяния, можно условно разделить на две группы (по
*
используемым методикам): линейные [319, 576] и нелинейные [20,295, 428].
Следующая методика - определение распределения пузырьков на основе измерений затухания звука. Этот подход берет свое начало с работ Германа Медвина [478-481]. Брейцем и Медвиным [482], кроме того, был разработан погружной многочастотный акустический резонатор, позволяющий регистрировать резонансные пузырьки на частотах, совпадающих со спектром собственных частот резонатора. Следует, однако, отметить, что эти методики основываются на локальных измерениях в относительно небольшом объеме (~ 0.03 -1 м1).
Доплеровские методы используются, как правило, при обработке # сигналов обратного рассеяния [318], обеспечивая информацию о структуре
поля скоростей при обрушении волн и ленгмюровской циркуляции.
Оптические методы регистрации пузырьков начали применяться с конца 50-х годов [249]. Ставшие классическими измерения Колобаева [96], Джонсона и Кука [378] установили характерные особенности функции распределения: наличие максимума в районе 15-30 мкм и степенное спадание в области больших размеров. Последующие исследования [587, 433, 570] подтвердили общие закономерности и выявили дополнительные детали. Весьма примечательна серия недавних работ [566, 291, 292], в которых с помощью современных оптических систем были получены новые данные, ^ обработка которых позволила предложить физические механизмы
формирования спектра размеров пузырьков, возникающих при обрушении волн.
49
Глава 1. Акустика пузырьковых сред
1 -’.g= I ■ .. в ■ --ttm ... — . . ,_________________________т.
Изучение другого природного объекта, представляющего собой скопление всплывающих пузырьков, - газового факела, началось относительно недавно. Особенно заметно интерес к природным газовым источникам на морском дне и их индикаторам возрос в течение последнего десятилетия. Возникли международные базы данных, в частности MAGIC (Marine Gas seeps and their Indicators), содержащие информацию о донных газовых источниках и некоторых природных объектах, которые им сопутствуют илй являются индикаторами. К ним относятся [44]:
Газовые источники (gas seeps): участки морского дна с естественной эмиссией газа. Как правило, это “макроисточники”, которые проявляются как видимые невооруженным глазом скопления всплывающих пузырьков, которые легко регистрируются акустическими системами локации (гидролокатор бокового обзора, эхолот).
Яркие пятна (bright spots): интенсивные отражения, наблюдаемые на сейсмических трассах. Эти отражения являются индикаторами присутствия газа в осадках.
Акустическая мутность (acoustic turbidity): хаотические сейсмические отражения на малолглубинных сейсмических профилях. Они являются индикаторами присутствия газовых скоплений в осадках.
Газовые трубы (gas chimneys): вертикальные нарушения слоистости донных осадков, наблюдаемых на малоглубинных сейсмических профилях.
Покмарки (pockmarks): мелкомасштабные углубления в профиле морского дна, сформированные выбросами газа.
Грязевые вулканы (mud volcanoes): вулканообразная структура,
сформированная грязью, которая выталкивается выше поверхности дна. Часто бывает связана с выходом газа.
Газовые гидраты (gas hydrates): кристаллические льдоподобные образования, состоящие из воды и природного газа (чаще всего метана).
Глава 1. Акустика пузырьковых сред
Остановимся на описании последнего образования более подробно. Газовые клатраты (обычно называемые гидратами) представляют собой кристаллическое вещество, которое возникает, когда молекулы воды образуют структуру, напоминающую клетку, вокруг меньшей по размеру посторонней молекулы. Название этому классу соединений - клатраты - было дано в 1948 году Поуэлом (Powell Н.М.) на основе латинского ‘clathratus’ - заключать в клетку. Со времени своего открытия в 1810 году сэром Хэмпфри Дэви (Davy
II.) гидраты обнаруживали при лабораторных исследованиях много необычных свойств. Интерес со стороны нефтяной промышленности к этому агрегатному состоянию возник в 1934 году, когда они были обнаружены в трубопроводах. В течение последующих 60 лет гидраты рассматривались как помеха, поскольку они забивали каналы при перекачке углеводородов, покрывали основания глубоководных буровых и трубопроводов, приводили к поломкам буровых труб [559].
Однако у гидратов имеется и весьма привлекательная особенность. Четыре десятилетия тому назад нашим соотечественником Ю.Ф. Макогоном [133] было показано, что большие объемы газа содержатся в гидратной форме в мерзлоте и глубоководных осадках. Существующие оценки объема газа, содержащегося в морских газогидратах, варьируются от 1015 до 7.6-1018 м3 [559, 33]. Это от 535 до 4 ООО ООО гигатонн углеводородов. Для сравнения можно указать, что запасы ископаемого топлива оцениваются в 5 ООО гигатонн углеводородов. Следует ожидать, что газ, получаемый из газогидратов, будет занимать важное место в объеме топлива, которое будет добываться в этом столетии, существуют даже оценки ~ 15% [448].
Газогидраты могут достаточно легко разлагаться при изменении внешних условий, приводя к появлению потока метана. Наиболее известные подводные источники (seeps) располагаются на побережье Калифорнии, где организована промышленная добыча метана [365,251], на побережье штата
Глава 1. Акустика пузырьковых сред
Орегон [571], в Мексиканском заливе [257, 447], в Северном море [366, 367, 380, 289], в Каспийском море [350], в Черном море [112, 296], в пресном море - озере Байкал [40] и на склоне острова Сахалин.
Впервые гидратопроявления в Охотском море были выявлены в 1985 году в 7-м рейсе НИС “Академик Александр Несмеянов” в процессе исследований в придонной толще воды на эхограммах были зарегистрированы звукорассеивающие столбы - газовые факелы [191].
В 1986 году в ходе экспедиции на НИС “Академик Мстислав Келдыш” вблизи острова Парамушир [197] грунтовыми трубками был поднят газогидратосодержащий керн и наблюдался эхолотный. “факел”. Специальными исследованиями с применением подводных обитаемых аппаратов было установлено, что “факел” обусловлен выходами на дне пузырьков газа, в составе которого преобладает метан. Выходы газа находятся на глубине - 800 м, поле газового источника, имеющее размеры 50x50 м, отличается наличием ям и воронок.
Осенью 1991 года ВНИИОкеангеология и ПО “Дальморгеология” были проведены экспедиционные исследования в Охотском море на НИС “Геолог Петр Антропов” с целыо изучения уже известного гидратопроявления у о-ва Парамушир и поиска новых гидратопроявлений [344, 278]. Последующие исследования на шельфе Сахалина проводились главным образом в рамках Российско-Германского проекта КОМЕХ [339-342].
Режимы истечения, формирующие газовый факел, могут быть весьма разнообразны: это периодическое испускание одиночных пузырьков,
образующих всплывающую цепочку; пузырьки могут выбрасываться в виде кластеров и, наконец, это могут быть восходящие потоки с площади в десятки квадратных метров (см. рис. 1.4.2 а, б, е).
Газовые факелы легко регистрируются даже с помощью судовых эхолотов, поскольку сечение рассеяния газового пузырька существенно