Нелинейные волны и хаос в радиофизических системах с модуляционной неустойчивостью

ВВЕДЕНИЕ......................................................................4
ГЛАВА 1. СЛОЖНАЯ ДИНАМИКА МОДУЛЯЦИОННОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ В НЕЛИНЕЙНЫХ СРЕДАХ С ДИСПЕРСИЕЙ...............................................14
1.1. Нелинейная динамика модуляционной неустойчивости в окрестности критической частоты......................................................14
1.1.1. Нелинейный эффект смены характера МН. Теория.....................15
1.1.2. Численное моделирование нелинейной динамики МН (нелинейное уравнение Шрбдингера) .............................................20
1.1.3. Численное моделирование нелинейной динамики МН (нелинейное уравнение Клейна-Гордона)...........................................26
1.1.4. Влияние характера модуляционной неустойчивости на эффекты нелинейного туннелирования.................................................... 33
1.1.5. Нелинейная динамика МН в периодической брэгговской структуре.....38
1.2. Нелинейная динамика МН в кольцевом нелинейном резонаторе..............50
1.2.1. Модель кольцевого нелинейного резонатора.........................50
1.2.2. Анализ условий неустойчивости стационарного режима...............52
1.2.3. Результаты численного моделирования..............................57
1.3. Нелинейная динамика МН при наличии отражений от границ................62
1.3.1. Модель и основные уравнения......................................62
1.3.2. Стационарные режимы колебаний и их устойчивость..................64
1.3.3. Численное моделирование нелинейной динамики одномерного резонатора 69
1.4. Выводы................................................................76
ГЛАВА 2. СЛОЖНАЯ ДИНАМИКА В НЕЛИНЕЙНОЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКОЙ ЛИНИИ ПЕРЕДАЧИ...............................................................80
2.1. Модель и основные уравнения......................................... 80
2.2. Собственные частоты линейных колебаний................................81
2.3. Теоретический анализ модуляционной неустойчивости в нелинейных цспочка\84
2.3.1. Цепочка с квадратичной нелинейностью.............................84
2.3.2. Цепочка с кубичной нелинейностью.................................88
2.4. Результаты численного моделирования...................................89
2.4.1. Цепочка с квадратичной нелинейностью.............................89
2.4.2. Цепочка с кубичной нелинейностью................................100
2.5. Выводы............................................................. 112
2
ГЛАВА 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ ДИНАМИКИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ В НЕЛИНЕЙНЫХ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СТРУКТУРАХ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ВО ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТИ.................................115
3.1. Метод конечных разностей во временной области (FDTD).............115
3.2. Сложная динамика нелинейного диэлектрического резонатора.........120
3.3. Сложная динамика в периодической нелинейной диэлектрикческой структуре .125
3.3.1. Постановка задачи............................................125
3.3.2. Анализ дисперсионного соотношения для линейной системы.......126
3.3.3. Результаты численного моделирования..........................129
3.4. Выводы...........................................................134
ГЛАВА 4. СЛОЖНАЯ ДИНАМИКА КОЛЬЦЕВОГО НЕЛИНЕЙНОГО РЕЗОНАТОРА (СИСТЕМЫ ИКЕДЫ) ПОД ВОЗДЕЙСТВИЕМ ДВУХЧАСТОТНОГО СИГНАЛА.... 135
4.1. Введение и постановка задачи.....................................135
4.2. Вывод системы связанных отображений Икеды........................137
4.3. Стационарные режимы колебаний и их устойчивость..................139
4.4. Результаты численного моделирования..............................143
4.5. Выводы...........................................................151
ЗАКЛЮЧЕНИЕ..............................................................152
БЛАГОДАРНОСТИ...........................................................155
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.......................................................156
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность исследуемой проблемы. Изучение нелинейных явлений, включая режимы динамического хаоса, в распределенных волновых системах в настоящее время относится к числу наиболее актуальных направлений в современной радиофизике и нелинейной динамике [1-4]. Очевидна связь этих исследований с такими фундаментальными проблемами, как возникновение турбулентности и образование диссипативных структур. Однако на сегодняшний день последовательная теория нелинейной динамики распределенных систем отсутствует, и по сравнению с системами с небольшим числом степеней свободы они изучены все еще достаточно слабо, хотя именно они представляют наибольший интерес.
Следует отметить, что в основном изучается нелинейная динамика в так называемых активных средах, в которых присутствует усиление малых возмущений за счет развития различных волновых неустойчивостей [2-6]. Однако не меньший интерес представляет исследование подобных явлений в нелинейных средах, в которых усиления нет, т.е. их следует отнести к пассивным. При определенных условиях интенсивный регулярный сигнал, генерируемый внешним источником, в процессе распространения в пассивной нелинейной среде может обогащаться новыми независимыми спектральными компонентами и, в частности, становиться хаотическим. Выяснение механизмов, за счет которых это происходит, определение универсальных особенностей сложного поведения, типичных сценариев перехода к хаосу представляет принципи-азьный интерес для целого ряда разделов физики, в первую очередь — для радиофизики. Отметим, что на языке теории колебаний данную ситуацию следует ассоциировать не с автоколебаниями, а, скорее, с вынужденными колебаниями.
Механизмами, приводящими к сложной динамике в пассивных средах, являются так называемые вторичные неустойчивости, которые развиваются на фоне распространяющихся волн достаточно большой постоянной амплитуды. Среди них следует выделить модуляционную неустойчивость (МН) [2,4,7-11], которая играет важную роль в гидродинамике, радиофизике, нелинейной оптике, физике плазмы и др. и заключается в том, что периодическая волна, распространяющаяся в нелинейной диспергирующей среде, оказывается неустойчивой относительно крупномасштабных пространственных и/или временных модуляций. Развитие МН обычно приводит на сильно нелинейной стадии к образованию солитонов огибающей. Хотя изучению этих явлений посвящено большое количество работ, в них, как правило, идет речь о неустойчивости в безгра-
4
ничных и консервативных средах. В то же время, для ответа на поставленные выше вопросы принципиальный интерес представляет рассмотрение ограниченных в пространстве систем с учетом внешнего источника и диссипации (например, за счет излучения энергии через границы). Отметим, что отрезок нелинейной среды конечной протяженности, возбуждаемый на границе внешним сигналом, можно трактовать как распределенный нелинейный резонатор под внешним воздействием. Поскольку нелинейный неавтономный осциллятор давно является одной из эталонных моделей нелинейной динамики систем с конечным числом степеней свободы [1,2,4], можно ожидать, что рассматриваемая задача должна играть такую же важную роль для распределенных систем.
Указанные обстоятельства позволяют считать тему диссертации актуальной и важной для современной радиофизики, нелинейной динамики и теории волн.
Целью диссертации является последовательное изучение сложной динамики в распределенных пассивных нелинейных средах с модуляционной неустойчивостью, возбуждаемых гармоническим внешним сигналом на одной из границ. Для достижения поставленной цели решается ряд конкретных задач: рассматриваются как простые модельные системы, описывающиеся эталонными уравнениями типа нелинейных уравнений Шрёдингера и Клейна-Гордона, так и достаточно сложные реалистичные модели (нелинейная линия передачи, периодическая диэлектрическая структура).
Научная новизна.
Впервые получен критерий, определяющий характер МН (конвективная или абсолютная) в безграничной нелинейной среде с дисперсией. Обнаружен нелинейный эффект смены характера неустойчивости с конвективной на абсолютную при увеличении интенсивности входного сигнала. Показано, что этот эффект связан с появлением неустойчивых возмущений, групповая скорость которых отрицательна, т.е. направлена навстречу несущей волне.
Впервые выявлена связь различных режимов солитонного туннелирования с характером модуляционной неустойчивости. Показано, что квазилинейное туннелирование связано с конвективной неустойчивостью, а солитоннос — с абсолютной.
Впервые изучены переходы к хаосу в системах типа одномерных распределенных резонаторов, заполненных нелинейной диспергирующей средой и возбуждаемых на одной из границ гармоническим внешним сигналом. Рассмотрены как системы, описываемые известными модельными уравнениями теории нелинейных волн, так и реалистичные модели радиофизических нелинейных сред (отрезок нелинейной радиотехни-
5
ческой линии передачи, периодическая нелинейная диэлектрическая структура). Показано, что основным механизмом, приводящим к неустойчивости режима периодических колебаний, является модуляционная неустойчивость, а переход к хаосу происходит в основном через разрушение квазипериодичсского движения.
Впервые проведено подробное исследование сложной динамики при воздействии двухчастотного внешнего сигнала на кольцевой нелинейный резонатор, заполненный средой с кубичной фазовой нелинейностью. Показано, что добавление второй компоненты внешнего сигнала с достаточно малой интенсивностью позволяет эффективно управлять динамикой системы. Варьируя амплитуду и частоту второй компоненты, можно добиться либо появления хаотических колебаний в тех условиях, когда при одночастотном воздействии поведение регулярное, либо наоборот, осуществить подавление хаоса.
Практическая значимость. Результаты исследований сложной динамики в распределенных резонаторах представляют практический интерес в связи с появившимися в последние годы перспективами использования хаотических сигналов в системах связи, радиолокации и др. Причем распределенные системы представляют в этом отношении особый интерес, поскольку способны генерировать высокоразмерные хаотические колебания, имеющие в некотором смысле большую сложность. Рассматриваемые в диссертации модели, в частности нелинейные брэгговские структуры, могут найти применение в качестве логических элементов в системах обработки информации, в системах чисто оптического переключения, ограничения мощности и др. Процессы образования и распространения солитонов представляют интерес для генерации ультракоротких импульсов. В особенности это относится к так называемым щелевым солитонам, образующимся при солитонном туннелировании.
Ряд результатов диссертации используется в учебном процессе (лекционные курсы «Нелинейные колебания» и «Нелинейные волны» для студентов факультета нелинейных процессов СГУ).
Апробация работы н публикации. Работа выполнена на кафедре нелинейной физики СГУ. Материалы диссертации докладывались на научных семинарах факультета нелинейных процессов СГУ и СО ИРЭ РАН, а также на II Международной конференции «Фундаментальные проблемы физики» (Саратов, 2000), Межвузовской конференции «Современные проблемы электроники и радиофизики СВЧ» (Саратов, 2001), VIII и IX Всероссийских школах-семинарах «Физика и применение микроволн» (Звенигород, Моск. обл., 2001,2003), IX, X, XI International Workshop and School “Nonlinear Dynamics
6
and Complex Systems”, (Minsk, 2001, 2002, 2003), VI Международной школе «Хаотические автоколебания и образование структур» (Саратов, 2001), VIII Всероссийской конференции студентов физиков и молодых ученых (С.-Петербург, 2001), VI Всероссийской конференции студснтов-радиофизиков (С.-Петербург, 2002), IX Всероссийской школе-семинаре «Волновые явления в неоднородных средах», (Красновидово, Моск. обл., 2002), Международной конференции “Synchronization of Chaotic and Stochastic Oscillations SYNCHRO-2002”, (Саратов, 2002), XII Зимней школе-семинаре по СВЧ электронике и радиофизике (Саратов, 2003), XII Всероссийской школе «Нелинейные волны 2004» (Н. Новгород, 2004). Результаты работы неоднократно докладывались на ежегодных конференциях «Нелинейные дни в Саратове для молодых» (1999-2003). По теме диссертации опубликованы работы [81-107].
Результаты диссертации использовались при выполнении грантов CRDF (№ REC-006), РФФИ (№№ 99-02-16016, 02-02-16351, 02-02-17317), ФЦП «Интеграция» (№ Л0057), индивидуальных грантов РФФИ для молодых ученых (№№ 02-02-06315, 03-02-06257), грант поддержки научных школ Минпромнауки РФ (HLU-1250.2003.2)
Личный вклад соискателя. Большинство работ по теме диссертации опубликовано в соавторстве с научным руководителем диссертации. Содержащиеся в этих работах аналитические результаты получены совместно с научным руководителем. Основные результаты численного моделирования получены лично соискателем с использованием им же разработанных комплексов программ. Физическая интерпретация результатов проводилась совместно.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из Введения, четырех глав и Заключения, содержит 162 страницы текста, включая 69 рисунков, 3 таблицы и список литературы из 107 наименований на 7 страницах.
Краткое содержание работы. Во Введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы ее цели, научная новизна и положения, выносимые на защиту.
Глава 1 посвящена изучению нелинейной динамики модуляционной неустойчивости (МН) в простых моделях нелинейных сред с дисперсией. Выделены характерные ситуации, которые приводят к неустойчивости стационарного режима распространения сигнала и к появлению хаотических колебаний: (а) когда МН является абсолютной; (б) когда МН в безграничной среде является конвективной, однако в ограниченной системе присутствие внешней обратной связи (например, вызванной отражениями от границ)
7
превращает ее в глобальную.1 Первая ситуация исследуется в разделе 1.1. В п. 1.1.1 рассмотрена среда, описывающаяся при помощи нелинейного уравнения Шрёдингера (НУШ), которое традиционно используется в качестве основной модели для изучения эффектов МН [7-10]. Рассмотрена устойчивость решения в виде квазимонохроматиче-ской волны с постоянной амплитудой, проведен анализ характера МН (конвективная или абсолютная). Обнаружено, что когда амплитуда волны превышает некоторое критическое значение, неустойчивость является абсолютной, в противном случае — конвективной. Таким образом, по мере увеличения амплитуды наблюдается нелинейный эффект смены характера неустойчивости. Показано, что физически этот эффект обусловлен тем, что дисперсионное соотношение НУШ является параболическим и допускает распространение волн выше некоторой критической частоты, которая зависит от амплитуды. При увеличении амплитуды диапазон неустойчивых возмущений расширяется и начинает захватывать область волновых чисел, где групповая скорость отрицательна. Это приводит к возникновению внутренней распределенной обратной связи.
Развитая теория подтверждается результатами численного моделирования, изложенными в п. 1.1.2. Рассматривается среда конечной протяженности, возбуждаемая на левой границе гармоническим сигналом. Показано, что в случае конвективной МН нарастающие возмущения сносятся вправо и покидают систему через правую границу, так что, в конце концов, по окончании переходного процесса устанавливается режим одночастотного распространения сигнала. Если же неустойчивость абсолютная, то возмущения непрерывно генерируются по всей длине системы, и в результате устанавливается режим автомодуляции, в котором амплитуда сигнала периодически осциллирует. При достаточно большом превышении порога абсолютной неустойчивости колебания становятся хаотическими. Основным сценарием перехода к хаосу является разрушение квазипериодичсского движения (сценарий Рюэля-Такснса).
Определенным недостатком НУШ является постоянство параметра дисперсии групповой скорости, поскольку дисперсионная характеристика аппроксимируется параболой [8,10]. Поэтому в п. 1.1.3 на примере нелинейного уравнения Клейна-Гордона исследуется более реалистичная ситуация, когда дисперсия уменьшается при удалении от критической частоты. Показано, что в данном случае последовательное увеличение амплитуды приводит вначале к переходу от конвективной неустойчивости к абсолют-
1 Следует оговориться, что в данном случае речь идет о неустойчивости возмущений, возникающих на фоне периодической волны с достаточно большой амплитудой. Мы определяем тип неустойчивости, исходя из характера эволюции этих малых возмущений на линейной стадии, т.е. пока их амплитуда мала по сравнению с амплитудой несущей волны. В этом случае можно пользоваться классическими определениями абсолютной и конвективной неустойчивости [2,12,13] по существу без изменений.
8
ной, а затем — обратно к конвективной. Это обусловлено уменьшением параметра дисперсии с ростом амплитуды. Более того, если частота сигнала достаточно далеко отстоит от критической частоты, может сложиться ситуация, когда абсолютная неустойчивость вообще возникать не будет.
В п. 1.1.4 развитая теория применяется для интерпретации эффекта нелинейного туннелирования, который был впервые изучен Ньюэллом [9,14]. Он заключается в том, что благодаря зависимости критической частоты от амплитуды, распространение сигнала возможно даже в том случае, когда его частота лежит в линейной полосе непрозрачности, если интенсивность достаточно велика В [14] выделены случаи квазилинейного туннелирования, когда сигнал распространяется в виде стационарной волны с постоянной амплитудой, а также собственно нелинейного или солитонного туннелирования, когда он в процессе распространения разбивается на так называемые щелевые со-литоны (gap solitons). Bn. 1.1.4 проведено исследование динамики МП в случае, когда частота сигнала лежит в полосе непрозрачности. Показано, что квазилинейное туннелирование имеет место при конвективной МН, а солитонное — при абсолютной. Типичным сценарием является переход от нспропускания к солитоиному туннелированию, а затем — к квазилинейному по мере увеличения амплитуды входного сигнала.
В п. 1.1.5 полученные результаты обобщаются на случай периодических брэгговских структур. Рассматривается периодическая система состоящая из чередующихся слоев нелинейного диэлектрика с различными показателями преломления. Нелинейность считается кубичной (керровской). Система описывается связанными уравнениями для медленно меняющихся амплитуд прямой и встречной волн. Численное моделирование показывает, что наблюдаются все эффекты, которые были обнаружены в п.п. 1.1.3, 1.1.4 для нелинейного уравнения Клейна-Гордона: переходы от конвективной МН к абсолютной и наоборот, солитонное туннелирование и т.д. На основании полученных результатов дана интерпретация результатов работ [15-17], где была изучена возможность использования такой структуры для «чисто оптического» ограничения, основанная на взаимной компенсации нелинейных добавок к показателю преломления в соседних слоях.
В последующих разделах Главы 1 анализируется противоположная ситуация, когда МН является конвективной, однако имеется внешняя обратная связь, превращающая неустойчивость в глобальную. Рассматриваемые системы можно квалифицировать как распределенные нелинейные резонаторы, находящиеся под внешним воздействием. Раздел 1.2 посвящен динамике кольцевого резонатора, заполненного средой
с МН. В этом случае систему можно описать при помощи НУШ с граничным условием, которое содержит запаздывание. Показано, что при увеличении интенсивности входного сигнала или глубины обратной связи режим одночастотных колебаний становится неустойчивым и возникает автомодуляция. Далее происходит переход к хаосу. Основным сценарием является разрушение квазипериодического движения.
В разделе 1.3 исследуется динамика МН в одномерном резонаторе, который представляет собой отрезок нелинейной диспергирующей среды конечной протяженности с отражениями на границах. Построена модель в виде системы связанных НУШ дтя амплитуд прямой и встречной волн. В целом поведение системы аналогично описанному в разд. 1.2. Однако в данном случае взаимодействие прямой и встречной волн может существенно изменить условия МН. В частности, в системе связанных волн неустойчивость возможна даже тогда, когда каждая из них в отдельности устойчива.
В Главе 2 рассматривается нелинейная динамика распределенного резонатора, состоящего из отрезка радиотехнической линии передачи (1С-цепочки), содержащей элементы, заряд на которых нелинейным образом зависит от приложенного напряжения. Рассматриваются цепочки как с квадратичной, так и с кубичной нелинейностью. С одного конца цепочка возбуждается гармоническим сигналом постоянной амплитуды, а с другого нагружена на активное сопротивление. Приведены основные уравнения (раздел 2.1). проводится теоретический анализ распространения возмущений в цепочке (раздел 2.2). Рассмотрены линейные колебания цепочки, построены амплитудно-частотные и фазочастотные характеристики распределенного резонатора, образованного отрезком цепочки с отражениями на границах. В разделе 2.3 проводится теоретическое исследование МН. Показано, что для случая квадратичной нелинейности МН будет иметь место для высокочастотных волн, а в случае кубичной нелинейности наличие МН определяется знаком параметра нелинейности.
В разделе 2.4 приведены результаты численного моделирования. Подробно изучены два характерных случая: цепочка, согласованная в области низких частот и цепочка, рассогласованая во всем диапазоне. Исследованы процессы перехода к хаосу по мерс увеличения амплитуды входного сигнала при различных значениях частоты. Показано, что для согласованной цепочки с квадратичной нелинейностью при малых значениях частоты переход к хаосу вызван тем, что высшие гармоники сигнала, попадая в область частот, где отражения велики, приводят к жесткому возбуждению большого числа мод резонатора. В области высоких частот, когда имеет место МН, наблюдается мягкое возникновение автомодуляции и переход к хаосу через разрушение квазиперио-
10
дичсского движения. В промежуточной области наблюдается конкуренция этих сценариев. Для рассогласованной цепочки переход через разрушение квазипериодики происходит во всем диапазоне частот, так как в этом случае проявляется МН, обусловленная нелинейным взаимодействием прямой и отраженной волн. Также обнаружены характерные особенности динамики вблизи критической частоты, ранее изученные в гл. 1: эффекты смены характера МН с конвективной на абсолютную и обратно, а также режимы солитонного туннелирования.
Дія цепочки с кубичной нелинейностью в основном доминируют жесткие переходы к хаосу. В случае «отрицательной» нелинейности, когда емкость нелинейного элемента с ростом напряжения уменьшается, в области низких частот происходит возбуждение большого числа уединенных волн различной полярности. Переход к хаосу вызван сложным неупругим взаимодействием этих волн между собой и с осциллирующими хвостами (так называемая «солитонная турбулентность»). В случае «положительной» нелинейности, когда емкость с ростом напряжения увеличивается, переход к хаосу в области низких частот также происходит жестко, однако образования солито-нов при этом не происходит.
В области высоких частот в обоих случаях возникновение сложной динамики связано с возбуждением высокодобротной моды, лежащей вблизи частоты отсечки. Наблюдается образование локализованных долгоживущих пространственно-временных структур — бризеров, которые занимают всего несколько ячеек цепочки, причем амплитуда колебаний в них значительно превышает амплитуду в остальной части цепочки. С течением времени возмущения медленно дрейфуют вдоль системы.
В Главе 3 аналогичные эффекты изучаются на примере нелинейных диэлектрических резонаторов под периодическим внешним воздействием. Для численного моделирования используется метод конечных разностей во временной области (РОТЭ), основанный на прямом численном решении уравнений Максвелла [18]. В разделе 3.1. дается описание метода РОТІ), приводится численная схема, использованная для компьютерного моделирования. В разделе 3.2 описаны результаты численного моделирования для однородной двумерной диэлектрической структуры, на одну из границ которой падает монохроматический гауссов пучок. Нелинейность считается кубичной (керровской). Обнаружено, что по мере роста интенсивности внешнего воздействия режим стационарного распространения излучения становится неустойчивым и сменяется вначале квазипериодическими, а затем — хаотическими колебаниями.
Однако расчеты показывают, что для достижения хаотических режимов требуются чрезвычайно высокие интенсивности внешнего сигнала, когда нелинейная добавка к показателю преломления составляет более 10% по сравнению с линейной частью, что представляется мало реалистичным. Поэтому в разделе 3.3 рассматривается периодическая структура, составленная из чередующихся слоев двух различных нелинейных диэлектриков. Как показано в гл. 1, в этом случае МН может быть абсолютной, если частота сигнала лежит вблизи частоты отсечки. В п. 3.3.1 приведены основные уравнения, в п. 3.3.2 проведен анализ распространения волн в линейной системе. Сделаны оценки порот неустойчивости по методике, изложенной в п. 1.1.5. В п. 3.3.3 приведены результаты численного моделирования, которые хорошо согласуются с теоретическими представлениями, развитыми в гл. 1. Наблюдаются описанные эффекты перехода от конвективной МН к абсолютной и наоборот, режимы солитонного туннелирования, переход к хаосу по мере увеличения интенсивности падающего излучения.
В Главе 4 изучена сложная динамика кольцевого резонатора, заполненного средой с кубичной фазовой нелинейностью, при бигармоническом воздействии. В отличие от случая, рассматривавшегося разд. 1.2, считается, что дисперсией можно пренебречь, и эффекты МН отсутствуют. В случае гармонического воздействия при ряде допущений динамика системы может быть описана известным отображением Икеды, которое является одной из эталонных моделей нелинейной динамики и изучено с исчерпывающей подробностью [19,20]. В диссертации рассмотрен случай, когда воздействующий сигнал является двухчастотным. В разделе 4.2 получена система связанных отображений Икеды, описывающая динамику амплитуд спектральных компонент сигнала. В разделе 4.3 теоретически анализируются стационарные режимы колебаний и исследуется их устойчивость. Построены линии бифуркации Неймарка, касательной бифуркации и первой бифуркации удвоения периода на плоскости управляющих параметров.
В разделе 4.4 нелинейная динамика системы связанных отображений Икеды исследуется численно в широком диапазоне управляющих параметров. Показано, что нелинейное взаимодействие двух компонент сигнала (фазовая кросс-модуляция) открывает возможность эффективного управления динамикой амплитуды одной из компонент путем изменения амплитуды и частоты второй компоненты. При этом интенсивность второй компоненты остается достаточно малой. Можно добиться либо появления хаотических колебаний в тех условиях, когда при одночастотном воздействии поведение регулярное, либо наоборот, осуществить подавление хаоса. Картина нелинейной динамики является значительно более разнообразной, чем в одиночном отображении
Иксды. В частности, переход к хаосу возможен не только по сценарию Фейгенбаума, но и через разрушение квазипериодического движения.
В Заключении приведены основные результаты, полученные в диссертационной работе.
Положения, выносимые на защиту
1) Модуляционная неустойчивость в окрестности критической частоты является абсолютной, когда диапазон неустойчивых возмущений захватывает область волновых чисел, для которых групповая скорость отрицательна; в противном случае МН является конвективной. При увеличении интенсивности несущей волны область неустойчивости расширяется, что приводит к смене характера М11 с конвективной на абсолютную.
2) Режимы нелинейного туннелирования (распространение сигналов, частота которых лежит в линейной полосе непрозрачности) определяются характером модуляционной неустойчивости: квазилинейное туннелирование, когда сигнал распространяется в виде стационарной волны с постоянной амплитудой, имеет место при конвективной МН, а солитонное туннелирование, когда сигнал в процессе распространения разбивается на солитоны — при абсолютной.
3) Неустойчивость режима периодических вынужденных колебаний в одномерных распределенных резонаторах, образованных отрезком нелинейной диспергирующей среды, в которой имеется МН, обусловлена либо переходом от конвективной МН к абсолютной вблизи критической частоты, либо превращением конвективной МП в глобальную за счет внешней обратной связи или отражений от границ. В обоих случаях по мере увеличения интенсивности воздействия происходит переход к хаосу, причем доминирующим является сценарий разрушения квазипериодического движения.
4) Эффекты фазовой кросс-модуляции при воздействии двухчастотного сигнала на кольцевой резонатор, заполненный средой с кубичной фазовой нелинейностью (система Икеды), открывают возможность эффективного управления динамикой амплитуды одной из спектральных компонент путем изменения амплитуды и частоты второй компоненты (при этом интенсивность второй компоненты мала). Можно добиться либо появления хаотических колебаний в тех условиях, когда при одночастотном воздействии поведение регулярное, либо наоборот, осуществить подавление хаоса.
ГЛАВА 1. СЛОЖНАЯ ДИНАМИКА МОДУЛЯЦИОННОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ В НЕЛИНЕЙНЫХ СРЕДАХ С ДИСПЕРСИЕЙ
1.1. II ели пси пая динамика модуляционной неустойчивости в окрестности критической частоты
Как уже отмечалось во Введении, в нелинейной динамике распределенных систем можно выделить важный класс задач, связанный с изучением процессов усложнения сигналов при их распространении в пассивных нелинейных средах с дисперсией. При определенных условиях регулярный (в простейшем случае — гармонический) сигнал, генерируемый внешним источником, в процессе распространения может обогащаться новыми независимыми спектральными компонентами и, в частности, становиться хаотическим. В качестве одного из наиболее известных примеров можно привести эксперименты, в которых наблюдалась хаотизация магнитостатических волн в ферритовой пленке [21]. Одним из наиболее важных механизмов, которые могут привести к неустойчивости режима стационарного распространения сигнала, является модуляционная неустойчивость (МП) [7-11]. Эта неустойчивость характерна, например, для гравитационных волн на глубокой воде, лснгмюровских волн в плазме, электромагнитных волн в нелинейных волоконных световодах, магнитостатических волн и др.
Изучению различных аспектов МН посвящено множество работ (см., например, монографии [2,7-11]) и цитированную там литературу). Однако в большинстве из них рассматривается неустойчивость в безграничных и консервативных средах, и исследуются вопросы, связанные с образованием солитонов огибающей. В то же время, если рассматривается среда конечной протяженности (что всегда имеет место на практике), непрерывно возбуждаемая на границе гармоническим сигналом, то для объяснения усложнения сигнала одного факта наличия МН недостаточно2. Принципиальным становится вопрос о том, является МН абсолютной или конвективной. Именно характер МН будет определять динамику системы. Следует ожидать, что при конвективной неустойчивости нарастающие возмущения с течением времени будут сноситься из области рассмотрения, так что по окончании переходного процесса в системе установится стационарное состояние, причем в спектре будут содержаться только частота внешнего воздействия и высшие гармоники, возникающие за счет нелинейности. Усложнение сигнала возможно только при абсолютной неустойчивости, когда нарастающие возмущения
2 Под усложнением мы понимаем обогащение спектра новыми независимыми компонентами.