Оглавление
Введение 3
1 Резонансные явления в кинк-антикинк рассеянии 10
1.1 Уединенные волны в (1-Ь1)-мсрной классической теории поля . 10
1.2 Столкновения кинков. Механизм резонансного обмена энергией 12
1.3 Модель ’’двойной синус-Гордон”..............................16
1.4 Дискретный спектр возбуждений системы К К в модели ”ДсГ” . 21
1.5 Численные расчеты и заключительные замечания................26
2 Об эволюции домена дезориентированного кирального конденсата 28
2.1 Дезориентированный киральный конденсат в физике высоких энергий.........................................................28
2.2 Одномерный случай...........................................32
2.3 Трехмерный случай...........................................35
2.4 Пузырек большой амплитуды...................................40
2.5 Заключительные замечания....................................46
3 Динамика столкновений доменных стенок в модели с двумя действительными скалярными полями 48
3.1 Нетривиальные точные решения................................48
3.2 Временная зависимость для BPS-насыщенных конфигураций . . 56
3.3 Временная зависимость для не BPS-конфигураций...............59
3.4 Заключительные замечания....................................64
4 Заряженный топологический солитон в системе двух взаимодействующих скалярных полей 65
4.1 Заряженные топологические дефекты в различных теориях . . 65
1
4.2 Топологические и нетопологические С^-боллы...................66
4.3 Точное решение для топологического (З-болла..................71
4.4 Улучшенная вариационная процедура............................75
4.5 Заключительные замечания об описанных топологических дефектах, несущих и(1) заряд 79
4.6 Проблема динамической устойчивости решения, постановка
спектральной задачи..........................................81
4.7 Аналитические свойства спектральной задачи...................93
4.8 Численное исследование устойчивости.........................100
Заключение 106
Приложение 109
2
Введение
В последнее десятилетие значительно возрос интерес к всевозможным топологическим дефектам [1]. Доменные стенки представляют собой, пожалуй, наиболее наглядный пример топологических дефектов: они возникают в полевых моделях с лагранжианами, потенциальная часть которых имеет дискретный набор минимумов, и представляют собой полевые конфигурации, соединяющие эти минимумы [2].
Спонтанное нарушение симметрии и механизм Хиггса [3] играют чрезвычайно важную роль в современной теоретической физике. Топологические решения, называемые обычно кинками, представляют собой классические топологические решения уравнений движения в (1-И)-мерных моделях со спонтанным нарушением симметрии, имеющие различные асимптотики на пространственных бесконечностях. Для конечности энергии такого решения необходимо, чтобы асимптотические значения поля совпадали с вакуумами модели - минимумами потенциала лагранжиана [4]. По этой причине простейшая модель, имеющая решения типа кинка должна иметь, по меньшей мере, два минимума потенциала.
Далее, можно рассматривать аналогичные модели в (3-ь1)-мерном пространстве-времени. Тогда одномерное решение типа кинка приобретает смысл доменной стенки [5]. Например, плоская доменная стенка, перпендикулярная оси X в (3-г1)-мерном пространстве Минковского в модели с двумя вырожденными вакуумами, - это такая зависящая только от одной пространственной координаты х конфигурация, что поле заметно отличается от вакуумных значений лишь на небольшом интервале оси X (толщина стенки), а по обе стороны от стенки быстро выходит на вакуумные значения (строго говоря, поле равно вакуумным значениям лишь в пределе х -» ±оо). При этом энергия кинка приобретает смысл поверхностной плотности энергии стенки
3
(или, как иначе говорят, поверхностного натяжения). Замечательно, что во многих случаях уравнения Эйлера-Лагранжа для статических конфигураций в (1~{ 1) могут быть решены аналитически, и конфигурации типа доменных стенок выписываются в явном виде [6]. В других случаях решения типа доменных стенок получаются в результате численного интегрирования уравнений движения [7|.
Выделим теоретико-полевые модели, допускающие решения в виде доменных стенок. Введем условное их деление на четыре класса., каждый из которых в той или иной степени обсуждается в настоящей диссертации.
1. Пожалуй, самыми простыми примерами здесь являются кинки в моделях с одним действительным скалярным полем и с Zi симметрией потенциала., например, кинк теории \фл или солитон модели sine-Gordon [8]. [9] (в последнем случае потенциал периодический).
2. Помимо кинков (доменных стенок) в упомянутых моделях с одним действительным скалярным полем и с двумя вырожденными вакуумами, можно выделить модели с одним действительным скалярным полем, но с потенциалами, допускающими существование по крайней мере двух различных типов доменных стенок. Примером может служить модель двойной синус-Гордон (double sine-Gordon) [10], в которой при некоторых значениях параметра имеются два различных кинка - "малый” и ’’большой”.
3. К третьему классу отнесем модели с двумя и более действительными скалярными полями, которые проявляют новые интересные свойства: в них возможно существование доменных стенок с внутренней структурой, а также появляется возможность образования пересечений доменных стенок (в моделях с двумя полями в случае потенциала, имеющего так называемые ”неколлинеарные” минимумы на плоскости полей).
4. И. наконец, следует сказать о так называемых Q-боллах (Q-шарах, Q-balls) и Q-стенках (Q-walls) - топологических и нетопологических решениях в моделях с действительным нолем Хиггса и комплексным скалярным полом, несущим сохраняющийся U(l) заряд в силу глобальной U(l) симметрии лагранжиана. Некоторые решения такого рода были впервые рассмотрены Коулменом 111].
В последнее десятилетие достигнут значительный прогресс в изучении свойств доменных стенок в различных теоретико-полевых моделях. Это обусловлено пристальным вниманием к этому типу топологических дефектов,
л
связанному с важной ролыо доменных стенок, а также более сложных структур на их основе, которую они играют в современной космологии, физике элементарных частиц и теории процессов в жидкостях и твердых телах. В этой связи следует упомянуть также проблему темной материи и темной энергии (12| (подробнее об этом см. в главе 4 настоящей диссертации). Высказываются предположения, что доменные стенки могут образовывать структуры типа сетей, несущих значительные энергии. (Присутствие таких структур во Вселенной имело бы следствием некоторую анизотропию реликтового излучения, которая, однако, невелика и не выходит за пределы современных экспериментальных оценок.)
Диссертация изложена на 125 страницах и состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения, списка иллюстраций, предметного указателя и списка цитируемой литературы. В тексте диссертации содержится 31 иллюстрация, список литературы состоит из 110 пунктов.
Первая глава диссертации посвящена исследованию механизма резонансного обмена энергией в процессе столкновения кинка и антикинка модели ’’двойной синус-Гордон” (ДсГ). Явление резонансной передачи энергии в столкновениях конфигураций типа уединенных волн было обнаружено и исследовано применительно к модели Афл и ’’двойной синус-Гордон” в (1+1) измерениях. Однако при некоторых значениях параметра модели в столкновениях кинков уравнения ДсГ наблюдались так называемые квазирезонансы, механизм возникновения которых, как предполагалось, аналогичен механизму резонансного обмена энергией. При этом в спектре локализованных возбуждений кинка ДсГ не было найдено подходящей дискретной моды, в которую могла бы переходить часть кинетической энергии кинков. В работе |13], в которой опубликованы основные результаты, положенные в основу первой главы, был предложен новый подход к проблеме резонансных частот. Показано, что спектр возбуждений следуют рассматривать для системы кинк-антикиик в целом, что нельзя пренебречь взаимным влиянием уровней дискретного спектра, расположенных вблизи границы непрерывного спектра. Еще раз подчеркнем, что развитый подход к проблеме резонансных частот является новым и позволил дать объяснение явлению квазирезонансов в кинк-антикинк столкновениях в модели ДсГ.
Вторая глава диссертации посвящена исследованию эволюции первоначально сформированного пузырька дезориентированного кирального коиден-
5
сата (ДКК) - области пространства, в которой вакуумное состояние повернуто з изотопическом пространстве полей (а, 7г) относительно вакуума в остальном пространстве. Предполагается, что распад высоковозбужденных состояний, образующихся в столкновениях при высоких энергиях, может происходить через образование ДКК, который, в свою очередь, будет распадаться в обычный вакуум с излучением 7г-мезонов. Основные новые результаты, излагаемые во второй главе, были опубликованы в статьях [14] и (15). Отметим, что, в отличие от большого количества других работ по тематике ДКК, мы поставили и качественно и полу количественно решили вопрос о пространственно-временной картине распада пузырька ДКК. Для упрощения рассмотрения использовалась упрощенная модель с парой полей сг и 7Г. Существенным и новым результатом исследования является продемонстрированная возможность образования долгоживущих излучающих состояний.
В третьей главе исследуется процесс столкновения доменных стенок в модели с двумя действительными скалярными полями в (1-Н)-мерном пространстве-времени. Рассматривается лагранжиан для скалярных компонент киральных суперполей, потенциальный член которого имеет четыре вырожденных минимума - вакуумных состояния. Вследствие этого в модели возможно шесть типов доменных стенок, разделяющих области пространства с различными вакуумами. В работе |16| рассматривались конфигурации типа пересечений доменных стенок иод небольшими углами. Нами же была поставлена и решена задача о временной картине процесса столкновения двух плоских доменных стенок. При этом в случае ВРЗ-насыщенных конфигураций в исследовании удалось продвинуться аналитически, а в случае не ВРЗ-насыщенных - в основном численно. Результаты исследования, представленного в третьей главе диссертации, опубликованы в статье [17].
Четвертая глава диссертации посвящена рассмотрению топологического солитона в системе двух взаимодействующих скалярных нолей - действительного и комплексного. Такой лагранжиан в (3+1) был впервые рассмотрен еще в работе [18|, где были найдены классические сферически-симметричные решения, несущие 1/{ 1) заряд (О^-боллы). В работах [19] и [20], положенных в основу этой главы, найдено неизвестное до этого точное топологическое решение уравнений движения в (1+1), несущее (7(1) заряд. Проведено детальное сравнительное исследование этого решения и других топологических и нетопологических конфигураций, несущих и( 1) заряд. В рамках линейной
б
теории возмущений поставлена и решена задача о динамической устойчивости найденного точного решения. Проведенные аналитические и численные исследования позволяют сделать вывод о динамической устойчивости найденного точного решения.
В заключении кратко сформулированы основные новые результаты и выводы настоящей диссертации.
Перечислим основные цели и задачи исследования.
1. Объяснение явления квазирезонансов в столкновениях кинка и антикин-ка в модели "двойной синус-Гордон" при значении параметра Я = 0.5 в рамках механизма резонансного обмена энергией. Качественное объяснение сдвига резонансной частоты в системе кинк-антикинк по сравнению с частотой уровня дискретного спектра в потенциальной яме уединенного кинка.
2. Численное и аналитическое исследование временной эволюции первоначально сформированного пузырька дезориентированного кирального конденсата. Исследование зависимости процесса распада от самодей-ствия пионных полей, выяснение возможных наблюдаемых следствий нелинейности процесса.
3. Исследование процесса столкновения двух параллельных доменных стенок в суперсимметричной модели с двумя действительными скалярными полями. Рассмотрение случая как ВРЗ-насыщсниых, так и случая не В Р Б-насыщешI ых конфигурадий.
4. Исследование свойств точного топологического решения - Щ1)‘ заряженного солитона в модели с одним действительным и одним комплексным скалярными полями в (1+1)-измерениях. Исследование его устойчивости относительно распада в конфигурацию типа "кинк 4- плоские волны” (из энергетических соображений), а также устойчивости в рамках линейной теории возмущений.
В диссертации получены следующие новые научные результаты.
1. Для объяснения явления квазирезонансов в столкновениях кинка и анти-кинка в модели "двойной синус-Гордон” при значении параметра Я = 0.5
7
разнит метод расчета частот дискретного спектра возбуждений системы кинк-антикинк. Учтено взаимное влияние уровней в потенциальных ямах, соответствующих кинку и антикинку. При некоторых значениях параметра модели обнаружено одновременное появление как квазирезонансов, так и окон разлета.
2. При исследовании эволюции первоначально сформированного пузырька дезориентированного кирального конденсата выяснено, что при некоторых значениях параметров модели возможно образование долгоживущих источников пионных полей в центре первоначального пузырька. Для пузырька большой амплитуды обнаружено наличие продолжительной предраспадной стадии, что является следствием существования мно-госолитонных решений уравнения синус-Гордон.
3. В качестве динамической переменной при рассмотрении процесса столкновения двух параллельных доменных стенок в суперсимметричной модели с двумя действительными скалярными полями использован внутренний параметр BPS-насыщенной конфигурации, имеющий смысл расстояния между стенками.
4. В столкновениях доменных стенок, не являющихся BPS-насыщенпыми, обнаружено наличие критического значения Ver начальной скорости. При начальных скоростях Vi < vcr наблюдается отражение, не сопровождающееся изменением вакуумного состояния между стенками. При значениях начальной скорости > исг вакуумное состояние между стенками в результате столкновения изменяется.
5. Найдено точное топологическое решение - и(1)-заряженный солитон в модели с одним действительным и одним комплексным скалярными полями в (1-}-1)-измсрсниях. Исследована его динамическая устойчивость в рамках линейной теории возмущений.
Основной материал диссертации опубликован в G статьях в журналах ’’Ядерная физика” [14,15,17], "Журнал экспериментальной и теоретической физики” [19], ”Журнал вычислительной математики и математической физики” [20], ’’Physical Review Е” [ 13], докладывался на конференции ’’Научная сессия МИФИ” [21,22].
8
На защиту выносятся следующие результаты.
1. Для объяснения явления квазирезонансов в столкновениях кинка и анти-кинка в модели ’’двойной синус-Гордон” при значении параметра R = 0.5 развит метод расчета частот дискретного спектра возбуждений систе мы кинк-антикинк. Учтено взаимное влияние уровней в потенциальных ямах, соответствующих кинку и антикинку.
2. При исследовании эволюции первоначально сформированного пузырька дезориентированного кирального конденсата выяснено, что при некоторых значениях параметров модели возможно образование долгоживущих осциллирующих состояний в центре первоначального пузырька, что является следствием существования многосолитонных решений уравнения синус-Гордон.
3. При рассмотрении процесса столкновения двух параллельных доменных стенок в суперсимметричпой модели с двумя действительными скалярными полями в качестве динамической переменной может быть использован внутренний параметр BPS-насыщениой конфигурации, имеющий смысл расстояния между стенками.
4. В столкновениях доменных стенок, не являющихся BPS-насыщенными, присутствует критическое значение Ver начальной скорости. При начальных скоростях Vi < vcr наблюдается отражение, не сопровождающееся изменением вакуумного состояния между стенками. При значениях начальной скорости Vi > Ver вакуумное состояние между стенками в результате столкновения изменяется.
5. В модели с одним действительным и одним комплексным скалярными нолями в (1 +1)-измерениях найдено точное топологическое решение -и(1)-заряженный солитон. Исследована его динамическая устойчивость в рамках линейной теории возмущений.
9
- Київ+380960830922