Содержание
ВВЕДЕНИЕ 2
1 Волны обтекания в бозе-эйнштейновском конденсате 19
1.1 Основные уравнения.................................... 19
1.2 Обзор литературы и постановка задачи.................. 21
1.3 “Корабельные волны” в бозе-эйнштейновском конденсате . 26
1.4 Наклонные периодические нелинейные структуры.......... 43
1.5 Заключение............................................ 51
2 Дифракция света на тонкой проволочке 53
2.1 Основные уравнения.................................... 53
2.2 Постановка задачи..................................... 57
2.3 Линейная дифракционная картина........................ 62
2.4 Наклонные темные солитоны............................. 67
2.5 Устойчивость наклоных темных солитонов................ 73
2.6 Заключение............................................ 80
3 Обтекание препятствия двухкомпонентным бозе-эйнштейновским конденсатом 81
3.1 Основные уравнения и постановка задачи................ 81
3.2 Линейные волны........................................ 84
3.3 Темные солитоны....................................... 90
3.4 Заключение............................................ 99
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 100
Благодарности 102
1
Введение
Обтекание препятствий различными средами широко изучалось во многих областях физики. Если в среде существует внутренняя характерная скорость, то волновая картина, возникающая в данном случае, существенно зависит от того, выше или ниже скорость течения по отношению к этой характерной скорости. В 1-азе таким параметром является скорость звука. Если скорость потока газа превышает скорость звука, то при обтекании тела возникает ударная волна. Электродинамическим аналогом этого явления может считаться излучение Вавилова-Черенкова. Когда заряженная частица движется сквозь диэлектрическую среду со скоростью, превышающей скорость света в данной среде, то под определенным углом к направлению движения частицы возникнет излучение. В теории квантовой жидкости процесс обтекания связан со свойством сверхтекучести. При превышении определенного значения скорости течения свойство сверхтекучести пропадает. Эксперименты последнего десятилетия по обтеканию бозе-эйнштейновским конденсатом (БЭК) препятствий инициировали ряд теоретических работ по данному вопросу. Однако, построение полной картины этого явления на сегодняшний день далеко от завершения. Настоящая работа посвящена определению структуры воли, возникающих в бозе-эйнштейновком конденсате при обтекании двумерным конденсатом препятствия, а также рассмотрению аналогов этого процесса в оптике.
После достижения бозе-эйнштейновской конденсации в парах щелочных металлов в 1995г. возникла новая область приложения физики нелинейных волн. История этой области физики восходит к Эйнштейну, который в 1924-25гг. опубликовал две статьи [1], где он обобщил работу Бозе о квантовой статистике фотонов на случай идеального газа атомов. В частности, во второй статье он предсказал новое явление — конденсацию атомов в наииизшем квантовом состоянии. Роль данного процесса в явлениях природы долгое время оставалась под вопросом. Выли попыт-
2
ки объяснения необычных свойств Не-Н (впервые получен Вольфке и Кеезомом в 1928 году), в частности, сверхтекучести, открытой Капицей в 1938г. |2), как следствия бозе-коиденсации атомов Не [3|. Но были и противники такого подхода. Ландау в своей знаменитой статье [4] о теории сверхтекучести гелия-Н пишет:“Не говоря уже о том, что жидкий гелий не имеет ничего общего с идеальным газом, атомы, находящиеся в основном состоянии отнюдь не вели бы себя как “сверхтекучие”. Напротив, ничего не могло бы помешать атомам, находящимся в нормальном состоянии, сталкиваться с возбужденными атомами, т.е. при движении через жидкость они испытывали бы трение”1. Однако, Ландау показал, что элементарные возбуждения являются коллективным эффектом и не могут быть отождествлены с индивидуальными атомами. Этот подход использовал Боголюбов в своей работе 1947г. об элементарных возбуждениях в слабоисидсальпом бозе-газс [5]. В его работе сделана попытка построить теорию сверхтекучести, исходя из “микроскопических” уравнений квантовой механики для бозе-частиц со слабым взаимодействием между частицами. Боголюбовым был найден энергетический спектр малых возбуждений для однородного слабонеидеальиого бозс-газа.
В 1961г. независимо друг от друга Гроссом [6) и Питаевским [7| было получено уравнение, описывающее динамику слабонеидеальиого неоднородного бозе-газа при пулевой температуре. В этом случае надкон-денсатной составляющей можно пренебречь и волновая функция конденсата приобретает конкретный классический смысл: квадрат волновой функции есть число частиц в единице объема, а градиент фазы — скорость бозе-газа. Эта теория получила название теории среднего поля. Спектр элементарных возбуждений, вычисленный из линеаризованного уравнения Гросса-Питаевского, совпадает с боголюбовским спектром однородного бозе-газа. Кроме того, уравнение Гросса-Питаевского описывает нелинейные возбуждения в БЭК — квантовые вихри, темные со-
1 Ландау разработал фсмонологиескую теорию данного процесса, качественно объяснившую экспериментальные данные
3
литоны, дисперсионные ударные волны и др. (см., например, [8]).
В настоящее время нет сомнения, что бозе-эйнштсйиовская конденсация играет важную роль в различных явлениях, таких как сверхтекучесть гелия-И и сверхпроводимость. Однако, сильные взаимодействия между частицами и сложность систем не позволяют использовать теорию среднего поля Гроееа-Питаевского в этих случаях. Поэтому, когда удалось осуществить бозе-конденсацию в парах щелочных металлов в магнитных ловушках, это ознаменовало новый этан развития теории бозе-эйнштейновской конденсации. В 1995г. сразу две группы сообщили об охлаждении атомов рубидия [10] и натрия [11| в магнитных ловушках до температур в доли микрокельвинов и наблюдении бозе-конденсации2. Позднее в том же году третья группа сообщила о наблюдении бозе-конденсации в парах лития [12). Атомы щелочных металлов обладают магнитным моментом, благодаря этому их можно удерживать в магнитных ловушках. Заполнение ловушек газом осуществляется с помощью последовательного применения нескольких методов лазерного охлаждения.
К настоящему времени экспериментальная техника шагнула далеко вперед. Существенно увеличилось количество элементов, с которыми удалось достичь бозе-конденсации. В 1998г. к первым трем элементам прибавился атомарный водород (13|, в 2001г. - калий [14] и мстастабиль-ный гелий [15], в 2003г. - цезий |16] и иттербий [17| и, наконец, в 2007г. -хром [18]. Каждое из веществ обладает своими особенностями. В литии осуществляется эффективное притяжение между атомами, в отличие от остальных элементов. Кроме того, у лития и калия удалось сконденсировать как бозе, так и фермиоиный изотопы. Водород ввиду своей простоты позволяет выполнить точный расчет величины взаимодействия между частицами. Атомы хрома обладают очень большим магнитным моментом, что приводит к сильному дальнодсйствующему диполь-диполыюму
2В 2001г. руководители этих групп Корпел, Биман и Келерле полумили Нобелевскую премию по фшшке.
4
взаимодействию и, как следствие, к анизотропии конденсата.
Широкие экспериментальные возможности дает наличие резонанса Фешбаха. Благодаря этому явлению с помощью внешнего магнитного поля можно управлять длиной рассеяния атомов, и, следовательно, величиной их взаимодействия. Много интересных экспериментов основано на этом эффекте. Например, коллапс ВЭК при смене эффективного отталкивания на притяжение, образование молекулярных конденсатов и многое другое (см., напр., обзор [19] и ссылки в нем). Были получены многокомпонентные конденсаты — бозе-конденсаты из смесей различных атомов и так называемые “снииориые” бозе-конденсаты. С) них речь пойдет в третьей главе диссертации.
Большое количество как экспериментальных, так и теоретических работ посвящено динамическим свойствам ВЭК. В частности, первая регистрация бозе-конденсации атомов в магнитной ловушке осуществлялась по наблюдению скорости разлета газа при отключении ловушки [20]. После уменьшения температуры ниже некоторой критической наблюдался острый пик в распределении атомов по скоростям, что и явилось доказательством бозе-конденсации атомов. Теория среднего поля и уравнение Гросса-Питаевского показали хорошую применимость при описании динамики БЭК. Интерес к таким системам вызван тем, что элементарные возбуждения являются коллективными и не могут быть отождествлены с отдельными атомами. В бозе-конденсате такими возбуждениями являются фононы и квантовые вихри. Основными “игроками”, формирующими динамические свойства конденсата, являются дисперсия и нелинейность (по нелинейным волнам в бозе-эйшптейповском конденсате смоч'-рите подробный обзор [21)). Благодаря их наличию, в БЭК наблюдаются светлые солитоны в конденсате с притяжением и темные солитоны в конденсате атомов с отталкиванием. Последние, будучи устойчивыми в одномерном случае, в двумерном конденсате в ловушке распадаются на вихри [8|. Вызывает интерес поиск условий, при которых темный со-литон становится устойчивым [29,30]. Кроме того, наблюдались вихри
5
и вихревые решетки во вращающемся конденсате. Были исследованы дисперсионные ударные волны, возникающие при “ударе” по конденсату лазерным лучом или при создании в облаке конденсата областей повышенной плотности.
В ряде теоретических и экспериментальных работ изучался процесс обтекания бозе-эйнштейновским конденсатом препятствия. Эта тема интересна в связи с вопросом о нарушении сверхтекучести при больших скоростях течения (более подробный обзор по этим рабо там дан в разделе 2 главы 1). В одном из экспериментов [22] бозе-кондепсат выпускался из магнитной ловушки, а перпендикулярно его движению направлялся лазерный луч, выталкивающий атомы конденсата. Скорость течения достигала сверхзвуковых величин, что приводило к нарушению сверхтекучести. В результате за препятствием возникала область тени, снаружи которой наблюдались волновые структуры. Эксперименты проводились для разных форм и размеров препятствия и различных скоростей обтекания, что приводило к изменению волновой картины и возникновению вихрей. Численный счет и предварительный анализ |23.24] показали, что в двумерном случае волновую картину можно разделить на две области. В одной достаточно далеко от препятствия находятся малоамплитудные волны, описываемые линейной теорией. В другой — нелинейные структуры: темные еолитоны и вихри. Профили темных солитонов были описаны аналитически в работе [23] для случая однородного распределения плотности в конденсате. Для того, чтобы получить полную волновую картину, необходимо построить профили линейных волн и определить область их существования. В реальном эксперименте течение бозе-газа, выпущенного из ловушки, не является равномерным, а распределение плотности конденсата не однородно. Однако, численный счет показал, что неоднородность не приводит к качественному изменению возникающей волновой картины. Поэтому, для общего понимания возникающих волновых процессов, достаточно рассмотреть равномерное течение однородного бозе-газа.
(5
Итак, сформулируем первую задачу диссертации: построение картины линейных волн, возникающих при сверхзвуковом обтекании однородным бозе-эйнштейновским конденсатом препятствия.
Как известно, двумерные темные солитоны неустойчивы относительно распада на вихри (см. классические работы [27, 28) и большой обзор )2б|). Исследованию их устойчивости посвящено большое количество работ. Предложено несколько способов стабилизации солитонов, в том числе стабилизация темного солитопа в ловушке, введение дальнодей-ствующих дииольных взаимодействий в конденсате [29] и другие. В работе [30) было показано, что при наличии течения вдоль соли гона малоамплитудные неустойчивости могут сносится течением до того, как они перейдут в нелинейную стадию и вызовут распад солитопа. В результате неустойчивость становится конвективной (о конвективной неустойчивости смотрите, например, [31)) и солитоны будут доступны для наблюдения. Но в описанном выше эксперименте темные солитоны не наблюдались - в области, где должны находиться темные солитоны и вихревые структуры, возникает область тени. Эго может быть связано с большим размером препятствия и тем, что конденсат не успевает затечь за препятствие.
Так как наблюдение темных солитонов обтекания в бозе-эйпштейновском конденсате столкнулось с трудностями, возможно, этих трудностей удастся избежать в оптике. Распространение пучков света в средах с зависящим от интенсивности показателем преломления в параксиальном приближении описывается нелинейным уравнением Шредингера [32], которое совпадает с уравнением Гросса-Питаевского. Благодаря этому в оптике возможно наблюдение тех же волновых структур, что и в бозе-эйнштейновском конденсате. Конденсату с отталкивающим взаимодействием между атомами соответствует отрицательная нелинейная добавка к показателю преломления. Такая нелинейность может осуществляться в средах с тепловой нелинейностью,
7
- Київ+380960830922