2
Оглавление
1 ВВЕДЕНИЕ 3
1.1 Случайные матрицы в теории квантового хаотического рассеяния ... 3
1.2 Краткая характеристика задач, рассмотренных в диссертации.......20
2 СПЕКТРАЛЬНАЯ СТАТИСТИКА ДЛЯ НЕЭРМИТОВЫХ ДЕФОРМАЦИЙ
АНСАМБЛЕЙ СЛУЧАЙНЫХ МАТРИЦ 27
2.1 Метод суперсимметрии для деформации ансамбля GOE. Плотность собственных значений для GOE 4 if и
GOE 4 А.........................................................27
2.2 Результаты для спектральной статистики слабых деформаций ансамбля GOE: G0E4îT, G0E4A.....................................37
2.3 Спектральные корреляционные функции любых порядков для деформации класса GUE: GUE+tT.................................. 45
3 ЗАДАЧИ АНДЕРСОНОВСКОЙ ЛОКАЛИЗАЦИИ 52
3.1 Рассеяние на одномерной неупорядоченной системе:
времена задержки и резонансы................................... 52
3.2 Параметрическая статистика уровней в пределе сильной локализации: аналитический подход...................................... 65
4 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 81
5 ПРИЛОЖЕНИЯ 82
3
1 ВВЕДЕНИЕ
1.1 Случайные матрицы в теории квантового хаотического рассеяния
Значительная часть этой диссертации посвящена теории квантового хаотического рассеяния. Попробуем кратко изложить здесь основы этой теории. Представим себе, что мы имеем дело с упругим рассеянием квантовой частицы (волны) на некотором сложном объекте. Что значит сложном? Это значит, что наша частица (волна) в процессе рассеяния проходит через огромное число метастабильных состояний, полностью теряя при этом информацию о своем первоначальном состоянии. Единственной сохраняющейся величиной в процессе рассеяния является энергия или, другими словами, энергия является единственным квантовым числом, которым мы можем ’’пометить” частицу.
Теперь представим себе, что мы рассеиваем на одном и том же сложном объекте две частицы с очень близкими, но все-таки различными энергиями. В силу сложности рассеивателя, последовательность и число промежуточных метастабильных состояний, через которые прошли частицы будут сильно отличаться для каждой из них. Например, если мы будем изучать такую величину как время задержки, т.е. время в течении которого частица с энергией Е находилась внутри рассеивателя, мы обнаружим крайне нерегулярную зависимость этого времени от энергии. То же самое можно сказать и о ширине резонансов, отвечающих рассеянию с разной энергией. Более того, эти и другие характеристики будут демонстрировать подобную нерегулярную зависимость и от любых малых изменений параметров рассеивателя, например, небольших изменений в силе и форме рассеивающего потенциала, силы внешнего магнитного поля и т.д.
Теоретическое описание такого, хаотического, рассеяния производится статистическими методами, т.е. основным объектом теории являются функции распределения и корреляционные функции. Важное свойство таких статистических характеристик состоит в их универсальности, т.е. независимости от деталей системы. Единственным условием для наблюдения такой универсальности является хаотичность рассеяния, другими словами, полная потеря информации о начальном состоянии в процессе рассеяния. При этом условии все статистическим характеристики рассеяния универсальны на микроскопическом (локальном) масштабе энергий: 6Е ~ Л(£), где Л(Е) -среднее расстояние между уровнями (метастабильными состояниями) в рассеивателе вблизи энергии Е.
4
Несмотря на такое абстрактное определение, квантовое хаотическое рассеяние действительно реализуется экспериментально [1]—[8] в различных областях физики (достаточно отметить рассеяние на ядрах и атомах, фотодиссоциацию молекул, рассеяние на мезоскопических образцах и микроволновое рассеяние в полостях нерегулярной формы). Недавно были предложены новые реалистические, экспериментально проверяемые модели хаотического рассеяния [9]. Возможность вычисления универсальных характеристик такого рассеяния из теории случайных матриц, основы которой были заложены Вигнером и Дайсоном [10, 11), явилась ключевой для создания адекватного теоретического аппарата. В целом этой теме было посвящено огромное количество работ (см. обзоры (12, 13, 14, 15, 16, 17, 18] и ссылки в них).
Обсудим несколько подробнее две характерных модели хаотического рассеивателя, символически изображенные на рисунке 1. Это модель ’’хаотического бильярда” (баллистической микроструктуры сложной формы) рис.1(а) и модель неупорядоченной системы рис.1(Ь). С этими моделями связаны два разных подхода к рассмотрению квантовых хаотических систем вообще и рассеяния на них в частности.
В модели (а), ’’хаотичность” возникает как следствие сложной формы стенок бильярда. Теоретический анализ открытых и замкнутых квантовых систем такого типа опирается на квазиклассический подход, который использует истинный микро скопический гамильтониан и позволяет учесть некоторые специфические (неуниверсальные черты) каждой системы. Этот метод, известный в литературе как ’’теория периодических орбит”, позволяет выразить статистические спектральные свойства обычных хаотических систем в терминах бесконечных сумм по классическим периодическим траекториям [19). В этом случае статистические характеристики обычно усредняются по некоторому интервалу энергий или слабым вариациям внешних параметров. Этот подход оказался успешным в описании спектральнах корреляций на больших энергетических масштабах, тогда как его применимость для описания универсального долговременного поведения оказалось весьма ограниченной.
Модель (Ь) является стохастической. В нее изначально заложено представление о примесях (кружочках на 1(Ь)), которые случайно располагаются но образц> в каждой реализации. В отличие от модели (а), усреднение по некоторому интервалу энергий заменяется здесь усреднением по реализациям системы (по беспорядку). Заметим, что модель (Ь) явно богаче, хотя бы потому, что она содержит дополнительный параметр - концетрацию примесей, или локализационную длину £. Тем не менее, в диффузионном режиме, когда Ь £ (где /, характерный размер системы), универ-
5
У
(а)
(Ь)
Рисунок 1: Два характерных типа хаотических систем как примеры хаотического рассеивателя, (а) Хаотический бильярд или полость нерегулярной формы. Квантовый хаос возникает как следствие классического. (Ь) Стохастическая система или система с примесями (кружочки). Рассматривается ансамбль, в котором примеси располагаются случайно и независимо в каждой реализации. Возникает понятие длины локализации.
сальные характеристики рассеяния в модели (Ь) совпадают с таковыми в модели (а). (Тот факт, что усреднение по интервалу энергий в (а) и по реализациям в (Ь) даст один и тот же результат является, помимо всего прочего, следствием эргодичности классических аналогов этих систем). Адекватное теоретическое описание взаимодействующих диффузионных мод в замкнутом аналоге модели (Ь) было дано Ефетовым в классической работе [18] с помощью отображения этой задачи на суперсимметричную <7- модель. Им было установлено, что спектральные корреляционные функции, вычисленные в приближении нулевых мод в замкнутом варианте модели (Ь), совпадают с корреляционными функциями, полученными Вигнером при рассмотрении ансамблей случайных матриц. Подобный факт для замкнутого аналога модели (а) был лишь недавно установлен теоретически (20, 21].
Большинство замкнутых квантовых хаотических систем обладают универсальными спектральными свойствами на энергетических интервалах 5Е, таких, что:
где Ес = й/те - так называемая энергия Таулесса. В замкнутом аналоге модели (а) (волновод отсоединен от полости) тс ~ характерное время релаксации, за которое классическая траектория заполнит доступный фазовый объем. Действительно, на временах меньших, чем тс (или энергиях больших, чем Ес) присутствует неуниверсальный вклад от периодических траекторий. Аналогично, в модели (Ь), тг = I2 / О
Д «: 8Е < Ес,
(і)
б
(О означает коэффициент диффузии) - характерное время диффузии сквозь образец. В обоих случаях время те является классической величиной. Хаотическая классическая динамика проявляется при квантовании на корреляционных свойствах уровней энергии, лежащих в коазиклассической области. Такие корреляционные свойства, например отталкивание уровней, являются универсальными и не зависят от деталей системы.
Для изучения универсальных спектральных характеристик замкнутых квантовых хаотических систем, можно использовать ансамбли больших гауссовых случайных матриц размером N х ДО, характеризуемых следующей плотностью вероятности:
Р(Я) = с<ГатТгйг\ (2)
(с - нормировочная постоянная). В формуле (2), матрицы II - вещественные симметричные ((3 = 1, гауссов ортогональный ансамбль: СОЕ) или эрмитовы (/? = 2, гауссов унитарный ансамбль: виЕ). Ансамбли с /? = 1 (/? = 2) служат для описания спектральных характеристик замкнугпых хаотических систем с ненарушенной (нарушенной, в том числе магнитным полем) симметрией по отношению к обращению времени. Симплектический ансамбль С5Е, соответствующий (3 = 4, применяется для описания систем с ненарушенной Т - инвариантностью и достаточно сильным спин-орбитальным взаимодействием. Ансамбль состоит из симилектических матриц, элементами которых являются вещественные кватернионы; он не будет использоваться в диссертации.
Свойства этих ансамблей давно изучены. Плотность вероятности (2) определена таким образом, что в пределе ДО —>■ оо собственные значения матриц Н сосредоточены на отрезке (-2, 2). Средняя плотность собственных значений и этом пределе
представляет собой полукруг:
"«(Я) = <1 ТгЦВ - Я)> = (3)
где угловые скобки означают усреднение по ансамблю.
Таким образом, среднее расстояние между уровнями А(Е’) = (ДО^С)-1 обратно пропорционально размеру матрицы. В диапазоне энергий Д(Е) «; 5Е < 1 спектральные свойства ансамблей случайных матриц полностью эквивалентны спектральным свойствам замкнутых аналогов моделей (а), (Ь) в универсальном режиме (1).
В действительности, выбор ансамблей с гауссовым распределением элементов (2) является в большой степени условным. Дело в том, что спектральные корреляции в ансамбле больших матриц // размера Л' х /V в пределе N —> оо практически не
7
зависят от распределения матричных элементов Яу. Играет роль только общая симметрия матрицы Я. (Нечто подобное происходит и при суммировании большого числа случайных величин. Из центральной предельной теоремы нам известно, что, при достаточно общих условиях, такая сумма имеет гауссовское распределение).
Б вычислениях следующею раздела мы будем использовать более общие ансамбли разреженных случайных матриц, чьи независимые элементы подчиняются функции распределения:
Г(х) = (1 - £) *(,) + £*(*), (4)
где /г(х)~ произвольная симметричная функция распределения, /г(—т) = /&(х), не имеющая дельта- функционной сингулярности в х = 0 и удовлетворяющая условию ] х2Цх) (1х < оо. Дополнительным ограпичепием на параметр р является р > р/, где рг некоторое пороговое значение. (Строго говоря, корреляционные функции собственных значений разреженных случайных матриц идентичны корреляционным функциям для соответствующих гауссов!,IX ансамблей при условии, что среднее число отличных от нуля матричных элементов в каждой строке р не превышает критического значения р = р/. Пороговая величина р*- неуниверсальна. Однако, результаты численною моделирования [22] показывают, что 1 < р/ < 2. Таким образом, наличие уже двух ненулевых элементов в каждой строке матрицы приводит к тому, что соответствующая спектральная статистика принадлежит тому же классу универсальности, что и у гауссовых ансамблей).
Тому же классу универсальности принадлежат матрицы, чьи элементы распределены с плотностью
Р(Н) = ссхр[-/? Тг V(Лг)], (5)
где функция У инвариантна при ортогональных (0 = 1) или унитарных (0 = 2) вращениях матрицы Н -> 0Й0~1 (однако, функции У (И) растущие медленнее, чем
А А
степень, например, У(И) = 1п Я2, составляют исключение и соответствующие ансамбли принадлежат другому классу универсальности [23]). Рассмотрим более подробно спектральные корреляции в таких ансамблях. Пусть {Хп} - представляет собой набор собственных значений матрицы //, а 0 является унитарной матрицей собственных векторов, такой, что Н = 0(Нау(Х1, Х2,... Хк)0+. Поскольку Тг У(II) = У(Хп), плотность вероятности (5) не зависит от собственных векторов! Э го означает, в частности, что матрицы 0 - равномерно распределены по унитарной {0 = 2) или ортогональной (в = 1) группе. Чтобы найти распределение Р({Хп}), необходимо вычислить якобиан 3, который связывает бесконечно малый элемент объема с1р(Н) в пространстве эрмитовых матриц с соответствующими эле-
8
ментами обьема d^(U), dXn в пространстве собственных векторов и собственных значений,
<^(Я) = Jd^U)f\dXi. (6)
i-1
Этот якобиан зависит только от собственных значений [24],
■/({*,}) = П1*-*/- (?)
i<i
Следовательно, плотность вероятности (5) может быть записана эквивалентным образом как ^
VN(XUX2,...А'Л-) = сП I*. - А'/ Пexp[-0V(Xk)}. (8)
i<j A=1
Последнее выражение имеет форму распределения Гиббса, известного из статисти-
ческои механики,
VN(XuX2y...XN) = с exp
где
-/?(Х>(АГ,-,;»0) + £К(Х,) *<> *
(9)
u(X,X/) = -ln|X-X'|. (10)
Индекс симметрии ß играет роль обратной температуры. Можно представить собственные значения как классические частицы, расположенные на прямой линии в точках Х\. Х-2,... Хм. Такие частицы отталкиваются друг от друга благодаря логарифмическому парному взаимодействию (10). Система таких частиц представляет собой своего рода ’’кулоновский газ” потому, что логарифмическое отталкивание соответствует кулоновскому взаимодействию между двумя параллельными линиями зарядов. Вся система целиком удерживается в некотором конечном интервале благодаря потенциалу V. Для гауссовских ансамблей V соответствует параболической потенциальной яме. Понятно, что форма этой ямы сама по себе не может повлиять на корреляции между положениями частиц, по крайней мере, если стенки ямы достаточно круты {V растет степенным образом). Такие корреляции определяются исключительно парным взаимодействием и, которое имеет геометрическую природу. В такой, геометрической, природе спектральных корреляций кроется ключ к пониманию универсальности спектральных характеристик для разных ансамблей случайных матриц.
Рассмотрим теперь несколько подробнее унитарно инвариантный ансамбль (ß = 2). В этом случае выражение на совместную плотность вероятности (8) имеет вид:
Vn(XuX2,...Xn) = сЦ \Хк - А',|2 п М*;)12 (П)
k>i ;= 1
- Київ+380960830922