2
ч
V
Оглавление
1 Введение 4
1.1 Эффективные модели КХД.................................. 4
1.2 Методы численных расчетов.............................. 10
1.3 Список опубликованных работ............................. И
2 Трёхмерная модель Гросса-Невё с нарушеннием лоренц-инвариантности
2.1 Возможность нарушения лоренц-инвариантности и ее проявления 12
2.2 Исследуемая модель..................................... 19
2.3 Эффективный потенциал модели Ус^ ...................... 22
2.3.1 Вычисление УС(у в случае действительного £.. 23
2.3.2 Вычисление Уе1Т в случае мнимого Ь.............. 24
2.4 Уравнение щели в трехмерной модели..................... 27
2.4.1 Уравнение щели в случае действительного В .... 27
2.4.2 Уравнение щели в случае мнимого Ь............... 29
2.5 Заключение............................................. 34
3 Размерная редукция модели Гросса-Невё 36
3.1 Двумерная модель Гросса-Невё .......................... 36
3.1.1 Лоренц-инвариантная модель....................... 37
3.1.2 Модель с нарушением лоренц-инвариантности ... 38
3.2 Размерная редукция..................................... 41
3.2.1 Размерная редукция лоренц-инвариантной модели . 42
Оглавление 3
3.2.2 Размерная редукция модели с нарушением лоренц-
инвариантности..................................... 43
3.3 Заключение............................................... 48
4 Волны киральной и пионной плотности в плотной кварковой среде 49
4.1 Исследуемая модель....................................... 49
4.2 Волны киральной плотности................................ 52
4.2.1 Термодинамический потенциал модели ................. 52
4.2.2 Однородный киральный конденсат, Ь = 0............... 54
4.2.3 Неоднородный киральный конденсат, Ь Ф 0............. 57
4.2.4 Киральные волны плотности при ненулевой температуре .................................................. 61
4.3 Волны пионной плотности.................................. 64
4.3.1 Термодинамический потенциал модели ................. 64
4.3.2 Фазовая структура модели ........................... 69
4.4 Заключение............................................... 72
5 Заключение 73
Приложения 77
А Дополнение к главе 2 77
А.1 Разделение интеграла 1г на мнимую и действительную части 77
А.2 Разделение интеграла 7 на мнимую и действительную части 78
A.З Анализ уравнения щели при мнимом В и т Ф 0............. 79
В Дополнение к главе 3 84
оо
B.1 Вычисление ряда вида £ 84
П=-оо
B.2 Удобное представление величины У......................... 85
С Дополнение к главе 4 87
C.1 Решение уравнения четвертой степени...................... 87
ч
Глава 1 Введение
1.1 Эффективные модели КХД
Свойства основной модели, описывающей сильные взаимодействия -квантовой хромодинимики (КХД) при конечной температуре и плотности представляют большой интерес и активно изучались последние 25-30 лет. Как известно, КХД обладает асимптотической свободой, т.е. константа связи в модели увеличивается с уменьшением энергии (cxqcd ~ Hp/^qcd)■ где ^QCD ~ MeV), поэтому при низких энергиях рассмотре-
ние данной модели в рамках теории возмущений становится невозможным, и для изучения свойств сильного взаимодействия в этом случае требуются неперертурбативные методы или моделирование поведения спиноров на решетке, что связано с трудностями при изучении кварковой среды с ненулевой плотностью. Упомянутая величина \qcd является естественным масштабом энергии в теории сильного взаимодействия, разделяющим два режима, в котором может находиться кварковая среда: при температурах, значительно превосходящих этот масштаб, она состоит из отдельных частиц - кварков и глюонов (кварк-глюонная плазма), при температурах, значительно меньше него, - связи между кварками становятся настолько сильными, что они конденсируются, образуя мезоны и барионы (преимущественно пионы).
Интерес к изучению фаз кварковой материи является не только теоретическим, но также подогревается ожиданием новых экспериментальных
Введение
5
данных, в частности, ожидаемыми экспериментами но столкновению тяжелых ионов, где барионная материя несимметрична по изоспину, т.е. плотность протонов и нейтронов в среде различна, а также изучением строения компактных звезд, где плотная кварковая среда также может обладать изоспиновой асимметрией. Подробнее о последствиях изоспи-новой асимметрии в этих приложениях можно прочесть, например, в [1].
Лагранжиан КХД имеет вид:
■Сосо = ГНУЭ1;!1 - т5аР)Г - 1/^ (1.1)
где
О, = д„ + 18всоА;та,
= д,А“ - дуА; + 18йСоГЬсАь1Асу. (1.2)
Здесь а = 1,3- цветовые индексы кварков а = 1,8- цветовые индексы глюонов, Та - генераторы группы 5 С/(3). Константа связи g^cD не имеет размерности, и появление в модели параметра А^со, имеющего размерность массы и возникающего при рассмотрении перенормировки в КХД, носит название размерной трансмутации.
В пределе, когда массами кварков можно пренебречь, лагранжиан КХД обладает киральиой симметрией, т.е. симметрией относительно группы 5С/(2)л <8> 5 и(2)1 (преобразование спиноров имеет вид —> сояфя, Фь ыьфи гДе принадлежат алгебрам соответствующих групп).
Предполагается, что эта симметрия может динамически нарушаться до диагональной подгруппы 5Ц(2)у, и при этом голдстоуновские бозоны, возникающие при этом нарушении (их число равно разнице количества генераторов исходной и остаточной групп симметрии, в данном случае -3), отождествляются с наблюдаемыми пионами.
Эффективные модели, описывающие свойства кварковой среды, должны, очевидно, учитывать свойства асимптотической свободы и возможность динамического нарушения киральиой симметрии для того, чтобы в каком-то пределе иметь те же свойства, что и исходная модель - КХД.
Введение
б
Исторически одной из первых таких моделей была модель Тирринга ( [3]), описывающая дираковские фермионы в (1+1)-мерном пространстве, которые могут взаимодействовать посредством четырехфермион-ного вектор-векторного взаимодействия:
А™ = |Г = ФГФ- (1.3)
Четырехфермионное взаимодействие кварков означает, что между кварками действуют силы притяжения, и основная идея введения такого типа взаимодействия заключается в том, что эти силы могут дестабилизировать вакуум и привести к нарушению киралыюй симметрии. Данная модель привлекательна тем, что здесь действительно происходит динамическое нарушение киралыюй симметрии, а также тем, что в случае нулевой массы и только одного поколения (аромата) спиноров она разрешима, но при введении массы или ароматов это свойство теряется.
Еще одной из пионерских работ в этой области была работа Швинге-ра ( [4]), в которой была введена модель, представляющая собой (1+1)-мерную электродинамику с безмассовыми фермионами (что сохраняет киральную симметрию в исходной модели). Данная модель также является разрешимой, кроме того, она описывает конфайнмент кварков. Швингер получил спектр калибровочного поля в данной модели, и оказалось, что калибровочное поле динамически приобретает массу т = е/ л/л. Данная модель эквивалентна модели с массивным скалярным полем, масса которого совпадает с массой калибровочного поля, образующейся динамически. Возможность представить модель в виде эквивалентной модели, описывающей динамику бозонных полей вместо исходных нолей теории известна как бозонизация. Модель Тирринга, упомянутая выше, также может быть сведена к эквивалентной модели при помощи бозонизации - это будет модель синус-Гордона с лагранжианом вида
£ =■ ^дмф&ф + ^2 со%РФ, (1.4)
где риф - параметры, зависящие от массы и константы связи модели.
Введение
7
В дальнейшем в данной работе тема бозонизации будет раскрыта более полно, но для еще более полного обзора по теме бозонизации для моделей Тирринга и Швингера можно порекомендовать, например, обзор [5).
Следующим шагом в разработке моделей, описывающих кварковую среду, была работа Т’Хоофта ( [6]), где впервые было введено понятие 1//^-разложения. В своей работе ТХоофт, исследуя лагранжиан КХД с цветовой группой симметрии SU(NC), показал, что в пределе большого числа цветов и малой константы связи
Nc -» 00, g-*0, Ncg2 = go = const, (1.5)
лидирующий вклад в амплитуду процесса рассеяния дают планарные диаграммы, не имеющие внутренних фермионных петель и нетривиальную топологию (т.е. не имеющие ручек). Неабелевы модели сильного взаимодействия, аналогичные КХД, но с симметрией SU(NC) являются достаточно сложными для исследования даже в пределе Nc —> оо. Однако есть более простые для исследования модели, которые, как и модель Тирринга, являются моделями четырехфермионного точечного взаимодействия: модель Гросса-Невё ( [7]) и модель Намбу-Йона-Лазинио ([8j), которые в данный момент являются одними из наиболее популярных для исследования приближенными моделями КХД и исследованию которых посвящена данная работа. В общем виде лагранжианы этих двух моделей можно записать в следующем виде:
G
&GN.NJL = iA(<Y3„ - то)ф + — [{фф)2 + Л(|Aiyfy)2], (1-6)
[У с
где при то = О, Л = 0 лагранжиан сводится к лагранжиану в модели Гросса-Невё, при то = О, Л = 1 - к модели Намбу-Йона-Лазинио.
Модель Намбу-Йона-Лазинио (НЙЛ) была предложена еще до создания квантовой хромодинамики. В своей статье авторы модели рассматривали возможность возникновения массы у нуклонов за счет динамического нарушения киральной симметрии, и образования пионов как связанных состояний двух нуклонов. Хотя во времена создания данной модели
- Київ+380960830922