Содержание
I Введение. 4
II Используемые модели и численные методы. 6
I Модель Изинга без примесей: критическое поведение и теория подобия. 6
II Модель Изинга с немагнитными примесями. 10
III Численные методы для модели Изинга. 13
III Распределение числа связей между занятыми узлами. 20
IV Распределение числа связей между занятыми узлами в зависимости от способа создания образца. 20
V Вывод характеристик распределения числа связей. 22
А Одномерный случай, способ s.................................. 22
Б Одномерный случай, способ р.................................. 26
В d-мерный случай, способ р.................................... 30
Г d-мерный случай, способ s .'................................. 41
VI Распределение энергии для модели Изинга при нулевой температуре. 43
VII Анализ эффективности способов формирования образцов. 46
А Сравнение дисперсий термодинамических величин для разных способов распределения примесей........................\............. 46
1
В Сравнение нормированной дисперсии термодинамических величин для
разных способов распределения примесей............................ 48
VIII Самоусреднение в моделях с примесями. 52
А Критерий возможности самоусреднения в моделях с примесями........... 52
Б Численная проверка наличия самоусреднения для модели перколяции
ио узлам и связям................................................. 57
IV Модель Изинга с немагнитными примесями. 60
IX Теплоемкость модели Изинга с немагнитными примесями. 60
X Магнитная восприимчивость модели Изинга с немагнитными примесями: исследование класса универсальности. 64
А Новый метод определения критической температуры..................... 64
1 Критическое поведение магнитной восприимчивости модели Изинга
с немагнитными примесями....................................... 64
2 Анализ существующих методов определения критической температуры.............................................................. 69
3 Новый метод определения критической температуры................. 70
Б Систематические и статистические погрешности нового метода определения критической температуры...................................... 73
1 Чувствительность к погрешностям при аппроксимации для нового метода............................................................ 73
2 Статистические погрешности...................................... 75
В Результаты обработки численных данных............................... 78
Г Обсуждение полученных результатов для критических амплитуд магнитной восприимчивости модели Изинга с немагнитными примесями. 82
2
XI Модель, иллюстрирующая разницу между способами усреднения
результатов вычислений. 86
V Скейлинг функций протекания в окрестностях критической точки. 89
XII Перколяционные функции в перколяции. 89
А Перколяционные функции - вероятности протекания.................. 89
Б Перколяция по узлам.............................................. 90
В Перколяция по связям............................................. 95
Г Смешанная перколяция по узлам и связям........................... 96
Д Скейлинг функций протекания для перколяции....................... 97
XIII Перколяционные функции в модели Поттса. 99
А Модель Поттса и ее отображение на смешанную перколяцию по узлам
и связям......................................................... 99
Б Функции протекания для модели Поттса.............................101
XIV Численное исследование перколяционных функций для 2с1 модели
Поттса. 102
А Детали счета и аппроксимации.....................................102
Б Анализ полученных результатов....................................106
. В Моменты функций протекания.......................................114
Г Одновременное существование более одного кластера................116
XV Трехмерная перколяция. 119
XVI Модель Изинга с примесями. 121
3
Часть I
Введение.
Произошедший в последние годы прогресс в области разработки и производства компьютеров привел к повышению активности в различных областях моделирования физических систем. Возросшие вычислительные мощности сделали возможными исследования систем с большим числом степеней свободы. Основные направления моделирования заключаются в проверке выдвинутых предположений и теорий, а также в поиске и обнаружении новых закономерностей, которые могут послужить толчком для дальнейших исследований. Кроме того, некоторые функциональные зависимости, например вероятность протекания в задаче перколяции, до сих пор не известны аналитически и исследуются исключительно численными методами.
Основные направления в области теории фазовых переходов на сегодня заключаются в исследовании влияния немагнитных и антиферромагнитных примесей, более точном определении критических точек, определении критических индексов. В работе представлены результаты численного исследования примесных спиновых систем, а также рассмотрены некоторые аспекты методики обработки результатов и анализа численных данных.
План диссертации следующий: во второй части делается обзор основных результатов теории фазовых переходов применительно к модели Изинга. Приводится описание алгоритмов Свендсена-Ванга и Вольфа для численного исследования примесных моделей, а также их программной реализации.
В третьей части исследуются флуктуации числа ферромагнитных связей в зависимости от способа распределения примесей на решетке. Аналитически получены выражения для среднего числа и дисперсии числа связей на гиперкубической решетке в произвольной размерности с/ для ” канонического” и ” большого канонического” спосо-5ов распределения примесей. Численно исследована зависимость флуктуации термоди-
4
намических величин от способа распределения примесей при усреднении по различным конфигурациям примесей на решетке. Предложен способ выбора конфигураций примесей, уменьшающий эти флуктуации. Рассмотрен критерий наличия самоусреднения в примесных моделях при усреднении по реализациям примесей. Численно продемонстрировано, что двумерная перколяция по узлам и связям, где связи играют роль примесей, а узлы играют роль базового термодинамического ансамбля, может служить примером модели с самоусреднением.
В четвертой части представлены результаты численного исследования двумерной модели Изинга с немагнитными примесями. Показано, что при значительных q = 0.25 - 0.30 концентрациях немагнитных примесей критический пик теплоемкости становится различимым на фоне некритического максимума при размерах решетки Ь > 128. Даже при таких концентрациях примесей выполняется предсказанная теоретически двойная логарифмическая зависимость теплоемкости от размера решетки в критической точке С ~ к^(к^(£)). В этом же разделе представлены результаты численного исследования критического поведения магнитной восприимчивости. Проведено моделирование методом Монте-Карло магнитной восприимчивости на решетке Ь — 256 при концентрациях примесей = 0,0.03,0.07,0.1,0.15,0.18.0.20,0.22,0.25. Для каждой концентрации примесей вычисления проводились для 10-20 реализаций примесей на решетке. Предложен способ определения критической температуры по численным данным, пригодный для определения псевдокритнческой температуры отдельной реализации примесей на решетке. Аналитически изучена чувствительность данного способа к точности аппроксимации. При помощи данного способа из численных данных извлечены значения эффективного критического индекса, критических амплитуд и их отношения. Показано, что хотя на данном интервале примесей сами амплитуды меняются более чем в три раза, их отношение остается константой в пределах статистической погрешности. Это может служить свидетельством того, что при этих концентрациях примесей класс универсальности модели Изинга не меняется, а изменение эффективных критических индексов обусловлено наличием логарифмических по приведенной температуре
5
поправок к термодинамическим величинам.
В пятой части приведены результаты численного исследования вероятности протекания для модели Поттса с различными значениями <7. На основе отображения задачи коррелированной перколяции но узлам и связям на модель Поттса, сделанного Фортуи-ном и Кастеляйном, сделано обобщение определения вероятности протекания в задаче перколяции на модель Поттса. Численно исследован скейлинг функций протекания в окрестностях критической точки. Показано, что функции протекания для моделей с фазовым переходом второго рода могут быть использованы для численного определения критического индекса корреляционной длины и и определения положения критической точки, что продемонстрировано на примере двумерной модели Изинга и трехмерной задаче перколяции по узлам на кубической решетке.
Часть II
Используемые модели и численные методы.
I. МОДЕЛЬ ИЗИНГА БЕЗ ПРИМЕСЕЙ: КРИТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ И
ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ.
В этом разделе сделан краткий обзор основных результатов теории фазовых переходов второго рода на примере критического поведения модели Изинга.
Особенностью фазовых переходов второго рода является сингулярное поведение некоторых термодинамических величин в окрестностях критической точки Тс. Обычно
б
при описании критических явлений пользуются приведенной температурой Т =
С(г)~
Л'(-т)-*', т < О Лт”в, т > О
, , г < о
£ *
■ Сот-", г > О
Показатели степени получили название критических индексов, а предстененные множители - критических амплитуд.
Суть теории подобия сводится к тому, что в окрестностях критической точки для системы с линейным размером Ь критическое поведение всех термодинамических величин может быть выражено через универсальные функции двух аргументов - приведенной температуры т и внешнего поля Я. Например
?(г) = ЬХ (тЬ1,НЬ$) + ...
Х(т) = £*<Э
Гипотеза подобия приводит к так называемым скейлинговым соотношениям [1], определяющим связь между критическими индексами. Некоторые из скейлинговых соотношений приведены ниже.
Из гипотезы подобия также следуют скейлинговые соотношения для амплитуд.
А'
— = const
А
Г'
— = const
Задача о термодинамических свойствах модели Изинга на квадратной решетке была аналитически решена Онсагером [2]. Вблизи критической точки Тс = [с?( =
2.26918531... термодинамические величины проявляют сингулярное поведение. Критическое поведение магнитной восприимчивости х аналитически исследовано в работе Мак-Коя и By [3]. Полученные в этой работе точные значения критических амплитуд и разложение х по т будет нами использовано в дальнейшем.
Критерий Харриса [4j ответил на принципиальный вопрос о смене критического поведения при введении небольшого количества неподвижных (” вмороженных”) примесей. Его аргументация следующая. Введем в систему, которая испытывает непрерывный фазовый переход (фазовый переход второго рода) при температуре Тс, примеси с некоторой концентрацией q. Тогда, в общем случае, критическая температура станет функцией концентрации примесей Tc(q) и расходимость корреляционной длины £ будет описываться критическим индексом i/(q), также зависящим от q
= (лг)-‘/(’’) (1)
Мы сделали два предположения. Первое, что малая концентрация примесей q << 1 не разрушает фазовый переход. И, второе, что критический индекс v(q) есть гладкая функция концентрации q и что существует предел этой функции при концентрации примесей, стремящейся к нулю,
lim = 1у( 0) = и.
<7->0
В теории среднего поля (смотри, например, [5]) для системы со спином s = 1/2 критическая температура зависит от координационного числа 2 обменного взаимодействия J, как T™unJl€ld = zJ/kß, где kß - постоянная Больцмана. Поскольку примеси нарушают
8
локально координационное число в обменном взаимодействии, отсюда следует известная интерпретация случайно разбавленной системы, как ансамбля систем с некоторым распределением температур перехода. Зафиксируем теперь значение корреляционной длины и оценим ширину этого распределения температур АТС. Для этого разобьем ^-мерную систему на независимые части объемом 0,а, каждый из которых содержит спинов. Поскольку типичное расстояние между спинами в разных частях превосходит корреляционную длину то такие части системы можно полагать независимыми. Для определенности рассмотрим случай, когда немагнитные примеси с концентрацией 9 = 1 —р замещают спины в узлах решетки. Тогда среднее число отсутствующих связей в объеме будет равно
Ы = ?(2 -
где [...] обозначает конфигурационное среднее, и их среднеквадратичная флуктуация (подробно флуктуации числа разорванных связей рассмотрены в Главе III)
[(йп*)2] = ^,(1 - 9)2((4й - 1)(1 -д) + 1))
Таким образом, ширина функции распределения концентрации отсутствующих связей в объеме есть
Г^9(1-9)2((4^-1)(1-9) + 1))1
Апа ОС
9, поэтому
1
ОС
ОС
Тс 0 •
Для самосогласованности этого соотношения зафиксированная нами корреляционная длина £ не может превосходить такую, которая соответствует температуре Т в соотношении (1). А именно,
АЪ
Тс
< (сопб-г)“ . (2)
Таким образом, если ~ > 1, то величина корреляционной длины самосогласована с флуктуациями концентрации, и примеси не влияют на фазовый переход. Если учесть
9
скейлинговое соотношение а = 2- Ли, то ответ просто формулируется по знаку критического индекса а теплоемкости. Если а > 0 для чистой модели, то примеси существенно влияют на фазовый переход. При пограничном значении критического индекса теплоемкости ос — 0 приведенный аргумент неприменим. Такой случай имеет место, например, для двумерной модели Изинга, где теплоемкость расходится логарифмически
[2] в критической точке
II. МОДЕЛЬ ИЗИНГА С НЕМАГНИТНЫМИ ПРИМЕСЯМИ.
Рассмотрим модель Изинга с немагнитными примесями. В узлах г квадратной решетки L х L с периодическими граничными условиями расположены спины сг,, принимающие значения сг* = -Ь1 и —1, и немагнитные примеси (at = 0). Немагнитных примеси неподвижны (”quenched disorder”). Решетку с зафиксированным распределением немагнитных примесей мы будем в дальнейшем называть образцом. Энергия связи между двумя узлами равна 0, если хотя бы в одном узле находится немагнитная примесь, и равна J, если оба узла заняты магнитными спинами. Гамильтониан такой системы можно записать в виде
О'
Концентрация магнитных спинов определяется суммированием абсолютного значения спина во всех узлах решетки
Тогда значение р = 1 соответствует чистой модели Изиига, а р = 0 пустой, немагнитной решетке.
Ниже мы коротко изложим основные теоретические результаты для модели Изинга с немагнитными примесями. Основные теоретические результаты для модели Изинга с немагнитными примесями на связях получены в работах (6-10). В этих работах
С(т) ос log т.
(3)
(4)
- Київ+380960830922