Содержание
Содержание 1
1 Термодинамика черных дыр: квантовые аспекты, перенормировка и двумерные модели 7
1.1 Квантовые поправки к энтропии мерной
дыры .......................................................... 7
1.1.1 Введение................................................. 7
1.1.2 Евклидов функциональный интеграл и геометрическая энтропия ........................................................ 10
1.1.3 Вычисление геометрической энтропии.......................12
1.2 Перенормировка квантовой энтропии ............................ 15
1.2.1 Формулировка результата ................................ 15
1.2.2 Доказательство в случае неминимальной свя ш..............17
1.2.3 Соотношение геоме1рической энтропии и гермодинамической энтропии черной дыры........................................21
1.3 Вычисление энтропии в методе ’тХоофта: двумерный пример ... 22
1.4 Лохарифмические поправки к энтропии черной дыры................27
1.4.1 Энтропия черной дыры Шварцшильда, соответствие между
черной дырой и струной ..................................27
1.4.2 Универсальность квантовой энтропии в экстремальном пределе ...........................................................30
1.5 Геометрия и термодинамика кваитово-
корректироианной черной дыры в двумерных моделях...............35
1 5.1 Ш5Т модель...............................................30
1
1.5.2 Сферически симметричная редукция 4-мерной теории Эйнштейна-Максвелла....................
42
2 Дуальность между пространством-временем анти-де Ситтера и
конформной теорией поля 51
2.1 Идея голографической дуальности.................................51
2.2 Асимптотическое решение уравнений Эйнштейна.....................53
2.3 Расходимости, контр-члены и голографический тстор энергии-
импульса ...................................................... СО
2.4 Взаимодействие с материей, тождества
Уорда...........................................................67
2.4.1 Граничная проблема Дирихле для скалярного поля в фиксированном гравитационном поле ................................ 67
2 4.2 Гравитирующее скалярное поле, тождества Уорда 71
3 Обобщения дуального описания 75
3.1 Дуальное конформное описание вблизи горизонта...................75
3.1.1 Формулировка правил дуального описания на горизонте . . 76
3.1.2 Общий вид метрики и асимнютическис симметрии 81
3.1.3 Восстановление скалярного поля в объеме..................84
3.1.4 Восстановление метрики...................................86
3.2 Дуальное конформное описание пространства-времени Минков-
ского...........................................................90
3.2 1 Расслоение проса рансгва Мннковского поверхностями по-
стоянной кривизны.........................................90
3.2.2 Скалярное поле в пространстве Минковского................93
3.2.3 Функции Грина и S-матрица в пространстве Минковскою . 97
4 Гравитационные эффекты на плоских и кривых мембранах 109
4.1 Эффективные уравнения гравитационного поля локализованного
на мембране ...................................................109
4.2 Локализация гравитационного поля на деситгеровской бране . . .118
4.2.1 Введение................................................118
іі
4.2.2 Формулировка модели.....................................118
4.2 3 Проиагатор......................................... 119
4.2.4 Плоские браны...........................................121
4.2 5 Браны де Ситтера........................................122
4.2 б Зависимость гравитации на бране от масипаба.............129
5 Описание черной дыры в терминах конформной теории ноля 131
5.1 Конформная симметрия вблизи горизонта: алгебра Вирасоро и энтропия ........................................................ 131
5.1.1 Введение................................................131
51.2 Граничное условие горизонта и 2-мерная конформная группа
симметрии ..............................................133
5.1 3 Эшропия Бекешнтейна-Хокинга и ценфальный заряд в
ашебре Вирасоро.........................................136
5.1.4 Обобщение на случай <£ > 4 и И — 3......................141
5.2 Конформное описание излучения Хокинга в терминах корреляторов в модели
Лиувилля .................................................... 143
5.3 Квази-нормальные моды как полюса
3-точечной функции в модели Лиувилля..........................151
5.3.1 Волновое уравнение и Римановы поверхности...............151
5.3.2 Предел ишенсивиого затухания............................155
5 3.3 Эффективная конформная теория...........................159
6 Процесс релаксации и квантовая унитарность в черных дырах
и дуальной конформной теории поля 161
6.1 Введение.......................................................161
6.2 Линейная теория релаксации: 2-точечная корреляционная функция 163
6.3 Процесс релаксации в черной дыре: квази-нормальные моды и их конформная интерпретация .........................................166
6.4 Релаксация в конечном объеме и анализ
проблемы унитарности..........................................170
6.4.1 Релаксация в 2-мерной конформной теории поля............170
ш
6.4.2 Релаксация в конформная теории поля дуальной AdSa: фазовый переход Хокинга-Пейджа.....................................174
6.4.3 Унитарность в черной дыре: режим конечных значений к . 177
А: Тензоры кривизны на коническом
пространстве Еа..................................................182
В: Разложение ядра теплопроводности для оператора (-□ на
коническом пространстве Еа ..................................... 184
С: Коэффициенты асимптотическою разложения метрики .................185
D: Расходящиеся члены действия.......................................187
Е: Свойства ассоциированных функций Лежандра.........................189
F: 3-точечная функция в модели Лиувилля..............................190
1
ВВЕДЕНИЕ
Современная эпоха представляет собой интересный этап в развитии фундаментальной физики. Он отмечен появившимися, а также ожидаемыми в ближайшее время, новыми экспериментальными данными, представляющими информацию о юм, как природа организована на совершенно различных масштабах от размера Вселенной до фундаментального размера элементарных частиц Это, прежде всего, новые космологические данные, фактически подтвердившие во многих деталях предсказания инфляционной модели. Сюда же относится и замечательное открытие ненулевой, хотя и удивительно малой по величине, космологической постоянной Это открытие вновь поставило научное сообщество перед вопросом, правильно ли мы понимаем те фундаментальные процессы, которые лежат в основе наблюдаемых явлений. Тот факт, что теоретические предсказания 11 из первых принципов” для космологической постоянной на много порядков отличаются от того, что на самом деле наблюдается, по-видимому означает, что существующие теоретические модели и наше понимание того, чю они описывают, далеко не совершенны. Однако, уже сейчас ясно, что описание физики на самом большом, космологическом, масштабе невозможно без вовлечения физики на самым малых, возможно планковских, масштабах. В ближайшие годы гравитационные эксперименты на LIGO и LISA, где уже достигнута фантастическая точность, должны подтвердить одно из наиболее ожидаемых предсказаний теории гравитации Эйнштейна о существовании волн геометрии, т.е. гравитационных волн С другой стороны, ускоритель нового поколения LHC, который, как ожидается, начнет действовать в конце 2007 года в CERN позволит сделать первые шаги в изучении физики элементарных частиц за пределами Стандартной Модели.
Все это говорит о том, что в ближайшее время увеличится роль формальных теоретических концепций и их стыковок с феноменологией. В этих условиях важно охватить свежим непредвзятым взглядом существующие теории, претендующие на формулировку единого представления об известных фундаментальных явлениях. Наиболее гармонично и математически непротиворечиво единая точка зрения на фундаментальные процессы сформулирована в рамках теории струн. Однако, эта теория не дает четких и однозначных объяснений возникновения наблюдаемой ускоренно расширяющейся Вселенной. Более юго, само сущееыюкание такого основополагающего способа описания квантовой эволюции как 5-матрица является далеко не очевидным в такой Вселенной, современная фаза расширения которой может быть приближена геомедрией пространства-времени де Ситтера. Основной особенностью этого пространства является существование космоло! ического горизонта и отсутствие асимптотических областей, где асимптотические квантовые состояния
2
взаимодействующих объектов могли бы быть определены.
Новая парадигма, которая была выдвинута в последнее десятилетие для решения широкого круга проблем, это голография (holography). Она представляет собой совершенно новый способ соединения в одно целое гравитации, фундаментальных взаимодействий и квантовой механики. Наиболее успешной реализацией голографической идеи является AdS/CFT соответствие, которое представляет собой инструмент для объяснения гравитационных явлений в tcj>-минах унитарной конформной теории поля. Это соответствие первоначально было сформулировано для пространства-времени с отрицательной кривизной. Важной проблемой является обобщение эюго соответствия на случай реалис-шчных, космологически интересных, пространств.
Черные дыры являются объектами, идеально подходящими для проверки непротиворечивости существующих фундаментальных физических концепций. Само существование черных дыр, как оно видится нам сейчас, является результатом сложных процессов, вовлекающих сильное гравитационное взаимодействие и типично квантовое поведение. Интересна история изучения черных дыр. Открьные в 1910 юду Карлом Шварцшильдом, находящимся в то время вместе с немецкой армией в России, как решение нелинейных уравнений предложенных Эйннпсйном, они долгое время рассматривались скорее как своеобразный курьез, чем нечто реальное. Систематическое изучение черных дыр инициировалось в конце 50-х Уилером, который, собственно, и предложил название ’’черные дыры”. В середине 60-х Вернер Израэль доказал ряд важных теорем, показывающих, что черная дыра является объектом с очень немногими параметрами. Только масса, электрический заряд и, возможно, угловой момент -вот все, что может характеризовать черную дыру. Рассматривая возможность возникновения черной дыры в результате гравитационного коллапса, получается, что многочисленные детали, характеризующие коллапсирующий объект, теряются после того, как образуется черпая дыра. Следующий важный шаг был сделан Якобом Бекеиштейном в 1972 году, который, рассматривая различные мысленные эксперименты, приводящие к нарушению 2-го закона термодинамики в присутствии черной дыры, пришел к выво;1у, что единственный способ сохрани!ь 2-ой закон это предположить, что сама черная дыра имеет энтропию, пропорциональную площади ее поверхности. Это предположение было вскоре подтверждено Стивеном Хокинюм, открывшим явление квантового испарения черной дыры. Согласно Хокингу, черная дыра, как хорошо разогретая печка, излучает частицы распределенные по тепловому закону. Соответствующая температура, и шестная теперь как температура Хокинга, была вычислена, что позволило определить энтропию изучающего объекта, те. черной дыры. Энтропия оказалась такой, как предсказывал Векенштсйн. Точный коэффициент пропорциональности между энтропией и площадью поверхности черной
3
дыры был, таким образом, определен. Сам факт, что решение классических уравнений ноля, чем, собственно, и является черная дыра, может иметь какую-то энтропию, удивителен. Учитывая, что эта энхропия, по суш, огромна и превышает эшропию каких-либо ранее известных в природе обьектов, очевидно, что проблема объяснения этой энтропии оказывается ключевой. Более юго, как было вскоре высказано Хокишом, черные дыры, ио-видимому, нарушают квантовую унитарность. Действихель!Ю, кажехся возможным, что чистое состояние может перейти в смешанное состояние теплового газа путем коллапса в промежуточное состояние черной дыры, которая впоследствии полностью испаряется и оставляет после себя только тепловой газ. Очевидно, что такой процесс, если он реализуется, противоречил бы основным принципам квантовой механики, в которой временная эволюция описывается унитарным оператором.
Таким образом, имеются, по крайней мере, две фундаментальные проблемы в физике черных дыр:
• Объяснить энтропию черной дыры через число возможных состояний, дать соответствующее кваитопо-механичсское описание состояний черной дыры.
• Решить проблему квантовой унитарности в процессах с участием черных
дыр.
Исследование этого круха вопросов является центральным в настоящей диссергации. Следует отмешть, что в последние годы достигнух определенный прогресс в решении проблемы энтропии черной дыры. В теории струн было предложено соответствующее вычисление числа СОСТОЯНИЙ 0ПределенН01Х) класса экстремальных и около-экстремальных черных дыр. Важную роль в этом вычислении играют конформная симметрия и известные методы подсчета вырождения в конформной теории поля. Однако, применение этих методов, как и само существование конформной симметрии, в случае, скажем, незаряженной черной дыры является далеко не очевххдпым. В данной диссертации показывается, что конформная симметрия является тем универсальным элементом, который, в конечном счете, объясняет многие свойства черных дыр Ключевым в подходе к решению отмеченных проблем является идея существования дуального (голографического) описания гравитационных явлений в терминах дуальной, вообще говоря нефавитационной, теории. В зависимости от тою, где дуальная теория определена, на бесконечности или же вблизи горнзонха, дехали хшографического описания мохут различаться. В обоих случаях, однако, конформная симметрия, как показывается в данной диссертации, играет важную роль.
4
Диссертация организована следующим образом. В первой главе формулируется подход к вычислению, так называемой, entanglement энтропии черной дыры. Он заключаеіся в вычислении функционального интеї рала по квантовым возбуждениям нолей материи и гравитационною ноля методом конической сингулярности. Вычисляются UV расходимости в энтропии, выясняется их общая структура и показывается, что эти расходимосіи убираюіся путем стандартной перенормировки эффективного действия. Entanglement энтропия, таким образом, имеет естественную интерпретацию как квантовой поправки к классической (или древесной) энтропии Бекснштейна-Хокннга. Обсуждаются также UV конечные поправки к энтропии. Особое внимание уделяется поправкам, которые логарифмически зависят от площади гори юнта черной дыры. На примере двумерных моделей исследуется самосогласованный подход, в котором учитывается обратное влияние излучения Хокинга на геометрию черной дыры и на модификацию выражений для вычисления энтропии.
Во второй главе исследуются геометрические аспекты дуального описания пространства анти-де Ситтера в терминах конформной теории ноля на границе. Рассматривается проблема Дирихле для гравитационного поля (метрики), описываемого уравнениями Эйнштейна с отрицательной космологической постоянной и принимающего фиксированное значение на границе (граничная метрика). Анализ проводится с использованием разложения Феффсрмана-Грема для метрики в объеме. Показывается, что метрика в объеме может быть полностью восстановлена по данным на границе: граничной метрике и вакуумному ожиданию тензора знеріии-импульса в дуальной конформной теории ноля. Исследуются расходимосіи в гравитационном действии и их перенормировка путем добавления контр-членов, определенных на границе.
Третья глава посвящена обобщениям дуального описания для пространств, не являющихся асимптотически пространством анти-де Ситтера. Рассмотрено асимптотически плоское пространст во-время, для которого дуальное описание сформулировано на границе светового конуса. В случае, когда пространство-время имеет юризонт, показано, что описание в терминах конформной теории ноля естественно возникает на горизонте (horizon holography).
Результаты, полученные во второй главе, применяются в четвертой главе для получения уравнений гравитационного поля, индуцированного на 4-мерной бране, помещенной в 5-мерное пространство-время различной кривизны. Особый акцент делается на изучение искривленных бран, в частности, бран с геометрией пространства де Ситтера. Исследуется локализация гравитационного ноля на такой бране и обсуждается обнаруженный эффект масштабной зависимости гравитационного взаимодействия на бране. Обсуждаеіся возможная роль этого эффекта в объяснении малой космологической постоянной.
D пятой главе исследуется двумерная конформная симметрия вблизи горизонта черной дыры. Вычисляется центральный заряд в соответствующей алгебре Вирасоро и показывается, чю он определяется площадью поверхности горизонт. Предлагается конформное описание различных явлений в черной дыре в терминах корреляторов в храничной модели Лиувилля. Рождение частиц Хокинга, в частное!и, в этой картине описывается в терминах 1-точечной корреляционной функции. Описание в терминах модели Лиувилля обобщаемся на случай режима сильного затухания. В этом случае показывается, что кваэи-нормальиые моды черной дыры описываются как полюса в 3-точсчиой функции в модели Лиувилля.
В щесгой главе рассмахривается процесс релаксации в 3-мерной черной дыре BTZ и в дуальной конформной хеории ноля. Для черной дыры релаксация управляется бесконечным набором комплексных квазинормальных мод, ко-хорые вычисляются для полей различного спина. В дуальной CFT этот процесс описывается запаздывающей 2-точечной корреляционной функцией дуальных операторов. Показывается, что бесконечный набор полюсов в импульсном представлении корреляционной функции в теории на границе в точности совпадает с набором квазинормальных мод черной дыры в бачке Исследуется вопрос о временной хависимости корреляционной функции при конечной температуре и в конечном объеме. Показывается, что имеет место фазовый переход от релаксации осциллирующего характера при низкой температуре к экспоненциально затухающему типу релаксации при высокой температуре. Это соответствует фазовому переходу Хокиша-Пейджа в гравихационной теории.
В заключении перечислены основные результаты, выносимые на защиту.
Результаты днссерхации докладывались и обсуждались на семинарах Лаборатории теорешческой физики им. Н Н. Боголюбова ОИЯИ, в Физическом институте им. П.Н. Лебедева РАН (Москва), в институте теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН (Черноголовка), в теоретическом отдаче CERN (Женева), в Кавли инсхитуте теоретической физики университета Калифор-нии (Санта-Барбара), в Перимехр институте теоретической физики (Ватерлоо), в Макс Планк институте гравитационной фишки (Потсдам), в Высшей нормачьной школе ENS (Лион), в университетах в городах Ватерлоо, Эдмонтон (Канада), Утрехт, Амстердам (Голландия), Ахен, Мюнхен, Гамбург, Йена, Кельн, Бремен (Германия), Брюссель (Бельгия), Копенгаген (Дания), Хельсинки (Финляндия), Кембридж (Англия), Провиденс, Стоии-Брук, Сиракюз, Нью-Йорк, Лос-Анджелес, Девис (США). По теме диссертации опубликовано 51 работа.
G
Глава 1
Термодинамика черных дыр: квантовые аспекты, перенормировка и двумерные модели
1.1 Квантовые поправки к энтропии черной дыры
1.1.1 Введение
Согласно термодинамической аналогии [1], [2], [3], к отдельно взятой черной дыре применимы законы термодинамики, выведенные для систем с большим числом степеней свободы. Такие законы, обычно, имеют микроскопическое объяснение как результат статистического описания больших систем. В случае черной дыры статистическое описание отсутствует и его получение является одной из фундаментальных нерешенных проблем. Термодинамическая аналогия, предложенная Якобом Бекенштейном, сначала не нашла широкой поддержки в научном сообществе. Ситуация, однако, резко изменилась после ют о, как Стивен Хокинг [4] показал, что черная дыра, с необходимостью, должна излучать тепловое излучение с температурой обратно пропорциональной массе черной дыры. Это открытие позволило однозначно сделать вывод о юм, что отдельно взятая черная дыра обладает энтропией, пропорциональной площади поверхности ее горизонта, Б у у = Ле/4(?, где (7 - гравитационная постоянная Ныотона Этот вывод оказался справедливым для любых черных дыр (как
7
статических, так и вращающихся), которые являются решениями теории гравитации Эйнштейна в любом числе измерений больше двух. В двух измерениях вывод о наличии энтропии у черной дыры справедлив, но понятие площади должно быть подходящим образом определено. Как следует из теорем Израэля, черная дыра характеризует! юлько кемношми параметрами (это утверждение известно как отсутствие у черной дыры волос), которых явно не доааючно для объяснения того болыищ о выраждения, которое определяет энтропию Бекенштейна-Хокинга Заметим, что утверждение об отсутствии волос у черной дыры оказалось не вполне справедливым: как было показано в работах [18], [19], черная дыра может иметь дополнительные, неабелевы, волосы, если является решением самосогласованных уравнений Эйнштейна-Янга-Миллса.
К настоящему моменту имеется несколько подходов к решению проблемы нахождения сгатистического обьяснения энтропии черной дыры, например [197], [198], [12], [199], [48]. Некоторые из них, в том числе наиболее перспективные, являются предметом нашего обсуждения в последующих главах. Здесь же отметим два интересных подхода, которые, хотя и не дают ответа на главный вопрос, тем не менее, позволяют решить вопрос о квантовых поправках к энтропии черной дыры.
Первый подход был предложен ’тХоофтом [5] в 1985 юду. Он предложил рассмотрев атмосферу квантовых полей вблизи горизонт черной дыры. Предполагая, чю квантовые возбуждения образуют канонический статистический ансамбль при температуре Хокинга, можно вычислить соответствующую энтропию. Оказывается, что она расходится вследствие того, что плотность квантовых состояний неограниченно растет при приближении к горизонту. Для регуляризации этой расходимости ’тХоофт предложил рассмотреть то, что он назвал ’’кирпичной стеной”. Эта регуляризация состоит в том, что вводится фиктивная граница вблизи горизонта, где накладывается граничное условие Дирихле на возбуждения квантовых полей. Эго позволяет регуляризовать спектр квантовой системы и вычислить энтропию, которая оказывается пропорциональной площади горизонт тк же, как и в случае энтропии Бекенштейна-Хокинга. Этог результат позволил надеется на то, что он может объяснить происхождение энтропии черной дыры. Однако, легко видеть, что этот результат зависит ог регуляризации, юго расстояния е, на которое фиктивная граница отстоит от фактического горизонта. Если б усфемить к нулю, то полученная энтропия устремится к бесконечности. На самом деле, как было показано по щ-нее в работе [29], нет необходимости вводить фиктивную границу. Достаточно включить в рассмотрение поля Паули-Вилларса, играющие роль регуляторов ультра-фиолетовых расходимостей в квантовой теории поля. Масса этих полей задастся параметром /!, который осуществляет регуляризацию. Эти поля несут энтропию, которая должна быть учтена вместе с энтропией физических
8
полей. Оказывается, что энтропия, вычисленная таким образом, является конечной без введения ’’каменной стенки” вблизи горизонта. Однако, энтропия в этом случае зависит от параметра р таким образом, что, когда ц устремляется к бесконечности (регуляризация Паули-Вилларса снимается), энтропия расходная. Это наблюдение делает' очевидным, что вычисляемая эшрония имеет 01 ношение не к классической (или древесной) энтропии Бекеннпейна-Хокинга, а к квантовым поправкам к ней.
Этот же вывод относится и к другому подходу, а именно, к рассмотрению энтропии черной дыры как геометрической энтропии или энтропии поре-путывания (entanglement entropy). Согласно этому подходу [7), [б], [8], [9], из первоначально чистого сосюяния можно образовать смешанное, описываемое определенной матрицей плошости р, путем суммирования по всевозможным состояниям квантового поля, которые сконцентрированы внутри определенной замкнутой поверхности Е. Соответствующая энтропия может быть вычислена исходя из стандартной формулы S = -TV pin р. Однако, вычисление опять упирается в расходимости, которые должны быть регулярнзованы подходящим образом. Один из способов регуляризации это поместить всю систему на решетку с шагом е. Энтропия тогда конечна и пропорциональна площади поверхности Е. Коэффициент пропорциональности, однако, зависит от регулятора б и расходится, если е устремляется к нулю. Следует заметить, что такая зависимость от с объясняется том, что в локальной теории имеется корреляция между двумя возбуждениями, локализованными по разные стороны от поверхности Е и отстоящими на расстоянии е друг от друга Следует заметить, что iеометри-ческая эшрония может быть введена в плоском пространстве-времен и, в отсутствии каких-либо черных дыр [б], [9]. То, что геометрическая энтропия всегда определяется геометрией поверхности Е, делает ее привлекательной в качестве кандидата для микроскопической энтропии черной дыры. Однако, юг факт, что геометрическая энтропия зависит от регулятора означает, что эта энтропия не имеет отношения к древесной (tree-level) энтропии Более подходящей, является ее интерпретация как квантовой однопетлевой поправки [9] к энтропии черной дыры. Это делает ее похожей на энтропию, введенную ’тХоофтом. На самом деле, есть основания считать [75], [77], что это одна и та же энтропия, вычисленная двумя разными способами.
Важным является вопрос о перенормировке расходимостей в энтропии [11], [70], [72]. Как мы показываем в этой главе, эти расходимости убираются стандартной перенормировкой констант связи в гравитационном действии, включая постоянную Ньютона. Таким образом, нет необходимости вводить новые рецепты перенормировки. Наряду с ультра-фиолетово расходящимися членами, в квантовой энтропии, также, имеются конечные члены, роль которых может быть важной для полного понимания термодинамики черной дыры, в
9
том числе природы конечной стадии ее испарения. Наиболее универсальным, среди UV-конечных членов, является член, логарифмически зависящий от площади черной дыры. Ло(арифмические поправки рассматривались в работах [70], [43], [78], [80], [81].
1.1.2 Евклидов функциональный интеграл и геометрическая энтропия
Рассмотрим произвольную статическую черную дыру в произвольном числе измерений. Поверхность се горизонта Е естественным обраюм делит все пространство-время на две области R+ and Я_, свободный обмен информацией между которыми невозможен. Это очевидное следствие того, что вектор Киллиига & = <9£, который генерирует сдвиги по времени, обращается в ноль, (f = 0, на горизонте. Поэтому сигнал, испущенный из любой точки внутри горизонта, никогда не достигнет внешнего наблюдателя. Таким образом, любые события, происходящие внутри горизонта, являются принципиально ненаблюдаемыми для внешнего наблюдателя. Эю, гакже, касаегся возбуждений квантовою ноля. Они естественным образом делятся на ’’видимые” (распространяющиеся в области Я+) и ’’невидимые” (распространяющиеся в области Я_) моды.
Ситуация, когда информация о части состояний системы отсутствует, в квантовой механике описывается с помощью матрицы плотности. Предположим, что квантовое поло ф, рассмотренное на всем пространстве-времени, находится п чистом основном состоянии, описываемом волновой функцией
Ф„ = Ф0 (Ф+,Ф-), (1.1.1)
зависящей как от видимых (ф+), так и невидимых (<£_) мод Для внешнего наблюдателя оно будет находится в смешанном состоянии, описываемом матрицей плотности
р(Ф\,Ф1) = J (©*-№(4,*-)»•(&*-). (1.1.2)
где суммирование ведется но всем невидимым модам ф-. Энтропия, определяемая этой мафицей плотное I и,
Здеот — —Trplnp, f) = (1.1.3)
называется геометрической энтропией (или энтропией перепутывания) [7], [б], [8], (9).
Применяя этот подход к черной дыре, мы можем отождествить все невидимые моды (т.е. распространяющиеся внутри черной дыры) как внутренние
10
степени свободы мерной дыры, а (1.1.3) как их энтропию. Основное состояние мерной дыры, согласно предписанию [17], дастся евклидовым функциональным иніегралом но всем нолям, определенным на многообразии Е\ которое есть половина инстанюна мерной дыры с метрикой
db% = Pu9(p)d<p2 + dp2 + r2(p)d* П, (1.1.4)
где угловая переменная у? (представляющая евклидово время) лежит в интервале — | < у? < |. Такой выбор соответствует половине периода по евклидовому времени черной дыры. Обратная температура Хокинга Рн определяется как производная метрической функции д(р) на горизонте (д(рь) = 0), Рн = у* Ф+ and ф-ь которые входят как аргументы в выражение (1.1.1), являются граничными знамениями волнового поля на границе полу-инстантона ф+ = ф(у = |); ф_ = ф((р = -§)• Это задает граничные условия в функциональном интеграле.
Матрица плошости р(ф\_,ф\) как результат суммирования по <£_-модам, определяется функциональным интегралом по полям на полном инстантоне Е (-^тг < <р < ^7г), за исключением разреза вдоль оси где квантовое
поле принимает значения ф+2, соответственно, на верхнем и нижнем берегах разреза. След Тт р получается путем приравнивания значений поля на обоих берегах разреза и вычисления функционального интеграла на полном черно-дырном инстантоне Е, не накладывая никаких дополнительных оіраничений. Аналоїичным образом, след Тгрп определяеіся как функциональный интеграл по полям, определенным на Еп, n-кратном накрытии пространства Е. Заметим, что Еп это многообразие с абелевой группой изометрии (генерируемой вектором др), которая стационарна на поверхности Е. Вблизи Е многообразие Еп выглядит как прямое произведение Еп = Е ® СП) где Сп это двумерный конус с углом дифицита д = 2тг(1 - п). Эта конструкция аналитически продолжается для произвольного (нецелого) п tt = • Определим теперь статсумму
г(0) = Ър« (1.1.5)
как функциональный интеграл по полям, определенным на Еа, »-кратным накрытием Е. Геометрическая энтропия (1.1.3) определяется, стандартно, как
Sgeam = -Тг (pill р) = (-ада + 1) In Z( a)|ft=i. (1.1.6)
Величина Р играет роль обратной температуры. После вычислений нужно положить Р = рц в (1.1 6). Предполагая, чю динамика квантового бозонного поля определяется дифференциальным оператором А получим, что сгатсумма (1.1.5) дается детерминантом
Z(p) = det“1/2A (1.1.7)
11
этого дифференциального оператора на Ел. Важным то, что Еа это пространство с конической сингулярностью, т.к. именно коническая сингулярность дает нетривиальный вклад в эффективное действие И7(а) = -1п^(а) в виде членов пропорциональных (1 -а). Как можно видеть, сгатсумма (1.1.5) имеет вид (енловой статсуммы
г{Р) = Тге-1>" , (1.18)
1де Р играет роль обратной температуры и Я - соответствующий Гамильтониан. Этот факт был впервые установлен в [10] для пространства Риндлера Функциональный интеграл для геометрической энтропии в плоском пространстве был найден в [9]. Термальность соответствующей матрицы плотности была продемонстрирована в [20]. Общая конструкция функционального интеграла для произвольной статической черной дыры была предложена в работе [74], основываясь на волновой функции черной дыры, введенной в работе [17].
1.1.3 Вычисление геометрической энтропии
Перед тем, как обратиться к вычислению энтропии, заметим, что конструкция функционального интеграла, представленная в предыдущем разделе, является очень естественной с точки зрения формулировки термодинамики черной дыры Действительно, при статистическом описании полевых систем при конечной температуре Т = (2тг/7)-1 часто используется евклидов подход с применением функционального интеграла. При этом класс полевых функций в функциональном интеграле ограничивается на функции, периодические по евклидовому времени т с периодом 27г/?. Применяя это предписание в случае черной дыры заметим, что при произвольном периоде 2яД, с необходимостью на юриэонте появляется коническая сингулярность, которая оюуютвует только, если период есть обратная температура Хокинга. Таким образом, при произвольной температуре класс метрик в функциональном интеграле состоит из евклидовых метрик с конической сингулярностью на юрнзон1е. Это в точности соответствует тому, что было получено в предыдущем разделе при обсуждении геометрической энтропии.
В этом разделе вычислим энтропию скалярною ноля, минимально взаимодействующего с гравитационном полем и описываемым действием
1,ш = Ц (УФ )2у/дс1*х. (1.1.9)
Вклад в энергию и энтропию вычисляется по формулам
Е* = ^\\’е„(р,А)\^н & = №-№'„((), Д)|„=л,, (1.1.10)
12
где А = оператор Лапласа; Wef/(ß,A) = | In dot Agß одно-петлевое эф-
фективное действие. Логарифм детерминанта в представлении де Витта-Швин-іера оп[)еделяется следующим образом
Г°о
log det Д = —у dbs~lTr(e~aA)t (1.1.11)
где интеграл по собственному времени s обрезан на нижнем пределе, параметр е осуществляет регуляризацию ультра-фиолетовых расходимостей. В случае четырех измерений имеем
Тг(е~>Д)=(4^£а"4”- <1ЛЛ2)
Расходящаяся часть эффективного действия имеет вид
w'!l = —з^2(|а°е_4 + °‘6’2 + o2log(jf)- (1.1.13)
В данном разделе мы рассматриваем произвольную метрику описывающую статическую черную дыру. Вблизи горизонта такая меірика может быть предсіав-лена в виде (радиальная координата р выбрана гак, что горизонт находится при значении р = 0)
Ль* = а V + СрА)(1ф2 + dp2 + (7tJ(0) + /ii;(0)p2)d<W, (1.1.14)
где С = const, а = и координата ф = ß~lT периодична с периодом 2л. В данной метрике горизонт это компактная поверхность с индуцированной метрикой 7,_, (в). Коэффициенты в разложении ядра теплопроводности на коническом пространстве приведены в Приложении В. С их помощью легко вычислить расходимости в эффективном действии и в энтропии, согласно формулы (1.1.10). В результате, получаем для энтропии
5?= 4& + тк i[R - bR•' - 2й™)]^'п 7* (1.1.15)
где Я,, = Rtjtj = Rfwaßn^nfrijiij и п\ г = 1,2 - пара ортонормирован-
ных векторов, ортогональных к поверхности X) (п^п^д^ = 6Ч). Для метрики (1.1.14) имеем Пі = ((ар)“1,0,0,0), п% = (0,1,0,0). Ле = у/ї<Рв - площадь горизонта. Для метрики (1.1.14) легко видеть, что
R = Rz - 6С - 47*%
Я/4„пХ - 2= 6С - 2Y>htJ1 (1.1.16)
где Яе скаляр кривизны двумерной метрики 7,;.
13
Большинство интересных метрик, описывающих черную дыру, может быть записано и форме Шварцшильда,
(1ь2 = Р2дШф2 + 4т с/г2 + (1.1.17)
РИ
где дХ](в) - метрика/двумерной сферы единичного радиуса. Введя радиальную координагу р = / д~1/2(1г, получим, что в окрестности горизонта (положение которого задается уравнением д(ги) = 0) метрика принимает вид (1.1.14), где ъ, = г\дК, = ^д,, и С = \д"\Гк* '•/. - радиус юризонта.
Приведем несколько конкретных примеров. Заряженная черная дыра Рейсснера-Нордстрема определяется метрикой (1.1.17) с
1(г) = 1-^ + 5, лЮ>0. (1.1.18)
Радиус внешнего горизонта и обратная температура Хокинга определяются как
г„ = А/С + - о* , р„ = (1.1.19)
Таким образом, для энтропии эюй черной дыры получаем
Некоторые предельные случаи представляют особый интерес. В случае незаряженной черной дыры Шварцшильда (<3 = 0) имеем
= + (1.1.21) 48тг € 4э £
Другой предельный случай соответствует пределу экстремальной черной дыры (А/С = (2, Ри — оо, Г/, = А/С). В этом случае получаем
5« = -^-^1оьг-. (1.1.22)
48тге2 90 ь с 1 '
Заметим, что второй член оказывается отрицательным. Все выражение, однако, положительно, поскольку первый член доминирует в пределе е -> 0.
Несколько замечаний по лшературе. Главная расходимость (1/е2) в энтропии черной дыры изучалась в работе [11] для пространства Риндлера, рассматриваемом как предел бесконечной массы в метрике Шварцшильда. То, то метрика Шварцшильда топологически отличается от метрики Риндлера было
14
•замочено в работе [70], где было доказано существование под-лидирующей, логарифмической, расходимости (1.1.21) в энтропии дыры Шпарцшильда, которая отсутствует в случае Риндлера. Общее выражение (1.1.15) для энтропии статической черной дыры было получено в работе [71], где было указано, что логарифмически расходящиеся члены в энтропии зависят не юлько от внутренней 1еометрии горизонта, но и от внешней геометрии, те. от того, как поверхность горизонта вложена в пространспю-время. Расходимосш в энтропии заряженной черной дыры рассматривались в работах [71], [14], [15], [16] и [29]. В последней работе анализ был проведен в рамках подхода ’тХоофта и выводы полностью совпадают с результатами, полученными в [71]. В последующих разделах мы приведем более детальное сравнение двух методов. Обобщение полученных здесь результатов на вращающиеся черные дыры было предложено в работе [76]. Квантовая энтропия в индуцированной гравитации рассматривалась в работах [48], [49], [50]. Трехмерные черные дыры рассматривались в работе [78]. Универсальность в квантовой энтропии экстремальной черной дыры исследовалась в [81]. Обобщение на случай квантового поля, неминимально взаимодейсIвующего с метрикой, оказалось нетривиальным и рассматривалось в работах [74] [79]. Важным является, также, вопрос о перенормировке [11], [70], [72] обнаруженных расходимостей. Эти вопросы мы рассмотрим в следующем разделе.
1.2 Перенормировка квантовой энтропии
1.2.1 Формулировка результата
Как было показано в предыдущих разделах, геометрическая энтропия не свободна от ультра-фиолетовых расходимостей В то же время, известно, что расходимости в эффективном действии можно перенормировать путем добавления коптр-членов. В работе [72] было сформулировано утверждение, что для перенормировки энтропии достаточно добавления только тех контр-членов, которые перенормируют эффективное действие. Это утверждение было доказано в [72] для случая квантовой материи, минимально взаимодействующей с метрикой. В этом разделе мы докажем это утверждение, обобщенное на случай неминимального взаимодействия.
В общем случае расходимости эффективного действия на коническом пространстве Еа представляют собой сумму объемных и поверхностных членов
= их'+их;'. (1.2.1)
Объемный член в (1.2.1) является стандартным. Он пропорционален а и не
15
- Київ+380960830922