Квантование бран или к геометризации теории поля

Содержание
1 Введение 4
2 Б-браны как пробники 13
2.1 Гравитационные солитоны и Б-браны ...................................... 13
2.1.1 Б-инстантон на фоне БЗ-браны...................................... 14
2.1.2 Эффективное действие для В-инстаитонов ........................... 17
2.1.3 Выводы............................................................ 19
2.2 Солитоны в теории Янга-Миллса и Б-браны................................. 19
2.2.1 Твисторная формулировка действия для пробнике и /с симметрия . . 20
2.2.2 Решение условий «-инвариантности.................................. 23
2.2.3 Выводы .'......................................................... 27
2.3 Связь между перенормировками в теориях в разных размерностях............. 28
2.3.1 Ультрафиолетовое отрубание и /2-функция........................... 30
2.3.2 Теоремы о неперенормируемости .................................... 34
2.3.3 Эффективное действие в размерности (1+1).......................... 35
3 Попытки ныйти за пределы массовой поверхности и неабелевы структуры в теории струн 37
3.1 Попытки выйти за пределы массовой поверхности в формализме граничного
состояния............................................................... 37
3.1.1 Вычисление в формализме граничного состояния...................... 39
3.1.2 Объяснение и устранение разногласия............................... 41
3.1.3 Модификация граничного состояния вне массовой поверхности .... 42
3.1.4 Выводы............................................................ 45
3.2 Струны вне массовой поверхности в ультрафиолетовом пределе.............. 45
3.2.1 Струны и алгебра дифференциальных операторов...................... 47
3.2.2 Аннигиляция Б-бран и неабелевы структуры.......................... 48
3.3 К объединению Ш1-взаимодействий на бранах разной размерности............ 51
3.3.1 Б инстантоны из Б9-Б9-бран........................................ 51
3.3.2 Бр- браны из БЭ-БЭ-системы..........Г............................. 54
3.3.3 Общая конфигурация Б-бран разных коразмерностей................... 55
3.3.4 Б5-браны внутри Б9-бран........................................... 56
3.4 Неабелевы структуры и взаимодействия Б-бран с ЯЯ-полями................. 58
3.4.1 Б9-брана как результат аннигиляции................................ 58
3.4.2 К обтцей ситуации................................................. 60
3.5 Выводы.................................................................. 62
4 Голографическая ренормализационная группа и соответствие между открытыми и замкнутыми струнами 62
4.1 Голографическая ренормализационная группа............................... 62
4.1.1 Соответствие для 5-компоненты дилатона............................ 62
4.1.2 Ренормализационная группа для дилатона............................ 64
4.2 Ренормализационная группа и предел больших /V........................... 66
4.2.1 Общие замечания................................................... 67
1
4.2.2 Уравнения Каллана-Симанчика-Польчинского как уравнения Гамильтона .................................................................. 68
4.2.3 Обратно к АдС/КТП-соответствию.................................... 71
4.3 О связи между корреляционными функциями в соответствии между теорией
Янга- Миллса и теорией струн на рр-волне ............................... 73
4.3.1 Вертексные операторы и корреляционные функции на стороне теории струн.................................................................. 74
4.3.2 Связь с. корреляционными функциями в теориями Янга-Миллса ... 70
5 Точно-решаемые некоммутативные модели 78
5.1 Некоммутативная 0(14) модель Гросса-Неве............................... 83
5.1.1 Эффективное действие.............................................. 85
5.1.2 Большие значения N ............................................... 86
5.1.3 ФермионныЙ детерминант в некоммутативном случае................... 88
5.1.4 Эффективное чегырехфермионное взаимодействие...................... 88
5.2 Результаты в двух измерениях........................................... 89
5.2.1 Коммутативная модель.............................................. 90
5.2.2 Некоммутативная модель............................................ 91
5.2.3 Что, если мы выберем такое значение 1/А, что обрезание сократится? 92
5.2.4 Двойной скейлинговый предел....................................... 93
5.3 Результаты в трех измерениях........................................... 93
5.3.1 Коммутативная модель.............................................. 94
5.3.2 Некоммутативная модель............................................ 95
5.4 Выводы................................................................. 98
6 Сим 1 инициальная теория струн 99
6.1 От теории поля к симплициальной теории струн...........................100
6.2 Независимое определение симплициальной теории струн....................104
6.3 Релятивистская частица ................................................106
6.4 Петлевые уравнения как уравнения Уиллера-ДеВитта.......................110
6.5 Вычисление диаграмм и двумерный дискретный оператор Лапласа............113
6.6 Выводы.................................................................115
7 Гамильтонов формализм для неточечных объектов или к теории неабелевых тензорных полей 117
7.1 Упорядочение по поверхности и триангуляции.............................119
7.2 Экспоненциирование матрицы с тремя индексами...........................123
7.3 Явные примеры матриц I и к.............................................132
7.4 Дифференциальное уравнение для поверхностной экспоненты ...............134
7.5 Новый способ экспоненциирования квадратных матриц и поверхностная экспонента ....................................................................136
7.6 К представлению поверхностной экспоненты посредством матричного интеграла ......................................................................137
7.7 Голономия вдоль поверхности (калибровочные преобразования и кривизна неабелевьтх тензорных форм) ................................................138
7.8 Выводы и задачи для будущего...........................................143
2
7.9 Приложение .............................................................144
8 Излучение Хокинга и эффект Упру 146
8.1 Квазиклассическое приближение ..........................................147
8.1.1 Эффект Хокинга...................................................149
8.1.2 Эффект Унру .....................................................154
8.2 О связи эффектов Унру и Соколова-Тернова................................15G
8.2.1 Покоящийся детектор в термальной бане............................164
8.2.2 Детектор, двигающийся с постоянной скоростью в вакууме...........166
8.2.3 Детектор, ускоряющийся вдоль линии в вакууме.....................168
8.2.4 Детектор, двигающийся по окружности в вакууме....................170
8.2.5 Электрон в магнитном поле в качестве детектора...................171
8.2.6 Синхротронное излучение из-за заряда электрона...................172
8.2.7 Синхротронное излучение из-за переворота спина...................174
8.3 Выводы..................................................................177
9 Заключение 178
А Приложение: Краткий обзор теории струн и АдС/КТП—соответствия 181
А.1 Бозонная теория струн...................................................181
А.1.1 Функциональный интеграл Полякова.................................182
А.1.2 Производящий функционал в бозонной теории струн..................185
А.1.3 Низкоэнергетический спектр.......................................186
А. 1.4 Связь между гравитацией и теорией струн..........................188
А.2 Теория супсрструн типа II................................................191
А.2.1 Квантование и безмассовый спектр в теории суперструн.............192
А.2.2 Суперструны типа І1В на больших расстояниях......................194
А.З Открытые струны и D браиы................................................195
А.3.1 D браны при низких энергиях......................................198
А.3.2 D-браны как источники для супергравитациопных RR.-солитонов . . 199
А.3.3 D-браны и суперсимметричная теория Янга-Миллса...................200
А.3.4 Взаимодействие D бран с RR-полями ...............................203
А.4 АдС/КТП-соответствие.....................................................207
А.1.1 Геометрия пространства анти-де-Ситтера...........................208
А.4.2 Теория Янга-Миллса на 03-бране ..................................210
А.4.3 Соответствие и его смысл.........................................211
А.о Соответствие между теорией струн на фоне pp-волны и теорией Янга-Миллса213
А.5.1 Метрика pp-волны как предел метрики AdS& х 5s....................213
А.5.2 Квантование струн на фоне рр-волны...............................214
А.5.3 Соответствие со стороны суперсимметричпой теории Янга-Миллса . 216
А.5.4 Струнный гамильтониан из теории Янга-Миллса......................219
3
1 Введение
Перед современной фундаментальной физикой стоят, на наш взгляд, две основных задачи — проблема инфракрасного заточения цвета в квантовой хромодинамике и квантование гравитации. В рамках некоторых подходов к решению этих проблем возникают квантовые струны, мембраны и/или многомерные динамические гиперповерхности (или просто бра-ны). Мы считаем, что углубление нашего понимания обсуждаемых явлений упирается в отсутствие адекватного формализма для работы с такими неточечными объектами. Хотя очевидно, что описание природы в терминах теорий частиц определяется уровнем наших знаний на данный момент, а не свойством природы, мы начнем наше изложение с того, что уже достоверно известно в локальной теории поля, а не с академического рассмотрения бран. Объясним здесь то, как мы понимаем постановку вышеупомянутых проблем и пути возможного их решения с использованием нелокальных (источенных) объектов — струн и бран.
Начнем с проблемы невылетания/заточения цвета. В математическом описании любого явления необходимо найти какую-нибудь приближенную модель, допускающую точное решение, и малую величину, по степеням которой можно провести разложение, чтобы приблизить аналитически вычисляемые величины к экспериментально наблюдаемым. В случае сильных взаимодействий хорошим приближением при высоких энергиях является описание в терминах свободных векторных и фермионных частиц — глюонов и кварков, соответственно. Они несут три квантовых числа, которые называются цветами и принимают значения в различных представлениях неабелевой калибровочной группы 811(3).
Основу такого описания природы сильных взаимодействий составляет 811(3) теория Янга-Миллса (см., например, [1]). Именно в такой ситуации возникает' необходимая малая величина — константа связи д2. Это отлично согласуется с экспериментом, где на малых расстояниях видны асимптотически свободные цветные кварки и глюоны. Однако на больших расстояниях экспериментально мы наблюдаем бесцветные мезоны и барио-ны в качестве асимптотических состояний. Эго называется явлением невылетания или инфракрасного заточения цвета.
Считается, что основные свойства этого явления сохраняются, если исключить кварки из рассмотрения, т.е. иметь дело только с чистой калибровочной теорией Янга-Миллса, описывающей при высоких энергиях свободные векторные частицы — глюоны. Тогда на больших расстояниях в качестве асимптотических состояний ожидаются бесцветные гл 10-бол м — коллективные возбуждения, составленные из глюонов. Проблема невылетания в этом случае проявляется следующим образом. Из-за квантовых эффектов константа связи д2 растет при удалении на большие расстояния или при переходе к малым энергиям, и глюоны уже нельзя считать свободными. Это проявляется в том, что на некотором масштабе энергий описание сильных взаимодействий в терминах глюонов становится несостоятельным из-за сингулярностей, возникающих в теории возмущений (см., например, [1]). В результате неизвестно как перейти к низким энергиям в теории Янга-Миллса. Поэтому возникает вопрос: какое приближение к сильным взаимодействиям может быть применимо при любых энергиях?
На наш взгляд, наиболее многообещающий подход к задаче состоит в рассмотрении Эи(А7) теории Янга-Миллса, при N —> оо [1], когда теория возмущений существенно упрощается [2], и единственные диаграммы, которые остаются, выглядят как “триангуляции” сферы. Диаграммы, дающие вклад в эти “триангуляции”, представляют собой разложение
4
в ряд по степеням параметра г/2А, который полагается конечным в пределе N —> со [2]. При этом вклады от диаграмм с топологией тора и сферы с несколькими ручками подавлены по степеням величины 1/А2, играющей роль малого параметра, при разложении по которому мы могли бы приблизиться к реальной ситуации (/V = 3). Эти факты показывают, что в пределе N —► оо теория Янга-Миллса может быть эквивалентна теории струн, описывающей суммирование по рассматриваемым “триангуляциям” [1|. Основным достоинством этой теории является то, что она может быть применима при любых энергиях. Однако к сожалению, на данный момент имеется крайне мало прямых подтверждений такому соответствию между теорией Янга-Миллса и теорией струн. Наиболее достоверные наблюдения сделаны в очень специальных ситуациях и обсуждаются в обзорах [3, 4] и далее в диссертации. В любом случае мы полагаем, что теория струн может помочь в понимании динамики сильных взаимодействий.
Теперь объясним какого сорта проблемы возникают в гравитации. Классическая гравитация описываегся нелинейными дифференциальными уравнениями, которые имеют второй порядок по производным. Это есть уравнения Эйнштейна-Гильберта. Их решения как в задаче с начальными, так и с граничными условиями имеют сингулярности, по крайней мере, если они становятся стационарными в итоге эволюции. Это — сингулярности кривизны в решениях, отвечающих разного сорта черным дырам и космологическим моделям. Нередко, чтобы исключить подобного сорта особенности из задачи, рассматривают пространства с нетривиальными топологиями, выкидывая те их части, на которых расположены сингулярности. Но таким образом не поменять сути проблемы, т.к. у дифференциального уравнения второго порядка по производным необходимо фиксировать либо источник и граничное условие на переменную уравнения (метрику), либо же — граничные условия на метрику как на асимптотической бесконечности, так и вблизи устраненной части пространства, т.е. там, где должна быть сингулярность. Или же необходимо фиксировать граничные условия как на саму метрику, так и на ее первую производную.
Итак, первая сложность в гравитации возникает еще в классической теории и. заключается в том, что приходится иметь дело с разного сорта сингулярностями, которые, как известно, природа не терпит. Во всяком случае неизвестно какие из сингулярных решений имеют отношение к природе, а какие — просто артефакты рассматриваемого нами приближенного описания природы. В результате в гравитации неизвестно правильное фазовое пространство (его топология и геометрия), т.к. оно находится во взаимно однозначном соответствии с решениями классических уравнений движения. А это уже создает первые сложности и для квантования теории, т.к. неизвестно, какие метрики надо учитывать в “функциональном интеграле” квантовой гравитации, а какие — нет. По сути дела, это все та же проблема классической теории поля, связанная с наличием гармоник полей с бесконечными частотами — проблема, встающая во весь рост только после квантования теории поля. Действительно, в теории гравитации естественно, что возбуждение с достаточно большой частотой приводит к такому искривлению метрики, что образуется черная дыра. Т.е. проблема обрезания больших частот в данном случае связана с разрешением проблемы сингулярностей в кривизне классических решений гравитации. При квантовании гравитации она усугубляется (по сравнению с обычной теорией поля) еще и тем, что нет хорошего способа регуляризации, не нарушающего либо общей ковариантности, либо унитарности. Итак, в полной теории, описывающей гравитацию при любых энергиях, должен быть заложен естественный способ обрезания рассматриваемых расходимостей и, соответственно, бесконечных частот.
5
1
*
4
)
! Хотя сейчас уже практически ни у кого нет сомнений, что для описания природы гра-
витацию необходимо квантовать, давайте объясним нашу точку зрения на то, зачем это нужно делать. (Дело в том, что в случае гравитации, в отличие от других взаимодействий, нет прямых экспериментальных наблюдений, подтверждающих необходимость ее квантования.) Сначала мы дадим достаточно наивное объяснение, используя параллели между различными теориями. Классическая нерелятивистская или релятивистская частица полностью описывается соответствующим уравнением Гамильтона-Якоби (или же уравнением эйконала, в случае света). Эти уравнения являются классическими пределами уравнений Шредингера, Клейна-Гордона (Дирака, если вспомнить о спине) и Максвелла, соответственно. Т.е. первичное квантование — это, но сути дела, есть переход от уравнений Гамильтона-Якоби для частиц к уравнениям, описывающим волны. В этом смысле уравнения Эйнштейна-Гильберта, будучи волновыми уравнениями, представляют собой уже первичное квантование. Поэтому вторичное квантование — переход от квантования отдельных частиц к квантованию полей (‘Наборов частиц”) — является естественным следующим тагом как для электромагнитных (и слабых с сильными) взаимодействий, так и для гравитации.
Другой, менее наивный аргумент заключается в следующем. Если гравитацию рассматривать как классический фон для других квантованных полей, то возникают разного сорта проблемы. Наиболее известный пример — это нарушение унитарности в присутствии черных дыр [5| (см. также обзор [G] о современном состоянии дел на эту тему).
Черная дыра является стабильным стационарным решением уравнений Эйнштейна-Гильберта. Она задает некоторое подмногообразие меры ноль фазового пространства теории, определяемое несколькими параметрами решения — массой, моментом вращения и зарядом относительно калибровочной группы. Поясним в чем заключается это явление.
Излучение из под горизонта черной дыры претерпевает бесконечно большое инфракрасное смещение. При этом для возникновения гравитационного излучения необходимо наличие квадруполыюго момента, т.е. моменты до квадрупольяого создают стационарные гравитационные поля. В силу этих фактов решение типа черной дыры (стационарное решение с сингулярностью и горизонтом) не может зависеть от мультипольных моментов. В результате черная дыра, с точки зрения стороннего наблюдателя, выглядит как стационарный объект с однородным распределением массы, момента вращения и заряда по ее горизонту. Эти факты составляют основу так называемой теоремы об “отсутствии волос” у черной дыры [7].
Учет квантовых полей на фоне черной дыры приводит к рождению частиц в ее сильном гравитационном поле. Мы обсуждаем подробно это явление в последней главе диссертации. Сильным стационарным гравитационным нолем является как раз такое, которое имеет так называемый apparent горизонт1. Дело в том, что в процессе коллапса (образования apparent горизонта) происходит изменение вакуума для квантовой теории поля на фоне гравитирующего объекта. В результате вакуумные флуктуации по отношению к исходному вакууму становится физическими возбуждениями по отношению к новому вакууму. Это связано с тем, что наличие горизонта приводит к отсутствию глобально определенного времени-подобного вектора Киллннга, а он необходим для определения того, что мы называем положительной энергией — возбуждением над вакуумом. Последнее и определяет наш вакуум.
1Apparent горизонт — эго граница такой области нространства-нремепи, ннутри которой, из-за ее кривизны, теговые конусы направлены внутрь ее же самой.
б
В силу этого черная дыра теряет энергию, излучая ее на пространственную бесконечность. В рассматриваемом приближении такое излучение имеет тепловой спектр [8], т.с. кванты излучения с равной вероятностью могут нести любое квантовое число, помимо энергии. Это означает, что если черная дыра поглотила какую-то частицу, несущую информацию, скажем, о СРТ квантовых числах участников какой-то реакции, то потом она может полностью испариться, и мы потеряем информацию о рассматриваемом числе. Это и ведет к нарушению унитарности, т.к. сохранение СРТ числа следует однозначно из унитарности S-матрицы теории. Однако подчеркнем, что вышесказанное верно в приближении, в котором гравитация рассматривается как классический фон, т.е. когда амплитуда отклика гравитационного фона на квантовые флуктуации полей мала по сравнению с собственными размерами черной дыры. Иными словами, мы предполагаем, что черная дыра теряет энергию адиабатически, что ведет к медленному изменению фона.
По сути дела, утверждается, что мы должны выкинуть из рассмотрения любое квантовое число, если оно попало (со своим носителем) в черную дыру, а сама черная дыра не может его нести2. Квантование гравитации приводит к детальному учету ее отклика на квантовые флуктуации других полей. На наш взгляд, нет никаких причин думать, что после квантования черная дыра будет нести только те квантовые числа, которые позволяет теорема об “отсутствии волос” [б]. Действительно, после квантования необходимо будет работать не с подмножеством меры ноль в фазовом пространстве гравитации — стационарной классической черной дырой, а с существенной частью всего фазового объема: с дырой и всевозможными с|>луктуациями вокруг нее. Помимо этого, там, где удается проверить все эти факты явно (в теории стрзгн), получается совершенно унитарное поведение излучения черной дыры [9] (см. также обзор [6]).
Итак, ясно, что гравитация Эйнштейна-Гильберта — это некоторая эффективная низкоэнергетическая теория, которая должна быть квантована и модифицирована при достаточно больших энергиях или малых расстояниях. В качестве дополнительного аргумента заметим, что теория ненеренормируема вне массовой поверхности, если при квантовании наивно использовать действие Эйнштейна-Гильберта. Какая же теория перенормируема, несингулярна и квантует гравитацию? Наиболее изученный кандидат на данный момент
— это теория струн. Таким образом, теория струн может оказаться также полезной и в случае решения проблем гравитации.
Теория струн описывает динамику двумерных поверхностей, заметаемых струнами (одномерными объектами) во время их эволюции. Известно несколько самосогласованных теорий струн, обладающих супсрсимметрней в объемлющем пространстве (target space)
— пространстве, в кагором распространяются струны. Последнее обычно выбирается десятимерным, поскольку в другом случае не существует хорошо разработанных методов вычисления суперструнных амплитуд [1, 10, 11]. Несмотря на то, что при этом получается конечная согласованная теория, все это выглядит не очень привлекательно с феноменологической точки зрения, т.к. приводит к огромному количеству лишних (не наблюдаемых в природе) возбуждений. Одиако пас пока интересует вопрос о способе квантования гравитации в принципе.
В теории на мировой поверхности струп существует бесконечно много возбуждений, которые соответствуют разным квантовым их состояниям. Струна в некотором квантовом состоянии выглядит как частица, если смотреть на нее с достаточно больших расстояний
*Т.е. любое квамтоиое число кроме энергии, момента вращения и заряда относительно калиброночиоП группы.
7
в объемлющем пространстве. Среди возбуждений струны существует конечное число без-массовых, тогда как остальные имеют массы по порядку величины пропорциональные квадратному корню из струнного натяжения. Натяжение обычно считается величиной порядка квадрата иланковской энергии. Следовательно, на расстояниях, больших по сравнению со струнным масштабом длин (как раз тогда, когда струшя можно считать точечными объектами), выживают только безмассовые частицы. Последние можно описывать теорией поля в объемлющем пространстве, а не теорией струн..
Среди безмассовых возбуждений замкнутых струн есть частица, соответствующая симметричному тензорному полю. В силу свойств симметрии струнной теории эта частица имеет в точности, такое же число физических степеней свободы, как и гравитон. Единственной теорией на больших расстояниях, которая может описывать гравитон, является теория гравитации Эйнштейна-Гильберта. Она-то, взаимодействующая с остальными без-массовымн струнными возмущениями, и возникает в объемлющем пространстве [1, 10, 11] в классическом приближении к теории супсрструн.
Теорию, описывающую взаимодействие нолей суперсимметрнчиой теории Янга -Миллса с полями супергравитации, можно получить, если наряду с замкнутыми струнами включить в рассмотрение открытые, поскольку в теории открытых струн легчайшее возбуждение является векторной частицей с числом физических степеней свободы, как у калибровочного векторного бозоиа. Как мы объясняем в приложении к диссертации, открытые струны не могут существовать без замкнутых, иначе будет нарушена унитарность.
Концы открытых струн могут лежать на многомерных гиперповерхностях в объемлющем десятимерном пространстве — на так называемых О-бранах. В приложении к диссертации мы показываем, что динамика этих гиперповерхностей описывается возбуждениями открытых струн. Как мы ужо заметили, при низких энергиях теория для легчайших возбуждений открытых струн — это теория Янга-Миллса, содержащая как векторные бозоны, так и скалярные поля (и фермионы в суперсимметричном случае). Таким образом, квантовая теория Янга-Миллса, взаимодействующая со скалярными полями, приобретает ясный геометрический смысл как теория, описывающая первичио-квантованную теорпю бран, содержащую суммирование по вложениям (скалярным полям) многомерных гиперповерхностей в объемлющее пространство.
В силу всего вышесказанного теория струн выглядит очень привлекательно, т.к. помимо квантования гравитации, в рамках этой теории мы имеем единый подход к гравитационным и калибровочным теориям, что является важным шагом на пути объединения всех экспериментально открытых взаимодействий. Помимо этого, с этой точки зрения теория струн также помогает при решении задачи квантования многомерных бран, т.к. просто описывает их квантовые флуктуации. Задача квантования бран возникает, во-первых, по той причине, что не следует ограничиваться рассмотрением только линейных объектов (струн), раз уж мы пошли дальше частиц. Во-вторых, в последнее время стало популярным феноменологически рассматривать наш мир как четырехмерный мировой объем некоторой браны, вложенной в многомерное объемлющее пространство (12], что, на наш взгляд, выглядит естественным со многих точек зрения. В частности, общая ковариантность нашего мира в этом случае приобретает совершенно ясный смысл — физические процессы не должны зависеть от координатной сетки, выбранной на мировом объеме браны.
Однако в отличие от струн, теории на бранах достаточно больших размерностей явля-
ются настолько сложными, что с ними неизвестно как работать3, за исключением простейших ситуаций. Поэтому описание таких теорий в терминах теории струн выглядит очень привлекательно. Струны выглядят привлекательнее, во-первых, по той причине, что двумерная теория на их мировой поверхности значительно проще многомерных теорий на мировых объемах бран. Во-вторых, на массовой поверхности (с точки зрения объемлющего пространства) струнная теория инвариантна относительно группы конформных преобразований, которая имеет бесконечную размерность как раз в двух измерениях. Другим существенным фактом, который отличает браны от струн, является то, что неизвестна четкая градуировка, по которой одни возбуждения бран отщеплялись бы от других (как бсзмассовые возбуждения струн от массивных). И в конце концов именно в случае критической размерности объемлющего пространства можно полностью избавиться от метрики на мировой поверхности струн, чего обычно нельзя достичь в случае бран достаточно большой размерности. Соответственно, рассмотрение открытых струн некоторым образом улучшает ситуацию с квантованием бран, т.к. в таком случае можно иметь дело с двумерной конформной теорией с границей, а не с многомерной теорией на бране.
После того как мы пояснили полезность теории струн и бран, перейдем теперь к описанию структуры диссертации. В приложении к диссертации мы объясняем, что, в сущности, струны в современной формулировке используются как пробники для фоновых полей, составленных из их же собственных возбуждений. В случае, если фоновые поля находятся на массовой поверхности, т.е. если они решают уравнения гравитации и/или Янга-Миллса, теория на мировой поверхности струн является конформно-инвариантной. Практически только в таком случае удается посчитать корреляционные функции в теории струн. Существенную роль также играет присутствие суперс.имметрии на мировой поверхности струны и в объемлющем пространстве, иначе приходится иметь дело с тахионом. Более того, меняя фон в теории струн, необходимо заново пересчитывать спектр и корреляционные функции в ней. Это называется фоновой зависимостью в теорий струн. Именно эти проблемы и составляют основной интерес для первой части диссертации.
Вторая глава посвящена изучению возможности использования Б-бран вместо струн в качестве пробников для различных фонов и процессов в теории струн. Во всяком случае, здесь нет' никаких оснований ожидать, что все вычисления можно проделать только для фоновых полей на массовой поверхности. В первой части этой главы мы показываем, как можно восстановить метрику фоновой ПЗ -браны из редуцированной теории Янга -Миллса с гипермультиплетами. Во второй части сделана попытка выйти за пределы массовой поверхности и показано, как Б-брана может пробовать аннигиляцию Б-анти -Б-системы. Аннигиляция видна на пробнике как ренормализационно-групповой поток. При этом из некоторых симмстрийных соображений для теории па мировом объеме пробника можно восстановить вакуумное значение фонового тахионного поля после аннигиляции. В третьей части этой главы мы показываем, каким образом связаны перенормировки в четырехмерных калибровочных теориях и в теориях, полученных из них редукцией в меньшее число измерений. Мы используем это наблюдение для альтернативного доказательства теорем о неперснормнруемости в четырехмерных теориях с большим числом суперсимметрий. Во всех этих вычислениях существенным является наличие суперсимметрии в вакууме теории. Формализм для фоновых полей, существенно не уважающих суперсимметрию, к сожалению пока не разработан.
3В сущности, эта проблема эквивалентна квантованию многомерной общекопариантной теории, либо с нелинейным действием, либо же содержащей динамическую гравитацию.
9
Во третьей главе показано в чем заключается проблема теории струн пне массовой поверхности. Мы рассматриваем эту теорию на фоне квадратичного профиля тахионного поля, который нарушает' конформную инвариантность, и показываем расхождение, в силу такого нарушения, между вычислениями некоторых струнных амплитуд в разных формализмах. Затем мы объясняем, каким образом необходимо модифицировать один из формализмов, чтобы добиться согласия с результатом вычисления в другом. Однако это удастся сделать только в простейшей ситуации — квадратичного профиля тахионного поля.
Далее в третьей главе мы находим приближение и регуляризацию, при которых можно сформулировать теорию открытых струн вне массовой поверхности. Используя это приближение, мы приводим формулу, описывающую взаимодействие Ш1 полей с произвольной конфигурацией О-бран. Явные формулы написаны только для произвольной конфигурации параллельных бран, однако легко обобщаются. К сожалению, такого прогресса удается достичь только для аномального типа взаимодействий бран с фоновыми полями закрытых струн.
В четвертой главе мы рассматриваем АдС/КТП-соответствие. Оно задает связь между четырехмерной конформной калибровочной теорией поля (КТП) и гравитацией на пространстве Анти-ДеСиттера (АдС). В приложении к диссертации мы приводим краткий обзор АдС/КТП-соотвегствия в рамках обзора современного состояния теории струн. Простейший случай этого соответствия описывает связь между М = 4 суперсиммет-ричной теорией Янга-Миллса и десятимерной супергравитацией типа ИВ на пространстве ЛбЭз х Бб. Используя его, мы формулируем голографиическую ренормализацнопную’ группу. В такой формулировке реиормализационная группа приобретает яспый геометрический смысл и естественно вкладывается в теорию струн. Помимо этого, АдС/КТП-соотвстствие полезно для обоих сторон соответствия. Во-первых, оно дает первый пример теории струн, описывающей динамику калибровочных полей. Во-вторых, но сути дела, оно устанавливает, что квантовая гравитация б сильной связи описывается калибровочными полями. Однако все эти факты можно обнаружить только при наличии конформной симметрии. При этом не имеется явного доказательства АдС/КТП-соответствия даже в-' простейших ситуациях. Все это усложняет продвижение на пути понимания общего соответствия между калибровочными и общековарнантными теориями. По крайней мере, остается неясным, важна ли конформная инвариантность для этого соответствия или нет.
Четвертая глава заканчивается рассмотрением некоторого предела ЛдС/КТГЬсоотвегствия, который устанавливает связь между суперсиммстричной теорией Янга-Миллса, в некотором двойном скейлинговом пределе, и теорией струн на фоне метрики рр-волны. Есть надежда [13], что рассмотрение этого предела АдС/КТП-соответствия позволит точно решить как саму суперсимметричную теорию Янга-Миллса в пределе большого числа цветов, так и дуальную ей нелинейную сигма модель на фоне пространства Анти-Де-Ситтера.
Мы же приводим формулу, которая устанавливает явную связь между корреляционными функциями на обеих сторонах соответствия в рассматриваемом двойном скейлинговом пределе.
В пятой главе мы излагаем точное решение некоторых некоммутативных моделей. Некоммутативные теории возникают в низкоэнергетическом пределе теории струн на фоне постоянного антисимметричного 2-тензорного поля. Предполагается, что они являются самосогласованными пределами теории струн. Если это верно, то некомутативные теории являют собой первый пример самосогласованных нелокальных теорий поля. Действи-
10
тельно, если некомутативиыми являются пространственные координаты, а время остается коммутативным, то соответствукнцие теории имеют лишь нетривиальные дисперсионные соотношения, но при этом унитарны. Остается вопрос их перенормпруемости. Он возникает по причине наличия в этих теориях инфракрасных расходимостей специального вида. Как мы обсуждаем в пятой главе, имеются аргументы в рамках теории возмущений в пользу того, что некоммутативные теории перенормируемы. Однако мы увидим, что в случае некоммутативных точно-решаемых моделей не удается избавиться от обрезания в эффективной константе связи. Ситуация выглядит таким образом, что если некоммутативная теория вообще имеет инфракрасные расходимости, то она неперенормируема.
На этом заканчивается наше обсуждение стандартной теории струн. Мы надеемся, что достаточно ясно показали некоторые из проблем этой теории. Причиной большинства этих проблем является отсутствие вторично квантованной формулировки теории замкнутых струн: на данный момент ясно сформулирована только вторично квантованная теория открытых струн на плоском фоне. Иными словами, та формулировка струнной теории поля, которая известна на данный момент, существенным образом зависит от фона задаваемого замкнутыми струнами. Именно поэтому мы не умеем описывать процессы в теории струн вне массовой поверхности. Т.е. основной задачей теории струн на данный момент мы считаем поиск адекватного формализма вторичного квантования.
В главе шесть мы излагаем альтернативный подход к квантованию гравитации. В обычном подходе к квантованию гравитации (или бран) рассматривается функциональный интеграл по всем гладким метрикам (дважды дифференцируемым, чтобы можно было определить детерминант оператора Лапласа на их пространстве). В этой ситуации необходимо поделить меру интегрирования по метрикам на объем группы диффеоморфизмов, чтобы в резз'льтате получилась сумма по физически не эквивалентным метрикам.
Как известно, проблемы в рассматриваемом формализме начинаются уже в размерности два, т.к. не удается квантовать двумерную гравитацию, взаимодействующую с произвольной материей, когда не отщепляется интегрирование по конформному фактору метрики. В связи с этим мы предлагаем альтернативный подход. Вместо суммирования по гладким метрикам, мы суммируем по всем кусочно постоянным. Последние плотны в пространстве всех двумерных метрик, т.е. любую метрику можно достаточно хорошо приблизить при помощи кусочно постоянной. В одном и двух измерениях мы предлагаем выражепия, которые содержат суммирования по всем кусочно постоянным метрикам, и показываем, что они равны фу нкциональным интегралам для 1>елятивистскон частицы и струны соответственно.
В главе семь мы формулируем теорию неабелевых тензорных полей. Она, как мы надеемся, помимо всего прочего должна помочь в квантовании струн и, в более общем случае, бран. Идея заключается в том, что квантовомеханическую амплитуду
<1/|е|/Уг|.т)
можно рассматривать как голономию для связности Н : Л —> Л в расслоении, базой которого является множество значений Т, а слоем — гильбертово пространство Л, т.е. пространство векторов (ж|. Тогда, как мы показываем, струнную амплитуду следует рассматривать, как голономию вдоль поверхности для некоторой связности В : Л? —> С на расслоении нового типа. В этом расслоении базой является пространство нетель на мировом листе струн £ (множестве всех значений а и г). Точкой такого пространства является
11
набор замкнутых кривых, вложенных в Е. Слоем рассматриваемого расслоения является континуальное произведение квантовомеханических гильбертовых пространств Н вдоль петель, П.ч %•» гДе 3 ~ это параметризация вдоль соответствующего набора путей. Т.е. элементом такого слоя является вектор (а'(.?)| = Таким образом, мы надеемся
представить струнную амплитуду в виде:
<У1Ч(*2)| • • • АЕ-Ц*"°*г1>™ |х<->(з,)) |*«Ы) ... |*6»(О),
где ЛЕ — это упорядоченная вдоль поверхности Е экспонента от кубического оператора В : 'И? —> С — матрицы (тензора) с тремя индексами. В седьмой главе мы определяем такую экспоненту и находим ее связь с топологиями двумерных поверхностей. Как мы на деемся, такой подход поможет нам сформулировать струнную теорию поля, не зависящую от фона.
Нередко бывает полезным возвращаться к обсуждению простых и фундаментальных вопросов. Поэтому в последней главе мы обсуждаем (лабильность различных гравитационных фонов в контексте эффектов Хокинга и Унру. Понимание этих явлений является первым шагом на пути квантования гравитации. Мы устанавливаем связь между эффектами Унру и Соколова-Тернова. Т.к. последний подтвержден экспериментально, то мы надеемся, что эта связь прольет свет на физическую природу эффекта Унру п излучения Хокинга. В заключении мы перечисляем основные результаты диссертации.
Чтобы сделать текст диссертации как можно более самодостаточным и пашу мотивацию более предметной, мы приводим в приложении к диссертации краткий обзор теории струн и АдС/КТП-соответствия.
Благодарности
Мне приятно выразить благодарность Ф.Губареву, М.Чернодубу, К.Зарембо, М.Зубкову, Ю.Макеенко, А.Рослому, С.Харчеву, А.Миронову, В.Захарову, А.Хорошкину, С.Хороткину, Т.Пшшнгу, Д.Синглетону, А.Маршакову, С.Локтеву, Ю.Неретину, Ю.Чернякову, А.Червову, Т.Панову, Д.Талалаеву, А.Горскому, Г.Семенову, М.Лейдлоу, Ф.ДеБуру, И.Полюбину,
A.Забродину, А.Лосеву, Г.Шарыгину, Д.Васильеву, Н.Амбург, А.Александрову,
B.Побережному, А.Городенцеву, А.Левину, А.Рудакову, Б.Крейнес, А.Морозову, В.Долотину,
В.Псстуну, А.Дымарскому, Д.Мельникову, С.Ландо, С.Дужину, Ш .Тайсону, И.Арталпсипу, М.Казаряну, В.Бухштаберу, А.Смилге и Д.Звонкину за интерес к моей работе, многочисленные научные споры и обсуждения. Без обсуждений и совместной работы с А.Герасимовым не было бы существенной части этой диссертации. Мне хотелось бьг поблагодарить своих соавторов за совместную работу над статьями, на основе которых написана эта диссертация. Особенно мне хотелось бы поблагодарить К.А.Тер-Мартиросяна, К.Зарембо, Сейфа Ранджбар-Даеми, Гордона Семенова, Германа Николаи, Тада Тсукаса, М.Поликарпова, Е.Суслову, М.Данилова, М.Олыпаиецкого, Л.Маршакова, А.Рослого, Дугласа Синглето-на, Б.Агаева и ученого секретаря ИТЭФ В.В.Васильева за поегоянную по;(держку с их стороны. Я так же хотел бы поблагодарить свою супругу В.Ахмедову, брата Э.Ахмедова
и родителей за поддержку всех моих начинаний. Так же я хочу поблагодарить Е.Суслову,
И.Бахматова, Т.Миронову, Н.Пирменова, Э.Мусаева, В.Ахмедову и особенно А.Рослого за
чтение, корректуру текста и критические замечания к диссертации.
«
12
2 D-браны как пробники
Вместо конформных теорий на мировой поверхности струн в качестве пробников можно использовать теории Янга-Миллса на мировых объемах D-бран. Это открывает новые возможности в исследовании связи между гравитацией и теорией Янга-Миллса. Действительно, D-браны могут “чувствовать” искривление внешнего пространства через метрику на собственном вакуумном пространстве модулей. Мы увидим, как эта метрика связана с решениями уравнений гравитации. Однако ситуация этим не ограничивается, т.к. D-браны могут пробовать также и солитоны в теории Янга-Миллса и фоны, не уважающие суперсимметрию, что позволяет выйти за пределы массовой поверхности в теории струн. Эта глава посвящена изучению всех перечнслепых здесь явлений.
2.1 Гравитационные солитоны и D-браны
D-инстантон (D(-l)-6pana) наиболее удобен в качестве пробника, т.к. в его случае мы проделываем все вычисления в матричном, а не в функциональном интеграле: “поли” на D-инстантоне вообще не зависят от координат, а потому просто являются матрицами. При этом конфигурация D-инстантон на фоне ОЗ-браны удобна, т.к. сохраняет часть суперсимметрии, что существенно упрощает вычисление и облегчает трактовку результата. В статье [27] мы рассмотрели именно такую ситуацию. Не смотря на то, что мы имеем дело с матричной моделью, мы все равно будем использовать стандартную терминологию теории поля (т.е. именовать матрицы полями, а соответствующие члены в экспоненте под интегралом — кинетическими членами или же потенциальными) и надеемся, что эго не приведет к непониманию.
Для начала объясним, каким образом D-инстаитон может пробовать внешнюю метрику, и что означает разложение при низких энергиях в этом контексте. В предыдущих статьях на эту тему в качестве пробников использовались D -браны, у которых был мировой объем. Это давало возможность пробовать метрику внешнего пространства-времени стандартным образом [28] — посредством того члена в действии для теории в мировом объеме пробника, который зависит от производных от полей. В случае D- инстантона, в свою очередь, нет такого члена в действии, т.к. он является точкой в объемлющем пространстве-времени. Однако в статье [29] было показано, что D-браны могут также пробовать внешнюю метрику через коммутаторы в собственных действиях. Например, случай нескольких (n > I) D-инстантонов на фоне радиально симметричной метрики Gfll/ описываегся следующим эфс[>ективным действием:
S.** = —l^Tr ( - G,„, (|а|2) • Gvl/ (|а|2) • [а", а"] [а'1', а*']) -I-
-I- super - partners + О (Тг [а, а]3) , (2.1)
где |а|2 = Diag^^j а2 — это диагональная часть квадрата матрицы а/п (/і = 1,..., 10) из группы U(n)y собственные значения которой параметризуют положения D-инстантонов в объемлющем пространстве, т.е. а — это легчайшие возбуждения струн, оканчивающихся на D-инстантонах.
В рассматриваемой формуле предполагается, что диагональная часть а намного больше ее недиагональных компонент. Поэтому разложение но степеням коммутатора осмыс-
13
ленно, т.к. последние зависят только от недиагоиальных компонент а. Как мы увидим ниже, в нашем случае первый (квадратичный но коммутаторам) член в такой формуле определяется однозначно.
Вклад вида О (Тг |я,а]3) в уравнении (2.1) включает псе высшие степени коммутаторов. Они необходимы, чтобы существовал аналог “общей ковариантности”4 в этом контексте. Ряд по степеням коммутаторов является аналогом разложения по степеням производных, т.е. представляет собой низкоэнергетического разложение. Действительно, после преобразования Т-дуальности матрицы перейдут в дифференциальные операторы — в ковариантные производные 0{1 + 10/4(.т), где ау1(.т) — уже калибровочное поле.
2.1.1 Ю- инстантон на фоне ПЗ-браны
Давайте теперь опишем теорию на Б инстантоне, с которой мы собираемся начать наши выкладки. Это суперсиммстричная II(п) матричная модель с дополнительными ги-пермультиплетами, описывающими фон из N ЭЗ-бран [30] (см. рис. 1). Конкретнее, эта теория должна содержать гипермультиплеты как в присоединенном представлении группы и(п), так и /V гипермультиплетов — в фундаментальном. Соответствующее действие можно получить посредством редукции из четырех в ноль измерений некоторой Л1 = 2 суперсимметричной и(п) теории Янга-Миллса. В обозначениях — 1 суперсимметрии последняя описывается лагранжианом следующего вида (дум — <7»):
•
(2.2)
где а и к это векторный мультинлет (с супернапряженностью суперкалибровочного поля ИУ и гипермультиплет в присоединенном представлении, соответственно. Они вместе составляют N = 2 векторный мультиплет. ф[ — это два N = 1 гипермульгиплета в присоединенном представлении, принадлежащие N = 2 суперполю, а, /г и ф[ вместе составляют один ЛГ = 4 векторный супермультнплет, и теория (2.2) только для пего описывает 03-браны в плоском пространтсве, т.е. без 07-брап. Присутствие N 07-бран добавляет на мировом объеме ОЗ-бран поля др и р = 1,..., 'V — это гипермул ьтиплеты в фундаментальном и антифундаментальном представлении калибровочной группы, соответственно. Они, в свою очередь, составляют N N = 2 суперполей в фундаментальном представлении (см. рис. 1).
Теория (2.2) описывает низкоэнергетическую динамику в мировом объеме п ЭЗ-бран в нестабильной ситуации — при наличии N Б7-бран. Ситуация нестабильна, т.к. при достаточно большом числе N четырехмерная теория (2.2) имеет (5 функцию, отвечающую
^Которую все еще остается понять в такой ситуации, когда координаты становятся некоммутирующими матрицами (29]. Однако общая ковариантность приблизительно выполняется в каждом порядке разложения (2.1).
I, = —Тс 1 I (РО \¥а\У" + 2 У (1Л9 к ' е^к + +2 Е/ ^Оф,е-^ф, + |ф,М +
-2 ^2 (/ а'в Че е~“%’+ / $>%) } >
14
Рис. 1: л О-инстантонов на фоне N ОЗ-бран и соответствующие легчайшие моды открытых струн.
полюсу Ландау6. Следовательно, такая теория не самосогласованна на квантовом уровне. Однако ее редукция в ноль измерений имеет смысл и описывает стабильную ситуацию: и Б-инстантонов на фоне N БЗ-бран.
После редукции рассматриваемое действие для Б-инстантонов имеет следующий вид в компонентных полях:
^Геометрически такая ситуация нестабильна но следующей причине. Б7-браны искривляют пространство таким образом, что возникает дифицит угла в двух ортогональных к их мировому объему измерениях. Когда Б 7-брам много {У большое), дефицит угла оказывается больше, чем 4л, что отвечает замкнутым и компактным двум измерениям. Однако в компактный объем нельзя поместить ненулевой заряд, который несут браны, что и приводит к несостоятельности такой си гуации.
15
_ сопэЬ • •Ь —
9*
—IV { К, а„]2 - |К„ Л]|2 + Аа" [а,, А] -I-
+Х041 к, х) - Ъ'/Ь ([А, х\ + [л, х] 1ь) Ь ([л+> /г] [Ф7 > 0/] + 9р ®Яр~Яр® 9р)2 -
-2
1 2 2е/Л0Ь0Л -Ь<7р®<7р
“ \\ар,ФА? + Ф^ [ад> Ф/] ~
-гл/2 ([Л, V»/] Ф\ + [А, Фг] Ф\) ~ 2 \[ф!, Л)|2 -
-\/2 ([0/, х] 0/ + [0/, х] 0/) ~ ~^д (Ьси (0/, ФА + к+еи [0/, 0./])
- I«/: Яр? - |«Л 9р|2 - 2 |/г 7Р|2 - 2 |/1^р|2 +
+Рр<г,1аи рр + ррсг'1 ая /5Р -|- гл/2 Л рр - /7,, Л (1р - (]+ Л рр + /5рЛдр) -
- ^2 (ррхЯР I- <7РXРр + РгЬрр + РРXЯр I- <7Р XРр + Рр Л’1' ДР) | • (2.3)
Здесь <х'*, (/г = 0,3) — это матрицы Паули; 0 означает внешнее произведение по ин-
дексам из группы и(п). Мы не показываем явно эти индексы так же, как и спинорнме. Отныне мы предполагаем суммирование по всем повторяющемся индексам, если не оговорено противное.
В действии (2.3) мы обозначили бозонные компоненты суперполей так же, как и сами N = 1 поля; Л и х — это суперпартперы четырех действительных аи и одного комплексного скаляра к; фг — это суперпартнеры двух комплексных полей фр, рр и рр — суперпартнеры N комплексных скаляров qp и др, соответственно. При выводе действия (2.3) мы предполагали, что положения всех БЗ-бран совпадают с началом координат в шести направлениях, перпендикулярных им.
Давайте объясним теперь струнное происхождение этих нолей (см. рис. 1) и их геометрический смысл. Собственные значения шести скаляров ат = (ар,Ял Л., I т/г), (т =
1,...,б) параметризуют положение п Б-инстантонов по отношению к БЗ-бранам. Когда эти поля имеют ненулевое вакуумное значение, тогда Б-инстантоны отделены от БЗ--бран. В то же самое время собственные значения двух комплексных скаляров ф[ задают положения Б-инстантонов в четырех направлениях вдоль БЗ-бран.
Чтобы понять геометрический смысл полей qp и <7Р, надо посмотреть на суперсиммет-ричное “вакуумное состояние” теории (2.3). Как следует из (2.3), среди условий на это состояние имеются следующие:
[ФпФг] + Яр ® Яр - ЯР <8> Яр = О,
[ФьФА + Яр ®Яр = 0. (2.4)
Эти условия вместе с факторизацией по группе и(п) являются основной составляющей конструкции Атьи-Дринфельда-Хитчина-Манина (АДХМ) п-ннстантонного пространства модулей для группы и(IV). (См., например, [31, 32) на предмет дискуссии в контексте, близком к нашему.) Поэтому, тогда как собственные значения матриц ф[ отвечают
16
положениям п инстантонов, их размеры и относительные групповые ориентации представлены матрицами 7Р и цр. Последние могут иметь ненулевые вакуумные значения, если Ю-инстантоны находятся внутри мирового объема БЗ-бран. Эта ситуация описывает обычные инстантоньг в теории Янга-Миллса [33] с размерами и цветовой ориентацией, заданными <7Р и 7Р. Действительно, как следует из рассуждений в последней части параграфа
1.1, с точки зрения теории на мировом объеме ОЗ-браны П-инстантон выглядит просто как обычный инстантон в теории Янга-Миллса. Т.е. отвечает нетривиальному второму классу Черна для калибровочных нолей на мировом объеме ЭЗ-бран.
2.1.2 Эффективное действие для О-инстантонов
Теперь мы найдем эффективное действие для В -инстантонов на кулоновской части их пространства модулей — когда они отделены от ОЗ-бран. Как ясно из формулы (2.1), чтобы вычислить метрику, надо полностью восстановить только члены, квадратичные по степени коммутаторов.
Когда О-инстантоны отделены от ИЗ бран; имеется ненулевое вакуумное среднее у аш — (а/пКс.к,\т1г). Вращением в алгебре и(1\) его можно положить равным (в этой формуле не предполагается суммирования по г):
где г,, (г = 1,..., п) — это расстояния между t-м D-инстантоном и ОЗ-бранами. В конце, для упрощения интерпретации конечного результата, мы положим все г; —+ г. Также ат могут иметь маленькие ненулевые недиагональные части как возмущение над диагональной частью |ü|. Помимо этого, мы включаем ненулевой фон из полей ф{ с аналогичным условием на их недиагоналънзто часть, по сравнению с |а|. Т.е. мы слегка нарушаем суперсимметрию и имеем маленькие, но ненулевые коммутаторы матриц ат и ф/, что похоже на случай с ненулевой скоростью у пробной браны, как в статье [28].
Как видно из действия (2.3), поля 7;„ qp, рр и рр приобретают “массы” (заданные гг) на фоне (2.5). Мы проинтегрируем по ним, чтобы получить эффективное действие для “безмассовых” полей ат и ф/. При этом “безмассовые” ферм ионы Л, х и iJi положены равными нулю. Соответствующие им члены в эффективном действии можно восстановить при помощи преобразований суперсимметрии.
Для рассматриваемого фона действие (2.3) можно переписать следующим образом:
(2.5)
S = Sd + —TV \ FF* - y/2Fqp 0 7;> - V5F *'q* & q*~
O2 -\- D (qp ®qP-qp® q*) -
~ [Ф'г » 4>i\ {(Jp ® <1p -%® ÿ) - tu \Фг, ФА <lp ® QP -
-eu [Ф*, Ф+] Qp ® <]p - Idm Qpf - k/m 7p|2 "H Рр<^ a,СPP + PP ^ pp -
(2.6)
17
где Sd — это та часть (2.3), которая зависит только от ат, (т = 1,—,6) и ф]. В (2.6) мы явно выписали все члены, зависящие от компонент гипермультиплетов qn и qp. Чтобы восстановить действие (2.3), в этой формуле надо проинтегрировать по полям D, F и F+. Это приведет к появлению вкладов четвертого порядка по qp и qp в уравнении (2.3).
После выполнения гауссового интегрирования по фундаментальным гипермультипле-там и простых манипуляций с логарифмами, мы получаем следующее эффективное действие:
const. • Of'2 f 1, ,2 , ,.о 1 г ,4- I т2
*5cfr « TV i --[ат, ал) - |[am,<£/]|“ + - [ф}, гр/1 -
•Js V,
\си\Ф1,ФА\2 + FF+-io2}--yTrlogjl + £ ([#, ф,\ -D?-^ \си\Ф,, ФА + V2Ff + ...} -н
+|Trlog{l-^ |ат,а„]2 + ...}-|-..., (2.7)
где многоточие подразумевает члены высших степеней по коммутаторам и полям F и D. В эту формулу мы подставили явное выражение для вакуумное значение \а\2 из уравнения (2.5). Затем был взят предел г* —*■ г. Первый логарифм в полученном выражении — это вклад, бозонов qp и qp, тогда как второй возникает из-за фермионов рр и рр.
Для того, чтобы наконец получить члены второй степени по коммутаторам, необходимо разложить логарифм из (2.7) только до лидирующего порядка. Действительно, все высшие поправки дшот после интегрирования по полям F и D вклады в высшие члены в разложении в формуле (2.1). Таким образом, выполняя это разложение и интегрирование по F и Д мы получаем окончательный ответ:
const-a72 f 1 / Я4\ _ . ,2 m .г , n 2
Scff =----------< + — J Tr la™’ - ^ lla'"> Фг\\
+K1 + S) >Ъ ~ Iе" ^H2) J + о (TV |., .Iя) , (2.8)
что есть в точности эффективное действие для D-инстантона в форме (2.1) на фоне БПС 3-браиы (А.518),(А.б22):
dls = ^1 + dip!dipi + ^1 -h ^2 d(irnda,„, (2.0)
где r2 = 2m=i в'то* Теперь можно видеть, что когда все коммутаторы равны нулю, т.е. суперсимметрия не нарушена, бозонные и фермионпые детерминанты идеально сокращают друг друга в уравнении (2.8). Более того, уравнение (2.8) является точпым выражением в этом порядке разложения по коммутаторам (2.1), что находится в полном согласии с общими свойствами неперенормируемости в присутствии суперсимметрии.
18
2.1.3 Выводы
Итак, мы видим, что Б-браньт тоже можно использовать в качестве пробников. Более того, в отличие от вычислений в теории струн, в этом случае все вычисления можно проделать вне массовой поверхности. (Это несмотря на то, что вычисление выше все же было проделано на массовой поверхности с точки зрения теории гравитации, т.к. полученный гравитационный фон решает уравнения супергравитацни.) Однако для выполнения вычислений, аналогичных приведенным в этой главе, очень важно присутствие суперсимметрии в вакууме теории. Ситуацию иногда можно слегка поправить, и мы переходим сейчас к изучению этого вопроса.
2.2 Солитоны в теории Янга-Миллса и Б-браны
Б этой части мы хотим посмотреть как Б-брана пробует фон, не уважающий суперсимметрию, а именно аннигиляцию Б-Б-системы. Как мы показываем в приложении, вакуумное состояние струн, перетянутых между Б- и Б-б ранами является тахионом, когда последние совмещены. Основной проблемой, стоящей на пути понимания этой ситуации, является то, что в присутствии тахиона высшие струнные возбуждения не отщепляются от безмассовых. В результате неизвестен полный функционал энергии для тахиона в рамках приближения теории струн теорией поля.
Вместо того, чтобы искать тахионный функционал энергии, мы хотим здесь применить другой подход [34] и найти способ независимого определения вакуумного среднего тахиона. Известно, что во многих ситуациях Б-браны дают хорошее микроскопическое описание различных низкоэнергетических явлений. В частности, пример, ближайший по содержанию к содержанию этой главы, представлен в статье [35]. В этой статье дано описание инстантонов в суперсимметричной теории Янга Миллса при помощи Б-бран. А именно, калибровочная связность, отвечающая инстантону, получена из низкоэнерге-тической теории, описывающей Б1 брану на фоне Б5-браны в теории суперструн типа I. Наиболее важным для нас в этом контексте является то, что теория для Б1-браны абсолютно однозначно фиксируется инвариантностью относительно (4,0) суперсимметрии [36).
Воодушевленные этими наблюдениями, мы хотим рассмотреть в теории струн типа 1, как будет меняться действие для Б1-браны, помещенной на фоне Б9-Б9-системы, если последняя начнет аннигилировать. В этом случае Б1- брана является пробником. Для того, чтобы рассматриваемая теория была безаномальна, необходимо, чтобы число Б9-бран превосходило число Б9-бран на 32, а группа симметрии на Б9 Б9 системе была не ориентируема [37, 38, 39].
Процесс аннигиляции Б9--Б9 системы выглядит, с точки зрения теории для Б1 браны, как поток ренормалнзационной группы [40]. Действительно, как мы увидим, после аннигиляции некоторые из струн, перетянутых между В1-браной и Б9-Б9-системой, станут массивными и выпадают из спектра низкоэнергетической теории на пробнике. Эта теория описывает Б1-брану на фоне уже только 32 Б9-бран и, возможно, с некоторой нетривиальной калибровочной связанностью на них, что является вакуумом в теории струн типа I.
Здесь мы стартуем с теории на пробнике, которая сама уже является низкоэнергетическим промежуточным состоянием в ренормализационно-грулповой эволюции. Она
19
является приближением к пока еще неизвестной микроскопической теории. Поэтому мы не ожидаем, что в этой картине нам удастся восстановить явный вид того, как тахионное поле эволюционирует в минимум собственного функционала энергии. Однако мы можем надеяться, что нам удастся восстановить явные значения тахионного поля, которые уважают суперенмметрию и являются значениями, минимизирующими соответствующий функционал энергии.
В частности, можно надеяться, что существует некоторая симметрия в теории на пробнике, которая ограничивает возможные значения тахионного поля после аннигиляции. Действительно, перед аннигиляцией теория на пробнике не инвариантна относительно какой-либо суперсимметрии. Однако по ренормализационной группе эта теория эволюционирует в суперконформно инвариантную точку — некоторый вакуум в теории суперструн типа I. Мы думаем, что должна существовать некоторая скрытая (возможно, нелинейно реализованная) симметрия, которая вынуждает эволюционировать теорию таким специальным образом. В этой части мы предложим кандидата на роль такой симметрии.
2.2.1 Твисторная формулировка действия для пробнике и к—симметрия
Мы рассматриваем теорию струн типа I, содержащую 32 + 4к 1)9 бран и 4к 119-бран. Мировые объемы этих бран заполняют все десятимерное пространство-время. Мы будем пробовать аннигиляцию 09-139-системы при помощи БІ-брапьт. Такой специальный набор 09- и 139-бран. объясняется тем, что мы хотим изучить минимальную ситуацию, в которой в результате аннигиляции появляются к 05-бран.
В формулировке Гріпіа-Шварца, или в твисторном формализме, теория на пробнике содержит при низких энергиях следующие поля (см. рис. 2). Во-первых, имеются легчайшие возбуждения струн, оканчивающихся обоими своими концами на БІ-бранс. Эти моды — бозоны.х,1у (// — 0, ..,9) и десятимерные Майорана-Вейлевские фермионы (Д = 1,16) [41, 42]. Во-вторых, имеются легчайшие возбуждения струн, перетянутых между 01- и 09-бранами. Эти возбуждения — двумерные Майорана-Вейлевские фермионы Л [42]. В-третьих, имеются возбуждения струн, перетянутых между 01- и 09-бранами. Соответственно, эти возбуждения — двумерные Майорана-Вейлевские фермионы х противоположной киральности по отношению к Л [194, 195]. Если бы не присутствие X, то 01-брана несла бы теже квантовые числа, что и гетеротичсская 50(32) струна [42].
Мьт будем работать в твисторной формулировке теории на пробнике [43, 44]:
Здесь и являются внешними полями. Их точное определение не важно для нашего дальнейшего изложения и может быть найдено в статье [43]. Эти внешние поля должны
|-\\гезз — 7дітіпо Ьсгт -Ь
20