Квантовая динамика в суперсимметричных моделях теории поля

Содержание
1 Введение 6
1 Квантовая структура четырехмерных киральных супсрполевых моде- »
лей общего вида 45
1.1 Введспие............................................................... 45
1.2 Модель общего карального суперполя .................................... 47
1.3 Фоново-квантовое расщепление........................................... 49
1.4 Разложение по киральным координатам.................................... 49
1.4.1 Разложение в терминах неограниченных суперполей.................. 51
1.4.2 Супералгебра ковариантных производных............................ 52
.. 1.5 Однопетлевые вычисления 54 1
1.5.1 Однопетлевые репараметризационно ковариантные контрчлены . . 54
1.5.2 Конечные вклады.................................................. 57
1.6 Выводы................................................................. 59
2 Эффективное действие суперсимметричнон квантовой теория поля на неаитикоммутативном суперпространстве 61
2.1 Введение............................................................... 61
2.2 Неантикоммутативное N = 1/2 суперпространство.......................... СЗ
2.3 Модели ЛҐ =1/2 суперсимметричной теории поля .......................... 67
2.3.1 Неантикоммутативная модель Весса-Зумино ......................... 68
2.3.2 ЛҐ = 1/2 суперсимметричная теория поля Янга-Миллса............... 69
2.3.3 Общая модель кирального и антикирального супернолей.............. 70
* 2.4 Расходимости и перенормировка.......................................... 79
2.5 Одиоиетлевос эффективное действие...................................... 80
2.5.1 Квантовые поправки в общей киральной теории ..................... 80
2.6 Эффективное действие деформированной
модели Весса-Зумино.................................................... 87
2.6.1 Схема вычисления однопетлевого эффективного потенциала .... 87
2.6.2 Техника символов операторов и представление теплового ядра ... 90
2.6.3 Точное вычисление теплового ядра................................. 92
2.6.4 Разложение теплового ядра ....................................... 95
2.6.5 Вычисление кирального эффективного суперпотснциала............... 97
2.6.6 .Расходящаяся часть эффективного потенциала......................100
2.6.7 Структура конечных вкладов.......................................101
2.6.8 Вклад в киральный эффективный суперпотенциал на постоянном фоне....................................................................104
2
і
2.7 Одиопстлевыс поправки в теории Янга-Миллса на нсаитикоммутативном суперпространстве..........................................................105
2.7.1 Калибровочно-инвариантное эффективное действие, индуцированное полями материи в фундаментальном представлении ...................106
2.7.2 Тепловое ядро и эффективное действие для неантикоммутативной суперсимметричной теории Янга-Миллса..................................108
2.7.3 Тепловое ядро на ковариантно-постоянном фоне векторного муль-типлета...............................................................109
2.7.4 Вклады калибровочного мультиплета и духов в эффективное действие 51/(2) суперсимметричной теории Янга-Миллса.....................112
2.8 Обсуждение.............................................................114
3 Квантовая эквивалентность моделей массивного тензорного поля на искривленном пространстве-времени 116
3.1 Мотивации.............................................................116
3.2 Квантование калибровочно инвариантной модели массивного тензорного поля.......................................................................117
3.3 Эффективное действие и квантовая эквивалентность.....................120
3.4 Выводы................................................................124
4 Однопетлевое, эффективное действие в Я = 2 суперсимметричной теории массивного поля Янга-Миллса 125
4.1 Введение..............................................................125
4.2 Я = 2 суперсимметричная массивная теория
ноля Янга-Миллса в гармоническом супернространстве....................127
4.3 Метод фонового поля...................................................132
4.4 Однопетлевые расходимости.............................................134
4.5 О компонентной структуре Я — 2 суперполевого
функционала (4.35)....................................................138
4.6 Обсуждение............................................................140
5 Однопетлевое эффективное действие Я — 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса 142
5.1 Я = 4 суперсимметричная теория поля Янга-Миллса ......................142
5.2 Суперполсвыс формулировки Я = 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса ....................................................................145
5.3 Формулировка Л/ = 4 суперсимметричной теории поля Янга-Миллса в Я =
1 суперпространстве...................................................146
5.4 Формулировка Я — 4 суперсимметричной теории ноля Янга-Миллса в Я =
2 гармоническом суперпространстве.....................................147
3
*
5.5 Метод фонового поля в Af — 1 суперпроетранстве.......................149
5.6 Вычисление функциональных следов и однопетлевого эффективного действия ...............................................................153
5.7 Преобразование Af — 1 суперсимметричиого оферентывного действия к явно
Af — 2 суперсимметрнчной форме.......................................156
5.8 Анализ деформации Af = 4 супсрсиммстрии дли эффективного действия в
Af = 2 суперпроетранстве.............................................160
Конструкция однопетлевого эффективного действия Af = 4 суперсимметричной теории Янга-Миллса в формализме гармонического супер-пространства 166
6.1 Введение............................................................ 166
6.2 N = 4 суперсимметричная теория янга-Мнллса в А/ = 2 гармоническом суперпроетранстве....................................................170
6.3 Однопетлевое эффективное действие в секторе гипермультиплета.........174
6.4 Анализ супердиаграмм для гииермультиплетно зависимых
вкладов в эффективное действие.......................................177
6.5 Представление собственного времени для-эффективного действия.........184
6.С Эффективное действие и его разложение по ковариантным спинорным производным ............................................................189
6.7 Полезное представление формулы Бейкера - Кемпбелла - Хаусдорфа . . . 192
6.8 Коэффициентные функции в разложении теплового ядра....................194
6.9 Итоги................................................................195
Гипермультпплетная зависимость однопетлевого
эффективного действия в Af — 2 суперконформных теориях 197
7.1 Введение.............................................................197
7.2 Модель и фоново-квантовое расщепление ...............................199
7.3 Структура однонетлевого эффективного действия .......................208
7.4 Вычисление однопетлевого эффективного действия.......................213
7.5 Гииермультиплетно зависимый вклад в эффективное действие за пределами условий массовой оболочки.........................................219
7.6 Итоги................................................................223
Модели Аарони-Бергмапа-Жафериса-Малдасены
в Af = 3 гармоническом суперпроетранстве 225
8.1 Введение.............................................................225
8.2 Теория калибровочных и материальных полей в Af=3, d=’3 гармоническом
суперпроетранстве.................................................. 227
8.2.1 Соглашения.....................................................227
8.2.2 Действие Черн-Саймонса и гипермультиплста в Лг=3 гармоническом суперпространствс...................................'............229
8.2.3 Лг=3 суперконформные необразования...............................232
8.3 Модель Аарони-Бергмана-Жафериса-Малдасены
в М =3 гармоническом суперпространстве.................................233
8.3.1 Свободные гипсрмулмиплеты........................................233
8.3.2 11(1) х и(1) теория.............................................236
8.3.3 и(Л') х и (Л/) теория...........................................240
8.4 Скалярный потепциал...................................................244
8.5 Другие варианты.......................................................246
8.6 Модели с Лг=8 суперсимметрией ........................................249
8.7 Эффект Хиггса в 11(1) х 1)(1) модели.................................253
8.8 Обсуждение............................................................255
9 Квантовые Аг—3, <1=3 теории Черн - Саймонс -
материя в гармоническом суперпространстве 258
9.1 Введение..............................................................258
.. 9.2 Теоретико-полевые модели в А*=3, с/=3 гармоническом супсрпространстве 259
9.3 Квантование методом фонового поля.....................................266
9.4 Примеры вычисления супердиаграмм......................................277
9.5 А'=3 суперсимметрия с центральными зарядами...........................282
9.6 Обсуждение............................................................289
10 Заключение 292
Список литературы .........................................................296
5
1 Введение
Современная физика элементарных частиц демонстрирует значительные достижения на пути понимания фундаментальных законов природы. К настоящему времени удалось продвинут!,ся от формулировки и консолидации количественной теории квантовой электродинамики (КЭД) к развитию структуры, способной описывать все многообразие наблюдаемых частиц и их взаимодействий в терминах нескольких фундаментальных взаимодействий и элементарных объектов. Эта теория, основанная па формализме релятивистской квантовой теории поля и калибровочной симметрии в качестве динамического принципа, известна как Стандартная Модель (СМ)(см., например, обзоры |1),[2], [3), [4], [5]). Следует подчеркнуть, что именно в рамках СМ находится решение знаменитой проблемы "московского нуль заряда"в КЭД, означающей рост эффективного заряда на малых расстояниях. Решение состоит в том, что на малых расстояниях собственно КЭД не может быть фундаментальной теорией, но должна быть частью неабелсвой теории ноля с контролируемым поведением на масштабах выше спонтанного нарушения симметрии. В результате сформировалось представление о СМ как о перенормируемой калибровочной квантовой теории поля.
Как математическая конструкция, СМ опирается на ряд положений (хотя и основанных на экспериментальных данных), которые являются частью ее определения, а не следствиями ее предсказаний. Например, массы фермионои, так же как их углы смешивания, могут принимать большое разнообразие числовых значений, которые являются априорно произвольными и должны быть определены экспериментально. Точно также, относительные силы трех фундаментальных взаимодействий, электромагнитных, слабых и сильных, являются свободными параметрами СМ, определяемыми в соответствии с экспериментальными данными. Тем не менее, благодаря внушительному ряду' экспериментальных подтверждении, СМ превратилась в полное и точное описание микроскопических явлении, которые являются основой нашего макроскопического мира. С одним известным исключением, наблюдались все элементарные частицы и взаимодействия, существование которых требовалось СМ. Динамические свойства фундаментальных взаимодействий, предсказанные СМ, были подтверждены с высоким уровнем точности, вплоть до максимальной, допускаемой трудностью измерений и теоретических вычислений. Эти успехи стали возможны благодаря замечательной последовательности грандиозных экспериментальных программ, начиная с обнаружения кварка очарования и нейтральных токов в 1970-х, и кончая открытием топ-кварка и косвенным извлечением его свойств из точных электрослабых измерений. В то время как пертурбатшшая квантовая хромодинамика (КХД) подтверждает свою твердую позицию одной из наилучшнм образом установленных областей теоретической физики, непертурбатипная КХД предлагает заметное число нерешенных вопросов (см., например, [0]). Имеется общее согласие, что адронная спектроскопия играет основную роль в исследовании динамики КХД, но также ясно, что
6
путь от фундаментальной КХД до спектроскопических адронных данных очень долог. Слабость теории в этом отношении происходит главным образом из-за нехватки полного теоретического понимания конфайнмента, который все еще является самой глубокой проблемой КХД.
Несмотря на то, что определяющий лагранжиан КХД и асимптотическая свобода (см., например, [7], [8], [9]) на коротких расстояниях твердо установлены, путь от этой стартовой точки к теоретическому описанию адронных явлений на больших расстояниях очень долог и труден и соответствующие исследования, начатые 40 лет назад до сих пор далеки от завершения (см. в качестве обзора [10]). На этом пути было развито много 1
красивых теоретических конструкций, позволяющих понять различные аспекты адронной физики. Наиболее ярким свойством чистой теории Яига-Миллса является линейный конфаймент, в котором кварки связаны между собой! тонкими трубками силовых линий цветового потока. Предполагается, что вакуум КХД представляет собой конденсат глюонов и кварк-антикнарковых пар. Если рассмотреть тяжелые пробный кварк и антикварк, разделенные большим расстоянием, сила взаимодействия между ними не спадает с расстоянием, а потенциальная энергия линейно возрастает. В этом состоит объяснение эмпирического факта, почему микроскопические степени свободы КХД кварки и глюоны подвержены инфракрасному ’’рабству” и никогда не проявляются в асимптотических состояниях. Как следствие, физически наблюдаемый спектр состоит из синглетных по цвету мезонов и барионов.
Поскольку до сих пор нет аналитического решения КХД в области сильпой связи имеет смысл обратиться к аналогичным физическим явлениям в которых энергия взаимодействия линейно возрастает на больших расстояниях, например, к сверхпроводникам второго рода. Для объяснения эффекта Мейсснера здесь рассматривается сверхпроводящий образец, помещенный между полюсами очень длинного магнита. Поскольку, с одной стороны, свехнроводящая среда (конденсат электронных пар) не пропускает внутрь себя магнитное поле, а другой стороны поток магнитного поля должен сохраняться, магнитные линии между северным и южным полюсами магнита должны образовывать тонкую трубку магнитного потока. Внутри этой трубки исчезает конденсат куиеровских пар и сверхпроводимость разрушена. Из трансляционной инвариантности следует, что плотность энергии магнитного ноля вдоль трубки постоянна, а полная энергия пропорциональна расстоянию. Эта струимо - подобная конфигурация имеет фиксированное натяжение постоянной силы между полюсами магнита. Конечно такое объяснение эффекта Мейсснера справедливо только в абелевой теории. Кроме того, в то время как в механизме магнитное ноле образовывало трубку потока, в КХД и КХД-подобиых теориях объектами пленения являются кварки и поэтому трубки потока должны быть хромоэлектрическими, скорее чем хромомагнитными. В середине 70-х Мамбу, ’т Хофт и Ман-дельстам [11], [12], |13] независимо выдвинули гипотезу дуального эффекта Мейсснера как определяющий механизм удержания цвета. В этом предложении конденсат монопо-
7
лей в хромоэлектрических теориях приводит к формированию неабелевой трубки потока между пробными кварками. Однако, несмотря на огромное количество работ, посвященных превращению этого сценария в физическую парадигму, мы до сих пор не имеем главных ’’строительных блоков”, таких как неабелевые струнно-подобные конфигурации. Неожиданным прорывом в реализации такого сценария стало нспертурбатнвное решение Зайберга-Виттена [14] для низкоэнергетнческого эффективного действия в N = 2 суперсимметричиой теории Янга-Миллса, слегка деформированной суперпотенциалом, нарушающим N — 2 суперсимметрию до Аг = 1. Этот сценарий ярко демонстрирует тот факт, что суперсимметрия является замечательным теоретическим полигоном для изучения сложных, в частности непертурбатнвных, эффектов в квантовой теории поля. В попытках лучшего понимания струнно - инспирированного механизма конфаймента в несуперсиммегричных теориях Янга-Миллса, которые могут быть более тесно связаны с КХД, в настоящее время активно продолжаются поиски моделей, обеспечивающих формирование неабелевых струн. Но внутренне согласованная теоретическая структура по прежнему отсутствует. Некоторые смелые предположения, нацеленные на объяснение сложных экспериментальных явлений или несоответствий с существующими моделями в терминах очень искушенных теоретических объяснений, основаны на параллелях между такими двумя важными проблемами в современной теоретической физике как конфаЙ-ментом в неабеленой калибровочной теории и нсвылетание материи за горизонт черной дыры (в качестве обзорных работ см., например, [15], [16]).
Остается лишь один недостающий элемент СМ: хиггсовский бозон. Можно сформулировать альтернативы СМ, совместимые с доступными данными эксперимента. Поэтому обнаружение хиггсовского бозона или опровержение этого понятия является первоочередной задачей исследований на Тэватроне и Большом Адронном Коллайдере (БАК). Его наблюдение окончательно утвердило бы СМ, как самую успешную попытку обнаружить законы, управляющие поведением Вселенной, вознаградив усилия поколений ученых; его опровержение стало бы революцией с далеко идущими последствиями. Недавние эксперименты проверили элекгрослабый сектор СМ с беспрецедентной точностью. Неабелева калибровочная природа взаимодействий массивных векторных бозонов W и Z была проверена на ЬЕР2. Эффекты квантовых поправок к электрослабым взаимодействиям фермионов также наблюдались. Их согласие с предсказаниями СМ было успешно продемонстрировано открытием топ-кварка на Тэватроне и согласием значения его измеренной массы со значением, требуемым для соответствия всем точным электрослабым данным. Однако при отсутствии до сих пор критического компонента СМ, хиггсовского бозона, механизм нарушения электрослабой симметрии остается все еще не выясненным и поэтому сегодня является самым жгучим вопросом физики элементарных частиц. Есть, однако, серьезные основания подозревать, что физика далее СМ должна играть ключевую роль в динамике элсктрослабого нарушения. Радиационный вклад в массу хиггсовского бозона растет линейно с масштабом, на котором обрезается интегрирование по кванто-
8
вым модам на коротюгх расстояниях. В этом вкладе доминирует эффект виртуальных пар тои-антитоп ква]жов, которые очень сильно взаимодействуют с хиггсовским бозоном из-за большой массы топ-кварка. Когда обрезание стремится к бесконечности, огромный и отрицательный квадрат голой массы хиггсовского бозоча требуется вводить вручную, чтобы сократи ть этот расходящийся радиационный вклад и оставить конечное значение, равное физической массе. Хотя эта процедура регуляризации совместима с перенорми-руемосгью СМ, требуется чрезвычайно точная тонкая подстройка, чтобы удержать тпн в диапазоне нескольких сотен ГэВ, если мы хотим позволить обрезанию доходить до единственного естественного верхнего масштаба СМ, а именно, до массы Планка. Эта проблема известна как проблема иерархии СМ. Она могла бы показаться академической, но стоит напомнить, что рассмотрение подобной проблемы прошлого столетия, собственной энергии электрона, сыграло свою роль в развитии КЭД. В том случае, электронная масса получала вклад от электрического поля, пропорциональный обратному электронному радиусу, и линейно расходящийся, если мы считаем электрон точечным. В случае с хиггсовским бозоном, роль электромагнитного поля заменена взаимодействием с полем, созданным, в основном, виртуальными парами топ-аититоп кварков. В случае с электроном, проблема была решена введением позитрона. Новые вклады в собственную энергию электрона, возникающие от позитрона, сокращают классические расходимости и сводят линейную расходимость к логарифмической, ко торая не требует точной подстройки. Можно трактовать наличие позитрона как проявление новой физики, которая вмешивается, чтобы урегулировать плохое ультрафиолетовое поведение эффективной нерелятивистской теории электрона. Для проблемы иерархии СМ подобное решение возможно путем введения новых состояний, вклады которых в собственную энергию хиггсовского бозона сокращают ведущую линейную расходимость. Как в случае позитрона, мы ожидаем, что их масса имеет порядок масштаба, на котором радиационные поправки начинают превышать саму массу хиггсовского бозона, а именно, несколько сотен ГэВ. В результате поиск расширений СМ, которые могут облегчить проблему расходимости собственной энергии хиггсовского бозона, чрезвычайно ограничен. Несколько моделей, удовлетворяющих этим ограничениям, были введены в последние несколько лет. Они обеспечивают богатый ландшафт для исследований на будущих экспериментальных установках. Среди этих моделей отметим суперсимметрию, динамическое нарушение симметрии, индуцированное новыми сильными взаимодействиями и теории, основанные на существовании дополнительных пространственных измерений (см., например,[17]). Если комбинация квантовой механики и специальной теории относительности потребовала удвоения спектра частиц - каждой частице соответствовала античастица - то суперсимметрия требует
и
введения суперпартнера для каждой фундаментальной частицы СМ. Косвенный намек на то, что такой сценарий может оказаться реальностью, состоит в том, что вычисление эволюции констант электрослабого и сильного взаимодействия с учетом новых виртуальных частиц позволяет достичь точного объединения. Не исключено, что открытие
9
суперпартнеров известных элементарных частиц, которое может быть экспериментально осуществлено в процессе работы БАК, приведет к расширению наших представлений о пространстве-времени. В качестве последнего обзора феноменологических особенностей минимальной суиерсимметричной СМ, а также возможных экспериментальных проявлений суперсимметрии на БАК (см., например, [18], [19], [20], [21]).
В большинстве теоретических моделей за пределами СМ предсказываются новые частицы с массами в диапазоне ТэВ. В минимальной суиерсимметричной СМ, например, партнер топ-кварка со спином 0 (стоп) играет роль позитрона в КЭД: его взаимодействие с хштсовским бозоном дает вклады, которые сокращают линейную расходимость собственной энергии хиггсовского бозона, возникшую из-за топ-кварка. Независимо от того, какая теория окажется правильной, надежда на проявление новых явлений на масштабе ТэВ очень сильна. В то время как сам хиггсовский бозон, как ожидают, будет намного легче 1 Тэва, это неверно для других частиц, которые завершили бы заполнение сектора электрослабого нарушения в теориях за пределами СМ. Замечательно, что самые легкие известные в природе массивные частицы, могли бы получить свою массу из явлений, имеющих место при самых высоких энергиях, и что их исследование может помочь в извлечении косиеиной информации относительно масштабов энергий, существенно отдаленных от нашего лабораторного опыта. Продолжающиеся исследования физики на масштабе ТэВ и выше остаются поэтому нашим, возможно, лучшим инструментом, способным пролить свет на явление электрослабого нарушения и идентифицировать новые теоретические парадигмы, которые приведут нас к решению некоторых выделенных выше фундаментальных проблем.
Общефизическое значение СМ основано не только на ее способности описывать фундаментальные свойства элементарных частиц. Оно также следует из успехов се применения вместе с астрофизическими и космологическими моделями, основанными на общей теории относительности (ОТО), к описанию свойств Вселенной в космологических масштабах. Например, слабые взаимодействия, описанные СМ, и существование трех семейств легких нейтрино позволяют предсказывать детальный состав разновидностей ядер, образовавшихся на ранней стадии Вселеннрй, в первые несколько сот секунд после Большого Взрыва. Согласие этих предсказаний с наблюдениями обеспечивает уверенную ратификацию всей теоретической структуры, используемой для описания ранней Вселенной, ратификацию, которая открыла путь к количественным исследованиям множества данных, собираемых современной наблюдательной космологией. Эти исследования стремятся связать происхождение особенностей ранней Вселенной с детальной картиной частиц и их взаимодействий (см., например, (22], [23]).
Глядя на огромный круг явлений, детально описанных СМ, естественно спросить: обеспечивает ли СМ ответ на каждый вопрос, который мы можем задать о фундаментальных свойствах Вселенной, или мы должны рассматривать ее как эффективную теорию, область применимости которой нарушается при переходе к более высоким энергиям? Чем
10
больше возрастает наше доверие к СМ, тем сильнее становится потребность исследовать ее концептуальные основы, происхождение ее постулатов и ее возможные недостатки. Эти три темы глубоко связаны, и их исследование может привести к расширению нашего знания о структуре материи. Сегодня имеется три убедительных, твердо установленных, наблюдательных факта, которые СМ не в состоянии объяснить: массы нейтрино, существование темной материи и величину барионной асимметрии Вселенной. Для каждого из этих наблюдений СМ делает очень определенные утверждения, оказываясь однако не в состоянии воспроизвести экспериментальные свидетельства. Возможно самым важным результатом в экспериментальной физике элементарных частиц за последние десять лет стало подтверждение, что нейтрино имеют массу. Картина в настоящее время согласуется с тремя семействами нейтрино, подвергающихся осцилляциям, когерентному квантовому явлению, на расстояниях от сотен до миллионов километров. Это может происходить только если нейтрино имеют массы и смешиваются. Нейтрино СМ являются безмассовы-ми и смешивание масс нейтрино является первым прямым сигналом физики за пределами СМ и требует или нового для данного случая закона сохранения или означает наличие новых явлений вне существующей структуры СМ. Нет никакого объекта, предсказанного СМ, ни элементарного, ни составного, который мог бы объяснить количество темной материи, требуемое недавними космологическими и астрофизическими наблюдениями. Механизм генерации барионной асимметрии Вселенной присутствует в СМ: он основан на СР-нарушении в кварковом секторе и на отклонении от равновесия, имевшем место во время электрослабого фазового перехода, когда температура Вселенной упала ниже температуры, отвечающей появлению фазы, в которой нарушена симметрия «9£/(2) х £/(1). Хотя и пригодный концептуально, этот механизм терпит неудачу количественно. Кроме т(?го, даже если бы мы были готовы принять очень неестественную и очень точно подстроенную первичную асимметрию между материей и антиматерией, то она размылась бы в ходе ранней, горячей фазы развития. Суммируя, можно сказать, что именно успехи СМ приводят к заключению, что СМ является неполной теорией и надо ожидать новых явлений за пределами се применимости. Остается только одно объяснение вопроса о статусе СМ - это эффективная низкоэнергетическая теория. Такой ответ действительно многое объясняет: эффективные теории, по определению С. Вайнберга [49], всегда перенормируемы и всегда обладают специфическими, в том числе калибровочными, симметриями.
Естественно возникает вопрос, могут ли некоторые, если не все, параметры, произвольные в пределах СМ, иметь динамическое происхождение в более фундаментальной теории. Ответы на эти вопросы естественно было бы ожидать в рамках некоторых моделей объединения СМ и сильного взаимодействия с теорией гравитации. Однако гравитация, которая не может быть сформулирована как простая калибровочная теория, все еще нё находит полностью удовлетворительного понимания на квантовом уровне и пребывает вне системы исходных принципов СМ. Поэтому считается, что фундаментальная задача современной теоретической физики, формулируется как объединение теории гравита-
11
ции с квантовой теорией ноля (см., например, [24], [25], [20]). Тогда, конечно, возникает вопрос: что следует понимать иод термином ’’квантовая гравитация”. В качестве рабочего определения мы можем сказать, что квантовая гравитация есть квантовая теория динамической метрики. Обычно это означает наличие .вокальных степеней свободы. В частности, линеаризированные уравнения движения для метрического поля описывают распространение безмассовых частиц спина два, которые называют гравитонами. Такая концепция оказывается приемлемой для перенормируемых (суперсимметричиых) калибровочных теорий, где вычисляется не "абсолютное” значение физической величины, а лишь ее ’’относительное” значение, но совершенно неприемлемой к теории гравитации с размерной константой и бесконечным числом вершин взаимодействия, которая на любом конечном масштабе ’’помнит” о малых расстояниях, на которых гравитационное взаимодействие становится сильным, и совершенно неясно какими степенями свободы она описывается в этом режиме сильной связи. Тсуг факт, что гравитационное взаимодействие не вписывается в общую схему, вероятно означает, что локальная квантовая теория поля имеет ограниченную применимость и должна быть заменена на более общую конструкцию. Она может быть нелокальной, как в теории струн, или многомерной подобно теории бран мирового объема. Однако, в любом случае, в пределе низких энергий имеют место локальные квантовые теории поля, возможно и выходящие за рамки СМ.
Одна из интерпретаций AdS / CFT соответствия (см., например, [27] ) состоит в утверждении: внутри каждой неабелевой калибровочной теории, даже в рамках слабых и сильных ядерных взаимодействий, скрыта теория квантовой гравитации. Так, по крайней мере, один из возможных вариантов интерпретации этого утверждения состоит в том, что спин гравитона равны й двойке может возникать из композиций спинов двух калибровочных бозонов. Однако эта, казалось бы интересная, идея строго исключается, no-go теоремой Вайнберга - Виттена 1980 года [28]. Эта теорема запрета возникла из предположения о существовании лоренц-ковариантного тензора энергии -импульса для частиц спина s > 1 с импульсом Р* = f dDxT0tl ^ 0, который существует в калибровочной теории. Однако теорема не запрещает широкого спектра возможностей, и (как и некоторые другие красивые и мощные no-go теоремы) имеет, по крайней мере, одно скрытое предположение, которое кажется таким тривиальным, что не требует упоминания, но которое, как показывают последующие исследования, является определяющим для существования барьера. ОТО входит в круг релятивистских теорий с исчезающим на уравнениях движения полным тензором энергии-импульса Т,а/ ос = 0. Важнейшее предположение состоит в том, что гравитон движется в том же просгранстве-времснн что и калибровочные бозоны из которых он сделан! Иными словами, мы должны найти в калибровочной теории не только гравитон, но и пятое измерение, а также, что физика должна быть локальной по отношению к некоторым дополнительным скрытым параметрам. Это предположение также следует из голографического принципа 'Т Хоофта 1993 года [29] и Сасскинда 1995 года [30], который предполагает, что теория гравитации в пяти
12
измерениях должна быть связана с пегравнтационными теориями в пространстве меньшей на единицу размерности. Некоторые соображения подсказывают, что роль этого пятого измерения может играть энергетический масштаб калибровочной теории. Предмет, так называемого Ас1Б / СРТ соответствия |31]-|33| был обнаружен чрезвычайно окольным путем, в частности, через связь между черными бранями и П-бранами в теории струи и стал за последние десять лет становится очень важным для теоретической физики высоких энергией. Одной из причин интереса к этому подходу является то обстоятельство, что это соответствие может быть использовано для понимания теоретико-полевых моделей в области сильной связи путем сопоставления их с классической гравитацией. Классическая теория Янга-Миллса, конечно, не то же самое что классическая ОТО. Если гравитация возникает из калибровочной теории, следует ожидать, что это будет происходить в сильном квантово-механическом пределе, и гравитационные степени свободы возникают как эффективные классические поля. По сути, это предложение утверждает дуальность сильной - слабой связи: если одна теория находится в режиме слабой связи, дуальное описание включает сильную связь, и наоборот. Натяжение струны пропорционально л/А, где Л = Мдум является константой связи ’Т Хоофта, и, следовательно, предел сильной связи в теории Янга-Миллса можно рассматривать почти классически со стороны струйной теории. С другой стороны, предел слабой связи калибровочной теории, в принципе, подразумевает знание полного квантового описания струны на фоне Лс^ х 55, но это проблема, которая не решена до сих пор. В этом сценарии различные конформные теории поля соответствуют теориям гравитации с различным набором полей материи и с различными действиями в объеме, например, различными значениями копстант связи в объеме. АбБ / СРТ соответствие является примером более общего метода, именуемого ’’голографический принцип”, который был вызван исследованиями 'гермодинамических свойств черной дыры. Как известно, энтропия черной дыры пропорциональна площади ее горизонта событий в планковских единицах. Таким образом, число степеней свободы, необходимое для описания квантовых состояний черной дыры определяется его площадью, а не его объемом. Это намного меньше, чем энтропия локальной квантовой теории поля на том же пространстве, даже с некоторым ультрафиолетовым обрезанием. Мы заключаем, что квантовая теория гравитации должна иметь число степеней свободы как у квантовой теории поля в меньшем числе измерений. Эта, казалось бы, фантастическая идея, как это не странно, является верной и АбБ / СРТ соответствие является ее точной реализацией. Теперь мы можем интерпретировать этот результат говоря, что физика внутри черной дыры отображается на горизонте, как некоторая ’’голограмма”. Ряд теорий, которые могут быть изучены с помощью такого соответствия, пока еще невелик, и они нс включают в себя любую теорию, которая описывает известную физическую систему. На самом деле, мы уже знаем несколько подобных примеров соответствия в низких размерностях. Мы можем не вводить метрику и не иметь локальных степеней свободы. Хорошо известным примером такой топологической теории является калибровочная тео-
13
рия Черна-Саймонса п 3-мерном пространстве с действием SCs ~ Ьт fM А Л dA + Но
если мы станем рассматривать теорию на пространстве с границей здесь будут существовать локальные степени свободы, которые живут на границе многообразия. Тогда теории Черна-Саймонса на некоторых 3-многообразиях индуцируют двумерные модели конформной теории поля на границе этих многообразий [34). Так что это явление можно рассматривать в качестве примера соответствия, но примеры, которые обсуждаются в текущей литературе, намного более драматичны, поскольку имеют динамику в объеме. В центре внимания исследования AdS/CFT соответствия последние 10 лет были локальные операторы, а точнее спектр их аномальных размерностей. Они были вычислены с одной стороны в подходе теории поля, а с другой стороны, как энергетические уровни струны на классическом фоне, что демонстрирует замечательное совпадение. Это совпадение являясь частью общей гипотезы предлагает пути решения модели на квантовом уровне [35].
Амплитуды рассеяния играют центральную роль в калибровочной теории. На феноменологическом уровне, они имеют решающее значение для предсказания сечении при высоких энергиях процессов внутри СМ и за се пределами. Эффективное вычисление амплитуд рассеяния с участием многих кварков и глюонов особенно важно на машинах, таких как БАК, в которых рождаются многоструйные конечные состояния. С формальной стороны, свойства амплитуд рассеяния обеспечены многочисленными скрытыми симметриями и динамической структурой калибровочной теории. В частности, в суперсиммет-ричной калибровочной теории древесные амплитуды подчиняются суперсимметричным тождествам Уорда - Славнова - Тейлора для S-матрицы.
Достаточно давно Парк и Тейлор |36) обнаружили удивительно простую формулу для п -глюонной амплитуды рассеяния с максимальным нарушением спиральпости (MHV), которая была обобщена для N = 4 суперсимметрнчной теории Янга-Миллса [37). Позже было установлено, что это упрощение распространяется также на однопетлевой уровень, по крайней мере для N = 4 суперсимметрнчной теории Янга-Миллса [38]. Теперь есть веские основания полагать, что и в высших порядках по числу петель подобное упрощение существует в пределе ’Т Хоофта большого числа цветов Nc. Однако, в пределе сильной связи типичные наблюдаемые получают вклады из бесконечного числа членов в пер-турбативном разложении, а также от нспертурбатнвных эффектов и то, каким образом организованы ряды теории возмущений, является предметом интенсивных исследований. Некоторые величины защищены суперсимметрисй - теоремы перенормировки приводят к нулям в пертурбатнвном разложении. Поэтому интересно знать как устроены ряды теории возмущений в пределе сильной связи для незащищенных величин. Единственной возможностью для надежды в вычислимости незащищенных величии является предположение существования некоторой итерационной последовательности пертурбатнпных структур, позволяющих пересуммированис (39). Со стороны теории струн, результат в ведущем порядке в режиме сильной связи задается конфигурацией классической струны
14
и пространстве А<1$^, связанной с процессом рассеяния [40]. Вычисление амплитуды сводится к геометрической задаче. Нужно найти поверхность в ЛДОз, которая заканчивается на границе на последовательности световых линий, определенных импульсами глюонов {к\}к2, ■ ■ ■ Лп}- Это предложение и исследования структуры древесных и однопетлевых амнлитуд, а также двухпетлевьтх итеративных соотношений в N = 4 калибровочной теории дают дополнительное подтверждение, что плоские амплитуды и высших порядках должны быть чрезвычайно просты [41]. Их результат подтверждает предсказание Каткова, Липатова, Ошпценко и Велижанииа [42] для универсальной аномальной размерности 7ип0) вильсоновских операторов твиста 2 в N = 4 суперсимметричной теории Янга-Миллса, представленных в первых трех порядках теории возмущений. Эти выражения удается получить, выделяя наиболее сложные слагаемые из соответствующих аномальных размерностей в КХД.
Хотя все ультрафиолетовые расходимости в N = 4 БУМ отсутствуют в амплитудах рассеяния, инфракрасные расходимости остаются и должны быть сокращены в правильно определенных величинах. Для выполнения процедуры построения инфракрасно безопасных наблюдаемых в пределе сильной связи необходимо сокращение инфракрасных расходимостей. Но, кроме того, в конформной теории все массы равны нулю и имеются дополнительные коллннсарныс расходимости, которые нуждаются в особом внимании. Для решения проблем инфракрасных асимптотик.глюонных МНУ амплитуд в планарном пределе ЛА = 4 суперсимметричной теории Яига-Миллса авторы [44] использовали метод, развитый в партониой модели КХД. Он включает в себя две основные составляющие сокращения инфракрасных расходимостей идущих из петли: излучение дополнительных мягких реальных квантов и переопределение асимптотических состояний. Было показано явное сокращение инфракрасных расходимостей в правильно определенных инклюзивных сечениях.
Наиболее продвинутый вариант теории струн известен как М-теория. Она утверждает, что физический мир имеет 11 измерений - десять пространственных и одно временное. В нем плавают пространства меньших размерностей, так называемые браны. Наша Вселенная - просто одна из таких бран, обладающая тремя пространственными измерениями. Ее заполняют различные квантовые частицы (электроны, кварки, фотоны и т. д.), которые на самом деле являются разомкнутыми вибрирующими струнами с единственным пространственным измерением - длиной. Концы каждой струны закреплены внутри трехмерной браны, и покинуть брану струна не может. Но есть и замкнутые струны, которые могут мигрировать за пределы бран - с ними связаны гравитоны, кванты гравитационного поля тяготения. Математический язык теории квантовых струн и мембран сохраняет терминологию классического периода "теории осциллятора", но его физическое содержание радикально изменилось 12 пока не поддается прямому сравнению с реальностью. Однако, в любом случае, идеи и физические образы теории струн все больше и больше меняют современную научную парадигму в том, что принято называть современной
15
квантовой теорией ноля, предоставляя для изучения полевые модели, ассоциированные с теорией струн. Независимо от конкретной мотивации, проблема визуализации структуры теории на недостижимых для эксперимента масштабах приводит к задаче рассмотрения иизкоэнергетнческих свойств в легком секторе теории, индуцированных специфическими особенностями квантовой динамики тяжелого сектора.
Одним из общепринятых методов изучения физики па масштабах энергии, непосредственно недостижимых на эксперименте, является метод феноменологических лагранжианов. Классическим примером такого рода лагранжианов является теория Ферми слабых взаимодействий. Как мы сегодня знаем правильной (но, как обсуждалось, далеко не полной) теорией, конечно, является СМ электрослабых взаимодействий Вайнберга-Салама. Теория Ферми при этом эффективно возникает, если мы интегрируем по всем тяжелым модам векторных и хиггсовских полей и исключаем их тем самым из рассмотрения. Другим хрестоматийным примером такого рода парадигмы для широкого класса эффективных лагранжианов является лагранжиан Гейзенберга-Эйлера [46], [47] в КЭД, непер-турбативно описывающий взаимодействие заряженного скалярного или спинорного поля, распространяющегося в квантовой петле, с классическим полем постоянной напряженности. В общих терминах это однопетлевое эффективное действие дается выражением вида
Г~Л*1пС, (0.1)
где 0(х,х'\А) есть функция Грина частицы во внешнем поле и след берется по всему бесконечному набору квантовых состояний. Это, в высшей степени, нелокальное действие сохраняет все симметрии классической теории и содержит полную информацию относительно однопетлевой амплитуды в форме предельно удобной для изучения таких иизкоэнергетнческих нелинейных КЭД эффектов, как рассеяние фотона на фотоне, изменение закона дисперсии и расщепления фотонов, рождения электрон-позитронных пар во внешнем поле.
Фундаментальным объектом квантовой теории поля, позволяющим описывать всю совокупность квантовых процессов является эффективное действие. По определению, эффективное действие есть производящий функционал для одночастично - неприводимых связных функций Грина. При этом легкие поля используются как инструмент изучения структуры вакуума полной квантовой теории. Проблема построения эффективного действия тесно связана с решением таких фундаментальных задач квантовой теории ноля, как определение структуры вакуума к его низколежащих возбуждении, нахождением квантовых поправок к классическим уравнениям движения, исследованием фазовых переходов и динамического нарушения симметрии, изучение квантовой динамики в сильных фоновых полях (обсуждение проблемы конструкции эффективного действия см., например в хрестоматиях [48], [49], (50), [52]. Понятие эффективного действия является чрезвычайно полезным для рассмотрения многих аспектов квантования и перенормировки калибровочных теорий, включая вопросы аномалий, некоторые из которых фпзиче-
16
ски значимы, (например, трудно представить реалистическую 4-мерную теорию поля без конформной аномалии), а присутствие других (неабелсвых и гравитационных) означает математическую противоречивость теории.
Наиболее плодотворным подходом к построению эффективного действия в квантовой теории поля является метод фонового поля, основы которого заложены Де Виттом [53], [54]. Этот метод является обобщением метода производящих функционалов в квантовой теории поля [55], [56], [57], [58], [59] для случая неисчезающих классических фоновых полей и наличия неабелевой калибровочной симметрии. В каждой конкретной задаче любое калибровочное или гравитационное ноля, также как и поля материи могут иметь фоновые классические части. Основным объектом в методе фонового поля является функционал эффективного действия, инвариантный относительно классических калибровочных преобразований. Эффективное действие кодирует, в принципе, всю информацию стандартной квантовой теории поля. Оно определяет элементы диаграммной техники теории возмущений, т. е. полные пропагаторы и полные вершинные функции, в учетом всех квантовых поправок, и, следовательно, иертурбативную Б-матрицу. С другой стороны, эффективное действие сразу дает физические амплитуды во внешнем классическом иоле и описывает все квантовые эффекты во внешних полях (поляризация вакуума квантованных полей, рождение частиц и т.д.) [60]. Функционал эффективного действия является наиболее подходящим инструментом для исследования структуры физического вакуума в различных моделях квантовой теории ноля со спонтанным нарушением симметрии »-
(хиггсовский вакуум, глюонный конденсат, сверхпроводимость). Эффективное действие позволяет учитывать обратную реакцию квантовых процессов на классический фон, т. с. получить эффективные уравнения движения для фоновых полей. В этом случае, однако, мы встречаемся с трудностями, связанными с зависимостью эффективного действия вне массовой оболочки от способа фиксации калибровки и параметризации квантовых нолей. В работах [61], [62] было дано доказательство калибровочно-инвариантной пере-нормируемости калибровочных теорий общею вида в произвольных калибровках. Было показано, что изменение калибровочного условия эквивалентно некоторому каноническому преобразованию перенормированных действия и производящего функционала вершин, что, в свою очередь, означает калибровочную инвариантность перенормированной .9-матрицы. Иными словами, вся зависимость производящего функционала вершинных функций Грина от калибровочных параметров содержится только в аргументе эффективного действия.
Явно ренараметризационио инвариантный функционал, который не зависит от фиксации калибровки (так называемое, эффективное действие Вилковыского) был построен в работах |63], [64]. Эффективное действие ’’Вилковыского” изучалось в работе |65] в различных моделях квантовой теории поля (в том числе эйнштейновской гравитации) и в случае квантовой гравитации с высшими производными. Как показано во всех порядках теории возмущений для скалярной КЭД и теории поля Янга-Миллса теорий,
17
единое эффективное действие точно совпадает с калпбровочно инвариантным эффективным действием, вычисленным в калибровке Ландау- Дс Вигта. Эффективное действие Внлковыского было в дальнейшем улучшено Де Виттом (60]. Это эффективное действие называется эффективным действием Вилковыского-Де Витта. Однако, во многих случаях, эта модификация не влияет на однопетлевые результаты и, к тому же, среди других проблем имеет зависимость от выбора точки отсчета в пространстве полей и, что крайне важно, выбора метрики на конфигурационном пространстве (52]. Поэтому мы не будем рассматривать его в качестве ’’panacea” (для более подробной информации см., цитированные выше оригинальные статьи и монографии).
Таким образом, вычисление эффективного действия представляет большой интерес, как с точки зрения развития общего формализма квантовой теории ноля, так и для конкретных приложений. Точное нахождение эффективного действия означало бы точное решение в соответствующей модели квантовой теории поля, что в общем случае представляется невозможным. В этой связи используются различные приближенные подходы такие как разложение по числу петель и разложение по степеням производных своих функциональных аргументов. Такое разложение применяется для описания физических явлений, в которых роль наблюдаемых играют частицы и поля с массами и энергиями ограниченными сверху некоторым характерным масштабом. При эхом, в ведущем низко-энергетическом приближении, эффективное действие содержит только первые неисчезающие члены в указанном приближении. Очевидно, что именно первые члены низкоэпер-гетического эффективного действия позволяют исследовать структуру вакуума нолевой модели и динамику ее низколежащих возбуждений.
При нахождении эффективного действия все поля расщепляются на фоновую классическую часть н квантовое возмущение, распространяющееся на этом фоне. Часть классического действия, которое квадратично по квантовым нолям, определяет пропагаторы квантовых полей в фоновом поле, а члены более высокого порядка задают вершины взаимодействия в теории возмущений. Для вычисления эффективного действия необходимо найти, прежде всего, функции Грина квантовых полей на фоне классических полей различного характера. Функции Грина в фоновых полях изучались в большом количестве работ. Фок [67] впервые предложил метод решения волнового уравнения на фоне электромагнитного поля через интегральное преобразование с параметром собственного времени (так называемый пятый параметр). Несколько позднее, Швингер [47] обобщил метод собственного времени и применил его к вычислению однопетлевого эффективного действия. Де Витт (53) переформулировал метод собственного времени в геометрических терминах и применил его на случай фонового гравитационного поля. Отметим, что это развитие тесно связано с развитием теории псевдодифференцнальных операторов как инструмента в исследовании уравнений с частными производными и граничных задач (существующая библиография слишком обширна чтобы привести ее здесь1), и приложс-
1см. впрочем классические первоисточники (r>S)-[75]
18
ний к спектральной геометрии, спектральным асимптотикам дифференциальных операторов, анализу на многообразиях, дифференциальной геометрии и математическим методам в квантовой теории. В работах [76), [77] стандартная техника Швингера-Де Витта была обобщена на случай произвольных дифференциальных операторов, удовлетворяющих условию причинности. Метод собственного времени сразу дает функции Грина в окрестности светового конуса. Таким образом, он является наиболее подходящим инструментом для исследования ультрафиолетовых расходимостей (вычисление контрчленов, 0-функций и аномалий). Наиболее существенным преимуществом метода собственного времени является то, что он является явно коварпантным и позволяет ввести различные ковариантные регуляризации расходящихся интегралов, например, размерную регуляризацию, регуляризацию с помощью обобщенной (^-функции и т.д. Существует много работ в этом направлении исследования за последние два десятилетия (см. библиографию в [78)). Хотя большинство работ ограничено однопетлевым приближением, метод собственного времени применяется также для старших петель. В работах (79], [80) он применялся для анализа двухпетлевьтх расходимостей в различных моделях квантовой теории поля, в том числе, теории квантовой гравитации. Другой важной областью, где метод собственного времени Швиигера-Де Витта успешно применяется, является поляризация вакуума массивных квантовых полей фоновыми полями. Когда комптоновская длина волны гораздо меньше, чем характерная длина масштаба фонового поля, метод собственного времени дает непосредствен но'разложение эффективного действия в ряд по малому параметру (Х/Ь)2. Коэффициенты этого разложения пропорциональны, так называемым, коэффициентам де Витта и являются локальными инвариантами, построенными из фоновых нолей и их ковариантных производных. В работах [76|, (64), [77] обсуждалась общая структура разложения Швиигера-Де Витга эффективного действия для безмассовых полей. Выло отмечено, что в таких моделях необходимо выйти за пределы локального разложения, путем суммирования ведущих производных фонового ноля в этом разложении. В работе [64], основываясь на некоторых дополнительных предположениях о сходимости соответствующих рядов и интегралов, ведущие производные фоновых полей были просуммированы и нелокальные выражения для одноїіетлевого эффективного действия в случае безмассового поля были получены.
Из всего сказанного понятно, что точных, эффективных и явно ковариантных методов вычисления эффективного действия в произвольных внешних полях не существует, поскольку цена за явную калибровочную инвариантность эффективного действия состоит в том, что нам приходится иметь дело с пропагаторами в произвольных внешних полях, которые невозможно вычислить точно. До сих пор все известные успешные вычисления имели дело либо с локальной структурой эффективного действия или с какой-либо специфической конфигурацией фоновых полей (постоянные поля, однородные пространства и др.), когда соответствующая квантовомеханическая задача точно интегрируема. Именно поэтому развитие общих методов для ковариантного вычисления эффективного дей-
19
ствия, что особенно необходимо в квантовой теории калибровочных полей и гравитации [77] и их суперрасширений, является актуальной областью исследований. Метод фонового поля является достаточно универсальным, чтобы допускать естественные суперпростраи-ственные обобщения; такие расширения были построены для А1'’ = 1 суперснмметричной теории Янга-Миллса и супергравитации [81), [82), (83), [85] и для А' = 2 суперсиммет-ричной теории Янга-Миллса |8б)-[90) (см. также [01] в качестве более ранней попытки разработки формулировки фонового поля для некоторых N = 2 суперсимметричных моделей Янга-Миллса, в том числе N = 4 суперснмметричной теории Янга-Миллса).
Изучение феноменологических 11 формальных аспектов суперсимметричных моделей теории поля занимает значительное место в современных работах по теоретической физике высоких энергий. Интерес к суперсимметрии в теории поля, как симметрии между бозонами и фермионами 6ф ~ еафа, 6фа ~ *0тф + ..., обусловлен многими причинами, из которых мы отметим несколько:
• Суперсимметрия (92]- [94] обеспечивает естественный механизм объединения бозонов и фермнонов и, следовательно, должна рассматриваться как составной элемент любой теории, претендующей на роль объединенной теории фундаментальных взаимодействий (формулировка суперсимметричных теорий дана, например, в монографиях [81], [83], |84], [95], [96].
• Суперсимметрия накладывает сильные ограничения на структуру и константы связи взаимодействия между бозонами и фермионами, что приводит к сокращению квадратичных расходимостей. При этом решается ряд проблем СМ большого объединения, таких как, проблема иерархий, проблема строгого пересечения грех бегущих калибровочных констант связи в одной точке, проблема времени жизни протона и др.
• По одной из версий локальной суперсимметрии (М = 2 супергравитация) выполняемся мечта Эйнштейна объединения гравитации и электромагнетизма.
• Суперсимметрия обеспечивает плодотворное взаимодействие между физическими мотивациями рассмотрения суперсимметричных нелинейных сигма-моделей теории поля и геометрией кэлеровых, гинеркэлеровых и кватернионных многообразий.
• По современным представлениям на роль объединенной теории всех фундаментальных взаимодействий, включая гравитационное, претендует теория суперструн [97], [98]. В этой теории суперсимметрия играет ключевую роль, обеспечивая отсутствие тахионов в спектре струны. Характерная энергетическая шкала теории суперструн задается планковским масштабом.
При переходе к энергиям, много меньшим планковской, мы имеем дело с эффективной (низкоэнергетической с точки зрения теории суперструн) суперснмметричной теорией ПОЛЯ. Поэтому изучение различных (супер)полевых пределов суперструнных теорий привлекает большое внимание [24]-[26], поскольку это направление позволяет изучать струнные эффекты методами теории ноля и нолевые эффекты методами теории суперструп, а также открывает возможности построения новых (супер)полевых моделей с интересны-
20
ми свойствами, в том числе и с внутренними механизмами нарушения суперсимметрии. Конечно, на доступных в настоящее время энергиях супсрсиммстрия не проявляет себя. что должно означать ее нарушение на некотором масштабе. Его величина является интригующей загадкой для перспективы многих исследований. В связи с этим изучение именно тшзкоэнергетическнх квантовых аспектов суперсимметричных моделей теории ноля должно представлять особый интерес с точки зрения возможных феноменологических проявлений существования на некотором масштабе энергий суперсимметрии.
Оказывается, что в jV = 2 и N = 4 расширенных суперсимметричных теориях Янга-Миллса нпзкоэнергетическое эффективное действие может быть установлено точно. Однако в теориях с расширенным количеством су перс и мм стр и й возникают определенные проблемы с построением квантовой теории. Дело в том, что алгебра расширенной суперсимметрии является замкнутой только на уравнениях движения. В суперполевых подходах требование неприводимости суперполсвого представления супералгебры приводит к дифференциальным условиям связей на суперполя. Проблемы решения связей через неограниченные суперполя (ирепотенциалы) приводят к трудностям в построении теории возмущений и исследовании квантовых свойств наиболее интересных теоретико-полевых моделей с М = 2, ..., N = 8 расширенными суперснмметриями. Кроме того, еще в 70-х были обнародованы ’no-go* теоремы и для преодоления этого барьера как всегда необходимо найти неявные ограничения в условиях существования такого рода теорем.
Как известно (94], преобразования суперсимметрии переводят бозоны в фермионы, которые образуют неприводимые представления супералгебры Пуанкаре пли, иначе говоря, поля разных спинов становятся компонентами того или иного сунермультиилета. Простейшие N — 1 супермультиилеты содержат физические поля, спиральность которых отличается на 1/2 и вспомогательные нераспространяющие поля. Представление расширенной Аг — 4 суперсимметрии на свободных уравнениях движения объединяет физические поля со спиралыюстью 1, 1/2, 0, что составляет максимально расширенный супер-мультиплет Янга-Миллса. Однако набор вспомогательных полей для реализации N = 4 суперсимметрии вне массовой оболочки до сих нор остается неизвестным и не исключено, что такие представления бесконечномерны. Следующие расширения // = 5, ...,8 с необходимостью включают в себя гравитон со спнральностыо 2, левое и правое гравитино со сниральностыо ±3/2 и другие поля. Как правило, этой информации достаточно для записи суперсимметричных лагранжианов в терминах компонентных полей, однако для анализа квантовых свойств этих моделей теории поля необходима полная информация
0 составе супермультиплетов и всех симметриях классического действия вне массовой оболочки.
Наиболее естественное описание этих расширенных супермультиплетов достигается в терминах суиериолей на суперпространстве, параметризованном координатами гл/ = {ят10,аД<*}1 где антикоммутирующие (в2 — 0) вейлевские (а, а = 1,2) спиноры и
1 — 1,2, Физические и вспомогательные поля являются компонентами в разложении
21
суперполя по степеням грассмановых спи норных координат. Однако, главное препятствие для такого описания состоит в том, что в этом разложении кроме компонент того или иного супермультиплета появляется много излишних артефактов и с необходимостью эти суперполя должны подчиняться связям, исключающим лишние компоненты. Для комплексных N = 1 суперполей такими ограничениями являются условия грассмановой аналитичности
Д*Ф(*. О,0) = О, йаЦх, 9, в) = О,
решениями которых являются киральные Ф(хь.0) или антикиральные Ф(т/?,0) суперполя, зависящие от половины грассмановых координат, а преобразования суиерсиммстрии замкнуты на киральном подпространстве {хт/‘,0°} или на {х^,0А}.
Развитием этой глубокой концепции для неограниченного описаїтия М = 2 суперполей является конструкция N = 2 гармоническог о суперпрос.транства (95), [99]-[103]. Здесь оказалось необходимым дополнить координаты Аг = 2 супер пространства гармониками и-1,и^'и~ = 1,тг+* = и~, параметризующими фактор-пространство 5£/(2)/(/(1) группы автоморфизмов Лг = 2 супералгебры Пуанкаре. Связи для гипермультиилегов материи и ЛГ = 2 калибровочной теории оказалось возможным разрешить в рамках расширения стандартного N — 2 супернространства сферой 5’(7(2)/(/(і) и выделении замкнутого относительно преобразований Аг = 2 суперсимметрии аналитического подпространства, параметризованного меньшим количеством грассмановых переменных но сравнению со стандартным М — 2 супериространством. В таком преодолении запретов на суперполевое описание представлений расширенной суиералгебрьт оказалось, что для описания муль-типлегов материи с замкнутой N = 2 супсралгсброй вне массовой оболочки необходимо включение бесконечного числа вспомогательных полей, а для описания калибровочного мультиплета необходимо привлечение бесконечного числа чисто калибровочных степеней свободы, которые исчезают на уравнениях движения. Теперь, преобразования N = 2 сунерспмметрии замкнуты на подпространстве (= {хд,04а,0';®,'иі<}» а физические и вспомогательные поля Аг = 2 супермультиплетов возникают в разложении неограниченных никакими связями суперполсй на аналитическом супсрнространстие £л/. Конечно, теперь состав супермультиплетов становится бесконечномерным, поскольку коэффициентам в разложении по степеням гармоник являются высшие неприводимые представления группы вії(2), и тогда необходимо сформулировать такие правила записи супер-иолевого действия, которые приводят к физическим лагранжианам для конечного числа компонентных полей. Такими правилами являются интегрирование Березина [105) по грассмановым координатам и интегрирование но гармоникам [95] на группе
Jd0 = 0, I (100 = 1, J (1и= 1, J duu^il..м'inuJl...uJ^ = О
Поучительная мораль этой истории состоит в том, что каждая новая физическая теория сама выбирает себе пространство, на котором она предпочитает жить. N = 2 сунерснм-мстрнчная теория Янга-Миллса формулируется в термітах двух мультиплетов N = 2
22
суперснмметрии. Векторный мультиплет описывается действительным аналитическим суиериолем V++ = Vr++/(^)2>, принимающим значения в алгебре Ли калибровочной группы, в состав которого входит векторный потенциал и его сулерпаргнеры. Поля материи входят в состав гипермультиплета д+(С) и ему сопряженного çf(Ç), преобразующихся по некоторому представлению калибровочиой группы. Классическое действие N = 2 суперсимметричной теории Янга-Миллса в гармоническом суперпространстве выглядит предельно просто
S = 2^tr / + \ /dC("4>9u ('D++ + *ffV++)'7+e, (0.2)
где W = —\(D+)2V калибровочно инвариантное, ц-иезавпсимое киральное супериоле напряженности и V неаналитическое суперполе, связанное с препотенциалом условием нулевой кривизны2 D++V — D~~V++ + г[К++, V ] = 0. К сожалению подобной конструкции для Л1* = 4 суперсимметричной теории Янга-Миллса не существует, и все, что нам остается эго использовать приведенное выше классическое действие с гипер-мультиплетом в присоединенном представлении калибровочной группы и требованиях, накладываемых дополнительными N — 2 суперсимметриями (а = 1,2)
SV++ = (г“°Й^ + Ê?t0+4)<Ju+, Sgi = -^(D+)4(№ + ZbJ-à)V-] (Ü.3)
Несмотря на то, что формализм гармонического супериросгранства имеет сложную структуру он обеспечивает естественное описание N = 2 суперсимметричных теорий вне массовой оболочки. Это, в частности, означает, что гармоническое супсрпрострак-ство является основой .для изучения квантовых аспектов таких теорий с сохранением явной — 2 суперснмметрии на всех этапах вычислений в квантовой теории. Последнее обстоятельство носит принципиальный характер, поскольку позволяет контролировать корректность вычислений и получать результаты сразу в терминах jV — 2 суперинвариантов. Именно поэтому развитие общих методов для ковариантного построения эффективного действия в Л' = 2 суперсимметричных квантовых теориях калибровочных полей и материи, является актуальной областью исследований.
Другой круг проблем традиционно связан с дилеммой выбора реализации теоретико - полевого описания в терминах тех или иных тензорных (сунер)полей для безмассо-вых и массивных неприводимых представлений (сунер)групиы Пуанкаре. Простейшим хрестоматийным примером такой дуальности является динамическая эквивалентность описания безмассовой частицы спина ноль в терминах скалярного или тензорного ноля. Другим известным примером эквивалентности на классических уравнениях движения является суперполевая реализация неприводимого представления суперсшша 1/2 в терминах неограниченного действительного скалярного суиерполя или в терминах кираль-иого спинорного супсриоля. Будучи динамически эквивалентными на свободном уровне
2здесь D~ = -, D° = u г,- — u~*j£z- 5£/(2)-ковариантные производные
23
эти различные реализации одного представления допускают, вообще говоря, различные модели взаимодействия с гравитационным и калибровочными (супер)полями. Важным примером такого сорта неэквивалентности является Л/* = 2 вектор - тензорный мульти-плет с калибровочным центральным зарядом, в котором один из физических скаляров представлен антисимметричным тензором, и его связи Черн-Саймоиса с N ~ 2 векторным мультиплетом и N = 2 супергравитацией, необходимые для реализации механизма сокращения аномалий Грина-Шварца в эффективной теории [106]. Как представление ЛГ = 2 суперсимметрии, этот мультиплет очень подобен безмассовому 8 + 8 гипермульти-плету Файе-Сониуса [107], однако неограниченной связями формулировки не существует, что приводит к определенным трудностям анализа квантовых свойств таких интересных комплексов.
В последнее время наблюдается возрождение интереса к различным аспектам тео-ретико - полевого описания 4Э N = 1 и N = 2 массивных тензорных мультиплетов и их связям со скалярным и векторным мультнплетами. Такой интерес в первую очередь мотивирован тем обстоятельством, что массивная два - форма естественно возникает в четырехмерном пространстве А/* = 2 теории су пер гравитации, получающейся из (или связанных с ними) компактнфикацин теории струн типа II на многообразия Калаби -Яу в присутствии электрических и магнитных потоков (см., например, обзор [108]). Этот факт обеспечивает достаточное основание для проведения более детального исследования массивных А/” — 1 и А/* — 2 тензорных мультиплетов [109]. В Лг = 1 суперсимметрии, массивный тензорный мультиплет (как дуальная версия описания массивного векторного мультиплета) был введен тридцать лет назад, и с тех пор эта конструкция нашла отражение в двух учебниках [81), [83]. В отличие от обычных тензорных мультиплетов, модель (безмассового) И = 1 и А7 = 2 улучшенного тензорного мультиплета является суперконформной в глобальной суперсимметрии и инвариантной относительно супсрвей-левских преобразований в искривленном суперпространстве. Кроме того, ограниченные, правильно подобранными, гармоническими связями, N — 2 материальные мультиплеты имеют конечный набор вспомогательных полей и все модели самодействия этих суперполей дуальны отдельным классам моделей <7+-гипермультиплста [95]. Есть по крайней мере две причины, почему улучшенный тензорный мультиплет интересен: (I) он описывает суперконформиый компенсатор в новых минимальных формулировках N = 1 супсргра-внтации (см. [81], [83] для обзоров); (II) он соответствует голдстоуновскому мультиплету для частичного нарушения N = 1 суперконформной симметрии, связанной с косетом 5С/(2,2|1)/(50(4,1) х £/(1)), который имеет АЛЭь как бозонное подпространство [110]-[113]. Как было показано, замечательной особенностью улучшенного тензорного мультиплета является то, что его суиервейлевская инвариантность сохраняется и в массивном случае.
Проблема квантовой эквивалентности безмассовых классически эквивалентных теорий интенсивно рассматривалась в начале 80-х г. (см., например, [83]). Что касается мо-
24
< делей массивного антисимметричного поля, то мозаика классических дуальностей в этом
случае отличается от случая безмассовых полей. Поэтому можно ожидать, что изучение проблемы квантовой эквивалентности для массивных антисимметричных нолей, а также массивных N = 1 и ЛГ = 2 тензорных мультиплетов является актуальной задачей.
Одним из основных свойств нпзкоэнергстического эффективного действия в супер-симмегричной теории поля является голоморфность [114]. Оно состоит в том, что су-исрсимметричных теориях с комплексными супсрполями, определенными на некотором подпространстве полного суперпространства, квантовые поправки к классическому действию часто возникают в виде голоморфных функций этих суперполей, интегрируемых по соответствующему подпространству. Примером голоморфности в ^ = 1 суперсим-метрип является голоморфный потенциал и его свойство неренормируемости |115]. Замечательной демонстрацией силы этого требования является точное решение Зайберга -Виттена для эффективного действия в N = 2 супер Янг-Миллс теории (116), (11) в старшем порядке по пространственно-временным производным компонентных полей. Исходя из утверждения о голоморфной зависимости эффективного действия от N = 2 кнрально-го суперполя напряженности УУ в случае теории с калибровочной группой 517(2), спонтанно нарушенной до 17(1) и, используя идею дуальности, Зайбсрг и Виттен смогли найти его точно с учетом непертурбативных вкладов ннстантонов. В пределе ненарушенной N — 2 суперсимметрии теория имеет пространство модулей, на котором, к примеру 517(2) калибровочная группа, спонтанно нарушается до (7(1) и масштаб Л этого нарушения является динамическим параметром N = 2 теории супер Янга-Миллса. Все физические состояния могут быть классифицированы но отношению к ненарушенной £/( 1). Такие состояния как фотон и все его нейтральные суперпартнеры остаются безмассовымн, в то время как другие электрически заряженные состояния, такие как калибровочные бозоны соответствующие 5£/(2)/[/(1), получают массу ~ А. Все такие заряженные состояния тяжелые и могут быть отинтегрированы. Известно, что в квазиклассическом режиме в спектре теории есть солитоноподобные тяжелые монополи ’Т Хоофга-Полякова и дио-ны, которые не участвуют в динамике в окрестности стандартного вакуума. Однако на пространстве модулей существуют две специальные точки, где монополи (дионы) становятся безмассовымн. В нпзкоэнергетическом пределе в окрестности этих монопольной и дионной точек мы будем иметь дело с электродинамикой безмассовых монополей (дио-нов). Эффективная локальная 17(1) теория взаимодействия этих магнитно заряженных легких состояний материальных полей М, М может быть построена дуалнзацией исходного фотона и его N = 2 суперпартнера А с N = 2 сохраняющим суперпотенциалом взаимодействия МАМ. Если мы теперь слегка деформируем суперпотенциал массовой добавкой ~ т2А это приведет к конденсации монополей < М >=< М >= т, что в свою очередь означает' спонтанное нарушение дуальной 17(1) симметрии. Дуальный фотон получает массу и, как следствие, формируются трубки потока магнитного поля. Но отношению к исходной микроскопической теории они несут поток электрического ПОЛЯ.
25
Таким образом Зайберг-Виттен предъявили пример существования, в разумно выбранной иеабелсвой калибровочной теории, дуального эффекта Мсйсснера следствием которого является линейный коифаймент. Этот результат стимулировал всплеск интереса к изучению эффективного действия N = 2 суперсимметрнчных моделей с другими калибровочными группами [117], [118] и материальными мультиллетами.
Другим ярким примером голоморфности в ДГ = 2 суперсимметрнчных моделях является аналитический эффективный потенциал, интегрируемый по аналитическому подпространству N — 2 гармонического суперпространства [119]. Важно отметить, что как голоморфные, так и аналитические вклады в эффективное действие возникают только в ситуации с центральными BPS зарядами Богомольного-Прасада-Зоммерфельда. Еще более замечательными свойствами обладает максимально суперсимметричная N = 4 теория Янга-Миллса. Она является ультрафиолетово конечной, конформно инвариантной и существуют сильные аргументы в пользу того, что она самодуальна относительно ненер-гурбативных SL(2, ^-преобразований [120], [121]. Эффективное действие в такой теории яиляегся суиерфункциоиалом как N — 2 напряженности, так и JV = 2 гипермультинлета, преобразующихся между собой относительно дополнительной N — 2 суисрсимметрии. В работах [122)-[125] показано, что в Af = 4, 5(7(2) калибровочной теории в кулоиовской фазе низкоэиергетическое эффективное действие, зависящее от Af = 2 векторного муль-типлста, имеет вид
r(W, VV] = с J d12z ln~ln~. (0.4)
Важно подчеркнуть, что требования JV* = 4 суперсимметрин и супсркоиформиой инвариантности так сильны, что этот неголоморфный потенциал определяется однозначно с точностью до числового коэффициента. Числовой коэффициент с был найден из прямых одиопетлевых квантовых вычислений и равен (N — 1)#2/(4тг)2 [12б]-[129]. Существуют сильные указания на то, что этот однопеглевой эффект не ренормнруется ни высшими петлями, ии ненертурбативными поправками и поэтому является точным низкоэнергети-чеекпм эффективным действием.
В теориях, обладающих глобальными и локальными симметриями, не нарушенными аномалиями, эффективное действие также должно обладать этими симметриями.
При этом возникает проблема развития методов конструкции эффективного действия, явно обеспечивающих проявление симметрий классического действия на всех этапах исследования. Хорошо известно, что адекватная и простая формулировка четырехмерных Ar = 1 суперсимметрнчных теорий поля достигается в терминах ограниченных связями суперполей на Af = 1 суперпространстве. Соответствующие приемы квантовых вычислений, обеспечивающих явную N = 1 суперсимметрию, досгаточно давно построены и широко используются [81], [83]. В теориях с Af — 1 суиерсимметрией, таких как модель Весса-Зумино, Ar = 1 суперсимметричная теория Янга-Миллса, структура эффективного действия изучена досгаточно полно [130]-[145]. В частности был найден суперполевой эффективный потенциал и эффективный потенциал вспомогательных полей в модели
2G
\
%
Весса-Зумино (138) и общей кэлеровой модели [141], а также был найден двухпетлевой киральный эффективный суперпотенциал [139], а в [131] был развит метод фонового ноля Швингера- Де Витта для N — 1 теории Янга-Миллса, который используется для исследования реыормализационных свойств и построения эффективного действия. Методы анализа структуры эффективного действия, позволяющие в одном шаге суммировать бесконечный набор диаграмм Фейнмана с произвольным количеством внешних концов, в N — 1 моделях в последнее время были значительно усовершенствованы [146]-[150].
Идея о теории объединения Стандартной модели с гравитацией в последние годы рассматривается в рамках подхода,.предполагающего существование единой непертур-бативной теории суперструн или, так называемой М-теории. Возмущения в окрестности различных вакуумов М-теории рассматриваются как фундаментальные струны одной из пертурбативных теорий суперструи, которые связаны между собой преобразованиями дуальности. Преобразования дуальности между различными фазами М-теории, как правило, связывают друге другом теории, одна из которых находится в области сильной связи. В зависимости от значений параметров или областей пространства модулей М-теории одни и те же наблюдаемые объекты могут описываться равно как фундаментальные степени свободы одной из пертурбативных теорий и/или как коллективные возбуждения в виде солитоноиодобных тяжелых О-бран. Одно из следсгвий этой связи - возможная интерпретация замкнутых струн как связанных состояний в теории открытых струн, имеющих в полевом пределе соответственно гравитацию и калибровочные теории материи. Материя, описываемая в терминах открытых струн, привязана к некоторым Э-бранам, в то время как гравитация, отвечающая бсзмассовым возбуждениям замкнутых струн распространяется внутри объема. Гравитация в объеме связана с тензором напряжений граничной теории. Такая голографическая дуальность утверждает, что корреляционные функции для тензора напряжений в полевой теории сопоставлены амплитуде распространения гравитонов между заданными точками на границе. В наиболее простых примерах такого соответсгвия геометрия многомерного пространства имеет вид прямого произведения Лс/бй х $ъ- Пятимерное пространство аити-де-Ситтера имеет четырехмерную границ)’ на которой ’живет’ А/ = 4 суперсиммегричная масштабно-инвариантная и конечная теория Янга-Миллса. Такое /ЫЯ/СРГ соответствие имеет много физически значимых проявлений3. Для примера, спектр аномальных размерностей локальных операторов конформной калибровочной теории должен совпадать со спектром энергий частицы, или более точно, модой струны, распространяющейся в Л(1в. Если соответствие является истинным желательно получить геометрии типа из первых принципов, начиная с пертурбативных диаграмм Фейнмана. Интересный шаг в этом направлении был сделан в работе (155], где сделано утверждение, что одпопетлсвые двух- и трехточечные функции
3Ас18/СГТ соответствие было предложено Малдасеной п конце 1997 г. [31]. В последние годы направление исследовании состоит в обобщении этого соответствия на другие не-АйЭ пространства и им дуальные несуперсичмстрнчные и неконформные теории поля.
27
б скалярной теории могут быть естественно описаны а терминах пропагаторов из объема к границе в AdS&t интегрированных по положению точки в объеме. Оказалось, что в первично квантованной картине параметр Швннгера играет- роль радиальной координаты в AdS$ и следовательно, интегрирование по этой переменной соответствует интегрированию по внутреннему пятому измерению. Однако, начиная с четырехточечной функции, ситуация, как представляется, более тонкая и полностью удовлетворительная картина отсутствует. Б иптереспой работе [156) обсуждается, каким образом фоновая геометрия может быть прослежена из однопстлевого эффективного действия в несу перси мметрич-ньтх теориях во внешних абелевых полях. Показано, что надлежащая идентификация параметров Швингера в абелевом эффективном действии Гейзенберга-Эйлера предполагает интегрирование по AdSz, 5з и T*S* геометриям, в зависимости от типа внешнего поля.
С более общей точки зрения, производящий функционал Фрадкина-Цейтлина в теории струн [157], [158] для безмассовых внешних фоновых полей, определяющий некоторые обобщения действия Борна-Инфельда, должен совпадать с производящим функционалом для эффективного действия, суммирующею все квантовые поправки Af — 4 суперсимметричной теории Янга-Миллса [159]. В теории открытой струны во внешнем постоянном абелевом векторном поле некоторые а'- струнные поправки удается просуммировать во всех порядках [157] и здесь в качестве эффективного действия, основанного на представлении производящего функционала для струнных амплитуд как интеграла Полякова с коварнантцой 2D сигма-моделыо в экспоненте интеграла по путям, возникает известное действие Дирака-Ворна-Инфельда (DBI) и его суперсимметричные расширения [159]. В 30-х годах это действие
ЬВ1 - V- det(Лтп + Кт) ~ 1 (0-5)
было предложено [160], [101] как решение проблемы сингулярности точечно-подобного заряда и бесконечности его энергии в теории Максвелла по аналогии с квадратичным корнем у/1 — и2/с2 действия для релятивистской частицы. Это действие обладает многими замечательными свойствами, например, причинностью и электро-магнитной дуальностью. Суперсимметрия, как известно, совместима с принципом причинности, положительной плотностью энергии и дуальностью, так что аналогичные свойства можно ожидать и от супсрсимметричных (правильно обобщенных) действий DBI |162]-[1С5|. Это действительно имеет место для jV = 1 действия Bl [1GG], [1G7], и оно должно быть верно для jV = 2 действия DBI [168]-[170]. Как хорошо известно, N = 1 DBI действие является действием ГолдстоунагМаксвелла для N = 1 векторного супермультшшета гол-детоуновекых нолей ассоциированных с частичным спонтанным нарушением суперсим-мсгрии JV* = 2 —> N =1 [171)-[111]. Частичное нарушение N = 4 —> JV* = 2 в jV = 2 суперпространстве реализовать сложнее, так как естественной формулировки jV = 4 калибровочных теорий вне массовой оболочки не существует.
28
Современный интерес к действию DBI и его многочисленным суперсимметричным и неабелевым модификациям в контексте теории суперструны связано с действием пробной ОЗ-браны, распространяющейся на искривленном фоне пространства анти-де-Ситгера и на фоне электрической части 4-формы R-R потенциала, продуцированным большим числом N совпадающих бран (98),
S = -Тз J dtxH-1(X)[yJ- det(v„m + Н(Х)д,„Х'дпХ' + - 1] (0.6)
Здесь i = l,...,6,m,n = 1,... ,4, = \/2ngs и H — 1 + j£p,Q = ~N9s- Дополнитель-
но действие также содержит член Чери-Саймонса представляющий "магнитную” часть взаимодействия, SriM!J = iiV J5 eil...icp^Ar',rfX‘2 Л... A dX'a. Центральной темой гипотезы AdS/CFT соответствия является предложение о точной дуальной связи между ИВ супергравигационным описанием взаимодействия параллельных D-бран и низкоэнергетическим эффективным действием N ~ 4 суиерсимметричной теории Янга-Миллса в ку-лоновской фазе спонтанного нарушения калибровочной симметрии (для обзора см. [176], [177|). В частности, было обнаружено, что потенциал взаимодействия ВЗ-бран (протяженных объектов, являющихся решениями классических уравнений IIB супергравитации), описываемый действием DBI, совпадает с лидирующим членом в пизкоэнергетическом эффективном действии Af — 4 суиерсимметричной теории Янга-Миллса с калибровочной группой SU(N) и больших N, спонтанно нарушенной до максимальной абелевой подгруппы [178]-[180]. Таким образом, конструкция следующих вкладов низкоэнергетического эффективного действия Аг = 4 суиеркалибровочных моделей оказалась очень важной для изучения взаимосвязи между суиерсимметричной квантовой теорией поля и теорией струн. Эта гипотеза является сильной мотивацией изучения квантовых поправок н их ренормализационных свойств в суперсимметричиых теориях Янг-Миллса [181], [1821, [146| 4.
Рассматривается случай, когда Xх — const, т. е. все производные скалярного произведения игнорируются, а также, что щг 1, так что можно отбросить единицу в гармонической функции Н. Тогда S становится таким же, как и действие для пробной DS-браны в пространстве AdS& х S5, ориентированной параллельно границе AdS$. Разлагая по степеням F мы получим общую структуру разложения
1 г ™ ,FW
s = t и*Т,с'№) тш (°-7>
с первыми членами
S = -Тз / - \ ОрЦ* - J(^)2] - + • •
С точки зрения теории струн в режиме слабой связи, ведущие члены взаимодействия между отдельными D-бранами описываются диаграммами ’’диск с дырками”. Предел малого разделения должен быть представлен петлевыми поправками в суиерсимметричной
4Более полный список литературы можно найти а [182], (14С|-[150]
29
теории Янга-Миллса, в то время как предел большого разделения - через взаимодействие классической супергравитации. Если коэффициент того или иного члена в потенциале взаимодействия струн оказывается не зависящим от расстояния (т.е., от безразмерного отношения разделения и ч/o'), то этот коэффициент должен быть тем же и в квантовой суперсимметричной теории Янга-Миллса и продставлешш для взаимодействия в классической суиергравитации. На языке теории суперсимметричной теории Янга-Миллса вычисление потенциала взаимодействия между пачкой D3-6pan и параллельной пробной БЗ-браной, несущей постоянное фоновое поле Fmnt соответствует вычислению эффективного квантового действия Г в постоянном скалярном фоне Ф* который нарушает SU(N 4-1) до SU(N) х U(l) и в постоянном U{i) калибровочном поле Fmn. Для взаимодействия между БЗ-бранами, т. с. в случае конечной Аг = 4, D = 4 суперсимметричной теории Янга-Миллса, разложение Г но степеням безразмерного отношения F2/^]4 имеет следующую общую форму
1 Г ,21 7Г2Н-2
г‘ж;/л т
В плоском пределе (большие N, фиксированная Л = gyMN) функции // должны зависеть, только от Л. Наивное сравнение этого эффективного действия с супергравитациоиным разложением (с отождествлением д'ум = 2тгг/3,|Ф| = Т’ІА'І) приводит к мысли, что I-й член получает вклады только от 1-го порядка в разложении эффективного действия N = 4, D = 4 суперсимметричной теории Янга-Миллса по числу петель. Это действительно справедливо для ведущего F4/]X|4 члена, который появляется только в первой петле, и его нет в более высоких порядках в связи с существованием теоремы перенормировки. Кроме того, однопетлевой коэффициент члена F* в N — 4 суиерсимметричпом эффективном действии находится в точном согласии с супергравитациоиным выражением. В работе (182] изучалось подобное соответствие для члена F6, посредством явного вычисления его 2-петлетлевого коэффициента n fif = 4 суперсимметричной теории Янга-Миллса. Лоренцева структура этого члена в эффективном действии такая же, как в су-пергравитационном действии DBI (форма абелевого F° члена, на самом деле, однозначно фиксируется М" = I суперсимметрией), и плоская (N 1) часть его коэффициента оказывается точно такой же, как входящие в (0.7). В сочетании с известным фактом, что абелев член FG не появляется в однопетлевом JV* = 4 эффективном действии, это может означать, что этот 2 -петлевой коэффициент должен быть точным, то есть абелевый член F6 не должнен получать вклады из всех высших петлевых (/ > 3) порядков. Эта гипотеза была проверена в [178] (в общем неабелевом случае), где показано, что здесь есть универсальное выражение со стороны N = 4 суперсимметричной теории
Янга-Миллса, которое воспроизводит сублидирующне члены в супергравнтационном потенциале между различными конфигурациями связанных состояний Б-бран. Поскольку системы бран с различными количествами суперсимметрии описываются очень разными фоновыми конфигурациями, предположение, что все соответствующие потенциалы взаи-
30