Оглавление
1 Введение 8
1.1 Актуальності, темы.......................................... 8
1.2 Цель исследования и постановка задачи...................... 10
1.3 Научная новизна и практическая значимость.................. 11
1.4 Положения, выносимые на защиту............................. 12
1.5 Публикации по теме диссертации............................. 14
1.6 Апробация результатов...................................... 18
1.7 Структура и объем диссертации.............................. 20
1.8 Содержание работы.......................................... 20
1.9 Принятые обозначения и системы единиц...................... 28
2 Теории гравитации с поправками высших порядков по кривизне 29
2.1 Тестирование современных моделей.......................... 29
2.2 Первые модели с поправками по кривизне.................... 31
2.2.1 Модели ГІ.В.Хиггса................................... 31
2.2.2 Гравитация Д.Лавлока................................. 32
2.2.3 Космологические модели с членами Я .................. 33
2.2.4 Модели гравитации с лагранжианами вида /(Я) . . 35
2.2.5 Квантование гравитационного поля..................... 36
2.3 Теория струн / М-теория................................... 40
2.3.1 Основные идеи 10-ти мерной теории................... 40
2
2.3.2 М-теория и 11-ти мерная супергравитация............ 43
2.3.3 Эффективное низкоэнергетическое действие .... 44
2.4 “Базовые” решения расширенной гравитации.................. 47
2.4.1 Решение СМ-<Ш8 .................................... 47
2.4.2 Решение С.Миньями.................................. 49
2.4.3 Решение П.Канти.................................... 51
2.4.4 Испарение черных дыр и подход М.Париха и
Ф.Вильчека......................................... 54
2.4.5 Решения Р.Масрса и Н.Дж.Перри...................... 58
2.4.6 Результаты Р.Г.Каи ................................ 61
2.5 Модели с некомпактными дополнительными измерениями 63
2.5.1 Причины разработки................................. 63
2.5.2 Модели АДД и масштаб квантовой гравитации із области “низких энергий” .................................. 64
2.5.3 Модели Л.Рэндал и Р.Сандрума....................... 77
2.5.4 Модели ЭСР и их роль в космологии.................. 79
2.5.5 Роль поправок по кривизне.......................... 81
2.6 Связь физики высоких энергий и гравитации................ 83
2.7 Выводы к Главе 2 85
3 Решения с поправками второго порядка по кривизне в четырехмерной теории гравитации 86
3.1 Решение “черная дыра Гаусса-Боннэ” ....................... 86
3.1.1 Аналитические асимптотики ......................... 87
3.1.2 Результаты численного интегрирования............... 91
3.1.3 Термодинамические свойства решения................. 97
3.1.4 Устойчивость решения............................... 99
3.1.5 Замечания к решению................................ 99
3.2 Влияние максвелловского поля..............................102
3
3.2.1 Вводные замечания..................................102
3.2.2 Уравнения поля.....................................102
3.2.3 Результаты численного интегрирования...............104
3.2.4 Замечания к решению..............................108
3.3 Сингулярность т8 и ее свойства..........................109
3.3.1 Исследование особых точек по нулям главного детерминанта системы........................................109
3.3.2 Свойства сингулярности г8..........................114
3.4 Сингулярность г8 в космологии...........................116
3.4.1 Вводные замечания..................................116
3.4.2 Уравнения ноля.....................................117
3.4.3 Результаты численного счета........................118
3.4.4 Замечания к решению................................119
3.5 Ограничение на минимальную массу черной дыры в струнной гравитации................................................120
3.5.1 Численный результат ...............................120
3.5.2 Аналитический результат и модель темной материи 121
3.5.3 Поляризация вакуума вблизи мини черных дыр . . 121
3.6 Дополнительные ограничения при учете скалярных полей 124
3.6.1 Численное решение и дополнительные ограничения
в черных дырах.....................................124
3.6.2 Допустимые формы функций связи модульных нолей в космологии..........................................130
3.7 Выводы к Главе 3 .....................................132
4 Модель хокинговского испарения черных дыр Гаусса-Боннэ 134
4.1 Простейшая модель испарения черной дыры с остановкой 134
4.1.1 Основное состояние квазиклассической модели . . . 134
4
4.1.2 Простейшая модель замедления испарения...........137
4.1.3 Замечания к модели...............................144
4.2 Испарение черной дыры Гаусса-Боннэ......................145
4.2.1 Аналитическое представление метрических функций 145
4.2.2 Спектр испарения черной дыры Гаусса-Боннэ .... 146
4.2.3 Сохранение энергии и скорость испарения..........151
4.3 Возможности экспериментального поиска черных дыр Гаусса-Боннэ по продуктам их распадов.......................156
4.3.1 Экспериментальный поиск .........................156
4.3.2 Первичные черные дыры как кандидаты на роль темной материи..........................................158
4.4 Дальнейшее развитие метода..............................160
4.5 Параметры ранней Вселенной и первичные черные дыры . 161
4.5.1 Вводные замечания................................161
4.5.2 Оценка температуры разогрева.....................163
4.5.3 Учет пылевой стадии..............................166
4.5.4 Следствия для наблюдательной космологии..........169
4.6 Выводы к Главе 4 .......................................169
5 Многомерная черная дыра Шварцшильда-Гаусса-Боннэ 171
5.1 Возможность различить черные дыры Шварцшильда и Шварцшильда-Гаусса-Боннэ в многомерной гравитации.
Идея измерения струнной константы связи................171
5.1.1 Вводные замечания................................171
5.1.2 Разница температур многомерных черных дыр Шварцшильда и Шварцшильда-Гаусса-Боннэ. Идея измерения...............................................172
5.2 Возможности экспериментального поиска черных дыр Шварцшильда-Гаусса-Боннэ на ускорителях.....................174
5
5.2.1 Вычисление потока частиц от многомерной черной дыры Шварцшильда-Гаусса-Боннэ............................174
5.2.2 Практическая возможность измерения струнной константы связи..........................................178
5.3 Выводы к Главе 5 180
6 Многомерная черная дыра Керра-Гаусса-Боннэ 184
6.1 Вводные замечания .......................................184
6.2 “Вырожденное” решение “многомерная черная дыра Керра-Гаусса,-Воннэ”.........................................186
6.3 Пятимерное аналитическое приближенное решение “черная дыра Керра-Гаусса-Боннэ”.........................194
6.3.1 Метрика в координатах Керра-Шильда................194
6.3.2 Переход к координатам Бойера-JI инк виста.........197
6.3.3 Температура черной дыры Керра-Гаусса-Боннэ . . . 199
6.4 Выводы к Главе 6 201
7 Заключение 203
8 Приложения 206
8.1 Численное интегрирование систем неявных дифференциальных уравнений по независимому параметру...................206
8.2 Коэффициент а мнимой части действия при испарении четырехмерной черной дыры Гаусса-Боннэ ........................211
8.3 Коэффициенты }ц и для многомерной вырожденной черной дыры Керра-Гаусса-Боннэ..................................215
8.3.1 5-ти мерный случай, иг компонента................215
8.3.2 6-ти мерный случай, иг компонента................215
8.3.3 7-ти мерный случай, иг компонента................215
8.3.4 8-ти мерный случай, иг компонента................216
6
8.3.5 9-ти мерный случай, иг компонента................216
8.3.6 10-ти мерный случай, иг компонента.......216
8.3.7 11-ти мерный случай, иг компонента.......216
8.4 Коэффициенты и 62 асимптотики на горизонте многомерной вырожденной черной дыры Ксрра-Гаусса-Боннэ . . 217
8.4.1 5-ти мерный случай, коэффициенты 61 и 62.........217
8.4.2 6-ти мерный случай, коэффициент 61 218
8.4.3 7-ти мерный случай, коэффициент 61 218
8.4.4 8-ти мерный случай, коэффициент 61 219
8.4.5 9-ти мерный случай, коэффициент Ь\ .219
8.4.6 10-ти мерный случай, коэффициент ...............219
8.4.7 11-ти мерный случай, коэффициент 61.............220
7
Глава 1
Введение
1.1 Актуальность темы
За последние десятилетия был достигнут значительный прогресс в построении единой теории всех физических взаимодействий. Так как при помощи методов квантовой теории поля построить квантовую теорию гравитации пока не удается, рассматриваются новые концепции связи гравитации и физики высоких энергий, среди которых наиболее перспективной представляется теория струн. Развитие этой теории принято разбивать на этапы, разделенные первой и второй С<суперструнными революциями”. “Первая су перетру иная революция” относится к 1984 году: был предложен механизм сокращения аномалий, позволивший установить, что суперсимметричные калибровочные теории с супергравитацией могут существовать в десятимерном пространстве-времени с калибровочными группами 50(32) или х Е&у описывающими гетеротиче-ские струны. После компактификации в четыре измерения теория описывается низкоэнергетическим эффективным действием, обобщающим классическое действие Эйнштейна-Гильберта. В дополнение к эйнштейновскому члену действие обычно включает в себя безмассовый дилатон-ный вклад, поля 51нга-Милса и поправки высших порядков по кривизне. Следствие такой модификации эффективного действия для моделей гра-
8
витации — появление новых типов решений, отсутствующих в теории относительности. Эти решения могут соответствовать физическим объектам макромира, которые необходимо искать в наблюдениях или экспериментах.
В пертурбативном подходе, развитом на этом этапе, уравнения Эйнштейна модифицируются с помощью поправок высших порядков по кривизне в областях, где кривизна приближается к планковским значениям. В настоящее время общая форма этих поправок еще не изучена полностью, поэтому прямое суммирование ряда невозможно. При этом наиболее значимой является поправка второго порядка: произведение члена Гаусса-Боинэ на дилатонный фактор. Такие поправки (без дилатонного члена) были введены в рассмотрение Д.Лавлоком и получили название “гравитации Лавлока”.
Исследованию влияния поправок на вид решений в космологии и физике черных дыр было посвящено множество исследований. В частности, было получено решение “черная дыра Гаусса-Боннэ”, содержащее новые типы сингулярностей и дающее ограничение снизу на минимально возможное значение массы черной дыры, отсутствующее в теории относительности (Mignemi и Stewart, 1993; Kanti и др. , 1996; Алексеев и Помазанов, 1997; Maeda и др. 1997; Алексеев и Сажин, 1998). В эти же годы был получен новый класс космологических решений (Kanti и др., 1996; Easter и Maeda, 1997). Их отличительная черта — возможность избежать начальной космологической сингулярности для широкого спектра начальных данных. Далее, была показана устойчивость всех этих решений, то есть, возможно, сделан первый шаг к решению проблемы космологической сингулярности в струнной гравитации. В дальнейшем эти результаты были обобщены и уточнены (Алексеев и др., 2000).
“Вторая суперструнная революция” произошла в 1994 году. Было доказано, что все пять независимых струнных теорий связаны преобразо-
ваниями дуальности и являются частными случаями одной общей теории (М-тсории), которая в низкоэнергетическом пределе дает одиннадцатимерную су пер гравитацию.
Одной из самых нетривиальных проблем современной теорсти1ческой физики является вопрос о конечной стадии хокинговского испарения черных дыр. Так как законченного описания квантовых микросостояний черной пока не создано, эта проблема широко обсуждается, потому что полное испарение черной дыры может парушать квантовую когерентность теории,- что нежелательно. С другой стороны, не исключена возможность, что черная дыра испаряется не полностью, а лишь до некоторого реликтового остатка (А1схеуеу и др., 2002). Если эти реликтовые остатки черных дыр существуют, они могут составить часть тёмной материи во Вселенной.
1.2 Цель исследования и постановка задачи
Целыо данной диссертации является поиск следствий моделей гравитации с поправками второго порядка по кривизне, которые существуют в обозримых пространственно-временных масштабах, изучение этих следствий на предмет возможности или невозможности их поиска в экспериментах либо наблюдениях.
Для реализации предложенной цели необходимо в квазиклассическом приближении исследовать как четырехмерные модели с поправками по кривизне, так и модели многомерной гравитации, в том числе с учетом возможной не компактности дополнительных измерений. Полученные решения необходимо сравнить с существующими (и реализующимися в астрономии) решениями типа “чёрная дыра”, уточнив разницу их топологических и термодинамических характеристик для ответа на вопрос о возможной реализуемости объекта в природе и поиска в экспериментах
10
и наблюдениях.
1.3 Научная новизна и практическая значимость
Все полученные в рамках данной работы результаты являются новыми, оригинальными и достоверными, что подтверждается корректностью используемых аналитических и численных методов. На момент публикации соответствующие результаты были получены впервые в мире.
В диссертации впервые удалось получить полную версию решения “четырехмерная черная дыра Шварцшильда-Гаусса-Боннэ”, подробно исследовать его топологическую структуру и лежащий в её основе математический базис, обнаружить даваемое данной моделью ограничение на возможную минимальную массу черной дыры (А1схеуеу & Рогпагапоу, 1997; А1ехеуеу & БагЫп и др., 1997-2002). В рамках предложенного в диссертации нового подхода (совмещение современных физических и математических методов, таких как изучение сингулярных возмущений, более точные методы интегрирования, широкое использование апрокси-маций, ... ) выявлены поляризационные свойства черной дыры Гаусса-Воннэ, показана общность типов сингулярности в космологических и чернодырных решениях. В ходе исследований было предложено отождествить полученное решение с последней стадией хокинговского испарения черных дыр с небольшой исходной массой (до 10]° г, время жизни которых сравнимо со временем жизни нашей Вселенной). Выявлены отличия в картинах испарения: уточненное описание даст большие значения излучаемой энергии на последних стадиях испарения, показана невозможность экспериментального поиска первичных черных дыр по продуктам их испарения на последних стадиях.
В диссертации также исследованы сценарии испарения черных дыр в многомерных моделях гравитации с некомпактными дополпительны-
11
ми измерениями (А1ехеуеу & Ваггаи и др., 2000-2001,). Показано, что в эксперименте на строящихся ускорителях, в случае обнаружения черных дыр как объекта, можно будет различить типы появившихся черных дыр; измерив значение струнной константы связи.
В диссертации впервые, с помощью численных методов, получено решение для вращающейся черной дыры в многомерной гравитации с поправками второго порядка по кривизне при наличии некомпактных дополнительных измерений (А1ехеуеу & Ваггаи и др.. 2006-2008). Для пятимерного случая найдено аналитическое приближение и исследованы термодинамические свойства решения. Показано, что термодинамические свойства мало отличаются от стандартного вращающегося решения, то есть, различие черных дыр* в эксперименте сразу после рождения не представляется возможным.
1.4 Положения, выносимые на защиту
1. На основе ограничения на минимальную массу черной дыры, полученного в моделях гравитации с поправкой в виде члена Гаусса-Воннэ, предложена модель реликтовых остатков (с массой 10-5 г) первичных черных дыр. На основе анализа допустимых функций связи предложены ограничения на размер нолей-модулей (не более размера самой черной дыры).
2. Предложен новый метод изучения типов пространственно-временных сингулярностей на основе анализа нулей главного детерминанта Апаш = 0 системы неявных дифференциальных уравнений Гильберта-Эйнштейна. Структура особенностей определяется поведением уравнений вблизи сингулярной поверхности ОтахП = 0 в фазовом пространстве. На основе предложенного метода в модели четырехмерной гравитации с поправками второго порядка по кри-
12
визнс в виде члена Гаусса-Боннэ найден новый тип сингулярности, присутствующий как в космологических решениях, так и в решениях типа “чёрная дыра”. Будучи следствием топологической инвариантности члена Гаусеа-Боннэ, при которой порядок уравнений Эйнштейна не увеличивается, данный тип сингулярности определяется новым типом нуля (“точка поворота”) главного детерминанта усложненной системы неявных дифференциальных уравнений, отсутствующим в уравнениях теории относительности.
3. На основе ограничения на минимальную массу черной дыры, полученного в моделях гравитации с поправкой в виде члена Гаусса-Боннэ, предложена оригинальная модель испарения черных дыр с модификацией закона испарения на последних стадиях. На основе закона сохранения энергии предложен механизм остановки испарения на массах 10 — 103 масс Планка, вычислены (с апробацией на простейшей модели) характерные величины энергий излучаемых частиц в точке-максимума спектра испарения (~ Ю20 эВ) и на\стадии остановки процесса (~ 10“6 эВ). Дана теоретическая оценка (1 событие на 10° лет) частоты событий в экспериментальном поиске первичных черных дыр по продуктм их распада при условии отсутствии противоречий с моделями инфляции.
4. В модели многомерной гравитации с поправками второго порядка по кривизне в виде члена Гаусса-Боннэ установлен закон испарения черной дыры, которая может родится в экспериментах на ускорителях. С учетом характеристик ускорителя LHC показано, что, благодаря 5% различию температуры, в случая обнаружения черных дыр как объекта, возможно различить типы черных дыр. по продуктам их испарения и измерить значение фундаментальной константы теории струн: струнной константы связи.
13
5. В модели многомерной гравитации с поправками второго порядка по кривизне в виде члена Гаусса-Боннэ получено решение типа “вращающаяся черная дыра”. Решение с одним моментом вращения получено численно для всех значений размерности пространства-времени. Для более точной оценки верхнего предела отношений температур черных дыр Керра и Керра-Гаусса-Боннэ в пятимерной модели найдено приближенное аналитическое решение. Показано, что максимальная разница в оценке температур обсуждаемых решений составляет менее 5%, то есть, различить типы черных дыр по продуктам распада сразу после рождения в эксперименте, когда необходимо учитывать вращение, не представляется-возможным.
1.5 Публикации по теме диссертации
В работах с соавторами Алексееву С.О. принадлежит лидирующий вклад в постановке задач, обсуждении и интерпретации результатов. Все результаты были получены либо непосредственно Алексеевым С.О., либо под его руководством.
Диссертация основана на следующих публикациях:
1. С.О.Алсксесв, М.В.Сажин, О.С.Хованская, Первичные черные дыры и параметры ранней Вселенной // Письма в Астрономический Журнал, (2002), том 28, стр 163-167.
2. С.О.Алексеев, А.Барру, Г.Будул, М.В.Сажин, О.С.Хованская, Простейшая модель испарения черных дыр на последних стадиях // Письма в Астрономический Журнал, (2002), том 28, стр 489-494.
3. С.Алексеев. А.Поиов, М.Старцева, А.Варрау, Дж.Грайн, Черные дыры Керра- Гаусса-Б от ю : точное аналитическое решение // Жур-
14
нал экспериментальной и теоретической физики (2008), том 133, стр 710-714.
4. S.O. Alexeyev, M.V. Pomazanov, Black Hole Solutions with Dilatonic Hair in Higher Curvature Gravity // Phys. Rev. D (1997), том 55, стр 2110-2118.
5. S.Alexeyev, A.Barrau, G.Boudoul, O.Khovanskaya. M.Sazhin, Black hole Relics in String Gravity: Last Stages of Hawking Evaporation // Class.Quant.Grav. (2002), том 19, ci'p. 4431-4443.
6. S.Alexeyev, A.Barrau, K.Rannu, Internal structure of a Maxwell-Gauss-Bonnet black hole // Phys. Rev. D (2009), том 79, стр 067503, препринт 0902.4810 [gr-qc].
7. S. Alexeyev, S. Migncmi, New Types of Naked Singularities in Gauss-Bonnet Extended String Gravity with Moduli Field /j Class. Quant. Grav. (2001), том 18, стр. 4165-4177.
8. S.O. Alexeyev, A.V. Toporcnsky, V.O. Ustiansky, Non-Singular Cosmological Models in String Gravity with Second Order Curvature Corrections ff Class. Quant. Grav. (2000), том 17, стр. 2243.
9. A. Barrau, J. Grain, S. Alexeyev Gauss-Bonnet black holes at the LHC: beyond the dimensionality of space // Phys. Lett. B, (2004), том 584, стр.114.
10. S. Alexeyev, A. Toporcnsky, V. Ustiansky, The Nature of Singularitiy in Bianchi I Cosmological String Gravity Model with Second Order Curvature Corrections If Phys. Lett. B, (2001), том 509, стр. 151.
11. S.O. Alexeyev, M.V. Sazhin, M.V. Pomazanov, Black Holes of a Minimal Size in String Gravity // Int. J. Mod. Phys. D (2001), том 10, стр. 225.
15
12. S.O. Alexeycv, M.V. Sazhin, Four-dimensional Black Holes in a Gauss-Bonnet Extended String Gravity // Gen. Relativ. Grav. (1998), том 30, стр.1187.
13. S. Alcxcycv, N. Popov, A. Barrau and J. Grain, Black hole solutions in the N > f gravity models with higher order curvature corrections and possibilities for experimental search of such objects Journal of Phys.: Conf. Series (2006), том 33, стр.343
14. S.O. Alcxeyev, Black Holes in Higher Order Curvature Gravity // глава в книге Black Holes: Properties, Formation and Features, (2009), NovaPublishers, New-York.
15. S.O. Alexeyev, Internal Structure of a Gauss-Bonnet Black Hole // Grav. Cosmol. (1997), том 3, стр. 61.
16. S.O. Alexeycv, M.V. Pomazanov, Gauss-Bonnet Black Holes in Low Energy String Theory // Grav. Cosmol. (1997), том 3, стр. 191.
17. S.O. Alexeycv, О.S. Khovariskaya, Additional Study of the Restriction to the Minimal Black Hole Mass in String Gravity // Grav. Cosmol. (2000), том 6, стр. 121.
18. S.O. Alexeyev, M.V.Pomazanov, Typical Types of Singularities in String Gravity ff Grav. Cosmol. (2001), том 7, стр. 130.
19. S.Alexeyev, A.Barrau, J.Grain, Gauss-Bonnet black holes at new colliders: Beyond the dimensionality of space j j Grav. Cosmol. (2005), том И, стр. 34.
20. S.O. Alexeycv and M.V. Sazhin, Some Aspects of Four-dimensional Black Hole Solutions in Gauss-Bonnet Extended String Gravity // J. Astrophys. Astr. (1999), том 20, стр. 1.
IG
21. S.О. Alexeyev, M.V. Sazhin and M.V. Pomazanov, Труды “19th Texas Symposium on Relativistic Astrophysics”, Paris (Фран-
, ция), декабрь 1998, 10 страниц, на CD-ROM, под редакцией E.Aubourg, T.Montmcrle, J.Paul, P.Peter.
22. S. Alexeyev. A.Barrau, Life after death of Black holes: evaporation near Planck Mass // труды конференции: <Фундаментальная физика во Франции>, Лион, 31 мая-2 июня 2001 года, иод редакцией M.Buenerd.
23. S.Alexeyev, N.Popov, A.Barrau, J.Grain New black hole solutions in the string gravity with noncompact extra dimensions and their experimental search I I'j Труды 22-го Техасского симпозиума по релятивистской астрофизике (на CD-ROM), Стэнфорд, США, 13-17 декабря 2004 года, под редакцией R.Blanford.
24. S. Alexeyev, A. Barrau, J. Grain Gauss-Bonnet black holes at the LHC: beyond the dimensionality of space // Труды международной конференции “Кварки-2004” под редакцией Д. Г. Левкова, В. А. Матвеева, В. А. Рубакова, http://quarks.inr.ac.ru/
25. S.О.Alexeyev, N.N.Popov, T.S.Strunina, A.Barrau, J.Grain, Black hole solutions in N > 4 Gauss-Bonnet Gravity // Труды международной конференции “Кварки-2006” под редакцией В.А. Матвеева, В.А.Рубакова, http://qiiarks.inr.ac.ru/
26. S.O.Alexeyev, N.N.Popov, Black hole solutions in N > 4 Gauss-Bonnet Gravity // Труды международной конференции “11th Marcell Grossmann Meeting on General Relativity” под редакцией
H.Kleinetr, R.T.Jantzen, R.Ruffini, Part А, стр. 1251, World Scientific (2008)
17
1.6 Апробация результатов
Результаты данной работы неоднократно докладывались на семинарах по гравитации и космологии имени А.Л.Зельманова в ГАИШ МГУ, на семинаре теоретического отдела ФИАН, на семинаре Лаборатории теоретической физики им. Н.Н.Боголюбова ОИЯИ (Дубна), на семинарах Института субатомной физики и космологии Университета имени Дж.Фурье (Гренобль, Франция), Университета Кальяри (Кальяри, Италия), Университета имени Фредерика II (Неаполь, Италия), а также на международных конференциях:
1. “Dark Matter in the Universe”, Roma (Italy), ноябрь 1995;
2. Ульяновская международная школа-семинар сПроблемы теорсти-
■ ческой космологии — 1>, Ульяновск, 1-10 сентября 1997 года;
3. “Discussion Meeting on Physics of Black Holes”, Bangalore (India), декабрь 1997;
4. “Spinoza Meeting on Quantum Black Hole” Utrecht (Holland), июнь 1998;
5. “19th Texas Symposium on Relativistic Astrophysics", Paris (France), декабрь 1998;
6. Коллоквиум по черным дырам в рамках общемосковского астрофизического семинара, март 1999 года (ГАИШ МГУ);
7. 9th European and 5th Euro-Asian Astronomical Society Conference (JENAM-2000) May 29 - June 3, 2000, Moscow, Russia;
8. MG IX MM - STUDIUM URBIS, The Ninth Marcel Grossmann Meeting on recent developments in theoretical and experimental general rel-
ativity, gravitation and rclativistic field theories Рим, 2-8 июля 2000, Римский Университет “La Sapicnza”;
9. Ульяновская международная школа-семинар <Проблемы теоретической космологии — Н>, Ульяновск, 10-21 сентября 2000 года;
10. Конференция ЦЕРН: “2nd Alpes Meeting on Fundamental Astrophysics”, май 2001 года;
11. “Фундаментальная физика во Франции”, Лион, май-июнь 2001 года.
12. Международная конференция: “M-theoty Cosmology”, Кембридж (Англия), август 2001 года.
13. Международная Конференция: “5th Conference of Asia and Pasific Region”, Москва, август 2001 года.
14. Международная школа-семинар “Темная материя, темная энергия и гравитационное линзирование”, Москва, 19-21 июня 2002 года.
15. Международная Конференция: “20th Texas Symposium on Relativis-tic Astrophysics”, Florence (Italy), декабрь 2002.
16. Международная Конференция: “21th Texas Symposium on Relativis-tic Astrophysics", Stanford (USA), декабрь 2004.
17. Международная Конференция: “Fourth Meeting on Constrained Dynamics and Quantum Gravity”, Cala Gonone (Sardinia, Italy) September 12-16, 2005
18. Международная Конференция: “Eleventh Marcel Grossmann Meeting on General Relativity”, Berlin (Germany), July 23-29, 2006
19. Всероссийская астрономическая конференция “Космические рубежи XXI века” (ВАК-2007), 17-22 сентября 2007 года, Казань
19
20. Международные конференции “Кварки-2004” (Пушкинские горы), “Кварки-2006” (Репино, Санкт-Петербург), “Кварки-2008” (Сергиев Посад).
Материалы данной диссертации уже используются при чтении лекционных курсов по общей теории относительности как для студентов астрономического отделения физического факультета МГУ имени М.В.Ломоносова, так и для студентов физиков и астрономов со всей России на школах “Физика космоса”, проводимых в Коуровской астрономической обсерватории Уральского государственного университета, в частности:
• С.О.Алексеев Современные расширения общей теории относительности // Труды 35-й международной студенческой конференции “Физика космоса”, стр. 19-30, Екатеринбург, издательство Уральского государственного университета, (2006).
• С.О.Алексеев Общая теория относительности и се современное развитие // Труды 38-й международной студенческой конференции “Физика космоса”, стр. 19-34, Екатеринбург, издательство Уральского государственного университета, (2009).
1.7 Структура и объем диссертации
Диссертация подразделяется на Введение, пять Глав, Заключение, Благодарности, Приложения и Библиографию. Общий объем диссертации — 252 страницы, включая 50 рисунков и 305 ссылок.
1.8 Содержание работы
В Главе 1 дается анализ целей и задач диссертации, приводится список опубликованных работ и апробации результатов.
20
В Главе 2 дается общий обзор моделей гравитации с поправками второго порядка по кривизне как в чстырехмерпом, так и в многомерном виде, приведены основные (“базовые”) решения, дан краткий анализ основных моделей гравитации с некомпактными дополнительными измерениями и базовых идей по поиску черных дыр в космических и физических экспериментах.
Глава 3 посвящена исследованию четьірехмерноію низкоэнергетического эффективного действия с поправками второго порядка но кривизне в форме комбинации члена Гаусса-Боннэ и вклада от скалярного поля — дилатона, поиску решений типа “чёрная дыра” и “расширяющаяся Вселенная”. Рассмотрено действие вида
5 = Т(Ь / [-R + 1д»фдЧ + Ае-2^в],
где R — скалярная кривизна, ф — дилатон, Л — струнная константа связи, описывающая вклад члена Гаусса-Боннэ
Sen = RijkiRijkt - 4ЯцК* + R2
в действие.
В координатах кривизны вида:
ds2 = Adt2 — — r2[d02 -f- sin2 Odcp2), (1.1)
где метрические функции Д и а зависят только от радиальной координаты г. получено решение типа “невраіцающаяся черная дыра Гаусса-Боннэ”. Решение было получено при помощи предложенного и адаптированного нами для задач теории гравитации численного метода интегрирования по независимому параметру (описание метода приведено в Приложении к диссертации). Решение характеризуется набором независимых параметров: масса, дилатопный заряд, асимптотическое значение дилатонной функции на бесконечности. В данном решении появляется новая топологическая структура черной дыры под горизонтом событий:
21
в случае больших (по сравнению с иланковскими) значений размера горизонта решение имеет внутреннюю сингулярность на конечном радиусе rS} присутствующую в любых параметризациях метрики. При уменьшении размера горизонта условное “расстояние” до этой сингулярности также уменьшается. В граничном случае все особые точки сливаются и внутренняя структура черной дыры перестает существовать.. При-дальнейшем уменьшении размера горизонта решения типа “черная дыра” нет вообще. Найденная сингулярность г8 имеет топологию S2 х Я1, то есть это бесконечная “труба” радиусом г3. Похожего типа “труба” в метрике Шварцшильда при учете дополнительного условия
Я',ШRabat < ОО
обсуждалось и ранее в работах В. 11.Фролова. Из этой “трубы’’ исходят два решения. Асимптотически плоское решение, являющееся главным, начинается вга и продолжается до бесконечности без каких-либо ограничений. В случае очень больших (по сравнению с иланковскими) значений Th справедливо соотношение г3} то есть значением г5. можно пренебречь вообще, и основное решение превращается в метрику Шварцшильда, что согласуется с результатами других авторов. Дополнительная ветвь решения обеспечивает существование внутреннего сингулярного горизонта тх, на котором
lim Rijk,Rijkl = —1—гг-
r->rx J (r — rx)ü
Какие-либо решения могут существовать и внутри “трубы” г5, но они неустойчивы относительно флуктуаций начальных данных, и невозможно определить, какой ветви решения — физической или нефизической — они соответствуют.
Данный тип сингулярности найден также в космологических решениях, причем, при полной аналогии между асимптотическими рядами
22
метрических функций, имеющих одинаковый порядок старшей производной в окрестности этой особенности. Сами метрические функции в этой области конечны, расходятся только их стартпие производные как 1/л/^Х при (£ —> £в), геодезические линии и инвариант кривизны ведут себя также:
Иш Ят№к1 = .
Также необходимо отметить, что данный тип сингулярности отсутствует в решениях типа Фридмана и начинает проявляться только при рассмотрении анизотропных метрик, начиная с метрик типа Бьянки I.
Представляется важным подчеркнуть, что упомянутые выше особенности проявляются, когда главный детерминант ГЛпат системы дифференциальных уравнений Гильберта-Эйнштейна становится равным нулю. Структура особенностей определяется поведением уравнений вблизи сингулярной поверхности Дпот = 0 в фазовом пространстве. Структура Апаш может быть выражена как
ОтЫп = А (л А2 + ВА + с),
где А(г) — метрическая функция, равная компоненте <700 метрики, а Л, В, С — коэффициенты, зависящие от радиальной координаты г и других метрических функций. В моделях с асимптотически плоскими решениями представлены три типа нулей главного детерминанта:
(a): А = О, С ф 0 (“пересечение”),
(b): АА2 + В А + С — О,
А^О, С Ф 0 (“точка поворота”),
(c): А = О, С — 0 (“полная сингулярность”),
При этом горизонту событий отвечает “пересечение”, внутренней сингулярности г3 — “точка поворота”, а сингулярному горизонту гх — “полная
23
- Київ+380960830922