- 2 -
ОГЛАВЛЕНИЕ
стр.
ВВЕДЕНИЕ ...................................................... 4
ГЛАВА I. Квантовая теория поля с фундаментальной массой и применение метода суммирования фейнмановских диаграмм при исследовании квантовополевых функций.. 13
1.1. Фундаментальная длина и обобщение аппарата квантовой теории поля ................................. 14
1.2. Применение метода суммирования диаграмм при исследовании квантовополевых функций .......................... 30
ГЛАВА 2. Метод суммирования диаграмм в квантовой теории
поля -с фундаментальной массой ...................... 37
2.1. Оператор собственной энергии бозона во втором порядке по константе связи в импульсном пространстве постоянной кривизны .......................... 37
2.2. Исследование интегрального уравнения для мнимой
части оператора собственной энергии бозона в
"радужном" приближении (трилинейное взаимодейст-£
вие типа лФ Y )......................................... 46
2.3. "Радужное11 приближение для мнимой части оператора собственной энергии бозона (четверное взаимодействие типа лфгЦ> ) .................................... 54
ГЛАВА 3. Стереографическая параметризация импульсного пространства постоянной кривизны и исследование мнимых частей оператора собственной энергии бозона в "радужном" приближении ........................................ 60
3.1. Стереографическая параметризация импульсного пространства постоянной кривизны ............................ 60
3.2. Мнимая часть оператора собственной энергии бозона
- з -
сгр.
в конформно-псевдоевклидовых координатах модели
с трилинейным взаимодействием ..................... 69
3.3. "Радужное" приближение для мнимой части оператора собственной энергии бозона в модели с четверным взаимодействием .................................. 79
ГЛАВА 4. Радужное (лестничное) приближение для оператора собственной энергии бозона, вершинной функции и амплитуды рассеяния вперед в конформно-евклидовых координатах ............................................. 85
4.1. Исследование оператора собственной энергии бозона ............................................. 85
4.2. Исследование интегральных уравнений для вершинной функции в безмассовой квантовой электроди-
О,
намике и в скалярной модели типа X ^ ...... 98
4.3. О0+.1)- инвариантная лестничная модель амплитуды рассеяния вперед с безмассовым обменом ... 107
ЗАКЛЮЧЕНИЕ .................................................. 116
ЛИТЕРАТУРА .................................................. 119
- 4 -
ВВЕДЕНИЕ
В последнее десятилетие получила развитие формулировка квантовой теории поля (КТП), в которой ключевую роль играет импульсное пространство постоянной кривизны.
Радиус кривизны Р-пространстваГЛ играет роль нового универсального параметра теории - фундаментальной массы, а обратная величина 6=к выступает соответственно в роли фундаментальной длины.
Стандартной КТП отвечает, так называемый, плоский предел
ГЛ^°°(^0) .
Согласно современным экспериментальным данным константа (/ подчиняется ограничению В ^ 1СГ*® см и значительно превышает величину "планковской длины" 10“^ см, определяющей пространственные масштабы эффектов квантовой гравитации. Поэтому нельзя исключить, что по мере преодоления колоссального интервала 10“*® - 10“^ см будут открыты новые физические явления и закономерности, ассоциированные с фундаментальной длиной.
В этой связи КТП с фундаментальной массой, являясь нетривиальной альтернативной прежней "плоской" теории в области сверхвысоких энергий Е , претендует на роль более общей теории с физическим содержанием.
Отметим, что в настоящее время благодаря работам советских и зарубежных теоретиков удалось в рамках одной теоретико-полевой схемы объединить идею о существовании фундаментальной массы ГЛ с такой плодотворной концепцией, как калибровочная симметрия. При этом открылась возможность однозначного обобщения на случай теории с фундаментальной массой, моделей Вайнберга-Салама-Глэшоу, квантовой хромодинамики (КХД) и т.д.
В стандартной КХД и теории Вайнберга-Салама-Глэшоу надежным инструментом является теория возмущений, позволяющая вычислять с
- 5 -
достаточной точностью амплитуды конкретных процессов.
Однако в рамках теории возмущений не удается выяснить ряд принципиальных вопросов, возникающих внутри этих теорий и связанных с их перенормируемостью и конечностью.
Кроме того, теория возмущений непременима, например, в КХД для исследования важной проблемы инфракрасного поведения функций Грина. Ряд проблем связан также с неразложимыми по константе связи членами точных решений полевых уравнений.
Одним из методов, позволяющих выйти за рамки теории возмущений, является суммирование определенного класса фейнмановских диаграмм. При этом во многих моделях удается получить ряд нетривиальных результатов, не имеющих аналога в теории возмущений.
Настоящая работа посвящена исследованию в рамках скалярной КТП с фундаментальной массой ряда моделей квантовополевых функций, имеющих важное значение в теории. В частности, исследуются операторы собственной энергии бозона и их мнимые части, вершинные функции и амплитуда рассеяния вперед.
Изучение отмеченных квантовополевых функций проводится в ортогональной и стереографической параметризации импульсного пространства постоянной кривизны. При этом используются некоторые приближения. Например, частичный выход за рамки теории возмущений осуществляется суммированием класса фейнмановских диаграмм только "радужного" и лестничного типа. Исследование вершинной функции в квантовой электродинамике с фундаментальной массой проводится в полностью безмассовом случае, а при изучении лестничной модели для амплитуды рассеяния вперед рассмотрен безмассовый обмен.
В работе получен ряд оригинальных результатов, заключающихся в следующем:
I. В ортогональной параметризации импульсного пространства постоянной кривизны построена модель типаХФ Ч* для оператора соб-
- 6 -
ственной энергии бозона 21(Р, ) в "радужном" приближении.
Получено интегральное уравнение для мнимой части функции
2(Р>а) .
На примере диаграммы второго порядка показано, что при вычислении 1т1:к \г,к) в отличие от стандартной КТП возникают два выражения, одно из которых не имеет "плоского" аналога и обязано своим существованием симметрии импульсного пространства постоянной кривизны относительно замены знака у пятой компоненты пятимерного вектора (£= О, I, 2, 3, 4).
Полученное интегральное уравнение в случае безмассового обмена сводится к дифференциальному уравнению второго порядка с граничными условиями, вытекающими из интегрального уравнения. Для согласования решения с граничной задачей вводится константа перенормировки, которая в итоге оказалась мультипликативной и позволила избавиться от инфракрасных расходимостей, возникающих в исследуемой модели.
В высокоэнергетическом пределе полученное выражение для мнимой части оператора собственной энергии бозона выходит на константу, а при переходе к "плоскому" пределу сводится к соответствующему выражению в стандартной КТП.
2. Получено интегральное уравнение типа Вольтерры для мнимой части оператора собственной энергии бозона в теории типа хФ 'Р с фундаментальной массой.
Это уравнение сводится к дифференциальному уравнению четвертого порядка и с учетом граничных условий допускает точное решение.
2
Решение имеет точку ветвления по константе СВЯЗИ д. = -I и при переходе к "плоскому" пределу в области Р >У ПЯ обнаруживает степенную асимптотику.
2 2
При Р—>/Л для искомой функции получен "ультрафиолетовый
предел".
- 7 -
Мнимая часть оператора собственной энергии бозона используется для вычисления средней множественности рождения частиц при превращении в в-пары в адроны.
Показано, что средняя множественность имеет слабый ло-
гарифмический рост и в области "ультрафиолетового предела" выходит на константу. Полученное выражение для величины в "пло-
ском" пределе оказывается в разумном согласии с результатами, полученными в рамках кварк-партонных представлений.
3. В КТП с фундаментальной массой введена стереографическая параметризация импульсного пространства постоянной кривизны. Координаты, вводимые с помощью стереографического проектирования, названы конформно-псевдоевклидовыми.
Используя соотношение между массами частиц и их "геометрическим аналогом" в стереографической проекции, показано, что "аномальные" X -частицы, обладающие "ароматом" П= ^у^р | ” ^ »
индуцируют индефинитную метрику и могут существовать только в виртуальном состоянии.
4. В конформно-псевдоевклидовых координатах получено интегральное уравнение для мнимой части оператора собственной энергии бозона р(Р ) в "радужном" приближении с массивным обменом.
Уравнение исследуется в случае малых И1С2« и больших величин массы обменной частицы.
В первом случае введение перенормированной функции !Р0(Р )~ ~ ^ позволило иоследовать поведение решения при
т О • Показано, что выбором мультипликативной константы
/тсггг<; ,
~ \ПЪ с ±) Д6 паРаметР зависит от константы
связи (^2 и величин ГПа иШ-са) удается выделить единственное решение полученного уравнения в случае безмассового обмена и обеспечить выполнение необходимых требований нормировки для массового оператора.
- 8 -
Исследование окончательного выражения для функции (Р )
К
показало, что учет массы обменной частицы практически не влияет
2 2
на поведение искомой функции в асимптотической области Р ^>^С1 , а наличие фундаментальной массы приводит к незначительному сокращению границ применимости "радужного" приближения в исследуемой модели.
В случае ПгС2р1ПС1 задача сводится к дифференциальному уравнению, решение которого представляется в виде линейной комбинации модифицированной функции Бесселя и функции Макдональда. Неизвестные константы определяются граничными условиями задачи, причем введенная константа К также оказалась мультипликативной.
При ^С1 -*■ О и соответствующем выборе константы Н получена
2
ультрафиолетовая асимптотика функции /? (Р ).
Показано, что в этом случае возникает неаналитичность в окрестности нуля по константе связи, и при $ = О функция (р2) имеет логарифмическое ветвление.
5. В конформно-псевдоевклидовых координатах исследовано уравнение для мнимой части оператора собственной энергии бозона в модели с четверным взаимодействием.
Исследование проведено в КТП с импульсным пространством положительной (отрицательной) кривизны с группой движения Де-Ситтера
БОШ <50(4 1)).
С использованием полученных результатов вычислены полное сече-■/* —
ние е с -аннигиляции в адроны и средняя множественность рождения частиц для этого процесса.
Показано, что величина (в Р-пространстве положительной
кривизны) в ультрафиолетовом пределе выходит на константу, а величина ^ (в Р-пространстве отрицательной кривизны) имеет ло-
гарифмический рост.
6. В "радужном" приближении теории типа Ч* исследовано
- 9 -
интегральное уравнение для полного оператора собственной энергии бозона.
Показано, что при соответствующем выборе константы перенормировки с учетом граничных условий задачи можно получить решение, мнимая часть которого не содержит инфракрасных расходимостей и совпадает с результатом вычисления функции 1тИ(К2) прямым способом при помощи правил Куткосского.
7. Получено и решено уравнение для оператора собственной энергии бозона в области "сверхвысоких энергий" (при К ).
Показано, что мнимая часть оператора собственной энергии удовлетворяет условию положительности только в определенных областях изменения величины отношения константы связи к фундаментальной массе.
2 2 /
Допущение /?2-с>4 в асимптотической области К »4 приводит
к нарушению условия положительности величины Х/П ПРИ лю-
бых значениях константы связи. Этот факт интерпретируется как рождение мезона массой /П8= 4 .
8. В безмассовой квантовой электродинамике с фундаментальной массой исследовано интегральное уравнение для вершинной функции в приближении Эдвардса.
Получено выражение для вершины в виде гипергеометрической функции Гаусса с конечной константой перенормировки 2
Показано, что в "плоском" пределе константа перенормировки
стремится к нулю, а вершинная функция удовлетворяет условию норми-
ровки У {-/*) = 1 и при К-> 00 обладает правильным асимптоти-
ческим поведением в смысле теоремы Лемана-Симанзика-Циммермана.
~~
В пределе слабой связи константа 21 совпадает с константой перенормировки вершинной функции в теории возмущений.
Исследование интегрального уравнения для вершинной функции в импульсном пространстве постоянной кривизны показало, что перенор-
- 10 -
мировка уравнения, нахождение его решения и последующий переход к "плоскому11 пределу можно рассматривать как своеобразный метод регуляризации при нахождении вершины в рамках стандартной КТП.
9. Построена 0(4.1) - инвариантная лестничная модель амплитуды рассеяния вперед с безыассовым обменом*
Обнаружена скрытая симметрия 0(5) лестничной модели для амплитуды рассеяния вперед в стандартной теории с виковским поворотом*
Выражение для амплитуды имеет масштабно-инвариантный вид и в редже-бьеркеновской области имеет степенную асимптотику.
В соответствии с изложенным, диссертация построена следующим образом:
Первая глава, состоящая из двух разделов, носит обзорный характер.
В первом разделе дан краткий исторический обзор и отмечены основные тенденции в развитии, обосновании и физической интерпретации квантовой теории поля с импульсным пространством постоянной кривизны. Анализируются основные работы, посвященные проблеме построения КТП с фундаментальной массой, вводятся необходимые понятия и обозначения.
Во втором разделе показано современное состояние исследования квантовополевых функций методами, позволяющими выйти за рамки теории возмущений и основанными на суммировании различных классов фейнмановских диаграмм, обсуждена идейная сторона проблемы.
Вторая глава посвящена исследованию в "радужном" приближении мнимых частей оператора собственной энергии бозона в моделях КТП с фундаментальной массой типа хФ и хФ ф
Исследование проводится в ортогональной параметризации импульсного пространства постоянной кривизны.
- Київ+380960830922