Оглавление
Введение 4
0.1 Введение.................................................... 4
1 Адиабатическое представление 18
1.1 Введение................................................... 18
1.2 Двумерные точно решаемые модели для параметрической задачи ......................................................... 22
1.2.1 Построение точно решаемых моделей в подходе Марченко .................................................... 26
1.2.2 Построение точно решаемых моделей в
подходе Гельфанда-Левитана.......................... 33
1.3 Точно решаемые модели для системы уравнений калибровочного типа..................................................... 38
1.4 Двумерные точно решаемые модели, полученные в согласованной постановке............................................. 42
1.5 Выводы..................................................... 46
2 Исследование проблемы пересечения уровней 48
2.1 Введение................................................... 48
2.2 Проблема пересечения уровней для параметрической обратной задачи на полуоси......................................... 51
2.3 Проблема пересечения уровней для параметрической обратной задачи на всей оси ....................................... 58
2.4 Выводы..................................................... 61
3 Нестационарная задача в адиабатическом представлении 63
2
3
3.1 Введение................................................... 63
3.2 Построение нестационарных потенциалов и соответствую-
щих волновых функций через стационарные потенциалы и волновые функции........................................... 65
3.2.1 Пример точно решаемой модели с временизависящим симметричным потенциалом .................................. 66
3.2.2 Пример точно решаемой модели с временизависящим несимметричным прозрачным потенциалом ... 68
3.3 Адиабатически изменяющиеся системы......................... 71
3.3.1 Пример исследования адиабатически изменяющейся
системы.............................................. 76
3.4 Геометрические фазы........................................ 77
3.5 Выводы..................................................... 81
4 Точные решения нестационарного уравнения Шредингера и их применение 82
4.1 Введение................................................... 82
4.2 Гамильтонианы, допускающие точные решения
нестационарного уравнения Шредингера....................... 84
4.3 Геометрические фазы и динамическая локализация............. 89
4.4 Неадиабатические геометрические фазы....................... 92
4.5 Квантовые вычисления....................................... 95
4.6 Выводы.................................................... 104
Заключение 106
3
Введение
0.1 Введение
Задачи об эволюции динамических систем привлекают в настоящее время пристальное внимание исследователей в связи с последними достижениями в различных областях физики. Много интересных явлений таких как молекулярный Ааронов-Бом эффект [1], геометрическая фаза [2]—[4], проблема пересечения уровней [5], отождествляемая с Ландау-Зинер переходами [б, 7], динамическая локализация частиц в системах с ограниченной пространственной размерностью [9]-[12] было обнаружено в атомной и молекулярной физике, квантовой химии, квантовой оптике и физике твердого тела. Интенсивные исследования в области квантовых компьютеров (см., например, [13]—[20] и ссылки в этих работах) возобновили интерес к эффекту геометрической фазы в квантовой механике. Недавно было предложено конструировать голономный квантовый компьютер [21]—{23], используя неабелеву геометрическую фазу Берри [2]. Поэтому проблема моделирования динамических систем с заранее заданными свойствами, используя методы квантовой механики, не теряет своей актуальности. Точно решаемые стационарные и нестационарные модели в квантовой механике служат, на наш взгляд, для плодотворных исследований в этих областях науки, а также помогут в обнаружении новых свойств.
Большое количество точно решаемых моделей было получено на основе метода обратной задачи (03) в квантовой теории рассеяния. В частности, метод обратной задачи рассеяния позволяет исследовать широкий класс нелинейных задач методами линейной. К достижениям метода следует отнести возможность расширения числа моделей квантовой механики, допускающих решения в аналитическом виде. В этой связи, весьма актуальна
4
5
разработка точно решаемых моделей 03 для исследования сложных многомерных, мало- и много частичных квантовых систем как с постоянными, так и изменяющимися физическими характеристиками.
Основные принципы решения квантовой обратной задачи сформулированы в работах советских математиков И.М.Гельфанда и Б.М.Левитана [24], В.А.Марченко [25], М.Г.Крейна [27], Ю.М.Березанского [29], [28). Дальнейшее развитие теории с учетом физический приложений было сделано в работах Л.Д.Фадцеева [30], Р.Г.Ньютона [31], П.Сабатье и К.Шадаиа [32], Кейя и Мозеса [33], Левитана (34). Два подхода, данные Гельфандом, Левитаном и Марченко стали классическими и являются моделью для постановки других вариантов обратных задач. Это касается формулировок одномерной задачи на всей оси [30], [31], [32], [35], [36], многомерной задачи [30], [35] - [37], обратной задачи для одномерных и многомерных систем уравнений первого порядка [38], И. - матричной теории рассеяния [38] -[42], дискретных конечно-разностных аналогов обратной задачи [38] - [45].
Перспективно также развитие адиабатического подхода, в котором естественным образом учитываются различные свойства и взаимное влияние медленной и быстрой квантовых подсистем. Одна из наиболее интересных особенностей адиабатического представления связана с возникновением калибровочных полей. Метод адиабатического представления может' быть применен для исследования многих реальных квантовых систем со сложной динамикой, таких, как ядра, атомы, молекулы, металлические кластеры и т.д. Такие системы характеризуются взаимодействием коллективных, медленно изменяющихся внешних полей, и внутренних, быстро изменяющихся полей, что может приводить к возникновению монопольных калибровочных потенциалов и к таким интересным явлениям, как неинтегрируе-мые геометрические фазы, открытые Берри [2]- [4], молекулярный эффект Ааронова-Бома (1), нелинейные эффекты и хаос для коллективного движения |5]. Точно решаемые модели обратной задачи могут быть использованы для исследования монопольных калибровочных потенциалов и связанной с ними проблемы пересечении уровней [6, 7, 46, 47] в квантовых системах с несколькими степенями свободы и могут служить хорошим методом для
У
>
б
моделирования этих процессов.
Прямая задача рассеяния в адиабатическом подходе имеет богатую историю развития, которая восходит к первым исследованиям Борна и Оппен-геймера [48], Борна и Фока [49, 50| и впоследствии интенсивно развивалась многими авторами, такими, как Ландау [6] и Зинер [7, 8], Хилл и Уилер [51], Демков [52] и Мид [1] (некоторые дополнительные ссылки можно найти в работах [53] - [56]); в то время как постановка обратной задачи в адиабатическом представлении была предложена лишь относительно недавно [57] - 164].
Процедура адиабатического представления может рассматриваться как вариант размерной редукции пространства М — В х М) так как сводит решение всей задачи рассеяния к двум эффективным задачам в пространствах В и М. меньшей размерности, чем исходное М. [65]. Одна из них - параметрическая для уравнения Шредингера, описывающего быструю динамику при параметрической зависимости от "медленных"координатных переменных х 6 В. Другая проблема формулируется для систем калибровочных уравнений с потенциалами, индуцированными процедурой адиабатического разложения полной волновой функции Ф(я, у) = X) / у)Рп(х) ио собственным состояниям 'фп{х\ у) самосопряженного параметрического гамильтониана.
Метод аналитического моделирования в таком подходе основан на согласованной формулировке в аналитическом виде двух взаимосвязанных задач: параметрической задачи и многоканальной, ассоциируемой с системой уравнений с ковариантной производной. Главная особенность параметрической 03 состоит в том, что потенциал и волновые функции определяются по данным рассеяния {£п(я), М%(х), /с)}, которые параметрически
зависят от пространственных переменных. Обобщение техники баргманов-ских потенциалов на параметрическое семейство обратных задач основано на выборе функций Йоста. Они должны быть рациональными, как обычно, но при этом параметрически зависеть от адиабатических переменных, через зависимость от них спектральных характеристик. В одной из двух согласованных постановок эта зависимость определяется из решения об-
7
ратной задачи для системы калибровочных уравнений. Затем, используя полученные спектральные данные, необходимо решить параметрическую обратную задачу для определения потенциала У{х\у) и собственных функций г;у). В другой постановке предполагается, что функциональная зависимость в данных рассеяния {£п(х), М%(х),3(х, к)} от внешней адиабатической переменной задана заранее. Тогда вначале восстанов-ливается потенциал У(х,у) , и определяются базисные функции 'фп{х\у)^ зависящие от х как от параметра, затем по аналитическим базисным функциям вычисляются матричные элементы индуцированных векторного А(х) =< ф(х;у)\^х\'ф(х‘)у) > и скалярного У(х) =< ф(х; у)\У\^(х\ у) > потенциалов и решается система калибровочных уравнений. Такой подход позволяет оценить влияние параметрических спектральных характеристик на поведение динамических квантовых систем.
Представим алгебраическуЕО схему решения многоканальной обратной задачи в адиабатическом представлении: 1) используя технику вырожденных ядер, определим в явном аналитическом виде потенциальную матрицу У{х) и отвечающую ей матрицу решений по данным рассеяния {5'(р), {Д'/д}, {£д}}; 2) перейдем от представления фиксированного базиса к представлению изменяющегося от слоя к слою базиса, используя обратное унитарное преобразование, это позволяет определить термы и соответву-ющие им функции нормировок; 3) используя алгебраическую процедуру решения параметрическеой обратной задачи, определим двумерный потенциал и двумерные волновые функции термов. Это замкнутая процедура полного согласованного получения в аналитическом виде двумерных решений и потенциалов.
Интересно отметить, что матричные элементы обменного взаимодействия Дт,(я) сильно зависят от выбора нормировочных функций собственных состояний параметрического гамильтониана. Для пересечения уровней нормировки должны быть сингулярны [53, 54]. В адиабатическом представлении сингулярность нормировок получается естественным образом из постановки задачи [55]. Специальный выбор нормировочных функций, определяющих безотражательный симметричный по быстрым переменным у
потенциал, —оо < у < оо, приводит к нулевой связи между состояниями двухуровневой системы: А 12(2;) = 0 даже в точках вырождения. В то время как, при любых других нормировках и тех же термах получаем несимметричные по у потенциалы и ненулевую связь, Ап{х) Ф 0, между теми же состояниями. Отметим также, что в случае параметрической задачи на всей оси потенциалы, собственные функции и матричные элементы обменного взаимодействия не сингулярны в точках вырождения двух состояний, как это имеет место для параметрической задачи па полуоси 0 < у < оо. Таким образом, характерные особенности гамильтониана медленной подсистемы определяются природой параметрической задачи: а именно, она -радиальная, задана на полуоси или это задача на всей оси.
Предлагаемый подход позволяет также исследовать медленно эволюционирующие квантовые системы с предписанной зависимостью от адиабатической переменной .т(£).
Точные модели имееют не только самостоятельную ценность, но и служат средством приближенного решения обратных задач в случаях, когда ядра интегральных уравнений не вырождены [66]. Аппроксимациям произвольного потенциала баргмановскими отвечает приближение функции рассеяния дробно-рациональными выражениями, при этом происходит регуляризация решений обратной задачи, благодаря сужению на подмножество потенциалов, зависящих от конечного числа параметров [67], [68].
Построение точно решаемых моделей в рамках 03 позволяет изучать нестационарную задачу. Обычно в качестве нулевого приближения задачи с гамильтонианом Я(£) = А + /н(£) рассматривается система с гамильтонианом /г, не зависящим от времени. Зависящая от времени часть гамильтониана к\ предполагается малой /11 Л и рассматривается как возмущение, вызывающее переходы между собственными состояниями к. Однако, если к\ не мало и периодически зависит от времени, к\(1 + Т) = к^), то более целесообразно использовать другой подход [69]—[70], поскольку ни теория возмущений, ни адиабатическое приближение не применимы. Согласно теоретико-групповым представлениям, если #(£) периодически зависит от времени #(£ + Т) = Я(£), то среди решений уравнения Шредингера мож-
о
но найти такие, которые периодически изменяются со временем - циклические решения. Эти решения воспроизводятся через период с точностью до фазового фактора Фи(г,Ь +Т) = ехр(—іД/Г)Ф„(г, £). Помимо обычной динамической фазы этот фазовый фактор содержит еще и геометрическую часть, изучению которой посвящено много работ в последнее время. Периодические состояния Ф„(г, £) при данном £ взаимно ортогональны и играют такую же роль как состояния с определенной энергией в обычной стационарной теории. Циклическая эволюция играет важную роль при описании квантовых систем в периодически изменяющихся средах. Наиболее хорошо изучены задача для квантового осциллятора под действием периодической внешней силы [70]—[79] и задача о движении частицы со спином в однородном периодическом магнитном поле [69, 70) (см. также относительно недавние публикации [80)—[83]). Для решения нестационарных задач был предложен метод разделения переменных [84] и метод суперсимметрии [85], которые расширяют класс точно решаемых нестацинарных задач. Однако на наш взгляд, более перспективным для конструирования точно решаемых динамических задач является метод преобразования от стационарных уравнений к нестационарным [55], [82], [80]—[90). Обширен класс задач для которых могут быть использованы точно решаемые стационарные модели (см. например, [91] - [99] и ссылки в этих работах). Каждая из этих моделей с независящим от времени гамильтонианом может быть преобразована в семейство зависящих от времени гамильтонианов, допускающих точные решения.
При исследовании эволюции квантовых систем важную роль играет как выбор гамильтониана, так и начальных условий. Берри [2], имя которого носит топологическая фаза, при изучении циклической эволюции в качестве начааьных использовал мгновенные собственные состояния Гамильтониана #(£ = 0), которые адиабатически эволюционируют от £ = 0 до I = Г по замкнутому контуру в параметрическом пространстве. Для того, чтобы обеспечить периодическую эволюцию с таким выбором начальных условий, пришлось прибегнуть к адиабатическому приближению. Ааронов и Анандан [4] отказались от адиабатического приближения, рассматривая
- Київ+380960830922