Новые симметрии в электродинамике и квантовой теории

Памяти родителей Котельникова Александра Ивановича Тыченковой Марии Алексеевны
УДК 517.945.7
Ключевые слова: теория поля, симметрии, уравнения Даламбера,
Дирака. Максвелла. Шредингера, нелинейная электродинамика
Предложен алгоритм исследования симметрийных свойств уравнений теоретической и математической физики. Показано, что в рамках алгоритма уравнения Даламбера и Максвелла проявляют как релятивистскую, так и галилееву симметрию, а уравнение Шредингера помимо галилеевой - симметрию релятивистскую.
Рассмотрены симметрии уравнений в 5-пространстве с непрерывной скоростью света. Построены формулы преобразования дискретной симметрии на гиперплоскостях с=+31010 и с=-ЗЮ10 см/сек в классической электродинамике и квантовой теории. Показана взаимосвязь преобразования инверсии "с-‘-с. х-*х" с зарядовым сопряжением.
Построена бесконечномерная алгебра внутренних симметрий однородных уравнений Максвелла, в качестве конечномерных подалгебр содержащая 16-мерные алгебры Ли. Грассмана и супералгебру.
Сформулирована новая версия нелинейных уравнений Максвелла.
Рассмотрена связь новых симметрий с физикой.
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ..................................................................6
Глава 1. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫЕ СИММЕТРИИ В 4-МЕРНОМ
ПРОСТРАНСТВЕ СОБЫТИЙ..........................................18
1.1. Обобщенный модифицированный алгоритм Ли...........................19
1.2. Уравнение Даламбера...............................................23
1.2.1. Симметрии типа р=1. Лоренц-инвариантность уравнения
Даламбера (23). 1.2.2. Симметрии типа р=2. Галилей-
инвариантность уравнения Даламбера (26).
1.3. Уравнения Максвелла ...............................................29
1.3.1. Симметрия типа р-1. Лоренц-инварианткость уравнений Максвелла (30). 1.3.2. Симметрия типа р=2. Галилей-
инвариантность уравнений Максвелла (33). 1.3.3. Галилеева
симметрия подсистем уравнений Максвелла (43).
1.4. Уравнение Шредингера..............................................46
1.4.1. Симметрия типа р=1. Галилей-инвариаитность уравнения
Шредингера (46). 1.4.2. Симметрия типа р=2. Лоренц-инвариантность уравнения Шредингера (48).
1.5. Максимальная размерность групп симметрии и алгебр инвариантноста исследуемых уравнений ................................................. 53
1.5.1. Максимальная линейная группа симметрии уравнений
Даламбера. Максвелла и Шредингера при р=(1;2) (53). 1.5.2.
Алгебра инвариантности уравнений Даламбера. Максвелла и Шредингера при р-«> (55). 1.5.3. Сопоставление симметрий (57).
1.6. Обобщенный метод замены переменных .................................60
1.7. Замена переменных в уравнении Даламбера ............................61
1.7.1. Условия симметрии общего вида (61). 1.7.2.
Линеаризованные условия симметрии (63). 1.7.2.1. Симметрия
уравнения Даламбера относительно преобразований координат из группы Вейля (63). 1.7.2.2. Симметрия уравнения Даламбера
относительно преобразований координат из конформной группы (64).
1.7.2.3. Симметрия уравнения Даламбера относительно произвольных. обратимых преобразований пространства-времени (67). 1.7.3. Сравнение результатов исследования симметрий
уравнения Даламбера обобщенным модифицированным методом Ли и обобщенным методом замены переменных (68).
Глава
гл.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6. 2.7.
Глава
3.1.
3.2.
3.3.
- 2 -
2. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫЕ СИММЕТРИИ В 5-МЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ СОБЫТИЙ С НЕИНВАРИАНТНОЙ СКОРОСТЬЮ СВЕТА ....71
Пятимерное пространство событий ...................................71
Алгебра инвариантности уравнений Даламбера, Максвелла и Шредикгера.........................................................72
Подалгебра Вирасоро ...............................................75
Конечномерные преобразования пространства-временк-скорости света..............................................................77
Конечномерные преобразования пространства-временк-скорости света с кинематической параметризацией скорости света 81
Групповые свойства кинематических преобразований скорости света..............................................................83
Некоторые общие свойства движений в 5-мерном пространстве событий............................................................85
3. ДИСКРЕТНЫЕ СИММЕТРИИ............................................87
Восьмимерная группа дискретных преобразований пространства--времени-скорости света............................................89
Дискретные симметрии в классической теории ........................90
3.2.1. Уравнения Максвелла (90). 3.2.2. Уравнения Даламбера
(95). 3.2.3. Уравнения движения заряженной частицы в
электромагнитном поле (96). 3.2.4. Уравнение светового конуса
(97).
Дискретные симметрии в квантовой теории ...........................98
3.3.1. Уравнение Даламбера (98). 3.3.2. Уравнение
Клейна-Гордона-Фэка (99). 3.3.3. Релятивистское уравнение
Шредикгера (100). 3.3.4. Нерелятивистское уравнение Шредингера
(102). 3.3.5. Уравнение Дирака. Связь преобразования инверсии скорости света с зарядовым сопряжением (103). 3.3.6. Уравнение
Дирака для заряженной частицы со спином 1/2 в электромагнитном поле (106). 3.3.7. Инверсия скорости света и трансформационные
свойства постоянной Планка и постоянной тонкой структуры (110).
3.3.8. Инверсия скорости света и электронно-позитронные состояния (112). 3.3.9. Сопоставление операций сопряжения заряда в классической и квантовой теории (118).
Глава 4. ВНУТРЕННИЕ СИММЕТРИИ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА И ДАЛАМБЕРА 121
4.1. Уравнения Максвелла. Преобразования полей. условия инвариантности. D и D матрицы..........................................121
4.2. Свойства D и D матриц. Реализация матриц..........................124
4.3. Инфинитезимальные матрицы. Алгебры матриц.........................127
4.4. U(2)XU(2)XU(2)XU(2) - симметрия уравнений Максвелла...............132
4.5. Переход к х-пространству..........................................133
4.6. Связь с предыдущими исследованиями................................133
4.6.1. U(1)XUС1) - симметрия уравнений Максвелла (133). 4.6.2. U(2)XU(2) - симметрия уравнений Максвелла (134). 4.6.3.
Бесконечная группа внутренних симметрий уравнений Максвелла (134).
4.7. Внутренние симметрии уравнения Даламбера для свободного
электромагнитного поля..............................................134
Глава 5. РЕЛЯТИВИСТСКИ ИНВАРИАНТНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
МАКСВЕЛЛА........................................................136
5.1. Формулировка уравнений. Трансформационные свойства электромагнитного поля ...............................................136
5.2. Общие свойства уравнений............................................138
5.3. Нелинейные уравнения электродинамики и вариационный принцип .141
Глава 6. СВЯЗЬ НОВЫХ СИММЕТРИЙ С ФИЗИКОЙ..................................142
6.1. Специальная теория относительности с неинвариантной скоростью
света...............................................................143
6.1.1. Введение (143). 6.1.2. Теоретические исследования
возможности нарушения постулата инвариантности скорости света (144). 6.1.3. Преобразования пространства-времени-скорости света (152). 6.1.4. Групповые свойства (153). 6.1.5. Трансформационные свойства 3-скорости и направляющих косинусов (154). 6.1.6.
Кинематические эффекты (156). 6.1.7. Объяснение классических
экспериментальных фактов (159). 6.1.8. Принцип наименьшего
действия. Обобщенные импульс и энергия (163). 6.1.9. Уравнения
движения заряженной частицы в электромагнитном поле (164). 6.1.10. Уравнения Максвелла (165). 6.1.11. Трансформационные
свойства импульса, энергии, плотности тока и напряженности
4
электромагнитного поля (165). 6.1.12. Интерпретация теории
(166). 6.1.12.1. Масштабная инвариантность электродинамики
(166). 6.1.11.2. Инвариантность электродинамики относительно
абсолютного значения скорости света (167).
6.2. Локальная специальная теория относительности...........................175
6.2.1. Возможное экспериментальное наблюдение сверхсветового движения (176). 6.2.1.1. Мюонное нейтрино - сверхсветовая
частица? (176). 6.2.1.2. Сверхсветовые частицы в мезонных пучках ОИЯИ? (177). 6.2.1.3. Сверхсветовые частицы в широких
атмосферных ливнях (178). 6.2.1.4. Сверхсветовые частицы при
регистрации антипротонов (179). 6.2.1.5. Сверхсветовое
расширение внегалактических -радиоисточников (179). 6.2.1.6.
Квазар QSO PKS 2134+004 - скорость света 440 ООО км/сек? (180).
6.2.2. Преобразования пространства-времени-скорости света,
совместные с активной точкой зрения (181). 6.2.3.
Формально-математическое построение теории (183). 6.2.4.
Локальный принцип относительности и уравнения движения (184).
6.2.5. Общие свойства движения в локальной специальной теории относительности (187). 6.2.6. Интегрирование уравнений движения
заряженной частицы (194). 6.2.6.1. заряженная частица в
постоянном однородном электрическом поле (194). 6.2.6.2.
Заряженная частица в постоянном однородном магнитном поле (196).
6.2.7. Распад и рождение новых частиц (198). 6.2.7.1. Распад нестабильных частиц (198). 6.2.7.2. Рождение новых частиц (199).
6.2.8. Локальная СТО и эксперимент (200). 6.2.9. Обсуждение (213).
6.3. Единое время Ньютона в классической электродинамике....................215
6.3.1. Расширенная группа Галилея (216). 6.3.2. Инварианты
расширенных преобразований Галилея (218). Элементы физической интерпретации (219). 6.3.3.1. Интерпретация, аналогичная СТО
(219). 6.3.3.2. Интерпретация, отличная от СТО (221).
6.4. Модель электронно-фотонного вакуума Дирака.............................224
6.5. Электростатика: нелинейное уравнение Лапласа-Пуассона .................231
6.5.1. Уравнение со сферической симметрией (231). 6.5.2. Модель
с гауссовским распределением плотности заряда в линеаризованной теории (235). 6.5.3.Модель с гауссовским распределением
плотности заряда в нелинейной теории (236). 6.5.3.1. Эффективный электрический заряд (236). 6.5.3.2. Электростатический потенциал и электрическое поле (237). 6.5.3.3. Интегрирование нелинейного
уравнения для функции z(t) методом Эйлера (238). 6.5.4.
Сопоставление с классической линейной электростатикой (240).
5.4.5. Сопоставление с электростатикой Борна-Инфельда (242).
6.5.6. Сопоставление с модифицированным законом Кулона в квантовой электродинамике (245).
- 5 -
Глава 7. ЗАКЛЮЧЕНИЕ.......................................................247
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.........................................................257
ДОПОЛНЕНИЕ. Дополнительная литература к Главе 6 .................274-276
- 6 -
ВВЕДЕНИЕ
Симметрийные свойства уравнений теоретической и математической физики содержат ванную информацию об объектах исследований и оказывают существенное влияние на естественно-научные представления в физике. Примером может служить релятивистское учение о пространстве-времени, возникшее, как известно, в результате исследований пространственно-временных симметрий уравнений Максвелла.
Для изучения симметрий предложено несколько приемов: метод замены переменных [2493. алгоритм Ли [28. 105], модифицированный алгоритм Ли [128. 2283, теоретико-алгебраический подход [93, 2163, алгоритмы
поиска обобщенных [28, 106] и нелиевых [125, 127] симметрий, методы
построения ренормгруппы [134, 215] и группы условных симметрий [16.
131. 229]. Ниже мы остановимся на методах, которые в той или иной
степени будут использоваться в настоящей работе.
0.1. Метод замены переменных
Метод исходит из возможности замены переменных в дифференциальном уравнении в частных производных (ДУЧП)
Аф(Х)=0, (0.1)
где А -дифференциальный оператор в пространстве переменных Кп(х). По определению, преобразования х' = х'(х) называется преобразованием симметрии уравнения (0.1). если в результате совокупных операций х'-х'(х). Ф'-Ф'(Ф) вид уравнения остается неизменным [17. 249]:
Аф(Х)=0 Х'-Х'(Х). ф’=ф’(ф) * А'ф’(Х)-0.
А'=А. (0.2)
Здесь вид оператора А' в штрихованных переменных должен совпадать с оператором А в переменных нештрихованных. Переход уравнения (0.1) в себя достигается в результате наложения определенных условий ка Функции х'=х'(х) и пересчета полей ф в поля ф'. Требование инвариантности уравнения (0.1) приводит к тому, что пространственно-временные преобразования х'-х'(х) образуют группу, а
- 7 -
поля ф(х) преобразуются по представлению этой группы [10. 17).
Остановимся на некоторых публикациях, как известных, так и мало известных, где эффективно использовался метод замены переменных, и которые имеют прямое отношение к теме настоящей работа.
В 1887 г. появилась статья профессора Геттингенского университета В. Фэйгта "О принципе Доплера" [249). Статья посвящена математическому описанию эффекта Доплера в теории распространения упругих колебаний. Введя однородные преобразования пространственно-временных переменных, Фойгт потребовал. чтобы уравнение Даламбера Пф(х)=о (Н*А). описывающее распространение колебаний скалярного поля ф’=ф. переходило в себя при неизменной скорости распространения волнового процесса, которую Фойгт обозначил буквой со. Это оказалось возможным, если на на коэффициенты линейного преобразования пространственно-временных переменных наложить некоторые условия (условия инвариантности). Иными словами. на примере поля ф. преобразующегося по скалярному представлению группы Лоренца ф'=ф [17. 108]. Фойгт по сути дела ввел:
- постулат постоянства скорости распространения волнового процесса о)'=ш вне зависимости от выбора икерциальной системы отсчета:
- постулат инвариантности уравнения распространения поля в произвольной инерциальной системе отсчета Пф(х. t)=0 - [] >' (х\t’)=0.
По современным представлениям свойством глобальной инвариантности в инерциальных системах отсчета обладает единственная скорость -скорость света "с", с которой и следует отождествить введенную Фойгтом величину о), т. е. (i)=c. В результате Фойгту удалось впервые установить в качестве группы симметрии уравнения Даламбера группу прямого произведения LßXA, (L6 шестимерная группа Лоренца, Д, -группа масштабных преобразований) и ее подгруппу Lt XAt с параметром масштабного преобразования р специального вида p=pv=(l-ß2)1/2 [107].
Соответствующие пространственно-временные преобразования Фойгта могут быть записаны в виде
x'-x-vt: y'«(i-ß2)1/2y: z'-(l-ß2)1/2z: t'=t-xv/c2. (0.3)
где. как обычно, V - скорость инерциальной системы отсчета К' относительно системы K. ß=V/C.
Вторично аналогичные преобразования были получены в 1951 г. президентом Испанской национальной академии наук Палакиосом [230]. а затем Гордоном [1831. От преобразований (0.3) они отличаются выбором
8
параметра р: pPG*pv"le(l-p2)",/2. вследствие чего преобразования
Палакиоса-Гордона являются обратными по отношению к преобразованиям Фойгта:
x’=(x-vt)/(i-p2); y'=y/(i-p2)1/2; z’=z/(i-p2)1/2; t'=(t-xv/c2)/(l-p2).
(0.4)
Работа Фойгта долгое время оставалась незамеченной. Ее пионерский характер и значимость для теории симметрии уравнений электродинамики были осознаны уже после создания специальной теории относительности (107. 153. 181. 247). Известность не обрели преобразования из группы
LjXAj, введенные в 1904 г. Лоренцем (91J и в 1905 г. Пуанкаре (111):
x'**p(x-Vt)/(l-p2),/2; у'-ру; z'-pz; t'-p(t-xVt/c2 )/(1-|52 )1/2. (0.5)
где 0<р<со. Именно относительно этих преобразований посредством метода замены переменных была показана инвариантность уравнений Максвелла в (91. 111).
В 1905 г. Эйнштейн (137). исходя из физических предпосылок, с самого начала полонил масштабный фактор р-i. и также с помощью метода замены переменных провел доказательство инвариантности уравнений в рамках подгруппы .
Как известно, основополагающие работы классиков релятивизма [91. 111. 137]. каждая по своему, имеют непреходящее значение. Среди них.
например, статья Пуанкаре замечательна во многих отношениях. Она содержит современное определение группы Ь*ХД, как группы инвариантности уравнения светового конуса c2t2-x2=0. Определение сформулировано на языке базисных генераторов группы, приведена ее алгебра Ли в 4-мерном пространстве с метрикой &ь = (+.даны Формулировка принципа относительности, а также другие подробности математического и физического характера, проанализированные з [89].
В 1909 г. Каннингхем (159] к Бейтмен [140] тоже посредством метода замены переменных установили инвариантность уравнений Максвелла относительно преобразований обратных радиус-векторов
хк ’==х1(/х2=-хк/(х,2+х22+хз2+х42), (0.6)
где х12 3 = (x.y.z). x*-lct. к»1.2.3.4. В сочетании с предыдущим это означает, что была установлена и инвариантность уравнений относительно
- 9 -
15 -мерной конформной группы С15 [127].
В 1910 г. была опубликована работа Умова [122]. Подобно Фойгту. Умов исходил из симметрии уравнения Даламбера. Однако вместо линейных, он рассматривал пространственно-временные преобразования общего вида, которые мы запишем как хк '=хк' (ха .X2.X3.X4). В результате было показано, что уравнение Даламбера для поля с трансформационными свойствами ф’=ф инвариантно относительно преобразований из группы Вейля Wji-dg. Т4. Дг) [24], которая является подгруппой конформной группы. Полученный Умовым результат, очевидно, носит менее общий характер. Тем не менее его работа содержит важный методический элемент (преобразования общего вида х'-х'(х)), который нам потребуется в
дальнейшем.
Позднее отмеченные свойства уравнений электродинамики были подтверждены во многих исследованиях. Стало также понятным, что уже работы Каннингхема [159] и Бейтмена [140] можно истолковать как указание на то. что группа конформных преобразований С15 является максимальной группой симметрии уравнений Максвелла в пространстве Минковского И4 [20, 27, 33, 99, 127].
Это означает, для поиска иных пространственно-временных симметрий в электродинамике необходимо либо обратиться к обобщенным или нелиевым группам преобразований типа [28. 106, 125], либо модифицировать
определение симметрии, либо перейти к пространствам, отличным от М4. Именно на этом пути были получены новые результаты в теории симметрии уравнений Максвелла. Нелиевы симметрии опубликованы в монографиях
Фущича и Никитина [127, 128]. Результаты, связанные с модификацией
определения симметрии, и с обращением к пространствам, отличным от М4. были получены в исследованиях (36-44. 46-48, 50-60. 64. 70. 71. 79. 80. 200, 201. 204-206. 208. 210. 211. 213) и являются предметом настоящей работа.
0.2. Алгоритм Ди
Так принято называть метод исследования симметрийных свойств как линейных, так и нелинейных ДУЧП. предложенный Софусом Ли в конце 19 века и развитый в трудах его последователей. Ниже мы будем придерживаться версии алгоритма, изложенной в монографиях (28. 83,
131).
В отличие от метода замены переменных, подход Ли основан на
- 10
образах к аппарате дифференциальной геометрии к использует иные, но согласующееся с методом замены переменных, критерии инвариантности. Например. критерием инвариантности функции Г(х) относительно преобразований х'-х'(х) из группы Ли является обращение в нуль соотношений £рас£Г/(Зха=0. где 0р-£а<2/с1ха - генераторы алгебры,
индуцирующие группу Ли. по дважды повторяющемуся индексу производится суммирование. 0<рО - размерность группы (28. 106]. В случае
произвольной системы дифференциальных уравнений, которую запишем как
Р(Х.ф(Х).(2ф(Х))-0 (0.7)
ситуация более сложная. Симметрийный анализ проводится не в (?п(х), а в
расширенном пространстве И11 (х)ХУ"" (ф) , где х=(х° хп_1)
совокупность пространственных, ф=(ф*...........ф"“) - совокупность полевых
переменных, рассматриваемых как переменные независимые, критерием инвариантности системы (0.7) относительно группы преобразований с
х’=х' (х.ф); ф’=ф’(х.ф), (0.8)
индуцированных генераторами алгебры Ли типа
Х=4а (х,ф)й/бха + дА (х,фЫ/аф*, (0.9)
является выполнение условия инвариантности Ли [28. 83. 131]
ХПР = 0=0. (0.10)
Здесь а=0,... ,п-1; А=1____,ш; по дважды повторяющемуся индексу
производится суммирование, X - в-ое продолжение оператора X (28. 83,
131] 3
Х=Х + ^АЙ/(1фьА + ХьсАй/йФьсА + •••. (0-11)
Б
где переменные ФьА, фьсА (Ь, с=0.........п-1). и функции £ЬА. £ЬсА даются
формулами (28. 83. 131]
ФйА»<ЗфА/<2хй; фЬса«с12фа/йх{>с1хс; ...:
- и -
';ьсА=осаьА)-ФьаАосаа); ...;
Оь=с1/с1хь + фьАс!/с1фА + ФЬсА(1/^ФсА +_______________________________ (0.12)
Порядок продолжения э определяется порядком исследуемых дифференциальных уравнений (0.7) [131].
Из условия инвариантности (0.10) путем приравнивания к нулю
коэффициентов. СТОЯЩИХ перед переменными Ха, Ф*. ФьА. ФьсА ___________________
рассматриваемых как независимые [28]. может быть получена линейная система дифференциальных уравнений, которую называют определяющей, и которая используется для вычисления Функций Са(х.Ф) и па(х.ф). При этом алгебра Ли операторов (0.9) называется максимальной в смысле Ли алгеброй инвариантности системы уравнений (0.7) [28. 131].
Исследование симметрийных свойств ДУЧЛ методом Ли вылилось в самостоятельное направление в математической физике. Последовательное изложение, многочисленные результаты исследований как линейных, так и нелинейных уравнений в частных производных, а также перспективы развития метода опубликованы в монографиях Овсянникова [105]. Ибрагимова [28]. Олвера [106], Футича. Штеленя и Серова [131].
Применительно к теме настоящей работы отметим, что лиевсккй анализ симметрийных свойств свободных уравнений электромагнитного поля был впервые осуществлен Мархашовым (99). Даниловы?/. [203 и Ибрагимовым [27]. Результаты анализа в части пространственно-временных симметрий совпали с данными метода замены переменных и соответствуют алгебре Ли конформной группы С15. Сверх того было установлено существование двух дополнительных генераторов алгебры Ли из группы и(1)хи(1) [20. 27]:
Х1б-1 (Нк0/с1Ек - ЕкД/сШк); Х,7=1(Нкс1/с1Нк + Ек<3/ОЕк); (0.13)
[Х16 » Х1 7 ) =0.
Здесь Ек и Нк - компоненты электромагнитного поля Е и Н. к=1,2.3. Поскольку получившаяся 17 - мерная алгебра Ли является максимальной [28. 127], то метод Ли позволил исчерпывающе описать симметрию
уравнений свободного электромагнитного поля в классе алгебр и групп Ли в пространстве М4(х)ХУ6(Е.Н). В этом и состоит принципиальная ценность полученных результатов (20, 27].
12
0.3. Теоретико-алгебраический анализ
В ряде случаев нет необходимости проводить трудоемкие вычисления, присущие методу замены переменных и методу Ли. Достаточно провести расчеты на алгебраическом уровне. В этом случае эффективным является метод анализа, который принято называть теоретико-алгебраическим, и который основан на следующем понимании симметрии.
Пусть дано уравнение (0.1). По определению, операторы Од. где 0<з<<». является симметрией, или операторами симметрии уравнения А<р(х)=0. если при любом значении индекса "э" они переводят решение уравнения в решение, то-есть <р(х)^р’„=0дф(х) такое, что А0дф(х)=0 [93-95, 216].
Такому пониманию симметрии соответствует коммутационное соотношение [93-95]
[А.0д]ф(х)=0. (0.14)
которое подразумевает. что операторы А и О*, перестановочны не тождественно, а на множестве решений уравнения Аф-0 [93-95. 216]. Если совокупность Од образует алгебру, то как и в методе Ли ее называют алгеброй инвариантности уравнения Аф=*0. Операторы 08 могут порождаться как пространственно-временными переменными. так и переменными полевыми. В первом случае говорят о пространственно-временных симметриях, во втором - о внутренних, или динамических симметриях. Определение (0.14) во главу ставит не само уравнение и сохранение его инвариантного вида как это присуще методу замены переменных и методу Ли. а множество решений, как бы заменяющих исходное уравнение.
В силу компактности, прагматичности и удобства определение (0.14) получило самое широкое распространение. В отечественной литературе оно было впервые сформулировано в работах Малыша и Манько (93, 95], Манько [94]. Додонова. Малкина и Манько [163], Лезнова,
Манько и Савельева [87]. Фущича [125]. Фущича и Никитина [127]. Из западной литературы можно сослаться, например. на публикацию Кирьякополуса [216] и монографию Барута и Рончки [4]. Метод теоретико-алгебраического анализа с успехом применялся во многих задачах, например, для изучения, симметрии атома водорода, квантового осциллятора, нерелятивистской частицы в магнитном поле, симметрии
13
уравнений Шредингера, релятивистских волновых уравнений 195]. уравнений классической электродинамики и квантовой механики [127,
128].
Может показаться, что теоретико-алгебраический подход и алгоритм Ли не связаны между собой. Однако это не так. поскольку операторы (0.9) переводят решение системы (0.7) в решение [28, 127] в
соответствии с определением симметрии (0.14). Поэтому алгоритм Ли можно рассматривать как конструктивный способ нахождения дифференциальных операторов симметрии 0«. замыкающихся в некоторую
алгебру Ли. В то же время достаточно ясно, что область действия
определения (0.14) шире, нежели условия инвариантности (0.10). поскольку условию (0.14) могут удовлетворять операторы, замыкающиеся не только в алгебру Ли. но и другие виды алгебр, или не образовывать никаких алгебр. Кроме того, операторы симметрии Qs могут принадлежать не только множеству дифференциальных операторов первого порядка типа (0.9). но и множеству операторов более сложного вида. К этой возможности мы обратимся несколько позже.
0.4. Модифицированный алгоритм Ли
Это упрощенный вариант классического алгоритма Ли. Проиллюстрируем его на примере симметрийного анализа линейного ДУЧП. следуя публикации [228] и монографии [128].
Пусть дано уравнение
L(x,d)<p(x)=0, (0.15)
где L(x, d) - линейный дифференциальный оператор. Воспользуемся теоретико-алгебраическим определением симметрии (0.14), и перепишем его в эквивалентной операторной форме
[L,Qe]=X3(x)L, (0.16)
где Х5(х) - неизвестная функция (з общем случае - дифференциальный оператор). Опустим для упрощения индекс и будем искать операторы симметрии Q в виде, подобном (0.9). но только не в расширенном, а в координатном пространстве переменных Rn(x):
Q4a(x)d/dxa+n(x).
(0.17)
Подставляя Q в операторное равенство (0.16), и приравнивая коэффициенты при одинаковых производных в левой и правой частях
получившегося соотношения, может быть получена определяющая система линейных дифференциальных уравнений для отыскания неизвестных функций £а(х), д(х) и Х(х). После интегрирования системы, общий вид операторов должен быть записан в виде линейной комбинации набора базисных элементов Qg. Op. принадлежащих алгебре Ли [128. 228]:
[Qg.QpNCspqQq. (0.18)
где C3pq - структурные постоянные алгебры. которая образует
максимальную алгебру инвариантности исследуемого уравнения (0.15)
[128].
Модифицированный алгоритм Ли в изложенной версии был предложен Нидерером [228] для анализа симметрийных свойств уравнения Шредингера. Было установлено, что симметрией уравнения является алгебра Ли группы Шредингера Sch13 (128. 188. 228. 253). Последовательное изложение
алгоритма, и его применение для анализа уравнений квантовой теории
содержатся в монографии Фущкча и Никитина (128].
0.5. Обобщенные и нелиевы симметрии
Воспользуемся определением симметрии (0.14). В лиевском подходе и его модификации необходимо, что бы операторы симметрии Q3
удовлетворяли коммутационным соотношениям (0.18). Нарушение этого требования, очевидно, будет означать обращение к симметриям
нелиевского типа, например, к алгебрам инвариантности типа Грассмана. супералгебрам и т.д. С другой стороны, для отыскания симметрий, не укладывающихся в классический или модифицированный алгоритм Ли. можно и не выходить за пределы ?дножества алгебр Ли. Для этого необходимо
лишь существенно расширить класс искомых операторов симметрии % и включить в их число не только дифференциальные операторы первого порядка, но и дифференциальные операторы более высоких порядков. Теоретические основы такого подхода изложены, например, з монографиях Ибрагимова [28] и Олвера (106). Обобщение подразумевает, чтобы операторы симметрии типа (0.9) включали производные не только по
- 15 -
пространственно-временным и полевым переменным X® И <рА. но и по пространственно-временным производным от полевых переменных (28. 106]. Соответственно усложняются и продолженные операторы типа (0.11). Так найденные симметрии именуются обобщенными [106]. а соответствующие им преобразования - контактными [28]. Их применение в теории ДУЧП раздвигает границы симметрийкого анализа и подробно изложены в [28. 106].
Иной подход к отысканию дополнительных симметрий был предложен Фущичем [125]. а затем Фущичем и Никитиным [127]. Авторы сформулировали алгоритм, подразумевающий следующую расчетную схему.
- Осуществляется переход к импульсному пространству посредством преобразования Фурье. Симметрийный анализ уравнения А<р(х)-0 производится на фурье-образах решений Ф(р).
- Ищется возможно более широкий класс операторов 0(р), образующих замкнутую алгебру. и удовлетворяющих определению симметрии Ь(р)С1 (р)ф(р) =0 в импульсном пространстве.
- Производится идентификация алгебры.
- Посредством обратного преобразования Фурье вычисляются операторы симметрии (Их) в исходном координатном пространстве.
- С помощью формулы Кемпбелла-Хаусдорфа находится совокупность пространственно-временных преобразований х'=ехр(1#й)хехр(-10С1)=х+ 1д Ш. ХМ1/2!)(10 )2 (СЦЦ. X] ] + (1/3! )(Ш3[(Н(На.х])]+..., образующих группу, соответствующую найденной алгебре инвариантности.
- Строится совокупность преобразований полевых переменных Ф'-ехр(-Ш(х))<р(х).
Здесь *) -групповой параметр; 0 -оператор из множества генераторов 05 искомой алгебры; х -независимая переменная; ф(х) -полевая функция.
Обращение к преобразованию Фурье позволяет естественным образом ввести в теорию не только дифференциальные операторы высших порядков, но и операторы интегродифференциального тала. что существенно обогащает информацию о симметрийных свойствах исследуемых уравнений. Симметрии подобного рода были названы авторами [125. 127] нелиевыми.
Они очевидным образом коррелируют с обобщенными симметриями из монографий (28. 106].
Реализация приведенной схемы в виде конкретного алгоритма содержится в [125]. Применение алгоритма, например, к уравнениям Максвелла позволило установить, что помимо конформной симметрии они обладают также восьмимеркой группой внутренних симметрий 11(2) ХЩ2)
- 16
[1271. содержащей в качестве подгруппы ранее найденную с помощью алгоритма Ли двупараметрическую группу 11(1)хи(1). Позднее результат
[127] был обобщен в работах [45. 65. 66. 2023. где в качестве
конечномерной группы внутренних симметрий получена 16 -мерная группа и(2)Хи(2)X и(2>хи(2), включающая группу и(2)Х11(2) как подгруппу.
0.6. Условные симметрии
Обратимся к системе дифференциальных уравнений (0.7). Критерием инвариантности этой системы относительно алгебры Ли операторов (0.9) является выполнение условия Ли (0.10). Следуя [1313. введем некоторый новый оператор У. подобный оператору X из Формулы (0.9), но не принадлежащий множеству операторов X. с помощью формул, аналогичных (0.11) и (0.12). построим продолженный У-оператор, и подействуем им на систему (0.7). Поскольку для операторов У условие инвариантности Ли не выполняется, то в результате будем иметь [1313:
УР|р = 0=Мх.ф.йф), ' (0.19)
8
где Р, (х.ф. аф) - некоторая новая система дифференциальных уравнений относительно переменных х и функций ф. По определению, исходная система Е(х,ф. с(ф)=0 называется условно инвариантной относительно операторов У, не принадлежащих алгебре инвариантности операторов X. если выполняется совместное с исходной системой дополнительное условие (1313
Р, (X. ф. с2ф)=0 (0.20)
Здесь совместность означает существование общего решения ф. принадлежащего и системе Р(х.ф. аф)=0, и системе Р, (х.ф,аф)=0.
Условные симметрии дополняют классические, найденные посредством алгоритма Ли, и образуют новый класс симметрий. Понятие условной симметрии было предложено и успешно использовалось в исследованиях ряда авторов, например. Воробьева (161, Олвера и Розенау [229]. Фущича. Штеленя и Серова [1313. Оно непосредственно связано с алгоритмом Ли. и составляет дополнение к нему.
17
* * *
Итак, мы коротко рассмотрели метод замены переменных, стандартный алгоритм Ли, модифицированный алгоритм Ли, теоретико-алгебраический подход, методы поиска обобщенных и нелиевых симметрий. понятие
условной симметрии. Рассмотренные методы, естественно, не исчерпывают всех возможностей, известных в литературе, например [26, 134. 215].
При этом следует иметь в виду, что ни один из подходов не является универсальным. Он может быть более продвинутым и освоенным, но не всеобщим. Напротив, совокупность результатов, полученных разными
методами, как правило, частично пересекающихся, а по большей части различных, следует рассматривать как более полную информацию о
симметрийных свойствах изучаемых объектов.
Одной из задач настоящей работы была разработка алгоритма
симметрийного анализа, выходящего за границы изложенных выше методов, и получение на этой основе новых результатов.
- 18
Глава 1. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫЕ СИММЕТРИИ В 4-МЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ СОБЫТИЙ
Условимся различать пространство-время математическое х, у, г, I, и пространство-время физическое х. у. г. г. Под математическим пространством-временем будем понимать математические символы,
обозначающие пространственно-временные переменные. зходящие в
уравнения движения; под физическим - пространственно - временные величины, непосредственно измеряемые в эксперименте. Математическое пространство-время условимся обозначать прямым латинским шрифтом. Физическое - курсивом. Относительно последнего известно, что каждый раз в процессе измерений используется некоторая эталонная единица длины 10 (например, длина волны красной линии кадмия), и некоторая эталонная единица времени 10 (например, период колебаний кварцевой пластинки) [311. Эти эталонные единицы мы и наделяем собственно размерностью длины (см) и времени (сек). Тогда результаты измерений указывают, сколько раз избранный эталон укладывается в измеряемом объекте [138]. Поэтому для связи математических и физических величин имеем: х=х/10. у=у/10. г=2/10. t=t/t.0. Отсюда видно, физическое
пространство-время существенно безразмерное. Математическое пространство-время получается из физического путем умножения величин х. у. z. Ь на эталоны 10 и Ь0. Индекс "О" здесь означает, что
эталонные единицы рассматриваются в собственной системе отсчета, то-есть системе отсчета, относительно которой эталоны покоются [84].
Траксфомационные свойства математического и физического пространства-времени определяются структурой дифференциальных уравнений, описывающих движение. Обычно не принято делать различия
между математическим пространством-временем и физическим. И то. и другое обозначается одинаково, как х. у. г. I. В случае соглашения об инвариантности собственных единиц измерения, трансформационные свойства математического и Физического пространства-времени совпадают. В более общем случае, вследствие конвенциальности свойств эталонов, могут возникать трудности, основанные на недоразумении. В настоящей работе мы будем придерживаться раздельного обозначения
- 19
пространственно-временных координат, в необходимых случаях специально оговаривая, что понимается под ними. Событие, или положение точки в настоящей главе, в рамках математического пространства-времени, будем характеризовать набором четырех чисел х. у. z, I; в случае физического пространства-времени - набором четырех чисел х. у, г, г.
Следуя общепринятой терминологии, под системами отсчета, например К и К', будем понимать совокупность систем координат и часов, связанных с телами, по отношению к которым изучается движение [138].
Обратимся прежде всего к симметриям в математическом пространстве-времени. В качестве объектов исследования выберем уравнения Даламбера, Максвелла и Шредингера.
1.1. Обобщенный модифицированный алгоритм Ли
Остановимся вначале на определении симметрии. которое будем
называть расширенным. и которое положим в основу поиска
пространственно-временных симметрий.
Определение. Пусть в пространстве йп(х) дано уравнение
Ьф(х)=0, (1.1.1)
где I - оператор (например, линейный). Под симметрией этого уравнения
будем понимать совокупность операторов а, результат (р-1) - кратного
воздействия на которые оператора I переводит решение ф(х) в решение этого же уравнения ф'(х)=Ьр_1Сф(х)*0 (49, 203].
Из определения следует, что операторы Ц на решениях ф(х) удовлетворяют перестановочным соотношениям р - порядка:
[Ь II.. ДЬ,0]...]](р-ра3)Ф(х>-0. (1.1.2)
Отметим, что:
- расширенное определение содержит понимание симметрии в стандартном смысле [4. 93-95. 125. 216] при р-1;
- расширенное определение включает понимание симметрии и в случае обращения в нуль коммутационного соотношения (1.1.2) на множестве произвольных функций, что эквивалентно операторному равенству (Ь[Ь... [Ь,Ш...] =0 [49. 203];
20
- при р=1 смысл последнего понимания симметрии совпадает с квантово-механическим [1081;
- смысл расширенного определения отличен от стандартного, поскольку в рамках последнего под оператором симметрии следовало бы понимать не операторы 0. а операторы Х=Ьр"1 а 187].
Возникает вопрос, как практически находить операторы 0. В настоящей работе эта задача решается по аналогии с модифицированным алгоритмом Ли [128, 228]. Нине мы рассмотрим случай, когда р=2.
- Введем совокупность операторов
й(1) = £,а(х) а* + л, (х) ; (1.1.3)
й(2) = £2а(х) с?# + %(х) . (1.1.4)
обладающих свойствами перестановочности
[Ь,й(1>] = Мх)Ь; (1.1.5)
[I и.й(2)]) = £*(х)Ь. (1.1.6)
Данные соотношения являются операторными версиями стандартного и расширенного определения симметрии. Здесь с^-й/Дх®. а=0.1... п-1: £а(х). п(х). £(х) - неизвестные функции; по дважды повторяющемуся
индексу производится суммирование.
- Следуя [128. 228], функции могут быть найдены путем
приравнивания коэффициентов при одинаковых производных в левой и правой частях равенств (1.1.5). (1.1.6) и интегрирования получившейся
совокупности определяющих дифференциальных уравнений.
- После интегрирования общий вид операторов а монет быть записан в виде линейной комбинации набора базисных элементов %(п и Ор(2 ). на которые, по аналогии с (128. 228]. наложим условие принадлежности к алгебрам Ли:
А1: [0в(1>,0р(1)]-Свр<1 (1.1.7)
А2: [0,п>.аі‘2>)-Ск1в а,«1-2’;
[0о<2>.0г<2>з=спг1 а,(,-2).
(1.1.8)
- 21 -
где Cgpq - Cnrl - структурные постоянные, операторы 0о<1,2). Qt(li2) принадлежат множеству генераторов (Q(1). 0(2>) алгебры А2.
- Переход от алгебр к группам осуществим путем интегрирования уравнений Ли [28. 128]:
dxa'/dfl - 4а(х') ; з?'(Ы» » х* ; а - 0Л....П-1, (1.1.9)
в которых 3 - групповой параметр.
- Для отыскания закона преобразования полевых переменных вместо интегрирования соответствующих уравнений Ли dip’ (х')/dd^n(x’)ф' (х'). Ф’(х'. 9=0)(х) [28. 128] воспользуемся приемом [59. 204. 213].
который поясним на примере однокомпонентного поля.
Введем в закон преобразования поля ф(х) весовую функцию Ф(х) такую, что
Ф’(х’) = Ф(х)ф(х). (1.1.10)
Функцию Ф(х) выберем так. чтобы исследуемое уравнение (1.1.1) перешло в себя в соответствии с традиционным пониманием симметрии [17, 249]
Ь'ф’(х') - о ----------Х’-Х'(х) ------ Ьф(х) - 0; L' = L (1.1.11)
в силу дополнительного условия (системы зацепляющихся уравнений)
АФ(Х)Ф(Х) = 0; ^ (1.1.12)
Ьф(Х) = 0. )
Из них первое получено путем замены переменных в исходном уравнении Ь’ф'=0. Если здесь А-L. симметрию (1.1.12) будем называть классической (в смысле Ли); при A*L - обобщенной. Критерием существования последней является совместность уравнений, входящих в систему (1.1.12). Решая систему, каждой полевой Функции ф(х) может быть поставлена в соответствие своя весовая функция Ф(х). обеспечивающая переход
(1.1.11) [211. 213].
- Вместо непосредственного решения уравнения (1.1.12), весовую функцию можно найти на основе симметрийного подхода. Поскольку ф’(х') -а(,)’ф(х') тоже решение, а ф'(х')=Ф(х)ф(х), то [59, 206, 211, 213]
22
Ф'(х'-Х) ІФ(Х') 1 Qe(,r Ф(Х’) CL'.Qj«*»' ЗФ(Х') І
Ф(х) ---------{-----;-----;------------:---------------------------(1.1.13)
Ф(х) І ф(Х) ф(Х) ф(Х) ф(х) І
где многоточие соответствует последовательному многократному воздействию операторов CL,(1>' и [L',Q1(2)*] на решение ф(х').
Таким образом. для отыскания Функции Ф(х) необходимо в штрихованном решении ф’(х') перейти перейти к штрихованным переменным, и полученный результат разделить на штрихованное решение ф(х) (591.
- После нахождения весовых функций Ф(х) задачу о симметрии
уравнения (1.1.1) для однокомпонентного поля можно считать в определенном смысле завершенной, а именно: указывается совокупность
операторов симметрии и соответствующих им алгебр Ли для р-1 и р-2; по алгебрам восстанавливаются группы симметрии; с помощью весовых функций определяются трансформационные свойства поля ф(х).
По двум признакам так найденные симметрии отличаются от найденных согласно стандартному алгоритму Ли в классической [28. 106, 131], либо модифицированной (128. 228] версиях: обращению к коммутационным
соотношениям (1.1.6) более высокого порядка, и использованию
нелиевского условия симметрии (1.1.12). Действительно, входящее в
(1.1.12) уравнение АФ(х)ф(х)-0 не является инвариантным в стандартном смысле (в смысле Ли), поскольку в общем случае A*L. Поэтому оно определено на множестве решений Ф(х)ф(х). отличном от множества ф(х). Тем не менее при выборе весовой функции Ф(х) в виде
Ф(Х)=Ф'(Х'^Х)/ф(Х), где ф’(х') - некоторое решение исходного уравнения в штрихованной системе отсчета, система уравнений АФ(х)ф(х)=0, Ьф(х)-0 становится совместной, и из L>'(x')=0 следует Ьф(х) =0. Отмеченное
обстоятельство и является причиной отказа от интегрирования уравнений Ли при нахождении трансформационнных свойств полевых переменных, поскольку они сформулированы для случая лиевских симметрий. По этой же причине возникают трудности с выбором подходящего термина для обозначения симметрий в смысле (1.1.12). Первоначально они были названы условными [213] по ассоциации "в силу дополнительного условия
(1.1.12)". Однако если считать этот термин устоявшимся, то. к сожалению. использование его будет некорректным, поскольку, как следует из раздела 0.6, он относится к разновидности симметрий в смысле Ли. Поэтому в настоящей работе симметрии в смысле совместности системы уравнений (1.1.12) будут именоваться нелиевскими симметриями в
23 -
обобщенном смысле. Несмотря на схожесть названия, их тем не менее следует отличать и от нелиевских. и от обобщенных симметрий из раздела 0.5. индуцированных дифференциальными операторами более высокого порядка, нежели первый, или операторами интегродифференциального типа, но переводящих уравнение в себя в смысле Ли, то-есть когда А=Ь (Ибрагимов [28], Олвер [106], Фущич [125], Фущич и Никитин [127]).
Изложенный метод может быть распространен и на случаи многокомпонентного поля и симметрий более высокого порядка, нежели р=2. Следуя традиции. услозимся назвать его обобщенным модифицированным методом Ли. Рассмотрим результаты применения метода к исследованию симметрий уравнений Даламбера, Максвелла и Шредингера.
1.2. Уравнение Даламбера
Уравнение Даламбера [84, 120]
[]<И<Ц*/с* - Д)ф(х)-0. (1.2.1)
где с - скорость света, является одним из наиболее изученных уравнений
в релятивистской физике. Ниже мы рассмотрим уравнение для
однокомпонентного поля, полагая, что к нему может быть сведен и
вариант поля многокомпонентного.
1.2.1. Симметрия типа р=1. Лоренц-инвариантность уравнения Даламбера
Симметрийные свойства уравнения (1.2.1) для алгебр типа р=1 в математическом пространстве-времени изучались многими авторами, например, Фойгтом [249], Умовым [122], Ди Джорио [195], Сьединым [243], автором настоящей работы [50. 205] с помощь» метода замены
переменных; Даниловым [20] и Ибрагимовым [27] в рамках классического алгоритма Ли; Малкиным и Манько [95] путем теоретико-алгебраического анализа Фущичем к Никитиным на основе модифицированного алгоритма Ли
[128); Желобенко [26] на оснозе нелиевского подхода. Ниже мы ограничимся изучением симметрий уравнения Даламбера в пространстве Минковского. Как показано, например в [95. 128], максимальной алгеброй