Оглавление
1 Краткий обзор квазиклассических методов 13
1.1 Квантовый вес Евклидовой нсевдочастицы.................................... 13
1.2 КуВЬЬ калорон............................................................. 16
1.2.1 Внутри дионов...................................................... 17
1.2.2 Вдали от дионов.................................................... 19
1.3 Схема вычисления ОеЦ—И2)................................................... 20
2 Вычисление веса 5Г/(2) калорона 24
2.1 Ое1(—О2) для далеких дионов............................................... 24
2.1.1 Веі(—Ю2) для одного диона.......................................... 24
2.1.2 Вклад далекой области.................................•............. 26
2.1.3 Сложение трёх областей ........................................... 28
2.2 Сшивка с детерминантом при нулевой голоно.мии............................. 28
2.2.1 їїеі(-її2) при V = 0............................................... 28
2.2.2 Распространение результат на произвольные значения угі2............ 30
2.2.3 Поправка 1/г12..................................................... 32
2.3 Квантовый вес КуВЬЬ калорона.............................................. 35
2.3.1 Пространство модулей КуВЬЬ калорона................................ 35
2.3.2 Вклад в стат.сумму калорона с нетривиальной голономией............. 36
2.3.3 Предел больших расстояний.......................................... 37
2.3.4 Двухпетлевое улучшение результата ................................. 38
2.4 Плотность калоронов и нестабильность тривиальной голоно.мии............... 39
3 Фермионный детерминант для 5С/(2) калорона 41
3.1 Схема вычисления Эе^—V2).................................................. 43
3.2 Бе^-У2) для далеких дионов.............................................. 43
3.2.1 Ое1(-У2) для одного диона.......................................... 43
3.2.2 Вклад далекой области.............................................. 45
2
3.2.3 Общий результат интегрирования...................................... 46
3.3 Сшивка с детерминантом при нулевой голономии............................... 46
3.3.1 Бе1(-У2) при V = 0.................................................. 47
3.3.2 Распрост ранение результата на произвольные значения \г12........... 47
3.3.3 Поправки 1/гі2...................................................... 50
3.4 Асимптотика малых расстояний между дионами................................. 53
3.5 Численное вычисление....................................................... 54
4 Свойства 5£/(Лг) калорона и вычисление его фермионного детерминанта 56
4.1 Обозначения 5(У(ІУ) АИНМК конструкции калорона............................. 56
4.2 АЭИМК конструкция для БІДК) калоронов...................................... 57
4.3 Основные свойства калибровочного ноля калорона............................. 62
4.3.1 Вопросы периодичности и выбора калибровки........................... 62
4.3.2 КуВЬЬ калорон с экспоненциальной точностью.......................... 62
4.3.3 Редукция к полю диона............................................... 63
4.3.4 Редукция к ви(N - 1) калорону ...................................... 65
4.4 Метод вычисления............................................................ 66
4.5 Детерминант при больших расстояниях между дионами.......................... 68
4.5.1 Область ядер дионов................................................. 68
4.5.2 Область вдалеке от дионов........................................... 69
4.5.3 Результат........................................................... 70
4.5.4 Константа........................................................... 70
4.5.5 улучшение результата................................................. 72
4.6 Общий результат............................................................ 73
5 Вклад в стат.сумму 5£/(Лг) калорона для случая далеко расположенных составляющих дионов 74
5.1 Схема вычисления........................................................... 74
5.2 Область вблизи дионов...................................................... 76
5.3 Внешняя область............................................................ 77
5.3.1 Интегрирование...................................................... 78
5.4 Результат для детерминанта................................................. 80
А АОНМ и АОНМК конструкции и вычисления пропагаторов и токов для Би(2) КуВЬЬ калорона 82
А.1 Конструкция АЭНМ дія калибровочной группы 5С/(2)........................... 83
3
А.2 ADHMN конструкция для BPS диона........................................... 83
А.З Конструкции ADHM для KvBLL калорона....................................... 85
А.4 Пропагатор частицы спина-0 изоспина-1..................................... 88
А.4.1 Общая конструкция для функции Грина................................ 88
А.4.2 Пропагатор но внешнем поле диона................................... 89
А.4.3 Пропагатор во внешнем поле KvBLL калорона ......................... 90
А.5 Вакуумный ток в поле диона................................................ 92
А.5.1 Сингулярная часть тока на дионе J*.................................. 92
А.5.2 Регулярная часть тока на дионе в присоединённом представлении 93
А.5.3 М-часть вакуумного тока на дионе ................................... 94
А.5.4 Регулярная часть тока на дионе в фундаментальном представлении J* 95
А.6 Вакуумный ток в иоле KvBLL калорона.................................... . 97
А.6.1 Сингулярная часть тока на калороне ................................ 98
А.6.2 Регулярная часть вакуумного тока на калороне в фундаментальном
представлении JJ .................................................. 99
А.6.3 Регулярная часть вакуумного тока на калороне в присоединённом
представлении J* ...................................................100
A.6.4 М-часть вакуумного тока на калороне ................................102
А.7 Регуляризация тока........................................................102
A.8 Результаты численного вычисления..........................................105
В Детерминант для SU(N) калорона. Детали вычислений 106
B.1 Зависимость от граничных условий..........................................106
В.2 Вклад регулярного тока в произвольную вариацию. Точное выражение. . . . 108
В.З Сокращение ИК расходимостей дионов........................................113
В.4 Вычисление токов вдалеке от дионов........................................114
B.4.1 Сингулярный ток.....................................................114
В.4.2 Ток от М-члена .....................................................115
В.4.3 Регулярный ток......................................................115
4
Введение
С открытием асимптотической свободы в неабелевых калибровочных теориях (теории
Янга- Миллса [1]) в 1973 году (2), квантовая хромодинамика (КХД) стала общепризнанной теорией сильных взаимодействий. В силу асимптотической свободы в теории Янга-Миллса, для расчётов процессов с большой передачей импульса достаточно использовать теорию возмущений, в этой области результаты хорошо проверены экспериментально. КХД описывается плотностью лагранжиана
где 1Р*Ц - напряжённость неабелевшт) калибровочного поля, а г/>х- - поля кварков различных ароматов, преобразующихся но фундаментальному представлению калибровочной группы. Неабслевой калибровочной группой КХД является группа ££/(3), однако при теоретических исследованиях часто работают с более общим случаем групп 5£/(7У), либо с более простым случаем группы ви(2). Параметрами теории является масштаб Адсо и массы кварков 7щ. Следует заметить, что параметра Л осп нет в лагранжиане теории, он является масштабом “размерной трансмутации“ и входит в выражение для бегущей константы связи д.
Предполагается, что при низких энергиях КХД описывает связанные бесцветные адронные состояния и, тем самым, согласуется с экспериментальными фактами об удержании цвета. Однако механизм удержания цвета (конфайнмепта) до сих пор не выяснен.
Имея успешно (по крайней мере, в области высоких энергий) работающую теорию, естественно пытаться исследовать её свойства при необычных условиях, в частности, при высокой температуре.
Теории с конечной температурой хорошо исследованы решёточными методами, собрано множество данных о фазовых диаграммах калибровочных теорий при конечной температуре и (или) химическом потенциале (см., иаиример, обзоры [3, 4]). Исследуются теории с различным количеством цветов и ароматов, различными массами кварков, а также делаются некоторые упрощения, например, часто пренебрегают обратным влиянием кварков
(О
на глюоны.
Теория при конечной температуре может рассматриваться как теоретический полигон для исследования КХД. Дело в том, что при высокой температуре эффективная константа взаимодействия становится малой, что даёт возможность пользоваться разложением по константе связи.
Известно, что с повышением температуры в КХД происходит переход в фазу свободных кварков и глюонов, называемую кварк-глюонной плазмой. При реалистических массах фермионов этот переход происходит непрерывно (типа crossover). Если рассматривать теорию без фермионов, глюодинамику, то из численных вычислений на решётке известно, что в SU{2) глюодинамике этот фазовый переход второго рода, а в SU(3) - первого.
Статистическая сумма и корреляторы в ансамбле с конечной температурой могут быть записаны как функциональный интеграл в евклидовом пространстве-времени, где евклидово время ограничено интервалом х\ € [0,1 /Т) и бозонные поля имеют периодические граничные условия, а формионные поля - аитипернодические на границах временного интервала (/5 = 1/Т): [5),[6]
Ряд теории возмущений при конечной температуре имеет в старших порядках инфракрасные расходимости. Это связано с медленным затуханием корреляторов пространственных компонент калибровочного поля в теории возмущений и невозможностью пер-турбативного вычисления магнитной массы [7|.
Теория возмущений не описывает фазовый переход конфайнмент-деконфайимент и для С1ч> описания следует учитывать непертурбативные вклады в стат.сумму. При понижении температуры, непертурбативные эффекты начинают доминировать и приводят к переходу в фазу конфайнмента (адронную фазу).
В теории с конечной температурой появляется новая нелокальная калибровочноинвариантная величина - голономия (или петля Полякова [8])
Калибровочная инвариантность голономии следует из того, что поля должны быть периодичными по Евклидовому времени, и, следовательно, допустимы только периодические калибровочные преобразования. Другими словами, теорию можно рассматривать как определённую на цилиндре. Среднее от следа голоиомии < И Ь > есть е-/Ш где М - энергия статического кварка, помещённого в систему. В фазе деконфайнмента < и Ь >ф 0, в
(2)
Д(х,0)=Л(*Д); *(х,0)=-*.(ЗД
(3)
б
то время, как в фазе конфайимента < ЬтЬ >= 0, что говорит о том, что свободная энергия одного статического кварка стремится к бесконечности. Поэтому среднее от следа голо-номии является калибровочно-инвариантным параметром порядка для фазового перехода конфайимент-деконфайнмент в чистой глюодииамике (теории без динамических кварков) 18].
Если эффективная константа связи в теории мала, то можно предположить, что неиер-турбативные вклады сосредоточены вблизи локальных нетривиальных минимумов классического действия, т.е. классических решений уравнений поля. Классические решения в теории Янга-Миллса удовлетворяют условию самоду&пыюсти (или антисамодуальности) = Fp„ — ^efurjsF^S’ Для вычисления вклада в стат.сумму от полей, лежащих вблизи классических решений, следует разложить действие в ряд по константе связи вблизи соответствующего решения и далее использовать теорию возмущений. Главный вклад соответствует величине действия на классическом решении и суммированию (интегрированию) по семейству решений Ерешения Fe~s. Однопетлевая поправка сводится к вычислению функционального детерминанта для оператора квадратичных флуктуаций действия. Функциональный детерминант и мера на пространстве классических решений определяют прсдэкспоненциальный множитель F. Подробнее это будет изложено в главе 1.
Голономию называют тривиальной, если она принимает значения в центре Z(N) калибровочной группы SU(N), при этом tr L может принимать значения Nc*tk/N, к = 1, Простейшим классическим решением с тривиальной голоиомиен на пространственной бесконечности является периодический ннстантон Харрингтона-Шепарда [9|, также называемые калоротм. Это решение схоже с иистантоном Белавнна-Полякова-Шварца-Тюпкина (BPST) [10] в теории с нулевой температурой, но “подправлено” так, чтобы иметь периодические граничные условия по Евклидовому времени.
Вклад таких решений в стат.сумму в однопетлевом приближении был вычислен в работе Гросса, Писарского и Яффе [11]. Вакуум, сделанный из калоропов был изучен на основе вариационного принципа в работе [12].
Однако ниже температуры деконфайнмеита в адронной фазе < It L >= 0. Это означает, что либо след голономии просто усредняется до нуля благодаря учёту всех вкладов Ne*ik/N, к = 1,...,^, т.е. в среднем происходит восстановление центральной Zjv симметрии, либо, благодаря некоторому динамическому механизму, в стат.сумме начинают доминировать конфигурации полей с нетривиальной голономией, то есть, восстановление Zn симметрии происходит на уровне классических полей. Одна из целей работы - исследовать последнюю из упомянутых возможность, предполагая, что адекватные низкоэнергетические степени свободы соответствуют классическим решениям с нетривиальной
7
асимптотикой Ал.
Заметим, что в работе Гросса, Писарского и Яффе был выдвинут аргумент против решений с нетривиальной голономией, опирающийся на то, что благодаря электрическому экранированию эти решения будут сильно подавлены в одной петле. Это действительно так, и мы увидим, что функциональные детерминанты калоронов с нетривиальной голономией имеют ИК-расходимости, старшие из которых пропорциональны объёму. Эти
N
расходимости описываются пертурбативным потенциалом VT3 1р(2тг(//т — //„)), где
n,m—1
Hi - собственные значения Ал и P(v) = (^ — 2)2 (^)2j (см. Рис. 2.3). Несмотря на
это, будет показано, что при снижении температуры Т этот потенциал становится слабее, чем энтропийный вклад в свободную энергию, и происходит фазовый переход в фазу с нетривиальной голономией.
Простейшим классическим решением с нетривиальной голоиомией является BPS мо-иополь (дион). Дионы - это самодуальные решения уравнений движения Янга Миллса с независящей от времени плотностью действия, имеющие и магнитное, и электрическое поля, затухающие как 1 /г2 на больших расстояниях от центра дионов. Таким образом, эти объекты несут и электрический и магнитный заряды.
В 3+1-мерной SU(2) калибровочной теории существует два типа самодуальных дионов [13): М и L с зарядами (+,+) и а также два типа аитисамодуальных дионов
М и L с зарядами (+, —) и (—, +), соответственно. Точное выражение для их полей можно найти, например в [14]. 13 SU(N) теории есть N различных дионов [13, 15): N — 1 различных М - дионов: М\, Мг, .. .Млг-i с зарядами, соответствующим N — 1 простым корням в группе, н один L дион с зарядом, компенсирующем заряды М\...Мц-\, а также их аити-самодуальные версии.
Как упомянуто выше, для вычисления вклада дионов в стат.сумму требуется вычислить функциональный детерминант (т.е. детерминант оператора квадратичной флуктуации действия) в поле диона. Попытка вычисления функционального детерминанта в поле BPS диона была предпринята в работе К.Зарембо |16|. Проблема с этим вычислением заключается в том, что из него невозможно даже приближённо определить, чему равен функциональный детерминант в поле нескольких дионов. Из-за того, что поле Ал у диона затухает медленно (как 1 /г), детерминант инфракрасно расходится, и поэтому нельзя просто перемножить детерминанты нескольких дионов, считая их независимыми. По этой причине следует рассматриваем обобщение нейтрального инстантонного решения.
Иистантонное решение с нетривиальной голономией было построено несколько лет назад (1998) Крааном и ван Ваалем [17) а также Ли и Лу [18]; оно было названо калорон с нетривиальной голоиомией, т.к. голономия для этой конфигурации не лежит в центре
8
группы. Для краткости мы будем называть его KvBLL калороном. Он также, как и кало-рои Харрингтона-Шепарда, является периодическим самодуальным решением классических уравнений поля Янга-Миллса с единичным топологическим зарядом. В предельном случае, когда голономия KvBLL калорона становится тривиальной, он сводится к калорону Харрингтона-Шепарда. Замечательной чертой конструкции KvBLL является то, что ка-лорон с единичным топологическим зарядом можно рассматривать как “сделанный” из N монополей Богомольного-Прасада-Зоммерфельда (BPS) или дионов [19, 20]. Из точного решения уравнений самодуальности видно, что в случае, когда решение с тривиальной голономией имеет размер р » Р = 1/Т, решение с нетривиальной голономией приближённо совпадает с суперпозицией М и L дионов, находящихся на пространственных расстояниях порядка р2//?-
Калороны с нетривиальной голономией изучаются в работах многих авторов. Так, были получены интересные результаты для плотности фермионных нулевых мод на калоро-нах и на базе этого был предложен метод нахождения этих конфигураций в решёточных ансамблях [21). Найдена метрика пространства модулей калорона в работах [22, 48]. Были построены (хотя и не в явном виде) мультикалоронные решения и выявлены некоторые их свойства [23, 24]. Калороны были также исследованы в решёточной КХД [25, 26]. Ансамбль калоронов приближённо рассматривался в численных симуляциях в работах [27] а также аналитически в работе [28].
Однако, функциональные детерминанты в поле KvBLL калорона раннее не изучались. Это явилось главной целью работы. Вычисление функциональных детерминантов необходимо для учёта вкладов KvBLL калоронов с нетривиальной голономией в стат.сумму. Кроме того, в силу электрической и магнитной нейстральности KvBLL калорона, именно вопрос о квантовом детерминанте KvBLL калорона является правильно поставленной задачей о квантовом детерминанте для BPS диоиов.
Детерминанты в полях калоронов можно использовать для построения калоронных или дионных моделей вакуума как в чистой глюодинамике, так и в КХД. В последнем случае, помимо нулевых мод фермионных полей, вычисленных в работах [21] необходимо также учитывать эффекты, связанные с ненулевыми модами фермионных полей (кварков), которые также вычислены в диссертации. А именно, для фермноиои были вычислены квантовые детерминанты для ненулевых мод флуктуаций. Задача построения реалистичной модели калоронного вакуума остаётся открытой.
Проблема вычисления эффектов от квантовых флуктуаций около калорона с нетривиальной голономией является проблемой того же тина что и вычисление для обычных ин-стантоиов (решенная *т Хофтом [29]) и для стандартного калорона Харрингтона-Шепарда
9
(решенная Гроссом, Писарским и Яффе [11|) . Инстантон при нулевой температуре является 0(4) симметричным, и для него »можно [29] вычислить детерминант прямым способом - перемножая собственные значения и используя регуляризацию ^-функцией или другие эквивалентные методы регуляризации. Калорон Харрингтона Шепарда имеет 0(3) симметрию, KvBLL калорон имеет только 0(2) симметрию для случая группы SU(2) Рис. 1.2 и не имеет пространственных симметрий вообще для N > 2. В этих случаях трудно вычислить детерминант прямым методом и проще вначале найти вариацию детерминанта по некоторому параметру решения. Вариацию регуляризованиого детерминанта можно выразить через вариацию поля и пропагатор (функцию Грина) для периодического по мнимому времени возмущения на фоне классического решения. Далее оказывается возможным проинтегрировать вариацию детерминанта вдоль пути в пространстве параметров, соединяющего BPST - инстантон (или калорон Харрингтона-Шепарда) с интересующим нас решением. Детерминант для калорона Харрингтона-Шепарда уже был вычислен [11|, что позволяет найти константу интегрирования. Технически удобнее оказалось вначале аналитически исследовать вариацию детерминанта в области параметров, где калорон выглядит как суперпозиция дионов, а затем провести сшивку с детерминантом калорона Харрингтона-Шепарда, частично используя численные методы вычисления.
Как сами самодуальные решения, так и точные пропагаторы в их полях могут быть построены с помощью конструкции Атьи-Дринфельда-Хитчина-Машша (ADHM) (30|, адаптированной Намом [31] для случая конечной температуры.
В работе [32] (главы 1 и 2) изучается гипотеза, что эффективные глюонные степени свободы в SU(2) глюодинамике при температурах ниже Тс (температуры фазовою перехода конфайнмент-деконфайнмент) соответствуют калоронам с нетривиальной голономией.
Так как сами решения и мера на пространстве модулей KvBLL калоропов были вычислены в пионерской работе 117], то основной задачей являлось вычисление функционального детерминанта для флуктуаций глюонов (и духов). В результате вычислений был найден точно однопетлевой квантовый вес KvBLL калорона. Используя этот результат, мы оценили вклад ансамбля калоропов в стат.сумму как функцию температуры и асимптотической голономии калоропов. Было обнаружено, что при понижении температуры вклады от калоропов с нетривиальной голономией начинают превалировать. Это было интерпретировано как возможный механизм фазового перехода.
В работе [33] проводится вычисление для детерминанта по ненулевым модам ферм ионов для группы SU(2). Это вычисление излагается в главе 3.
В работах [34] и [35] (Главы 4,5) результаты для глюооного и фермиоиного детерминантов обобщаются до калибровочных групп SU{N), а также находятся свойства калоронных
10
- Київ+380960830922