Инстантоны и топологические теории

Содержание
0 Введение 5
0.1 Квантовая гравитация, струны, суперсимметрия и М-теоряя ... 5
0.2 Общая характеристика и структура работы........................ 10
1 Спектр в инсгантонной квантовой механике 16
1.1 Инстантониый предел в квантовой механике..................... 16
1.1.1 Наблюдаемые в лагранжевой формулировке................. 17
1.2 Гамильтонова интерпретация инстантонного предела............... 18
1.2.1 Локальная теория: гармонический осциллятор ............ 19
1.2.2 Пример глобальной теории: двумерная сфера...............20
1.2.3 Глобальная теория: проблемы и решения.................. 21
2 А-И-Б зеркальная симметрия 24
2.1 Инстантониый предел суперсимметричной сигма-модели............24
2.2 Нелинейные сигма-модели как деформации свободных теорий . . 25
2.3 И-модель и зеркальная симметрия ................................28
3 Бета-функция в инстантонно.м пределе бозонной сигма-модели 32
3.1 Инстантониый предел бозонной сигма-модели.................... 32
3.2 Аномалия и поле дилатона при переходе к стандартным переменным .............................................................. 33
3.3 Твисгорные переменные ......................................... 34
3.4 Бета-фуикция для обратной эрмитовой метрики ................... 35
4 Теория Саито как предел ходжевой теории струн 38
4.1 Введение и основные результаты................................. 38
4.2 Компактные топологические струны и уравнение ассоциативности 40
1
4.3 Амплитуды в конформных топологических теориях струн..............41
4.4 Интегрирование по положению отмеченных точек ....................43
4.5 QGL-система ходжевой струны.................................46
4.5.1 Общие сведения о QG- системах....................46
4.5.2 Решения уравнений ассоциативности, построенные по QG--системы ходжевой струны..........................................50
4.6 Реализация Ландау-Гинзбурга ходжевой системы................55
4.7 От системы Ландау-Гинзбурга к хорошему сечению К.Саито ... 60
4.7.1 QG- система К.Саито и условия на хорошее сечение ... 60
4.7.2 Стратегия сведения системы Ландау-Гинзбурга к теории Саито............................................................63
4.7.3 Отображения I и Hol, и условие (И) на хорошее сечение . 65
4.7.4 Высшие спаривания ........................................67
5 Геометрия уравнений и тензорное
произведение решений 71
5.1 Новые конфигурационные пространства и большая операда .... 71
5.2 Применение большой операды.......................................73
5.3 Топология пространств LjV и уравнение коммутативности............74
5.3.1 Топология пространств L^..................................74
5.3.2 Пример: пространство L$...................................76
5.3.3 Факторизуемые отображения и уравнения коммутативности 77
5.4 Решения уравнений коммутативности из суперсимметричной квантовой механики.......................................................78
5.4.1 Определение суперсимметричной квантовой механики ... 78
5.4.2 Построение отображений S#.................................70
2
5.5 Совпадение гомологического и квантово-механического тензорных произведений на решениях уравнений коммутативности ... 82
5.6 Замена базы и одевающие преобразования для уравнений коммутативности ..........................................................83
5.7 Гипотеза о равенстве гомологического и одевающего тензорных произведений.........................................................88
5.8 Реконструкция решений уравнений ориентируемой ассоциативности из решений уравнений коммутативности.............................90
5.9 Реконструкция решений уравнения ассоциативности..................92
6 Новый индекс в минимальной суперсимметрии 94
6.1 Введение.........................................................94
6.2 Гибридная модель.................................................96
6.3 Индекс Тг .......................................................98
6.4 Тг (5: как индекс оператора Дирака..............................100
7 БПС конфигурации в сигма-модели с твистованной массой и
аномалия 106
7.1 Введение .......................................................106
7.2 Сигма-модель и твистованная масса...............................107
7.3 Введение суперпотенциала........................................109
7.4 Супералгебра....................................................111
7.5 Вакуумы ........................................................114
7.6 Число вакуумов и кинков, или что заменяет индекс ВИФЧ . . . .118
7.6.1 Резюме конструкции для 34 = 1...........................119
7.6.2 Число 1/2 БПС состояний в 34 = 2 суперсимметрии.........120
7.6.3 Число 1/4 БПС состояний в 34 = 2 суперсимметрии.........121
3
7.7 Пример: С* модель (родственник О*1)............................122
7.8 Петлевые поправки .............................................126
7.9 Аномалия .......................................................126
8 Двумерные инстантоны и фреклы 131
8.1 Кэлеров фактор..................................................132
8.2 Сравнение действий нелинейной и линейной калиброванной моделей 133
8.3 Инстантоны в линейной калиброванной модели.................134
8.4 Пример.........................................................135
9 Контактные члены в теории Заиберга-Виттена 139
9.1 Введение и основные результаты ................................139
9.2 Микроскопические и макроскопические теории.................140
9.3 Мера на кулоновой ветке........................................145
9.4 Низкоэнергетическая теория.....................................146
9.5 Вычисления контактного члена...................................150
9.5.1 Два-наблюдаемые..........................................150
9.5.2 Контактный член 0-наблюдаемой и 4-наблюдаемой............153
10 Заключение 156
4
О Введение
0.1 Квантовая гравитация, струны, суперсимметрия и М-тсория
Грандиозные успехи физики фундаментальных взаимодействий в первые три четверти '20 века бесспорны. Их вершиной является стандартная модель фундаментальных взаимодействий. Тем не менее, стандартная модель оставила открытыми целый ряд фундаментальных вопросов, таких, как вопросы о фундаментальных степенях свободы (для которых наблюдаемая калибровочная теория является всего лишь эффективной), о великом объединении и о квантовании гравитации. Остались не до конца выясненными вопросы о непертур-бативной формулировке квантовой теории поля и о количественном описании конфайнмента.
В настоящее время одним из подходов к решению этих проблем является развитие М-теории.
Историческим и идеологическим предшественником М-теории является модель Калузы-Клейна (недостатки и достоинства которой близки недостаткам и достоинствам М-теории). Модель Калузы описывала 4-мерную гравитацию, связанную с электромагнитным полем как результат компактификации 5-мерной гравитации на окружность. Удивительным образом на первый взгляд разные теории оказывались объединенными единым принципом, и даже магнитный монополь в такой электродинамике существовал (монополь Гросса-Перри). Однако, неизбежным следствием этой модели являлось существование системы заряженных частиц, масса которых была пропорциональна заряду - это не наблюдается в природе и было сочтено феноменологически неприемлемым. Модель Клейна заменяла окружность на сферу и приводила уже к исабелевой
5
калибровочной теории с группой 50(3), связанной с гравитацией - это было первое появление теории Янга-Миллса, не получившее, впрочем, широкого резонанса.
В модели Калузы-Клейна феноменологическая составляющая приносится в жертву простоте и геометричности модели, идее объединения и единого пер-вопринципа. Эти модели рассматриваются как простейшие модели некоторого класса, который подлежит изучению. Вопрос о выборе феноменологически приемлемой модели данного класса откладывается на будущее.
Вторым предшественником М-теории являются дуальные резонансные модели. Проблемы теории сильных взаимодействий побудили заменить лагран-жевое описание теории на матрицу рассеяния. При развитии этих идей возникли как теория дуальных резонансных моделей, так и двумерные теории с интегрируемой 5-матрицей. Теория дуальных резонансных моделей была переосмыслена как теория струн (в которой взаимодействие переносится протяженными объектами, заменяющими традиционные частицы). В этой теории в течении нескольких лет были открыты гравитация, отсутствие ультрафиолетовых расходимостей и суперсимметрия. Отметим, что как и в случае с моделями Калузы-Клейна ценным считалось не феноменологическое согласие с экспериментом, а решение фундаментальных проблем квантовой теории поля, таких как нетривиальное объединение гравитации с материей и квантование без расходимостей.
Третьим предшественником М-теории стала теория двумерных конформных теорий, выводящая за рамки нертурбативного подхода в квантовой теории поля и являющаяся языком, на котором могут быть сформулированы и доказаны непертурбативные эквивалентности (дуальности) разных теорий.
Четвертым предшественником М-теории стали четырехмерные суперсим-
б
метричные теории и супергравитации, созданными Ю.А.Гольфандом, Е.П.Лих-тманом и Д.В.Волковым, В.П. Акуловым, соответственно. Следует отдельно отметить, что авторов к этим теориям привело не желание сократить старшие расходимости (это оказалось позднее), а желание геометрически объяснить существование фермионов как связностей в супериространстве! Четырехмерные суперсимметричные теории могут обладать удивительными свойствами - они могут вообще не иметь ультрафиолетовых расходимостей, а калибровочные теории с разными калибровочными группами и разным составом полей материи могут быть (гипотетически) непертурбативно эквивалентными: дуальности Монтонена-Олива и ЗаЙбсрга.
Представляется удивительным, что такие разные теории, как описанные выше, могли бы объединиться в единое целое, но именно это и произошло.
Предшественники М-теории объединились примерно следующим образом.
Суперсимметричные теории (как теории материи, так и супергравитации) можно рассматривать в разных размерностях. Максимальная теория - 11-мерная суиергравитация. Теории с меньшим числом суперсимметрий и в пространстве меньшей размерности получаются из теорий с большим числом суперсимметрий в пространстве большей размерности при комиакгификации типа Калузы-Клейна, но на специальные многообразия - многообразия с ковариантно постоянными спинорами.
Если считать, что 11-мерная супергравитация содержит мембрану и 5-брану (протяженные объекты пространственных размерностей 2 и 5), то при компак-тификации Калузы на окружность получается теория суиерструны в десяти-мерии, а струна возникает из мембраны, намотанной на окружность.
Если теорию струны компактифицировать на специальное многообразие -с ковариантно постоянным спинором, то на мировом листе струны возникнет
7
двумерная конформная теория - сигма-модель с таргет пространством - специальным многообразием. Непертурбативные эквивалентности таких теорий связывают разные специальные многообразия - так называемая зеркальная (мир-рор) симметрия.
Если 11-мерную супергравитацию компактифицировать на двумерный тор, получится 9-мерная теория струн, уже обладающая дуальностью. Эта дуальность геометрически состоит всего лишь в перестановке образующих тора. Из этой фундаментальной дуальности могут быть выведены другие, в частности, дуальность Монтонена-Олива.
Таким образом, суперсимметричные теории, компактификация, суперструны и дуальности оказываются неразрывно связанными в современном понимании М-теории.
С самого начала в квантовой теории поля была проблема ультрафиолетовых расходимостей. Были предложены разные способы перенормировки, но все они сначала подразумевали некоторый тип ультрафиолетового обрезания для получения конечного регуляризованного ответа. До открытия суперсимметрии был предложен способ Паули-Вилларса, состоявший в добавлении в теорию специальных тяжелых полей противоположной статистики. Но это не отвечало на вопрос о взаимодействии этих полей между собой. Оказывается, конечные суперсимметричные теории решают в точности этот вопрос. А именно, для регуляризации (асимптотически свободной) четырехмерной калибровочной теории (или двумерной сигма-модели) дополним ее до конечной суперсимметричной теории (такая теория всегда существует). После чего мягко нарушим суперсимметрию, давая новым полям массу А/. В полученной таким образом теории будут две фазы - исходная, с бегущей константой связи ниже энергии М, и регуляризованная, с фиксированной константой связи при энергиях выше А/.
8
Теперь перенормировка сведется к выбору константы связи во второй фазе способом, зависящим от М так, чтобы поведение константы связи в первой фазе не менялось. Это и есть использование сулерсимметричных теорий как непер-турбативного ультрафиолетового регулятора.
Особенностью суперсимметрии является сокращение вклада флуктуации бозонов и фермионов в функциональный интеграл на фоне конфигурации нолей, сохраняющих часть суперсимметрий. Такие конфигурации называются БПС конфи гу рациями.
Первым важным классом БПС конфигураций являются инстантоны - конфигурации с конечным действием, сохраняющие часть суперсимметрий. Инстантоны в четырехмерных калибровочных теориях играют важную роль в проверке справедливости гипотез дуальности и построенных эффективных лагранжианов в теориях с расширенной суперсимметрией. Эффективное действие в таких теориях выражается через голоморфную функцию - препотенциал. Гипотезы дуальности предсказывают его вид, а инстантонные вычисления дают члены его разложения в ряд. Сравнение этих подходов является тестом гипотез дуальности.
Вторым классом являются БПС солитоны. Функциональный интеграл на фоне такого солитона вычисляется точно, и, как следствие, мы точно знаем массу частицы в теории, даже если теория не интегрируемая. Представляется, что это точное знание окажется крайне важным при изучении двумерных взаимодействующих квантовых теорий поля, получаемых как суиерсимметричные деформации сулерсимметричных интегрируемых систем методом деформации Б-матрицы.
Инстантонный предел суперсимметричной квантовой теории ноля является примером так называемых топологических теорий. Двумерные топологические
9
теории могут рассматриваться как теории на мировой поверхности так называемой топологической струны. Тем самым возникают теории струн, похожие на теорию суперструн, но технически более простые, которые можно рассматривать как модельные примеры. Не исключено также, что и теория суперсгрун окажется эквивалентной теории топологических струн для некоторого специального таргет суперпространства.
0.2 Общая характеристика и структура работы
Работа посвящена исследованию инстантонного предела в квантовой теории поля, связанных с ним топологических теорий и топологических струн, а также приложениям полученных результатов к изучению су перси м метри иных теорий.
Традиционный взгляд на квантовую теорию поля предполагает развивать теорию возмущений вблизи теории с квадратичным лагранжианом - свободной теории. При этом достаточно сложно учесть непертурбативные эффекты ( точно это сделать практически никогда не удается), описывающие нетривиальную топологию таргет пространства в сигма-модели или калибровочной группы в суперсимметричной теории. Роль непертурбативных явлений отчетливо проявляется в суперсимметричных теориях, в которых возникает вырождение пространства вакуумов и различные центральные заряды в алгебре сунерсим-метрий, приводящие к появлению частиц - солитонов, массу которых можно установить точно.
В диссертации предлагается дополнить традиционный пертурбативный подход новым, в котором стартовая точка теории возмущений является точно решаемой инстантонной теорией, то есть такой, в которой корреляторы даются суммой конечномерных интегралов но пространствам модулей инстантонов. Чтобы перейти в инстантонную теорию, необходимо взять специальный предел
10
б обычной квантовой теории поля, в котором константа связи стремится к нулю, но при этом тэта-угол, отвечающий за сумирование инстантонов и антиинстан-тонов, стремится к мнимой бесконечности. Тогда вклад анти-инстантонов будет подавлен, но вклад инстантонов - усилен. Он остается конечным в пределе, и теория становится вполне содержательной, что и будет продемонстрировано в настоящей работе.
Обычно этот предел разбирается в суиерсиммстричиых теориях для того, чтобы в нем вычислять корреляторы специальных величин, не зависящих от перехода к этому пределу - так называемых топологических наблюдаемых. В самом деле, их корреляторы довольно просты - например, корреляторы простейших наблюдаемых этого вида не зависят от положения в пространстве-времени (что и обусловило их название). В рассматриваемой работе предлагается сделать акцент на вычислении всех корреляторов в этих теориях, выйти за пределы топологического сектора, и сделать это в инстантонном пределе.
Работа построена по принципу восхождения от простого к сложному, поэтому она начинается с изучения инстантонного предела в квантовой механике. Этому посвящена глава 1. Оказывается, что уже этот предел достаточно нетривиален, хотя и точно решаем. Мы описываем гамильтониан, пространство волновых функций и корреляторы, при этом гамильтониан приобретает жорданову форму с положительным целочисленным спектром.
В главе 2 мы изучаем инстантониый предел в двумерной суперсимметричной теории. Топологические корреляторы в этой теории известны как инварианты Громова-Виттена. В работе исследутся не только они, но вся теория в целом. В частности показано, что для торических таргет пространств ( простейшим из которых является двумерная сфера) можно имитировать инстантоны вставкой специальных операторов - голомортексов, и точно учесть вклад суммы по
И
инстантонам, если рассматривать голомортексы как возмущения лагранжиана (переходя к двойственным переменным). Так построено первое доказательство зеркальной симметрии как эквивалентностей квантовых теорий поля, а не только их топологических секторов.
В главе 3 мы изучаем бета-функцию, отвечающую за нарушение конформной инвариантности в инстантонном пределе обычной бозонной сигма-модели. До перехода к инстантонному пределу бета^функция равна левой части уравнений движения в гравитации, отвечающей бозонной струне. Однако стандартные переменные - метрика и поле Калба-Рамона - стремятся к бесконечности в инстантонном пределе. Поэтому вводятся новые переменные, называемые тви-сторными, которые гладко описывают деформации теории в окрестности ин-стантонной точки. Для одной из твисторных переменных - обратной эрмитовой метрики - вычислена бета-функция, оказавшаяся крайне простой - квадратичной. Сравнение со стандартными переменными подтверждает справедливость этого вычисления.
Корреляторы в двумерных суперсимметричных инстаитонных теориях образуют формы на пространстве модулей комплексных структур на римановых поверхностях. Интегралы от корреляторов специальных операторов, называемых вертексными, называются амплитудами в теории топологических струн типа А. Однако при преобразовании дуальности (например, при зеркальной дуальности, описанной в главе 2) двумерная инстангониая теория переходит просто в некоторую конформную сунерсиммстричную теорию поля. Соответственно, понятие амплитуды в теории топологической струны обобщается в произвольную теорию такого вида. Мы разбираем процедуру интегрирования по положению отмеченной точки, и находим, что в случае, когда пространство состояний теории обладает ходжевым свойством, эти амплитуды можно уни-
12
версально вычислить. Они удовлетюряют системе квадратичных уравнений, называемых уравнениями ассоциативности, и мы показываем, что предложенная процедура вычисления амплитуд приводах к такому решению. Мы разбираем пример - теорию типа Ландау-Гинзбурга, а также показываем, что конструкции теории примитивной формы Саито, использованной для построения решений уравнений ассоциативности, следуют из суперсимметричной квантовой механики состояний переходом к голоморфным частям ростков вакуумных волновых функций в главе 4.
В главе 5 мы разбираем топологическую часть конструкции ходжевых струн, предложенной в главе 4, в частности, построена специальная система пространств Ьдг, обобщающих пространства модулей комплексных структур на сфере с отмеченными точками. Показано, что их топология связана с уравнениями коммутативности (мы так называем 1-часть уравнений Вафы-Чекотти) так же. как топология пространства модулей комплексных структур на сфере с уравнениями ассоциативности. Также построены решения уравнений коммутативности в терминах корреляторов ходжевой квантовой механики, и исследованы интегрируемые структуры уравнений коммутативности и гомологическое тензорное произведение на его решениях (отвечающее произведению гильбертовых пространств соответствующих квантовых механик). В завершение описана процедура реконструкции, строящая решение уравнений ассоциативности по решению уравнения коммутативности и примитивному элементу.
Посте дискурса в область топологии мы возвращаемся к теоретико-полевым сюжетам, а именно к исследованию солитонов в суперсимметричных теориях.
В суперсимметричных теориях из-за суперсимметрии оказываются вычислимыми следующие важнейшие свойства солитонов - число БПС солитонов данного топологического тина и их масса. Обычно БПС солнтоны, как и другие ча-
13