Оглавление
Введение 3
1 jV = -1 d = 1 гиперкэлеровые модели 16
1.1 Тензорный мультиплет.............................................. 17
1.1.1 Компонентный состав и действие................................... 1S
1.1.2 Дуализация вспомогательной компоненты............................ 21
1.2 Дуализация константы связи........................................ 23
1.2.1 N = 4 тензорный супермультиплет и его N = 2 описание ............ 24
1.2.2 Действие......................................................... 25
1.2.3 Построение гиперкэлерового многообразия.......................... 27
1.3 Нелинейный N = 4 гинермультиплет.................................. 29
1.3.1 Введение: гармоническое сунсрпростраиство........................ 30
1.3.2 Нелинейное представление суперсимметрии.......................... 33
1.3.3 Сигма-модель Егучи-Хансона....................................... 33
1.3.4 Калибровка Вссса-Зумипо.......................................... 36
1.3.5 Сигма-модсльное многообразие..................................... 38
1.3.6 Взаимосвязь калибровочных полей.................................. 40
2 Суперсимметричные модели с восемью суперзарядами 43
2.1 Сигма-модель на основе линейного к и рал ьно го супермультиплета .... 43
2.1.1 Линейный киральный супермультиплст .............................. 44
2.1.2 Построение действия.............................................. 46
2.1.3 Гамильтонов формализм............................................ 49
2.1.4 Построение гиперкэлерового многообразия.......................... 52
2.2 Сигма-модель на основе нелинейного кирального супермультиплета ... 57
2.2.1 Нелинейный киральный супермультиплст............................. 57
2.2.2 Построение действия.............................................. 60
2.2.3 Гамильтонов формализм............................................ 62
2.2.4 Построение гиперкэлерового многообразия.......................... 65
2.3 Дуализация константы связи........................................ 09
2.3.1 Супермультиплст (3,8,5).......................................... 69
2.3.2 Построение действия.............................................. 70
2.3.3 Построение гиперкэлерового многообразия.......................... 72
2
Введение
2.4 Нелинейная N = 4 (I = 3 электродинамика............................. 75
2.4.1 Нелинейный векторный супсрмулыиилст ........................... 70
2.4.2 Построение суперсиммстричного действия......................... 80
3 Спонтанное нарушение суперсимметрии 84
3.1 Суиер-З-брана в шестимерном пространстве............................ 80
3.1.1 Расширенный векторный Аг = 2 О = 4 супермультиплет............. 80
3.1.2 Рекуррентное соотношение....................................... 89
3.1.3 Бесконечномерный матричный N = 2 сунермультиилет............... 92
3.2 Спонтанное нарушение суперсимметрии в (I = 1........................ 93
3.2.1 Универсальное действие ........................................ 94
3.2.2 Действия суисрсиммстричиых частиц.............................. 98
3.2.3 Заключение.................................................... 102
Заключение 104
Список литературы 106
Введение
Суперснмметричная квантовая механика, сформулированная впервые в известной работе [1], и сейчас находит широкий спектр применения при изучении физических явлений, которые так или иначе связаны с испергурбативиыми эффектами и которым пока что не дано полного и исчерпывающего описания в рамках квантовой теории поля. Так, например, суперснмметричная квантовая механика применяется при описании одномерного варианта известного АЛБ/СП* соответствии [2, 3, 4, 5], связывающего свойства теории суперструн [б, 7) на пространстве Ас13ь х 55 с N = 4 сулерсиммстричлой теорией Янга-Миллса. Квантовая механика также используется при рассмотрении моделей со спонтанно нарушенной суперсимметрией |1, 8, 9, 10], при описании динамики движения частиц вблизи горизонта событий чёрных дыр, возникающих в теории супергравитации |б], при описании пространства модулей сунсрсиммстрнчиых монополей и черных дыр [11, 12, 13, 14]. Пространство модулей суперснмметричных черных дыр является сигма-модельным пространством суисрсиммстрнчной механики, которая описывает движение ио геодезической в этом пространстве |11, 15, 16, 17]. Низкоэиергетичсская динамика протяженных объектов на нетривиальных пространствах, таких как, например, движение £>0-браиы в поле 1>4-браны [18], также описывается сулерсиммстричлой квантовой механикой. Опять же, низкоэлсргстичсскис свойства загадочной Л/-теории, п ретем дующей на главенствующую роль в объединении всех известных взаимодействий, также, вероятно, описываются суисрсиммстрнчной квантовой механикой [19]. Возникает она и при квантовании суперснмметричных теорий ноля в калибровке светового конуса [20, 21].
Конечно же, одномерные суперсимметричные модели анализировать проще, чем их многомерные аналоги. Однако, размерная редукция суперснмметричных действий, определенных в & > 1, не воспроизводит все возможные действия В (I = 1, поскольку в многомерном случае правила отбора, связанные с группой Лоренца, накладывают дополнительные ограничения, которых, естественно, нет в ^ = 1. Например, в с1 = I три-форма кручения, модифицирующая связность, не обязана быть замкнутой. Если она будет замкнутой, то соответствующее действие может быть получено размерной редукцией из ^ > 1, в противном случае - нет. Отсутствие группы Лоренца сказывается и на таком фундаментальном свойстве сунсрсиммстрии, как равенство числа бозонных и фермлолных степеней свободы на массовой поверхности, которое не обязано выполняться в (I = 1. Эти факты говорят о том, что нужно рассматривать одномерные супер-
4
Введение
симметричные модели, основываясь па алгебре суперсимметрии в (/ = 1, не прибегая к размерной редукции.
Алгебра (I = 1 суисрсимметрин с N вещественными суперзарядами имеет вид
Линейные представления этой алгебры были построены в работах |22, 23]. Требования, чтобы, во-первых, преобразования полей, образующих представление, реализовывали алгебру суисрсимметрин, и, во-вторых, оставляли свободное действие инвариантным, приводят к следующим значениям на число бозонов ф, и фермнонов ф в зависимости от количества суисрсимметрин
ф = ф: 1 2 4 4 8 8 8 8 16 32 64 128 ...
Как и в четырехмерии, бозонные поля включают фл физических и йаих вспомогательных полей, суммарное число которых и представлено в таблице
Поэтому каждый из представленных в таблице мультиплстов имеет версии с различным числом физических и вспомогательных нолей. В </ = 1, рассматривая алгебры суперсимметрии с N еуперзарядами, удобно ввести обозначение
дли представления, содержащего п физических бозонов, /V—п вспомогательных бозонов и N фермнонов, число которых равно числу суисрсиммстрий. Так, например, для N = 4 имеется пять вариантов линейных представлений: (0,4,4), (1,4,3), ..., (4,4,0).
Анализ трансформационных свойств компонент линейных сунсрмультиилстов в одном измерении показывает, что имеются преобразования, которые превращают физические бозонные ноля во вспомогательные и наоборот, оставляя их суммарное число неизменным. Например, супермультишгетм (3,4,1) и (4,4,0) связаны этими преобразованиями, которые основаны только лишь на трансформационных свойствах и не апеллируют к функционалу действия. Другой тип преобразований также меняет компонентную структуру сунсрмультиплета, но применяется к функционалу действия. Проще всего его пояснить па примере конформно инвариантной механики
Условие постоянства д может быть истолковано, как решение условия <)(/) = 0. Рассматривая это условие как связь, вставим его в действие с лагранжевым множителем <^(£) и исключим #(/):
/V: 1 2 3 4 5 б 7 8 9 10 12 16
4" Физ — Ф*
(п, N,N-11)
.21
Введение
Таким образом, это преобразование превращает действие с одномерным сигма-модель-ним многообразием в действие с двумерным многообразием, что и является источником изменения компонентной структуры супермультнплета (глава 1).
Из таблицы видно, что случаи N = 1,2,4,8 являются выделенными, поскольку для этих значений число фермиониых и бозонных полей, образующих супермультннлот, совпадает с числом суперсимметрий
N = (1Ь ~ (1/, при N = 1,2,4,8.
Мультиплеты с таким числом фермнонов (п бозонов) удобны для описания суперсим-метричних моделей с максимальным числом сунсрсимметрий, т.е., например, на супермул ьтн плете с восемью фермионамн можно реализовать супере им метри ю с числом супергенераторов, не превышающим восьми. Видно также, что при N > 8 число нолей быстро растет, что заметно усложняет анализ соответствующих таким мультиплетам теорий. Кроме того, взаимосвязь числа сунсрсимметрий N с геометриями соответствующих сигма-моделей [24], показывает, что случай N = 8 является максимально возможным, при котором геометрия не фиксируется полностью; при N > 8, например, сигма-модельное многообразие превращается в симметрическое пространство. К тому же, случай N = 8 соответствует редукции наиболее интересных четырехмерных N — 2 суиерснмметрнчных теорий ПОЛЯ В (1 = 1.
Большое количество работ [25, 26, 27] было посвящено построению суперсиммет-ричиых механик с N = 1,2 для изучения вопросов спонтанного нарушения супсрснм-метрии и исследовании конформных свойств моделей [28, 29]. Поскольку в этом случае количество дополнительных условий, накладываемых суперсимметрией, невелико, то и серьезных ограничений на геометрию их многообразий не возникает - соответствующие сигма-модельные многообразия просто являются римановыми.
В первых работах по Лг = 4 сунерсимметричной механике [30] также исследовались свойства, накладываемые суперсимметрией на сигма-модельное многообразие, и конформные аспекты суперснмметрнчиой механики [31]. Интересный результат получен в работе (32], в которой построено трехмерное сигма-модельное многообразие, основываясь на N = 4 (1 = 1 представлении сунсрсимметрий, у которого пет сі > 1 аналога. Вообще говоря, этот факт есть отражение общего утверждения о том, что, как и в случае с действиями, размерная редукция из (1 > 1 не дает всего разнообразия с/ = 1 супермультиилотов. Кроме того, (1 > 1 супермультиплеты, которые определены только на массовой поверхности, могут иметь (1=1 аналоги, которые определены и вне массовой поверхности. Типичным примером может служить гипермультинлет Файе-Сонуиса [33, 34], определенный только лишь на массовой оболочке, одномерным аналогом которого есть мультиплет с составом (4,4,0), определенный вне массовой оболочки.
Несмотря на большой интерес к моделям с N = 4 суперсиммстрией, систематическое исследование N = 4 мультпплетов было проведено лишь в недавней работе [35], в которой проклассифицированы все возможные представления наиболее общей в одномерии конформной супералгебры 0(2,1; а) с четырьмя генераторами Пуанкаре.
6
В ведеш іе
Рассматривая нелинейные реализации этой суисралгсбры, помимо известных представлений были найдены два новых - нелинейный кпралышн (2,4,2) и нелинейный тензорный (3,4,1) супсрмультиплеты, - которые описываются нелинейными су пері 10-левыми условиями. Компонентный состав этих представлений не отличается от их линейных аналогов, однако с геометрической точки зрения эти представления являются совершенно различными, поскольку физические бозонные поля соответствующих супермул ьтинлетов являются координатами совершенно различных фактор-прострапств суперкоиформиой алгебры £(2,1; а). В нелинейном случае это сферы Б2 и Э3 для хирального и тензорного мультнплетов соответственно, тогда как в линейном случае -плоскости Н2 и К3.
Для суперспмметрнчных одномерных моделей расширенная суперсимметрия накладывает болсс слабые условия на геометрию их сигма-модельного многообразия, чем в случае многомерных моделей с тем же числом суперсимметрий [11), поэтому можно ожидать наличие более широкого класса допустимых сигма-модельных геометрий.
В случае (I = 4 ответ па вопрос о взаимосвязи геометрии сунсрсиммстричных моделей и числа суперсимметрий был известен и заключался в том, что геометрии могут быть кэлеровъши [36], гиперюлерооыми [37] или кватерпион-кзлеровыми [38].
В работах [11, 39, 40| этот вопрос изучался для сі = 1 супсрсимметричных моделей. Было показано, что для N = 4 сигма-моделыюе многообразие является гиперкэлеровым с кручением (НКТ) и задается метрикой, тремя комплексными структурами, образующими алгебру кватернионов, и три-формой кручения. Если форма кручения замкнута, то говорят, что многообразие имеет “сильную” НКТ структуру.
Результат, полученный в работе [35] заключается в том, что наиболее общее супер-снммстрнчнос действие, построенное для (І = I N = 4 супермультиплста, скажем, с четырьмя бозонными полями, которые мы обозначим дг, имеет вид
С точки зрения сигма-моделыюго подхода функции д'(і) задают отображение
одномерного пространства на некоторое чстырсхмерпос сигма-моделыюе многообразие М. Поэтому они могут интерпретироваться, как координаты на М с метрикой
которая, очевидно, является конформно плоской. II это свойство является общим для всех N = 4 сунсрсиммстричных действий независимо от того, мультиплст с каким числом физических полей рассматривается. Заметим, что это построение совершенно не использовало размерную редукцию и, казалось бы, должно быть максимально общим, поскольку с самого начала было построено для одномерного случая, который, как уже
IIі -* м,
(Пт М = 4
7
Введение
говорилось, допускает более широкий класс сигма-модельиых геометрий. Тем не менее, все, что можно получить - только лишь конформно плоские многообразия.
Проблема “конформной плоскостности” не является спецификой N = 4 алгебры суисрснмметрии и имеет место и в случае N — 8. В этом случае [11, 39, 40] геометрия сигма-модслыюго многообразия является октоиион-кэлеровой с кручением (ОКТ) и задастся метрикой, семыо комплексными структурами, образующими алгебру окто-ннонов, и три-(|юр.мой кручения. Если, как и в случае НКТ, форма кручения замкнута, то говорят, что многообразие имеет “сильную” ОКТ структуру.
Представления алгебры суисрснмметрии с восемью сунерзарядами, как и в случае N = 4, могут быть, в принципе, получены, рассматривая нелинейные реализации (1=1 суперконформпых групп с восемью Пуанкаре суперсимметриями, которых в этом случае четыре [42]
05р(4*|4), 05р(8|2), Би( 4|1,1), Р°(4),
Построение нелинейных реализаций этих супергрупп даст все возможные представления ТУ = 8 супералгебры. Конечно, часть из них будут линейными, что даст представления, полученные в работах [22, 23, 56].
Действия, построенные для какого-либо представления из этих супергрупп, например, (8,8,0), будут иметь такой же вид, что и выписанные выше для (4,4,0), т.е. и в этом случае сигма-модельное многообразие будет конформно плоским.
С другой стороны, понятно, что размерная редукция (I > 1 суперсимметричпых действий
г)тпСц(д)дтд'{х)д„д](х) + ферм.
как бы пи влияла на число суисрснмметрии, не изменит геометрию сигма-модельного многообразия. Если она была кэлеровой или гиперкэлеровой, то она останется таковой и после размерной редукции.
Таким образом, возникает вопрос: можно ли получить нетривиальные сигма-модель-ные многообразия для представлений алгебры суперсимметрии в (і = 1?
Ключевым моментом в решении этого вопроса является существование нелинейных представлений алгебры суперсимметрии. Так, например, в N = 4 законы преобразования построенного в данной диссертации (глава 1) нелинейного супермул ьтипле-та с четырьмя физическими бозонными полями іДлЬ'(£), Ф(£) и четырьмя фермионны-мн А„(£), Аа(£) имеют вид
= 2е(Ф\6> + 2£<аА*>, 5Ф = £а (Д, + а(„6)Аь) + ё* (/Аа + амАь),
Ф - \ааЬь0ь - 2ідаЬ/\пХ^ - кьцаЬ),
и определяются функциями / и а.(аЬ\ зависящими от уаЬ и связанными соотношениями
дасась + дЬсаса = доЪ/ -> даЬдаЬ{ = 0.
8
Введение
Если функции /(ц(о6)) раина константе, то, очевидно, эти законы преобразования воспроизводят известные линейные преобразования компонент относительно преобразовании сунерсиммстрни. Функция / является одной из тех, свойства которой определяют геометрию соответствующего сигма-модельного многообразия, которое, вообще говоря, не является конформно плоским, и при определенных дополнительных условиях становится гиперкэлеровым. В (I > 1 ничего подобного не происходит, поскольку в этом случае нет супермультиилетов без вспомогательных полей и функции могут появляться в компонентных законах преобразования, заданных только на массовой оболочке, как результат исключения вспомогательных полей, тогда как описанные выше </ = 1 законы преобразования определены вне массовой оболочки.
Таким образом, нелинейные супермультинлсты играют важную роль в построении сигма-моделей с нетривиальной геометрией. Замечательным фактом является существование нелинейных супермультиплетов и в пространствах с (I > 1. Такие мультипле-ты были, например, построены в [43, 44], которые использовались для построения N = 2 суперсимметричиой теории гравитации и сигма-моделей. Предложенный в диссертации (глава 2) N = 4 (1 = 3 нелинейный векторный супсрмулытшлст, описываемый суперполем Ъ
Д0г = гдл = Ь{С1Щг
содержит среди своих компонент тензор напряженности электромагнитного поля и обладает тем же составом, что и линейный векторный супермультнилст. Поэтому действие, построенное на его основе, описывает нелинейную суперсимметричную электродинамику. Соответствующее ему сигма-моделыюе многообразие является искривленным трехмерным пространством. Это значит, что предложенный вариант нелинейной электродинамики может служить альтернативой теории Бориа-Инфельда, некоммутативным теориям в ряду нелинейных обобщений теории электромагнитного ПОЛЯ.
Важность нелинейных супермультиплетов ярко проявляется и при изучении структуры теорий со спонтанным нарушением сунерсиммстрни [45, 46, 47,48]. Так, будучи изначально линейными, законы преобразования компонент супермультиплета становятся нелинейными при наложении подходящих условий, описывающих частичное спонтанное нарушение суперсимметрии. Появление неоднородного члена, пропорционального масштабу спонтанного нарушения, в законах преобразования является принципиальным для возникновения нелинейного супермультинлета. В этом случае, в отличие от упомянутых выше, компоненты сунсрмультиплета приобретают нелинейности только при преобразованиях относительно части суперсиммстрий - относительно спонтанно нарушенных.
Отличительной особенностью моделей с частично нарушенной суперспмметрией является то, что лагранжиан становится одной из компонент супермультиилста. Его зависимость от других компонент уменьшает число независимых компонент супермуль-тнплета, что и делает его нелинейным. Так, например, в случае спонтанного нарушения N = 2 О — 4 сунсрсимметрин с двумя центральными зарядами до N = 1 И = 4 показано (глава 3), что имеется бесконечно-мерный супермультиплет Утп, содержащий
9
- Київ+380960830922